Тема Алгебра

18 Уравнения и неравенства 18.02 Иррациональные уравнения и неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела алгебра
Разделы подтемы Уравнения и неравенства
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#120343

Решить уравнение: √5x−-26= x− 4

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

 √------2       2
( 5x− 26) = (x− 4)

         2
5x− 26= x − 8x+ 16

Перенесем все члены в правую часть:

− x2+13x− 42= 0

Домножим на (−1)

x2− 13x +42= 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

D = (−13)2− 4⋅1⋅42= 169− 168= 1

Корни:

        √-
x1 = 13-+-1-= 13+-1= 7
       2       2

        √-
x  = 13-−-1-= 13−-1= 6
 2     2       2

Проверим полученные корни.

  • x =7 :  ∘5(7)− 26= √35−-26= √9= 3.  x− 4= 7− 4=3.  Подходит.
  • x =6 :  ∘5(6)− 26= √30−-26= √4= 2.  x− 4= 6− 4=2.  Подходит.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

 x =6;7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120345

Решить уравнение: √x-− 12= −1

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

По определению квадратного корня, значение √x-− 12  должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Однако, в данном уравнении √ -----
  x− 12  равно − 1,  что противоречит определению. Поэтому, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: Решений нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#120346

Решить уравнение: √x-− 20= 5

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

√ -----2   2
( x− 20) = 5

x − 20= 25

Неизвестный х оставляем слева, числа переносим вправо:

x =25+ 20

x= 45

Проверим полученный корень:

√45−-20= √25= 5

Корень удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ:

 x =45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#120349

Решить уравнение: √x2−-7= 7

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

∘ -2---2   2
( x − 7) = 7

 2
x − 7= 49

x2 = 56

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

    √ --
x= ±  56

Проверим полученные корни:

  •    √ --
x =  56:  ∘-√------  √ ----- √ --
 ( 56)2− 7 = 56− 7 = 49=7.  Подходит.
  •      √--
x =−  56:  ∘ --√------- √-----  √--
  (−  56)2− 7=  56− 7=  49= 7.  Подходит.

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

 x =± √56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#120351

Решить уравнение: √4x2−-4x− 1-=2

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

 ∘ -2-------2   2
(  4x − 4x− 1)= 2

  2
4x − 4x− 1= 4

Перенесем все члены в одну часть:

4x2− 4x− 5= 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

D = (−4)2− 4⋅4⋅(−5)= 16+ 80= 96

Корни:

       √ --      √-     √-
x1 = 4+--96= 4+-4-6= 1+--6
      2⋅4      8       2

     4− √96  4−-4√6  1−-√6
x2 =  2⋅4  =   8   =   2

Проверим полученные корни:

  •     1+√6-
x = --2--:

     ( 1+ √6)2   ( 1+√6 )      ( 1+2√6-+6)      √ -        √-      √-
4  --2--  − 4  --2--  − 1= 4 ----4---- − 2− 2 6− 1 =7 +2 6 − 2− 2 6− 1= 4
  •       √ -
x = 1−--6:
      2

     (    √-)2   (   √ -)      (    √ -  )        -         -       -
4  1−--6  − 4  1−--6  − 1= 4 1− 2-6+6- − 2+ 2√ 6− 1 =7 − 2√6 − 2+ 2√6− 1= 4
     2           2               4

Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

    1±√6-
x =   2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#120352

Решить уравнение: √8x−-8= √3x+-4

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Возведем обе части уравнения в квадрат:

 √----- 2  √ -----2
( 8x − 8) = ( 3x +4)

8x− 8= 3x +4

Перенесем все члены с x  в одну часть, а константы - в другую:

8x− 3x =4 +8

5x= 12

x= 12
    5

Проверим полученный корень:

∘ -------  ∘ ------- ∘ ---
  8⋅ 12− 8=  96− 40=   56
     5       5   5     5

∘ --12---  ∘ 36--20- ∘ 56-
  3⋅-5 + 4=  5-+ 5-=   5-

Корень удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ:

 x = 12
    5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#120353

Решить уравнение: x+ √x =56

Источники: Якласс (см. surl.li)

Показать ответ и решение

Пусть y =√x,  где y ≥0.  Тогда x =y2.  Подставим в уравнение:

 2
y + y = 56

 2
y + y− 56= 0

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

D =12− 4⋅1⋅(−56) =1+ 224= 225

Корни:

        √---
y1 = −1+-225= −-1+15 =7
       2         2

        √ ---
y2 = −1-−-225 = −1−-15-= −8
        2        2

Так как y = √x,  то y  не может быть отрицательным. Следовательно, y =7.  Тогда x= y2 = 72 = 49.

Проверим полученный корень:

49+ √49= 49+7 =56

Корень удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ:

 x =49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#120355

Решить уравнение: x− 3√x−-1= −1

Источники: ЕГЭ профиль, 9-11кл (см. math-ege.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

1. Преобразование исходного уравнения:

Сначала перенесем -1 в левую часть уравнения, чтобы получить ноль в правой части:

    √----
x− 3 x− 1= −1

x+ 1− 3√x−-1= 0

2. Замена переменной:

Введем новую переменную y,  чтобы упростить уравнение. Положим:

y =√x-−-1, где y ≥0 (так как корень не может быть отрицательным)

3. Выражение x через y:

Выразим x  через y.  Для этого возведем обе части уравнения     ----
y = √x− 1  в квадрат:

y2 = (√x-−-1)2

y2 = x− 1

Выразим отсюда x

x= y2+1

4. Подстановка в исходное уравнение:

Теперь подставим выражения для x  и √x−-1  в преобразованное исходное уравнение:

       √ ----
x+ 1− 3⋅ x− 1=0 (до)

Заменяем x  на (y2+1)  и √x−-1  на y :

  2
(y +1)+ 1− 3⋅y = 0 (после)

5. Упрощение:

Упростим полученное уравнение:

y2 +1+ 1− 3y = 0

y2− 3y +2= 0

6. Решение квадратного уравнения относительно y:

Теперь решаем квадратное уравнение y2− 3y+ 2= 0.  Дискриминант:

D =(−3)2− 4⋅1⋅2=9 − 8 =1

Корни:

           √-
y1 = −-(−-3)+-1 = 3+-1= 2
       2 ⋅1       2

           √-
y2 = −-(−-3)−-1 = 3−-1= 1
       2 ⋅1       2

7. Нахождение значений x:

Так как оба корня y1 = 2  и y2 =1  неотрицательны, они оба подходят. Найдем соответствующие значения x :  Если y = 2,  то x =y2+ 1= 22+1 =5.  Если y = 1,  то x= y2 +1 =12+ 1= 2.

8. Проверка полученных корней:

Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение: Если x= 5:

    √----      √-
5 − 3 5 − 1= 5− 3 4= 5− 3⋅2= 5− 6=− 1

Корень x = 5  удовлетворяет исходному уравнению.

Если x= 2:

2 − 3√2-− 1= 2− 3√1= 2− 3⋅1= 2− 3=− 1

Корень x = 2  удовлетворяет исходному уравнению.

Заключение:

Решения уравнения: x =2  и x =5.

Ответ:

 x =2  и x =5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#120358

Решить неравенство: 5√2x−-7> −1

Источники: Фоксфорд (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область Допустимых Значений):

Корень пятой степени определен для всех действительных чисел. Значит, ограничений на ОДЗ нет.

2. Решение неравенства:

Возведем обе части неравенства в пятую степень. Так как степень нечетная, знак неравенства не меняется:

 5√----- 5     5
( 2x − 7) > (−1)

2x− 7> −1

3. Решение полученного линейного неравенства:

2x> −1+ 7

2x> 6

x > 6
    2

x> 3

4. Проверка (не обязательно, но желательно выполнить):

Проверим, что решение выглядит правдоподобно. Возьмем число, большее 3, например, x =4.  Подставим в исходное неравенство:

5√2-⋅4−-7> −1

√----
58 − 7> −1

√5-
  1> −1

1> −1

Неравенство выполняется.

Ответ:

 x >3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#120359

Решить неравенство: 8√5x+-8≥ −2

Источники: Фоксфорд (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Так как корень восьмой степени (чётной степени) определён только для неотрицательных выражений под корнем:

5x+8 ≥0

5x ≥− 8

x≥ − 8
    5

2. Решение неравенства:

Заметим, что корень чётной степени всегда больше либо равен нулю. Поскольку − 2< 0,  то любое неотрицательное число больше   − 2.  Значит, если корень существует (то есть выполняется ОДЗ), то неравенство выполнено.

3. Учитываем ОДЗ: Поскольку корень существует только при     8
x≥ −5,  то решением неравенства будет:

    8
x≥ −5

4. Проверка (опционально):

Возьмём x = 0  (удовлетворяет ОДЗ):

8√5-⋅0+-8≥ −2

√ -
 88≥ −2

Неравенство выполняется.

Возьмём      8
x = −5

∘--(---)---
85 ⋅ − 8 +8 ≥− 2
      5

√8-----
  −8+ 8≥ −2

0≥ −2

Неравенство выполняется. Заключение: Решение неравенства: x≥ − 8.
     5

Ответ:

 x ≥− 8
     5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#120361

Решить неравенство: 4√15− 2x-<2

Источники: Фоксфорд (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Корень четвёртой степени (чётной степени) определён только для неотрицательных выражений под корнем:

15− 2x≥ 0

− 2x≥ −15

x≤ 15
    2

x≤ 7.5

2. Решение неравенства:

Возведём обе части неравенства в четвёртую степень. Так как степень чётная, нужно учитывать, что обе части должны быть неотрицательными (но это уже учтено в ОДЗ, так как корень четвёртой степени всегда неотрицателен):

(4√15−-2x)4 <24

15− 2x <16

3. Решение полученного линейного неравенства:

−2x< 1

    1
x> −2

4. Учет ОДЗ: Объединим полученное решение с ОДЗ (то есть найдём пересечение множеств):

     1     15
x> − 2 и x≤ 2

Таким образом, решением будет:

 1      15
−2 <x ≤ 2-

151
x−22

Ответ:

− 1 < x≤ 15
 2      2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#120362

Решить неравенство: √x-+-3> x+1

Источники: ЗФТШ, Иррациональные неравенства (см. zftsh.online)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

* Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

x+ 3≥ 0

x≥ −3

2. Преобразование неравенства:

Если неравенство имеет вид

∘f-(x)> g(x),

то оно равносильно совокупности ⌊(
 { f(x)> g(x)2
|||( g(x)≥ 0
||
|||({ f(x)≥ 0
⌈(
   g(x)< 0

3. Решение неравенства:

В нашем случае f(x) =x +3  и g(x)= x+ 1.  Применим эту равносильность:

Случай 1:

(
{x +3> (x+ 1)2
(x +1≥ 0

Решаем систему:

(
{x+ 3> x2+ 2x +1
(x≥ −1

(
{ x2+ x− 2 <0
( x≥ −1

Решим квадратное неравенство x2 +x− 2< 0.

Корни: x =1,x= −2.

Решение: − 2< x< 1.

С учетом условия x ≥− 1,  получаем − 1≤ x< 1.

Случай 2: ({x+ 3≥ 0
(
 x+ 1< 0

Решаем систему:

(
{ x≥ −3
( x< −1

Решение: − 3≤ x< −1.

4. Объединение решений:

Объединим решения обоих случаев:

[− 3,−1)∪ [−1,1)=[−3,1)

или, что то же самое:

− 3≤ x< 1

x−13

5. Проверка (не обязательно, но желательно выполнить): Проверим, что решение выглядит правдоподобно.

* Возьмём x= −2  ( из промежутка [−3,1)  ): √ -----
  −2+ 3> −2+ 1  1> −1.  Неравенство выполняется.

* Возьмём x= 0  ( из промежутка [−3,1)  ): √----
 0 +3> 0+ 1  √ -
  3> 1.  Неравенство выполняется.

* Возьмём x= 1:  √ ----
  1+3 >1+ 1  2>2.  Неверно.

* Возьмём x= −3:  √ -----
  −3+ 3> −3+ 1  0 >− 2.  Верно.

Заключение:

Решение неравенства: − 3 ≤x <1

Ответ:

− 3≤ x <1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#120404

Решите неравенство: √x2-− 6x< 8+ 2x.

Источники: mathematics.ru Иррациональные неравенства (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

x2− 6x≥ 0

x(x− 6)≥ 0

Решаем методом интервалов: x∈ (− ∞;0]∪[6;+∞ ).

2. Преобразование неравенства:

Неравенство ∘ ----
  f(x) <g(x)  равносильно системе:

(
|{ f(x)≥ 0
|( g(x)> 0  2
  f(x)< g(x)

3. Решение неравенства:

Применяем к нашему случаю (f(x)= x2− 6x  , g(x)= 8+2x  ):

( 2
|{x − 6x≥ 0
|(8+2 2x> 0      2
 x − 6x< (8 +2x)

Решаем квадратное неравенство 3x2+ 38x +64> 0  :

D = 382− 4⋅3⋅64= 676 =262

x1 = − 32, x2 = −2
     3

x−+−−2323-

4. Итоговое решение системы:

                       x3−−0612342... x x x∈>< (−−−41∞0;20]и∪ли[6;x+>∞−)2
                               3

Пересечение всех условий дает решение:

x∈ (−2;0]∪[6;+ ∞)

Ответ: |---------------|
x-∈(−2;0]∪-[6;+∞)--

Ответ:

 x ∈(−2;0]∪ [6;+∞)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#120408

Решите неравенство √24−-10x-<3 − 4x.

Источники: mathematics.ru Иррациональные неравенства (см. surli.cc)

Показать ответ и решение

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

24− 10x ≥0

10x≤ 24

x≤ 2.4

2. Преобразование неравенства:

Неравенство вида ∘f-(x)< g(x)  равносильно системе:

(
|{ f(x)≥ 0
| g(x)> 0
( f(x)< g(x)2

3. Решение неравенства:

Применяем к нашему случаю (f(x)= 24− 10x  , g(x)=3 − 4x  ):

(
|{ 24− 10x≥ 0
|( 3− 4x > 0      2
  24− 10x< (3− 4x)

Решаем систему:

(
|{ x≤ 2.4
| 4x< 3
( 24− 10x< 9− 24x+16x2

(|{x≤ 2.4
 x< 0.75
|(16x2− 14x− 15> 0

Решаем квадратное неравенство    2
16x − 14x− 15> 0  :

D = (− 14)2− 4⋅16⋅(−15)= 196 +960= 1156 =342

    14− 34    5
x1 =--32--= −8 = −0.625

x2 = 14+-34-= 3= 1.5
      32    2

Метод интервалов:

x−1−++0.5.625

Решение неравенства: x <− 0.625  или x >1.5

4. Итоговое решение системы:

x−0120.7.5.4.6525

Пересечение всех условий дает решение:

x < −0.625
Ответ:

 x <− 0.625

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!