Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.02 Модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#119415

Постройте график функции $y =-2x--⋅(3− 6x-− 6). |x − 2| x$

Источники: "Использование преобразований графиков функций при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль (часть II)", Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. (см. genius.pstu.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

({ ({ ({ |x− 2|⁄= 0 ⇐⇒ x− 2⁄= 0 ⇐⇒ x⁄= 2 (x⁄= 0 ( x⁄= 0 ( x⁄= 0

Немного преобразуем исходную функцию:

∖⋅x y =-2x--⋅(3 − 6x−-6)= -2x--⋅ 3x−-6x-+6-=-2x--⋅ 6−-3x= − 6x(x−-2) |x − 2| x |x− 2| x |x − 2| x x|x − 2|

На ОДЗ:

6x1(x − 2) 6(x− 2) y = −-/x|x−-2| = −-|x-− 2| /1

Нули модуля:

x− 2= 0| + 2

x= 2

При $x< 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

6(x/−/2)1 y =-//x/−/2--= 6 1

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;6).$

При $x> 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

1 y =− -6/(x/−/2)-= −6 /x/−/21

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;−6).$

Итак, изобразим графики функций $y = 6$ при $x <2$ и $y = −6$ при $x> 2.$ Точки $(0;6),$ $(2;6)$ и $(2;−6)$ выколем, т. к. они не удовлетворяют ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#119416

Постройте график функции $y = |x2+-4x|⋅(1− x-+1). x x +4$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

({ ({ x⁄= 0 ⇐⇒ x⁄= 0 ( x+ 4⁄= 0 ( x⁄= −4

Немного преобразуем исходную функцию:

2 ∖⋅(x+4) y = |x-+4x|⋅(1 − x+-1)= |x(x+-4)|⋅ /x+-4/−/x−-1= 3|x(x+-4)| x x+ 4 x x+ 4 x(x+ 4)

Нули модуля:

[ x= 0 [ x =0 x(x+ 4) =0⇐ ⇒ x+ 4= 0 ⇐⇒ x =− 4

При $x< −4$ и $x >0$ исходная функция эквивалентна следующей:

3x(x+-4) y = x(x+4)

На ОДЗ:

1 -3/x(/x+//4)- y = /x/(x+//4) = 3 1

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;3).$

При $− 4< x< 0$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = − 3x(x+-4) x(x+ 4)

На ОДЗ:

1 y = −-3/x(/x+//4)-= −3 /x/(x+//4) 1

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;−3).$

Итак, изобразим графики функций $y = 3$ при $x <−4$ и $x >0$ и $y =− 3$ при $− 4< x< 0.$ Точки $(−4;3),$ $(−4;−3),$ $(0;− 3)$ и $(0;3)$ выколем, т. к. они не удовлетворяют ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#119418

Постройте график функции $|y|= --3--+ 2. |x|− 3$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

|x|− 3 ⁄=0 | + 3

|x|⁄= 3

x⁄= ±3

Первое решение.

Нули модуля:

[ x= 0 y = 0

При $x≥ 0$ и $y ≥ 0$ (т. е. в $I$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях) исходная функция эквивалентная следующей:

3 y = x−-3 + 2

Это гипербола с асимптотами $x =3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y =2$ (т. к. дробь $3 x−-3$ принимает любые ненулевые значения).

При $x≤ 0$ и $y ≥ 0$ (т. е. во $II$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях) исходная функция эквивалентная следующей:

y = --3--+ 2= 2− -3-- −x− 3 x+ 3

Это гипербола с асимптотами $x =− 3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 2$ (т. к. дробь $--3- x+ 3$ принимает любые ненулевые значения).

При $x≤ 0$ и $y ≤ 0$ (т. е. в $III$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях) исходная функция эквивалентная следующей:

3 3 −y = −x-− 3 +2 =2− x-+3

-3-- y = x+ 3 − 2

Это гипербола с асимптотами $x =− 3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = −2$ (т. к. дробь $--3- x +3$ принимает любые ненулевые значения).

При $x≥ 0$ и $y ≤ 0$ (т. е. в $IV$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях) исходная функция эквивалентная следующей:

−y =--3- +2 x − 3

y = -3--− 2 3− x

Это гипербола с асимптотами $x =3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y =− 2$ (т. к. дробь $--3- 3− x$ принимает любые ненулевые значения).

Итак, изобразим графики функций $3 y = x−-3 + 2$ в $I$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях, $y =2− --3- x +3$ во $II$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях, $y = -3--− 2 x+ 3$ в $III$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях и $3 y = 3-− x − 2$ в $IV$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях. Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Вспомним основные преобразования графиков функций с модулем:

$1)$ $y = f(|x|)$ — часть графика, расположенная правее оси ординат (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная левее оси ординат, заменяется на симметричную правой части;

$2)$ $|y|= f(x)$ — часть графика, расположенная выше оси абсцисс (включая точки на оси), сохраняется, а часть графика, расположенная ниже оси абсцисс, заменяется на симметричную верхней части;

$3)$ $|y|= f(|x|)$ — композиция преобразований для $y = f(|x|)$ и $|y|= f(x).$

Изобразим график функции $y = x-3− 3 +2.$ Это гипербола с асимптотами $x= 3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 2$ (т. к. дробь $--3- x− 3$ принимает любые ненулевые значения):

$PIC$

Заменим часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Заменим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, на симметричную верхней части:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#119419

Постройте график функции $|y|= --6--− 1. |x|+ 2$

Показать ответ и решение

Заметим, что ОДЗ функции — множество всех вещественных чисел, т. к. $|x|+ 2≥ 2.$

Первое решение.

Нули модуля:

[ x= 0 y = 0

6 y = x+-2 − 1

Это гипербола с асимптотами $x =− 2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = −1$ (т. к. дробь $6 x-+2$ принимает любые ненулевые значения).

y = -6--− 1 2− x

Это гипербола с асимптотами $x =2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y =− 1$ (т. к. дробь $--6- 2− x$ принимает любые ненулевые значения).

−y =--6- − 1 x +2

y = 1− -6-- x+2

Это гипербола с асимптотами $x =− 2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 1$ (т. к. дробь $--6- x+ 2$ принимает любые ненулевые значения).

6 −y = 2-− x − 1

y = -6--+ 1 x− 2

Это гипербола с асимптотами $x =− 2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 1$ (т. к. дробь $--6- x− 2$ принимает любые ненулевые значения).

Итак, изобразим графики функций $y = x6+-2 − 1$ в $I$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях, $y =--6- − 1 2 − x$ во $II$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях, $y =1 −--6- x +2$ в $III$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях и $6 y = x-− 2 +1$ в $IV$ координатной четверти и на прилежащих к ней координатных осях. Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Вспомним основные преобразования графиков функций с модулем:

$3)$ $|y|= f(|x|)$ — композиция преобразований для $y = f(|x|)$ и $|y|= f(x).$

Изобразим график функции $--6- y = x +2 − 1.$ Это гипербола с асимптотами $x= −2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = −1$ (т. к. дробь $--6- x +2$ принимает любые ненулевые значения):

$PIC$

Заменим часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Заменим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, на симметричную верхней части:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#123643

Как называется функция вида $y = |x|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Функция с модулем $|x|$ называется модульной или абсолютной.

Ответ: Модульная

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#123644

Как выглядит график функции $y = |x|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

График состоит из двух лучей: $y = x$ (при $x≥ 0$ ) и $y = −x$ (при $x <0$ ).

$PIC$

Ответ: Ломаная с вершиной в (0,0)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#123645

Как изменится график $y = |x|,$ если функция будет задана следующим образом: $y =|x+ a|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Добавление числа внутри модуля сдвигает график горизонтально.

Ответ: Сдвиг влево на a

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#123806

Что произойдет с графиком $y = |x|+ b?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Число вне модуля влияет на вертикальное смещение.

Ответ: Сдвиг вверх на b

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#123807

Как выглядит график $y =− |x|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Минус перед модулем отражает график относительно оси $x.$

$PIC$

Ответ: Перевернутая "галочка"

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#123808

Какая точка является вершиной графика $y = |x − 2|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

График сдвинут вправо на 2 единицы.

$PIC$

Ответ: (2, 0)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#123809

Найдите минимум функции $y = |x+ 1|− 2.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вершина в точке $(−1,−2),$ ветви направлены вверх, то есть минимум – $y = −2.$

$PIC$

Ответ: y = -2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#123810

Как изменится угол наклона графика $y = 2|x|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Коэффициент $2$ растягивает график вертикально.

$PIC$

Ответ: Увеличится в 2 раза

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#123811

Сколько изломов у графика $y = |x − 1|+|x+ 1|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Изломы в точках $x= −1$ и $x =1.$

$PIC$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#123812

В какой точке достигается минимум функции $y =|x− 2|+ |x +1|?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$1)$ Критические точки в $x= −1$ и $x =2$ . $2)$ На отрезке $[−1,2]$ функция принимает вид $y = 3$ . $3)$ Вне отрезка: - При $x< −1$ : $y =− 2x +1$ (возрастает), - При $x> 2$ : $y = 2x − 1$ (возрастает).

$PIC$

Ответ: На отрезке [-1, 2] минимум постоянен

Предыдущая подтема

Следующая подтема