Тема Алгебра

18 Уравнения и неравенства → 18.04 Линейные уравнения и неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения и неравенства

Дробно-рациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Теорема Виета

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#120039

а) В трёх школах $3230$ учащихся. Во второй школе на $420$ учащихся больше, чем в первой, а в третьей—на $350$ учащихся больше, чем в первой. Сколько учащихся в каждой школе?

б) На трёх полках $276$ книг. Сколько книг на каждой полке,если на второй полке на $16$ книг больше, чем на первой, а на третьей в два раза больше книг, чем на первой?

в) Периметр треугольника равен $70$ см. Определите стороны треугольника, если первая сторона в три раза больше второй и на $7$ см больше третьей стороны.

г) В трёх цехах завода работают $2400$ человек. В первом цехе вдвое больше рабочих, чем во втором, а в третьем на $200$ рабочих меньше, чем во втором. Сколько рабочих в каждом цехе?

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

а) Пусть $x$ уч. — в первой школе, тогда $x+ 420$ во второй школе и $x+ 350$ в третьей. Зная, что всего $3230$ учащихся, составляем уравнение:

$x+x +420+ x+ 350= 3230$

$3x =3230− 420− 350$

$3x =2460$

$x= 820$ учеников в первой школе. Тогда:

$820+ 420= 1240$ — во второй школе

$820+ 350= 1170$ — в третьей школе

б) Пусть $x$ книг на первой полке, тогда $x+ 16$ книг на второй полке, составляем уравнение:

$x+x +16+ 2x= 276$

$4x =260$

$x= 65$ книг на первой полке. Тогда:

$65 +16= 81$ книг на второй полке

$65 ⋅2 =130$ — на третьей полке

в) Пусть $x$ см — длина второй стороны, тогда $3$ см - длина первой стороны, а длина третьей стороны $3− 7$ см. Зная, что периметр треугольника $70$ см, составляем уравнение:

$x+3x +3x− 7= 70$

$7x =77$

$= 11$ см — длина второй стороны

$3⋅11 =33$ см — длина первой стороны

$33 − 7= 26$ см — длина третьей

г) Пусть во втором цеху работает $\text{[math]}$ человек, тогда в первом цеху работает $2$ человек, а в третьем $− 200$ человек. Зная, что всего работает $2400$ человек, составляем уравнение:

$x+2x +x− 200= 2400$

$4x =2600$

$x= 650$ ч. во втором цеху

$2⋅650= 1300$ ч. — в первом цеху

$650− 200= 450$ ч. — в третьем цеху

Ответ:

а) $820$ уч. в первой школе, $1240$ — во второй, $1170$ — в третьей.

б) $65$ к. $81$ к. $130$ к.

в) $11$ см. $33$ см. $26$ см.

г) $1300$ ч. $650$ ч. $450$ ч.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#120040

а) За $2$ кг яблоки $1$ кг слив заплатили $180$ р. Сколько стоит один килограмм яблок и один килограмм слив, если кило-грамм яблок на $15$ р. дороже килограмма слив?

б) От одного города до другого пассажирский поезд идёт $4$ ч, а машина — $5$ ч. Какова скорость поезда, если скорость машины меньше на $10$ км/ч?

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

а) Пусть $\text{[math]}$ руб. — стоит $1$ кг слив, тогда $+ 15$ руб. стоит $1$ кг яблок.

Зная, что за $2$ кг яблок и $1$ кг слив заплатили $180$ руб, составляем уравнение:

$2(x+ 15)+ x= 180$

$2x +30+ x= 180$

$3x =150$

$x= 50$ (руб.) - стоит 1 кг слив

$50 +15= 65$ (руб.) - стоит 1 кг яблок

б) Пусть $\text{[math]}$ км/ч. — скорость поезда, тогда скорость машины $− 10$ км/ч. Расстояние, которое проедет поезд: $4$ км, а машина: $5(− 10)$ км. Зная, что они преодолели одинаковое расстояние, составляем уравнение:

$5(x− 10) =4x$

$5x − 50− 4x= 0$

$x= 50$ км/ч — скорость поезда

Ответ:

а) $50$ руб, $65$ руб.

б) $50$ км/ч.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#120041

На путь по течению реки пароход затратил $3$ ч, а на обратный путь — $5$ ч. Скорость течения $5$ км/ч. Какова скорость парохода в стоячей воде?

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

Пусть х — скорость парохода в стоячей воде, тогда по течению скорость парохода составляет $+5$ км/ч, а против течения: $− 5$ км/ч. Зная время по течению и против течения, а также то, что расстояние по-течению и против течения одинаковое, составляем уравнение:

$3(x+ 5)=5(x− 5)$

$3x +15= 5x− 25$

$− 2x =− 40$

$x= 20$ км/ч — скорость парохода в стоячей воде

Ответ:

$20$ км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#120042

а) На рыбалке отец с сыном поймали $15$ рыбок. Сколько поймал сын, если отец поймал больше сына на $3$ рыбки?

б) Масса ведра с водой $10$ кг. Какова масса ведра, если известно, что оно на $9$ кг легче воды в нём

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

Пусть сын поймал $\text{[math]}$ рыб, тогда отец поймал $+3$ рыбки. Зная, что вместе они поймали $15$ рыбок, составляем уравнение.

$x+x +3 =15$

$2x =12$

$x= 6$ (р.) — поймал сын

б) Пусть $\text{[math]}$ кг — масса ведра, тогда масса воды в нем составляет $+9$ кг. Зная, что вместе они весят $10$ кг, составляем уравнение:

$x+x +9 =10$

$2x =1$

$x= 1 2$ (кг) — весит ведро

Ответ:

а) $6$ рыбок.

б) $0,5$ кг.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#120043

а) Периметр прямоугольника равен $20$ см. Найдите его длину и ширину, если длина на $8$ см больше ширины.

б) Периметр прямоугольника равен $20$ см. Длина в $5$ раз больше ширины. Найдите длину и ширину этого прямоугольника.

в) Найдите длину и ширину прямоугольника, если известно,что ширина на $1$ см меньше длины, а периметр равен $20$ см

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

а) Пусть $\text{[math]}$ см — ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника $+8$ см. Зная, что периметр равен $20$ см, составляем уравнение:

$2(x+ x+ 8)=20$

$2x +8= 10$

$2x =2$

$x= 1$ (см) - ширина прямоугольника, тогда:

$1+8 =9$ (см) - длина прямоугольника

б) Пусть $\text{[math]}$ см — ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника $5$ см. Зная, что периметр равен $20$ см, составляем уравнение:

$2(x+ 5x)=20$

$6x =10$

$x= 5= 12 3 3$ см — Ширина. Теперь можем найти длину:

$5 25 1 5⋅3= 3 = 83$ см.

в) Пусть $\text{[math]}$ см - ширина прямоугольника, тогда длина прямоугольника $+1$ см. Зная, что периметр равен $20$ см, составляем уравнение:

$2(x+ x+ 1)=20$

$2x +1= 10$

$2x =9$

$x= 4,5$ (см) — ширина прямоугольника

$1+4,5= 5,5$ (см) — длина прямоугольника

Ответ:

а) $1$ см и $9$ см;

б) $2 1- 3$ см, $1 8- 3$ см;

в) $4,5$ см и $5,5$ см.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#120044

а) Сумма двух последовательных чётных чисел равна $38.$ Найдите эти числа.

б) Сумма трёх последовательных чётных чисел равна $18.$ Найдите эти числа.

в) Сумма двух последовательных нечётных чисел равна $24.$ Найдите эти числа.

г) Сумма трёх последовательных нечётных чисел равна $21.$ Найдите эти числа.

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

а) Пусть одно число $2,$ тогда другое число $2+2.$ Зная, что их сумма равна $38,$ составляем уравнение:

$2x +2x+ 2= 38$

$4x =36$

$x= 9$

$9⋅2=18$ — первое число

$18 +2= 20$ — второе число

б) Пусть одно число $2,$ тогда другое число $2x+ 2,$ а третье $2x+ 4.$ Зная, что их сумма равна $18,$ составляем уравнение:

$2x +2x+ 2+ 2x+4 =18$

$6x =12$

$x= 2$

Теперь можно найти все числа:

$2⋅2=4$ — первое число

$4+2 =6$ — второе число

$6+2 =8$ — третье число

в) Пусть одно число $2x+ 1,$ тогда другое число $2x +3.$ Зная, что их сумма равна $24,$ составим уравнение:

$2x +1+ 2x+ 3= 24$

$4x =20$

$x= 5$

Теперь можем найти числа:

$2⋅5+1 =11$ — первое число

$2⋅5+3 =13$ — второе число

г) Пусть одно число $2x+ 1,$ тогда другое число $2x+ 3,$ а третье $2x+ 5.$ Зная, что их сумма равна $21,$ составим уравнение:

$2x +1+ 2x+ 3+ 2x +5= 21$

$6x =12$

$x= 2$

Теперь можем найти числа:

$2⋅2+1 =5$ — первое число

$5+2 =7$ — второе число

$7+2 =9$ — третье число

Ответ:

а) $18$ и $20;$

б) $4;$ $6$ и $8;$

в) $11$ и $13;$

г) $5;$ $6$ и $9.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#120045

а) Груз массой $6,5$ т перевозили на трёх грузовиках. На первом и втором грузовиках вместе было на $0,1$ т больше, чем на третьем, а на первом — на $1,5$ т больше, чем на втором. Сколько тонн груза было на каждом грузовике в отдельности?

б) На трёх полках стоят книги. На первой — на $4$ книги меньше, чем на второй, а на третьей в два раза меньше, чем на первой и второй вместе. Сколько книг стоит на каждой полке, если их всего $96?$

Источники: Алгебра 7 класс, С. М. Никольский (см. eftneu.am)

Показать ответ и решение

а) Пусть $\text{[math]}$ тонн было на втором грузовике, тогда на первом $+ 1,5$ тонны, а на третьем $+ x+ 1,5 − 0,1$ тонны. Зная, что всего $6,5$ тонн, составляем уравнение: $x+x +1,5+ 2x +1,4= 6,5$

$4x =3,6$

$x= 0,9$ (т) - было на втором грузовике

$0,9+ 1,5 =2,4$ (т) - было на первом грузовике

$6,5− 2,4 − 0,9= 3,2$ (т) - было на третьем грузовике

б) Пусть $\text{[math]}$ книг было на первой полке, тогда на второй было $+ 4$ книг, а на третьей: $+ x+4$ книг: Зная, что всего было $96$ книг, составляем уравнение:

$x+x +4+ 1(2x+4)= 96 2$

$2x +4+ x+ 2= 96$

$3x =90$

$= 30$ (книг) - на первой полке

$30 +4= 34$ (к.) - на второй полке

$96 − 34− 30= 32$ (к.) - на третьей полке

Ответ:

а) $0,9$ т; $2,4$ т; $3,2$ т;

б) $30$ к; $34$ к; $32$ к.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#125060

Решите неравенство $− x< 10.$

A) $(−∞;10)$

B) $[10;+∞ )$

C) $[− 10;10]$

D) $(−10;+∞ )$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Умножим обе части неравенства на $− 1$ и перевернем знак:

−1⋅(−x)>− 1⋅10

x> −10⇒ x ∈(−10;+∞)

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#125061

Найдите наибольшее целое число, удовлетворяющее неравенству $1x< 3. 6$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Умножим обе части неравенства на $6 :$

1 6⋅6x <6⋅3

x <18⇒ x ∈(−∞; 18)

Наибольшее целое число, которое удовлетворяет данному промежутку - $17,$ так как $18$ не входит в решение данного неравенства из-за того, что неравенство строгое.