Тема Алгебра

18 Уравнения и неравенства → 18.03 Квадратные уравнения и неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения и неравенства

Дробно-рациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Теорема Виета

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#116287

Составьте и решите уравнение к задаче: Одно число на $3$ меньше другого. Найдите большее число, если известно, что их произведение равно $108.$ В задаче два ответа.

Источники: Задачи с использованием квадратных уравнений (см. 7gy.ru)

Показать ответ и решение

Пусть меньшее число равно $x.$ Тогда большее число равно $x +3.$ Их произведение можно записать в виде $x(x +3)= 108.$ Решим данное уравнение:

$2 x +3x= 108;$

$2 x +3x− 108= 0;$

$D= 9− 4⋅1⋅(− 108)= 441;$

$−3±√441- x= 2 ;$

$−3+21- x1 = 2 =9$

$−3− 21 x2 = -2---=− 12$

Если меньшее число равно $9,$ то большее число равно $9+ 3= 12.$ Если меньшее число равно $− 12,$ то большее число равно $− 9$

Ответ:

$12$ и $9$ или $− 12$ и $− 9$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116288

Какое уравнение соответствует задаче: найди длину прямоугольника, если известно, что она на $4$ см больше ширины, а площадь прямоугольника равна $2 60см .$ Выбери верный вариант ответа.

$1$ ) $x(x− 4)= 60$

$2$ ) $60 − x(x+ 4) =0$

$3$ ) $x+ 4 -x--= 60$

Источники: Авторская, Гильманов И. А.

Показать ответ и решение

Пусть длина равна $x.$ Тогда ширина равна $x− 4.$ Площадь находится умножением длины на высоту, получается уравнение $x(x− 4) =60$

Ответ:

$1)x(x − 4)= 60$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116289

Аквариум с прямоугольным дном занимает на столе площадь, равную $465см2.$ Ширина дна аквариума на $16$ см меньше длины. Найдите ширину и длину дна аквариума.

Источники: Решение задач с помощью квадратных уравнений (см.урок.рф)

Показать ответ и решение

Пусть ширина равна $x,$ тогда длина равна $x+16.$ Составим и решим уравнение:

$x(x+ 16)=465;$

$2 x +16x− 465 =0;$

$D= 256− 4 ⋅1 ⋅(−465)= 2116;$

$−16±√2116 x= 2 ;$

$−16+46 x1 = 2 = 15;$

$−16−46 x2 = 2 = −31$ (ширина отрицательной быть не может, поэтому этот вариант не рассматриваем)

Если ширина равна $15,$ то длина равна $15+ 16= 31.$

Ответ:

Длина - $31$ см; ширина - $15$ см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116290

Решите квадратное неравенство: $x2+ 5x− 6≤0$

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдём корни уравнения $x2+ 5x− 6 =0 :$

$D= 25− 4⋅1⋅(− 6)= 49;$

$−5±7 x= 2 ;$

$−5+7- x1 = 2 = 1$

$−5−-7 x2 = 2 = −6$

На числовой прямой отметим корни $x= −6$ и $x =1.$ Определим знаки выражения $2 x +5x − 6$ на интервалах: При $x< −6$ выражение положительно. При $− 6 <x <1$ выражение отрицательно. При $x >1$ выражение положительно. Поскольку неравенство нестрогое, включаем корни $x= −6$ и $x= 1$ в решение. Получается $− 6 ≤x ≤1.$ Можно записать вот так: $x ∈[−6;1]$

Ответ:

$x ∈[−6;1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#116291

Решите квадратное неравенство: $3x2− 5x +2 >0$

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Сначала найдём корни уравнения $3x2− 5x +2 =0;$

$D= 25− 4⋅3⋅2= 1;$

$5±√1 x= 6 ;$

$5+1- x1 = 6 =1;$

$5−1- 2 x2 = 6 = 3$

На числовой прямой отметим корни $x= 1$ и $2 x= 3.$ Определим знаки выражения $3x2 − 5x+ 2$ на интервалах: При $2 x < 3$ выражение положительно. При $2< x< 1 3$ выражение отрицательно. При $x> 1$ выражение положительно. Поскольку у нашего неравенства в условии стоит знак $>$ , то нас интересуют только те интервалы, на которых выражение $3x2− 5x+ 2$ положительно. При этом неравенство ещё и строгое, поэтому корни мы в ответ не включаем. Получается $2 x∈ (− ∞;3)∪(1;+∞).$

Ответ:

$x ∈(−∞; 2)∪(1;+∞ ) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#116293

Решите уравнение: $(− 5x+3)(− x+ 6) =0.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Источники: Решу ВПР. (см. oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Произведение равно нулю, если какой-то из множителей равен нулю. Поэтому:

$− 5x +3= 0$ или $− x+ 6= 0$

Решим первое уравнение: $− 5x+ 3= 0;$ $− 5x =− 3;$ $−3 3 x= −5 = 5 =0,6$

Решим второе уравнение: $− x+ 6= 0;$ $− x= −6;$ $x= 6$

Следовательно меньший из корней - $0,6$

Ответ: 0,6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#116294

Периметр прямоугольника равен $46$ см, а его диагональ - $17$ см. Найдите стороны прямоугольника.

Источники: Лицей Ростелеком, Квадратные уравнения. Профильный уровень. (см. lc.rt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ см – одна сторона прямоугольника. Тогда другая - $(26− x)$ см, так как удвоенная сумма сторон (периметр) равна $46$ см. Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, который образован смежными сторонами прямоугольника и его диагональю, и составим уравнение:

$2 2 2 x +(23− x) = 17$

$2 2x − 46x+ 529= 289$

$2 2x − 46x+ 240= 0|:2$

$2 x − 23x+ 120 =0$

По теореме Виета: $x1+x2 =23;$ $x1x2 = 120.$ Тогда $x1 = 15;$ $x2 =8$

Ответ: 15 см и 8 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#116311

Одиннадцатиклассники подготовили к выпускному огромный плакат с фотографиями учителей. Каковы его размеры, если известно, что одна из сторон на $1,8$ м больше другой, а площадь плаката равна $2 8,8м$ ?

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть меньшая сторона равна $x,$ тогда большая сторона равна $x+ 1,8$ Составим и решим уравнение:

$x(x+ 1,8)= 8,8;$

$2 x +1,8x= 8,8;$

$2 x +1,8x− 8,8= 0;$

$D= 3,24 − 4⋅1⋅(−8,8)= 38,44$

$−1,8±√38,44 x= 2$

$−1,8+6,2 x1 = 2 = 2,2$

$−1,8−6,2 x2 = --2---= −4$

Мы получили два корня, но длина отрицательной быть не может, поэтому $x= −4$ отбрасываем и остается только $2,2$ . Если меньшая сторона равна $2,2,$ то большая сторона равна $2,2+ 1,8= 4$

Ответ: 4 м и 2,2 м

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116314

Решите неравенство: $100x2− 20x+ 1> 0$

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Найдём корни уравнения $100x2− 20x +1= 0$

$2 D= 20 − 4 ⋅100⋅1= 0;$

$20±0- x= 200 =0,1$

На числовой прямой отметим корень уравнения и определим знаки выражения $2 100x − 20x+ 1$ на интервалах: При $x >0,1$ выражение положительно. При $x <0,1$ выражение тоже положительно. Поскольку неравенство имеет знак $>,$ то мы рассматриваем только те интервалы, на которых выражение $2 100x − 20x+ 1$ положительно, но не включаем в ответ корень, так как неравенство строгое. У нас всего получилось два интервала и на обоих выражение принимает положительное значение. Поэтому ответ будет: $x ∈(−∞;0,1)∪(0,1;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈(−∞;0,1)∪(0,1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#116316

Найди два последовательных натуральных числа, если известно, что сумма их квадратов на $57$ больше произведения этих чисел.

Источники: Задачи с использованием квадратных уравнений (см. 7gy.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ - меньшее число, тогда большее число равно $x+1.$ Составим и решим уравнение на основе условия:

$2 2 x +(x+ 1)= x(x+ 1)+ 57;$

$2 2 2 x +x + 2x+ 1= x +x +57;$

$2 x +x− 56= 0;$

$D= 1− 4⋅1⋅(− 56)= 225;$

$−1±√225- x= 2 ;$

$−1+15- x1 = 2 =7;$

$−1− 15 x2 = -2---=− 8.$

$x= −8$ мы не рассматриваем, так как в условии требуются натуральные числа. Значит меньшее число равно $7,$ тогда большее число равно $7+ 1= 8.$

Ответ:

$7;8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#116317

Решите уравнение: $(x +10)2 = (5− x)2$

Источники: Решу ОГЭ. (см. math-oge.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

Квадраты чисел равны, если числа равны или противоположны. Получаются две ситуации: $x+10 =5− x$ и $x+ 10= −(5− x).$

Решим оба случая:

1) $x+ 10 =5 − x;$

$2x =− 5;$

$x= −2,5$

2) $x+ 10 =− (5− x);$

$10 =− 5$ (неверно)

Ответ: -2,5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#116318

В зрительном зале клуба было $320$ мест. После того как число мест в каждом ряду увеличили на $4$ и добавили ещё один ряд, в зрительном зале стало $420$ мест. Сколько стало рядов в зрительном зале?

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $n$ - количество рядов до изменений, а $k$ - количество мест в одном ряду до изменений. Изначальное количество мест равно $n ⋅k =320.$ После изменений стало: $(n+ 1)(k+ 4)=420.$ Выразим $k$ через $n :$ $320- k= n .$ Подставим $k$ в новое уравнение: $320 (n+ 1)( n +4 =420.$ Решим данное уравнение:

$(n+1)(320+4n) n = 420|⋅n$

$(n +1)(320+ 4n)= 420n;$

$2 4n + 324n+320= 420n;$

$2 4n − 96n+ 320 =0|:4$

$2 n − 24n+ 80= 0;$

$D= 576− 4 ⋅1 ⋅80 =256;$

$24±√256- n= --2---;$

$n1 = 24+216= 20;$

$n2 = 24−216= 4;$

Проверим оба варианта:

1) Если $n= 20,$ то $k= 32200-=16.$ После изменений: $(20+ 1)(16+ 4) =420.$ Верно.

2) Если $n= 4,$ то $k= 3204-= 80.$ После изменений: $(4 +1)(80+ 4)=420.$ Тоже верно. Однако, логически, в зрительном зале обычно больше рядов с меньшим количеством мест. Поэтому более реалистичным является первый вариант. Итак, количество рядов после изменений: $21.$

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#116319

Решите неравенство: $x2 < 361.$ Выберите правильный вариант ответа.

1) $x∈(−∞; −19)∪ (19;+∞ )$

2) $x∈(−∞; −19]∪ [19;+∞)$

3) $x∈(−19;19)$

4) $x∈[−19;19]$

Источники: Квадратные неравенства. (см. vekgivi.ru)

Показать ответ и решение

Решим неравенство: $x2 < 361 ⇒ x2− 192 < 0⇒ (x+ 19)(x− 19)< 0⇒ −19 <x <19$

Ответ:

$3)$ $x ∈(−19;19)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#116320

Решите неравенство: $x2+ 23x≤ 0.$ Выберите правильный вариант ответа.

1) $x∈(−∞; −23)∪ (0;+∞ )$

2) $x∈(−∞; −19]∪ [19;+∞)$

3) $x∈(−23;0)$

4) $x∈[−23;0]$

Источники: Квадратные неравенства. (см. vekgivi.ru)

Показать ответ и решение

Решим неравенство: $x2+23x≤ 0⇒ x(x+ 23) ≤0⇒ −23≤x ≤0$

Ответ:

$4)$ $x ∈[−23;0]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#117056

От листа жести, имеющего форму квадрата отрезали полосу шириной 3 см, после чего площадь оставшейся части листа стала равна $10см2.$ Определите первоначальные размеры листа жести.

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ см - длина листа, $y$ см - ширина листа. Отрезали 3 см, значит ширина уменьшилась на 3 см. Новая ширина: $y− 3$ см. Площадь после отрезания: $2 x ⋅(y− 3)=10см .$ Выразим $x:$ $10- x= y−3.$ Предположим, что лист был квадратным. Если $x= y,$ то $10- x = x−3;$

$x(x− 3)= 10;$

$2 x − 3x− 10= 0;$

$D= 9− 4⋅1⋅(− 10)= 49;$

$3±√49- x= 2 ;$

$3+7 x1 = -2-=5;$

$3−7 x2 = -2-= −2$

Отрицательное значение не имеет смысла, поэтому $x =5$ см. А если $y = x,$ то $y$ тоже равен $5$ см.

Ответ:

$5$ x $5$ см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#117058

Решите неравенство: $x2− 7x+ 21 >0$

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Найдём корни уравнения $x2− 7x+ 21= 0:$

$D= 49− 4⋅1⋅21 =− 35$

Так как дискриминант меньше нуля, квадратное уравнение не имеет решений. Коэффициент при $2 x$ положительный $(a =1 >0),$ значит парабола направлена вверх. Вывод: поскольку парабола не пересекает ось $x$ и направлена вверх, выражение $2 x − 7x+ 21$ всегда положительно для всех действительных значений $x.$

Ответ:

$x ∈(−∞;+ ∞)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#117059

Решите неравенство: $16x2+ 8x +1< 0.$

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Найдём корни уравнения $16x2+ 8x+ 1= 0:$

$D= 64− 4⋅16 ⋅1 =0$

$−8±0 1 x= 32 = −4$

Коэффициент при $2 x$ положительный $(a= 16> 0),$ значит, парабола направлена вверх. Поскольку парабола касается оси $x$ в точке $1 x =− 4$ и направлена вверх, выражение $2 16x + 8x+ 1$ не может быть отрицательным ни при каких действительных значениях $x.$ Оно равно нулю в точке $1 x = −4,$ а в остальных случаях положительно.

Ответ:

Нет решений.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#117060

С аэродрома одновременно вылетают в пункт, отстоящий от него на $1600$ км, два самолёта. Скорость первого из них на $80$ км/ч больше скорости второго, а потому он прилетает к месту назначения на час раньше второго. Найдите скорость каждого самолёта.

Источники: Инфоурок. Квадратные неравенства. (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ - скорость второго самолёта, тогда скорость первого равна $x+ 80.$ Время полёта второго самолёта равно: $1600, x$ а первого - $-1600 x+80.$ Составим и решим уравнение:

$1600 1600- x − 1= x+80;$

$1600 1600- x − x+80 − 1 =0|⋅x(x +80);$

$1600(x+80)−1600x−x(x+80) ------x(x+80)-------=0;$

$2 1600x+12800x0(x−+168000)x−x-−80x-= 0;$

$1280x00(−x+x820−)80x-=0;$

$− x2 − 80x+ 128000= 0;$

$x2 +80x− 128000= 0;$

$D= 802− 4 ⋅1 ⋅(−128000)= 6400 +512000= 518400;$

$x= −80±√518400= −80±720; 2 2$

$x1 = −800-=−400; 2$

$x2 = 640= 320. 2$

Отрицательный корень отбрасываем, так как скорость отрицательной быть не может. Получается, скорость второго самолёта равна $320$ км/ч. Значит скорость первого равна $320 +80= 400$ км/ч.

Ответ:

$320$ км/ч и $400$ км/ч

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#117063

Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл его размеры. Какой длины изгородь надо купить Ивану Ивановичу, если единственное, что он помнит, это площадь участка – $2 750м$ , и то, что длина участка на $5$ метров больше ширины?

Источники: РЭШ, Решение задач с помощью квадратных уравнений. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть ширина участка равна $x,$ тогда длина участка равна $x+ 5$ м. Составим и решим уравнение:

$x(x+ 5)= 750;$

$2 x +5x− 750= 0;$

$D= 25− 4⋅1⋅(− 750)= 3025;$

$−5±√3025 x= 2 ;$

$−5+55- x1 = 2 =25;$

$−5−-55- x2 = 2 =− 30;$

Отрицательный корень мы отбрасываем, так как ширина отрицательной быть не может. Получается, ширина равна $25м,$ а длина равна $25+ 5= 30м.$ Теперь мы можем найти периметр: $2 ⋅(25+ 30)= 110м.$

Ответ: 110 м.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#117064

Известно, что в прямоугольном треугольнике один из катетов на $4$ сантиметра меньше гипотенузы, а другой - на $2$ сантиметра меньше гипотенузы. Найдите длину катетов и гипотенузы.

Источники: РЭШ, Решение задач с помощью квадратных уравнений. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть гипотенуза равна $x.$ Тогда больший катет равен $x− 2см,$ а меньший равен $x− 4см.$ По теореме Пифагора: $x2 = (x − 2)2+ (x− 4)2.$ Решим уравнение:

$2 2 2 x =x − 4x+ 4+ x − 8x+ 16;$

$2 2 x =2x − 12x+20;$

$2 − x +12x− 20=0;$

$2 x − 12x+ 20= 0;$

$D= 144− 4 ⋅1 ⋅20 =64;$

$12±√64 x= --2--;$

$12+8 x1 = -2-= 10;$

$12−8 x2 = -2--=2;$

$2$ является посторонним корнем, так как тогда один из катетов будет равен $0,$ а второй вообще отрицательным. Значит гипотенуза равна $10см.$ А катеты равны $8$ см и $6$ см.

Ответ:

Гипотенуза равна $10см;$ катеты равны $8см$ и $4см.$

Предыдущая подтема

Следующая подтема