Тема Алгебра

18 Уравнения и неравенства → 18.03 Квадратные уравнения и неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения и неравенства

Дробно-рациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Теорема Виета

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#117065

Решите неравенство: $x2− 17x+72< 0.$

Источники: РЭШ, Решение задач с помощью квадратных уравнений. (см. resh.edu.ru)

Показать ответ и решение

Найдём корни уравнения $x2− 17x+ 72= 0;$

$D= 289− 4 ⋅1 ⋅72 =1;$

$17±√1- x= 2 ;$

$17+1- x1 = 2 = 9;$

$17−1- x2 = 2 =8;$

На числовой прямой отметим корни и определим знаки выражения $2 x − 17x+ 72$ на интервалах:при $x< 8$ выражение положительно; при $8 <x < 9$ выражение отрицательно; при $x> 9$ выражение положительно. Так как неравенство имеет знак $<,$ мы рассматриваем только интервалы, где выражение принимает отрицательное значение. При этом корни в ответ не включаем, так как неравенство строгое. Получается $8 <x <9.$

Ответ:

$x ∈(8;9)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#117066

Руслан и Вера всё лето читали книги. Оказалось, что Руслан прочитал на $3$ книги больше, чем Вера. При этом произведение прочитанных детьми книг равно $208.$ Сколько книг прочитал каждый из ребят?

Источники: Учи.ру (см. uchi.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $x$ - количество книг, прочитанных Верой, тогда Руслан прочитал $x+ 3$ книги. Составим и решим уравнение:

$x(x+ 3)= 208;$

$2 x +3x− 208= 0;$

$D= 9− 4⋅1⋅(− 208)= 841;$

$−3±√841- x= 2 ;$

$−3+29- x= 2 =13;$

$−3−-29- x2 = 2 =− 16;$

Отрицательный корень не рассматриваем. Получается Вера прочитала $13$ книг. Тогда Руслан прочитал $13+ 3= 16$ книг.

Ответ:

Вера прочитала $13$ книг, а Руслан $16$ книг.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#117067

Решите уравнение: $4x2+7 =7+ 24x.$ Если корней несколько - запишите их в порядке возрастания.

Источники: Решу ВПР (см. math9-gve.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

$4x2+ 7= 7+ 24x;$

$2 4x − 24= 0;$

$4x(x− 6)=0;$

$x1 =0;$

$x2 =6.$

Ответ: 0;6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#117068

Решите уравнение: $x2+ 7x − 18= 0.$ Если корней несколько - запишите их в порядке возрастания.

Источники: Решу ВПР (см. math9-gve.sdamgia.ru)

Показать ответ и решение

По теореме теореме Виета - сумма корней равна $− 7,$ а их произведение равно $− 18.$ Тем самым это числа $− 9$ и $2.$

Ответ: -9; 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#117069

Решением неравенства $2x − 3x2− 7≤ 0$ является:

$1$ ) $x∈∅$

$2$ ) $x∈(−∞; 0)$

$3$ ) $x∈(0;+∞ )$

$4$ ) $x∈ℝ$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Умножим обе части неравенства на $− 1 :$ $3x2 − 2x+ 7≥ 0$

Решим уравнение $2 3x − 2x+7 =0 :$

$D= 4− 4⋅3⋅7= −80$

Корней нет, так как дискриминант меньше нуля, а значит при любых значениях $x$ парабола принимает либо только отрицательное, либо только положительное значение. Коэффициент при $2 x$ - положительный, значит ветви направлены вверх. Значит функция принимает положительное значение при любых $x.$ Нам как раз и нужно было узнать, при каких $x$ неравенство больше нуля.

Ответ:

$4$ ) $x ∈ℝ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#117070

Решением неравенства $x2− 5x <−4$ является:

$1$ ) $x∈[1;4]$

$2$ ) $x∈(−∞; 1]∪ [4;+∞ )$

$3$ ) $x∈(1;4)$

$4$ ) $x∈(−∞; 1)∪(4;+∞ )$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Перенесём все части неравенства в одну сторону: $x2 − 5x+ 4< 0.$ Теперь найдём корни уравнения $x2 − 5x+ 4= 0:$

По теореме Виета: $x1 = 4,x2 = 1.$

Определим знаки выражения $2 x − 5x+ 4$ на интервалах: при $x< 1$ выражение положительно; при $1< x< 4$ выражение отрицательно; при $x > 4$ выражение положительно. Неравенство имеет знак $<,$ значит берем интервал, где выражение отрицательно и не включаем корни в ответ, так как неравенство строгое. Из всех вариантов ответа подходит: $x∈ (1;4).$

Ответ:

$3$ ) $x ∈(1;4)$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#117071

Решите неравенство $x2− 5x >0.$ Выберите правильный вариант ответа:

$1$ ) $x< 0,x >5$

$2$ ) $0≤x ≤5$

$3$ ) $x≤ 0,x≥ 5$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Найдём корни уравнения $x2− 5x= 0:$

$x(x− 5)= 0;$

$x1 =0;x2 = 5$

Определим знаки выражения $2 x − 5x$ на интервалах: при $x< 0$ выражение положительно; при $0< x< 5$ выражение отрицательно; при $x > 5$ выражение положительно. Неравенство имеет знак $>,$ поэтому в ответ берём те интервалы, где выражение принимает положительное значение и не включаем корни в ответ, так как неравенство строгое. Подходит только ответ под номером $1.$

Ответ:

$1$ ) $x <0,x> 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#117072

Решите уравнение: $12,2(x− 9)(x+33)= 0.$ Если корней несколько - запишите их в порядке возрастания.

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

$12,2(x− 9)(x+ 33) =0|:12,2$ (множитель $12,2$ никак не влияет)

$(x− 9)(x+ 33)=0;$

$x1 =9;x2 = −33$

Ответ: -33; 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#126042

Укажите корень уравнения

2 3x + 2x− 1= 0

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Подставим в формулу корней квадратного уравнения:

−2± ∘22-− 4⋅3⋅(−1) −2± 4 1 x= -------2⋅3-------= --6-- = 3;− 1

Только $1 x = 3$ представлен в вариантах ответа.

Ответ: 1/3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#126043

Чему равен дискриминант квадратного уравнения

2 3x− 1+ 6x =0?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

D =9− 4⋅6⋅(−1)= 33

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#126044

Решите уравнение

2 3x − x +2 =0

$1)1;− 2 3$

$2 2)− 1;3$

$3)2;− 4 3$

$4)$ нет корней

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Подставим в формулу корней квадратного уравнения:

1±∘ (−1)2−-4⋅3⋅2 1 ±√ −23 x = ------2⋅3-------=----6---

Корень из отрицательного числа мы извлечь не можем, значит решений у данного уравнения нет.

Ответ: 4)

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#126045

Пусть $x 1$ и $x 2$ - корни уравнения

2 2 (x+ 3) − 16= (1− 2x)

Тогда $(x1+ x2)⋅3$ равно:

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

$1)$ Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

2 2 (x+ 3) =x + 6x+ 9

2 2 (1− 2x) =1 − 4x+ 4x

Подставим раскрытые выражения обратно в уравнение:

x2+ 6x +9 − 16= 1− 4x+4x2

$2)$ Упростим и умножим обе части на $− 1$ для удобства:

3x2− 10x+ 8= 0

Найдём корни с помощью формулы корней:

∘ ------------ x = 10-±--(−-10)2−-4⋅3⋅8= 10±-2= 2;8 2⋅3 6 6

$3)$ Тогда $(x1+ x2)⋅3 =(2+ 4)⋅3= 10 3$

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#126047

При каком значении $m$ один из корней уравнения

2 3x − mx− 6= 0

равен $− 2?$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Подставим $x= −2$ в уравнение, чтобы найти значение $m :$

2 3(−2) − m(−2)− 6 =0

3⋅4+ 2m− 6= 0

6 +2m = 0

2m = −6

m =−3

Ответ: m = -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#126048

Сколько корней имеет уравнение

2 3y − ky − 2 =0?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

По формуле корней:

k± ∘k2-− 4-⋅3-⋅(−2) k ±√k2-+24 x= -------2⋅3------= -----6----

Поскольку $k2 ≥ 0$ для любого действительного $k,$ то:

k2 +24≥ 24> 0

Раз выражение под корнем положительное, то уравнение имеет два корня.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#126049

Решите уравнение

2 x2 3x + |x| − 4= 0

A) $x= ±1$

B) $x= 1$

C) $x= −1$

D) $x= 4 3$

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Разделим уравнение на два возможных случая:

$3x2+ x2− 4= 0,x ≥0 x$
$3x2+ x2-− 4 =0,x< 0 −x$

$2)$ Решим оба случая:

Случай $1 :$ $x≥ 0$

$2 x2 2 3x + x − 4 =0= 3x + x− 4= 0$
Решив его, получаем два корня:

$− 1+ 7 x1 =---6- = 1$

$x = −-1− 7 = − 4(не подходит, так как − 4 <0) 2 6 3 3$
Случай $2 :$ $x< 0$

$2 x2 2 3x + −x-− 4 =0 =3x − x− 4= 0$
Решив его, получаем два корня:

$x3 = 1+-7= 4(не подходит, так как 4 >0) 6 3 3$

$1 − 7 x4 =--6- =− 1$

$3)$ Остаются корни $x =±1$

Ответ: A)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#126050

Какое из следующих утверждений верно характеризует дискриминант квадратного уравнения?

$1)$ Если $D >0$ , уравнение имеет один корень

$2)$ Если $D =0$ , уравнение не имеет действительных корней

$3)$ Если $D <0$ , уравнение имеет два различных корня

$4)$ Если $D ≥0$ , уравнение имеет хотя бы один действительный корень

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Дискриминант $D =b2− 4ac$ определяет количество корней: при $D> 0$ - два корня, $D =0$ - один корень, $D < 0$ - нет действительных корней.

Ответ: 4)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#126051

Какое из следующих утверждений о квадратных неравенствах неверно?

$1)$ Если $a> 0$ и $D< 0$ , неравенство $2 ax + bx+ c>0$ верно для всех $x$

$2)$ Решение неравенства $2 ax +bx+ c≥ 0$ при $a> 0$ и $D > 0$ - объединение двух промежутков

$3)$ Если $a< 0$ и $D= 0$ , неравенство $2 ax + bx+ c≤0$ имеет единственное решение

$4)$ При $a> 0$ и $D = 0$ неравенство $2 ax + bx+ c<0$ выполняется для всех $x$ , кроме $-b x= −2a$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

При $a< 0$ и $D =0$ неравенство $ax2+ bx+c ≤0$ выполняется для всех действительных $x$ , а не имеет единственное решение.

Ответ: 3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#126052

Чему равен дискриминант квадратного уравнения

2 7x+ 3+ 2x =0?

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

2 D =7 − 4⋅2⋅3= 49− 24 =25

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#129470

Выберите уравнение, которое не имеет корней:

$2 A)x =25$

$2 B)x =39$

$2 C)x =0$

$2 D)x =− 16$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Уравнение $x2 = −16$ не имеет действительных корней, поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен ( $x2 ≥ 0$ ), а правая часть уравнения отрицательна.