Тема Алгебра

18 Уравнения и неравенства → 18.05 Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Уравнения и неравенства

Дробно-рациональные уравнения и неравенства

Иррациональные уравнения и неравенства

Квадратные уравнения и неравенства

Линейные уравнения и неравенства

Теорема Виета

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#120908

Решите уравнение: $x2− 16x+ 63= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 16;x ⋅x = 63. 1 2 1 2$ Тогда: $x = 7;x =9 1 2$

Ответ:

$x = 7;x = 9 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#120909

Решите уравнение: $x2− 24x+ 143= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 24;x ⋅x = 143. 1 2 1 2$ Тогда: $x = 11;x = 13 1 2$

Ответ:

$x = 11;x =13 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#120910

Решите уравнение: $2x2− 5x+ 3= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем из этого уравнения приведенное: $x2− 5x+ 3= 0. 2 2$

По теореме Виета: $5 3 x1+x2 = 2;x1⋅x2 = 2.$ Тогда: $3 x1 =1;x2 = 2$

Ответ:

$x = 1;x = 3 1 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#120911

Решите уравнение: $x2+ 21x+ 108= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = −21;x ⋅x =108. 1 2 1 2$ Тогда: $x = −9;x = −12 1 2$

Ответ:

$x = −9;x = −12 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#120912

Решите уравнение: $x2+ 8x − 20= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = −8;x ⋅x = −20. 1 2 1 2$ Тогда: $x = −10;x =2 1 2$

Ответ:

$x = −10;x = 2 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#120913

Решите уравнение: $x2− 14x+ 48= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 14;x ⋅x = 48. 1 2 1 2$ Тогда: $x = 6;x =8 1 2$

Ответ:

$x = 6;x = 8 1 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#120914

Решите уравнение: $x2− 3x − 10= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 3;x ⋅x =(−10). 1 2 1 2$ Тогда: $x = 5;x = (−2) 1 2$

Ответ:

$x = 5;x = (−2) 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#120915

Решите уравнение: $x2+ 2x − 48= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = −2;x ⋅x = (−48). 1 2 1 2$ Тогда: $x = 6;x =(−8) 1 2$

Ответ:

$x = 6;x = (−8) 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#120916

Решите уравнение: $x2− 5x − 14= 0$

Источники: Инфоурок, Подготовка к экзамену по математике. Теорема Виета (см. infourok.ru)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 5;x ⋅x =(−14). 1 2 1 2$ Тогда: $x = 7;x = (−2) 1 2$

Ответ:

$x = 7;x = (−2) 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#120917

Найдите значение выражения при $x =2375:$ $(-3-+ ---4-- +-2x): 2x+1− x−12+ x. x−3 x2−5x+6 x−2 3 9−3x$ Ответ запишите в виде десятичной дроби (при необходимости примените запись для периодической дроби).

Источники: Якласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

$1)$ $(-3-+ ----4---+ -2x-)⋅-3--− -x−-12--+x x−3 (x−2)(x−3) x−2 2x+1 −3(x−3)$

$2)$ $3(x−-2)+4+2x⋅(x−3) -3-- -x−12- ( (x−2)⋅(x− 3) )⋅2x+1 + 3(x−3) + x$

$3)$ $2 3x−(6x+−42+)⋅2(xx−−36)x⋅2x3+1 + 3x−(x−123) + x$

$4)$ $2(xx−2−2)3x(x−−23) ⋅23x+1-+ x3(−x1−23)-+x$

$5)$ $2x2+x−4x−2⋅-3--+ x−12-+x (x−2)(x− 3) 2x+1 3(x−3)$

$6)$ $x⋅(2x+1)−-2(2x+1) -3-- x−12- (x−2)(x−3) ⋅2x+1 + 3(x−3) + x$

$7)$ $(2x+1)⋅(x−2) 3 x−12 (x−2)(x−-3)-⋅2x+1-+ 3(x−3)-+x$

$8)$ $2x+1 3 x−12 x−3-⋅2x+1-+3(x−-3) + x$

$9)$ $x3−3 + x3−(x1−23) +x$

$10)$ $9+x−132(+x−3x3⋅)(x−3)$

$11)$ $9+x−132(x+−3x32)−9x$

$12)$ $3x2−8x−-3 3(x−3)$

$13)$ $3x2+x−9x−3- 3(x−3)$

$14)$ $x⋅(3x+31()−x−33()3x+1)$

$15)$ $(3x3+(1)x(−x−3)3)-$

$16)$ $3x+31-$

$17)$ $3⋅23735+1= 71236= 2375(3)$

Ответ:

$2375(3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#124156

Что утверждает теорема Виета для квадратного уравнения $x2+ px+ q = 0?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Теорема Виета устанавливает связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, сумма корней равна $− p,$ произведение равно $q.$

Ответ: Сумма корней равна -p, произведение равно q

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#124157

Для какого типа уравнений применима теорема Виета?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Теорема Виета применима ко всем квадратным уравнениям. Для общего случая $ax2+bx+ c= 0$ (где $a⁄= 0$ ) теорема формулируется следующим образом:

Сумма корней: $b x1+ x2 =− a$
Произведение корней: $x ⋅x = c 1 2 a$

Пример применения: Для уравнения $2x2− 8x+ 6= 0:$

$-− 8 x1+ x2 = − 2 =4$
$6 x1⋅x2 = 2 =3$

Фактически корни этого уравнения: $x = 1 1$ , $x = 3, 2$ что соответствует теореме: $1+ 3= 4$ и $1⋅3= 3.$

Для приведённого уравнения (когда $a= 1$ ) теорема упрощается: $2 x + px+ q = 0$ имеет:

$x + x = −p 1 2$
$x1⋅x2 = q$

Ответ: Для квадратных уравнений

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#124158

Если $x 1$ и $x 2$ - корни уравнения $x2− 5x+ 6= 0,$ то:

A) $x1+ x2 =5$ , $x1x2 = 6$

B) $x1+ x2 =− 5$ , $x1x2 = 6$

C) $x1+ x2 =5$ , $x1x2 = −6$

D) $x1+ x2 =− 5$ , $x1x2 = −6$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Для уравнения вида $x2+ bx +c= 0$ сумма корней равна $− b,$ произведение равно $c.$

Ответ: A)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#124160

Найдите подбором корни уравнения $z2+5z− 6= 0$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $z+ z = −5;z⋅z = −6⇒ z =− 6;z = 1 1 2 1 2 1 2$

Ответ: -6; 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#124169

Найдите среднее арифметическое корней уравнения $y2− 10y− 39= 0$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $y+ y = 10. 1 2$ Если сумма двух чисел равна $10,$ то их среднее арифметическое равно: $10:2 =5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#124173

Один из корней уравнения $x2+kx − 16= 0$ равен $− 2.$ Найдите $k$ и второй корень.

A) $k= −6;x2 = −8$

B) $k= −6;x2 = 8$

C) $k= 6;x2 =− 8$

D) $k= 6;x2 =8$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x ⋅x =− 16. 1 2$ Если $x =−2, 1$ то $x =− 16 :(− 2)= 8. 2$ Тогда $k= −2+ 8= 6$ (по теореме Виета).

Ответ: B)

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#124176

Пусть $x 1$ и $x 2$ - корни уравнения

2 x − 9x− 17= 0

Не решая уравнения, найдите значение выражения $1-+ 1-. x1 x2$

A) $9 17$

B) $− 17$

C) $9$

D) $− -9 17$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$1)$ Приведем к общему знаменателю:

1 1 x2+ x1 x1-+ x2 = x1⋅x2

$2)$ Подставим известные значения из теоремы Виета:

x2+-x1= -9- = − 9 x1⋅x2 − 17 17

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#124178

Пусть $x 1$ и $x 2$ - корни уравнения

2 x − 4x − 7 =0

Не решая уравнения, найдите значение выражения $x2+ x2 1 2$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $x +x = 4;x ⋅x =− 7. 1 2 1 2$

Воспользуемся тождеством: $2 2 2 x1+ x2 =(x1+ x2)− 2x1x2.$ Подставим известные значения из теоремы Виета:

2 4 − 2⋅(− 7) =16+ 14= 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#124183

Пусть $x 1$ и $x 2$ - корни уравнения

2 x +2x− 11= 0

Выберите квадратное уравнение, корнями которого были бы числа $-1 x1$ и $1-. x2$

A) $2 11x +2x− 1= 0$

B) $2 x − 2x − 11= 0$

C) $2 11x − 2x− 1= 0$

D) $2 − 11x +2x+ 1= 0$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Вычислим сумму и произведение корней нового уравнения:

1 1 x1+ x2 −2 2 x1 + x2 =-x1x2-= −11 = 11

x1 ⋅ 1x-= x1x-= −111 =− 111 1 2 1 2

Составим новое квадратное уравнение:

x2− -2x− -1 =0. 11 11

Умножим обе части на $11,$ чтобы избавиться от знаменателей:

2 11x − 2x− 1= 0

Ответ: C)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#124185

Найдите корни уравнения $y2+ 8y+ 15 =0$

Источники: Алгебра. 8 класс. КИМы к учебнику - Черноруцкий В.В. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

По теореме Виета: $y+ y = −8;y ⋅y = 15⇒ y = −3;y = −5 1 2 1 2 1 2$

Ответ: -3; -5

Предыдущая подтема