18 Уравнения и неравенства → 18.02 Иррациональные уравнения и неравенства
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем все члены в правую часть:
Домножим на
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
Корни:
Проверим полученные корни.
Подходит.
Подходит.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
По определению квадратного корня, значение должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Однако, в данном
уравнении
равно
что противоречит определению. Поэтому, данное уравнение не имеет решений.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Неизвестный х оставляем слева, числа переносим вправо:
Проверим полученный корень:
Корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
Проверим полученные корни:
Подходит.
Подходит.
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем все члены в одну часть:
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
Корни:
Проверим полученные корни:
Оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Перенесем все члены с в одну часть, а константы - в другую:
Проверим полученный корень:
Корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
Источники:
Пусть где
Тогда
Подставим в уравнение:
Решим квадратное уравнение. Дискриминант:
Корни:
Так как то
не может быть отрицательным. Следовательно,
Тогда
Проверим полученный корень:
Корень удовлетворяет исходному уравнению.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение:
1. Преобразование исходного уравнения:
Сначала перенесем -1 в левую часть уравнения, чтобы получить ноль в правой части:
2. Замена переменной:
Введем новую переменную чтобы упростить уравнение. Положим:
3. Выражение x через y:
Выразим через
Для этого возведем обе части уравнения
в квадрат:
4. Подстановка в исходное уравнение:
Теперь подставим выражения для и
в преобразованное исходное уравнение:
Заменяем на
и
на
5. Упрощение:
Упростим полученное уравнение:
6. Решение квадратного уравнения относительно y:
Теперь решаем квадратное уравнение Дискриминант:
Корни:
7. Нахождение значений x:
Так как оба корня и
неотрицательны, они оба подходят. Найдем соответствующие значения
Если
то
Если
то
8. Проверка полученных корней:
Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение: Если
Корень удовлетворяет исходному уравнению.
Если
Корень удовлетворяет исходному уравнению.
Заключение:
Решения уравнения: и
и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство:
Источники:
1. ОДЗ (Область Допустимых Значений):
Корень пятой степени определен для всех действительных чисел. Значит, ограничений на ОДЗ нет.
2. Решение неравенства:
Возведем обе части неравенства в пятую степень. Так как степень нечетная, знак неравенства не меняется:
3. Решение полученного линейного неравенства:
4. Проверка (не обязательно, но желательно выполнить):
Проверим, что решение выглядит правдоподобно. Возьмем число, большее 3, например, Подставим в исходное
неравенство:
Неравенство выполняется.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство:
Источники:
1. ОДЗ (Область допустимых значений):
Так как корень восьмой степени (чётной степени) определён только для неотрицательных выражений под корнем:
2. Решение неравенства:
Заметим, что корень чётной степени всегда больше либо равен нулю. Поскольку то любое неотрицательное число больше
Значит, если корень существует (то есть выполняется ОДЗ), то неравенство выполнено.
3. Учитываем ОДЗ: Поскольку корень существует только при то решением неравенства будет:
4. Проверка (опционально):
Возьмём (удовлетворяет ОДЗ):
Неравенство выполняется.
Возьмём
Неравенство выполняется. Заключение: Решение неравенства:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство:
Источники:
1. ОДЗ (Область допустимых значений):
Корень четвёртой степени (чётной степени) определён только для неотрицательных выражений под корнем:
2. Решение неравенства:
Возведём обе части неравенства в четвёртую степень. Так как степень чётная, нужно учитывать, что обе части должны быть неотрицательными (но это уже учтено в ОДЗ, так как корень четвёртой степени всегда неотрицателен):
3. Решение полученного линейного неравенства:
4. Учет ОДЗ: Объединим полученное решение с ОДЗ (то есть найдём пересечение множеств):
Таким образом, решением будет:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить неравенство:
Источники:
1. ОДЗ (Область допустимых значений):
* Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
2. Преобразование неравенства:
Если неравенство имеет вид
то оно равносильно совокупности
3. Решение неравенства:
В нашем случае и
Применим эту равносильность:
Случай 1:
Решаем систему:
Решим квадратное неравенство
Корни:
Решение:
С учетом условия получаем
Случай 2:
Решаем систему:
Решение:
4. Объединение решений:
Объединим решения обоих случаев:
или, что то же самое:
5. Проверка (не обязательно, но желательно выполнить): Проверим, что решение выглядит правдоподобно.
* Возьмём ( из промежутка
):
Неравенство выполняется.
* Возьмём ( из промежутка
):
Неравенство выполняется.
* Возьмём
Неверно.
* Возьмём
Верно.
Заключение:
Решение неравенства:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство:
Источники:
1. ОДЗ (Область допустимых значений):
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
Решаем методом интервалов:
2. Преобразование неравенства:
Неравенство равносильно системе:
3. Решение неравенства:
Применяем к нашему случаю (,
):
Решаем квадратное неравенство :
4. Итоговое решение системы:
Пересечение всех условий дает решение:
Ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
1. ОДЗ (Область допустимых значений):
Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
2. Преобразование неравенства:
Неравенство вида равносильно системе:
3. Решение неравенства:
Применяем к нашему случаю (,
):
Решаем систему:
Решаем квадратное неравенство :
Метод интервалов:
Решение неравенства: или
4. Итоговое решение системы:
Пересечение всех условий дает решение: