Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.05 Смешанные графики

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Гипербола

Модуль

Парабола

Прямая

Смешанные графики

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125625

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и графиками этих функций.

Графики:

$1)$

$PIC$

$2)$

$PIC$

$3)$

$PIC$

Формулы:

(a) $y =− 3x2+ 9x− 4;$

(b) $y =− 6; x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

График функции $(a)$ — парабола. Среди графиков только одна парабола, под номером $3).$ Значит, функции $(a)$ соответствует график $3).$

График функции $(b)$ — гипербола. Среди графиков только одна гипербола, под номером $2).$ Значит, функции $(b)$ соответствует график $2).$

Тогда функции $(c)$ соответствует график $1).$

Ответ:

$a3,$ $b2$ и $c1.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125628

Установите соответствие между формулами, которыми заданы функции, и их графиками.

Графики:

$1)$

$PIC$

$2)$

$PIC$

$3)$

$PIC$

Формулы:

(a) $y =− x2 − 5x− 2;$

(b) $y =− 1-; 3x$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

График функции $(b)$ — гипербола. Среди графиков только одна прямая, под номером $1).$ Значит, функции $(b)$ соответствует график $1).$

Тогда функции $(c)$ соответствует график $2).$

Ответ:

$a3,$ $b1$ и $c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125630

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

Графики:

$1)$

$PIC$

$2)$

$PIC$

$3)$

$PIC$

Формулы:

(a) $y =− x2;$

(b) $y =− x;$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

График функции $(a)$ — парабола. Среди графиков только одна парабола, под номером $2).$ Значит, функции $(a)$ соответствует график $2).$

График функции $(b)$ — прямая. Среди графиков только одна прямая, под номером $1).$ Значит, функции $(b)$ соответствует график $1).$

Тогда функции $(c)$ соответствует график $3).$

Ответ:

$a2,$ $b1$ и $c3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125631

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Графики:

$1)$

$PIC$

$2)$

$PIC$

$3)$

$PIC$

$4)$

$PIC$

(a) $y =− 1x− 5; 5$

(b) $y =− x2− 7x− 7;$

Источники: "Смешанные задачи и графики других функций", Школково (см. 3.shkolkovo.online)

Показать ответ и решение

График функции $(a)$ — прямая. Среди графиков только одна прямая, под номером $4).$ Значит, функции $(a)$ соответствует график $4).$

График функции $(b)$ — парабола. Среди графиков только одна парабола, под номером $1).$ Значит, функции $(b)$ соответствует график $1).$

График функции $(c)$ — гипербола. Среди графиков только одна гипербола, под номером $2).$ Значит, функции $(c)$ соответствует график $2).$

Ответ:

$a4,$ $b1$ и $c2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125632

На рисунке изображены графики функций видов $f(x)= k x$ и $g(x)=ax+ b,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите координату точки $B.$

$PIC$

Источники: "Графики функций: Комбинированные задачи", Образавр (см. obrazavr.ru)

Показать ответ и решение

Найдём значения $k,$ $a$ и $b,$ подставив в функцию координаты точек, принадлежащих графикам $f(x)= k x$ и $g(x)=ax+ b$ соответственно, и решив получившиеся уравнения/системы:

Для $k f(x)= x$ и $(4;1):$

k 4 = 1| ⋅4

k= 4

Для $g(x) =ax+ b,$ $(2;−3)$ и $(4;1):$

( ( ( ( {a ⋅2 +b= −3 ⇐⇒ {2a+ b= −3 ⇐ ⇒ {2a= 4 ⇐ ⇒ {a= 2 (a ⋅4 +b= 1 (4a+ b= 1 (b= −7 (b= −7

Получается, на рисунке были изображены графики функций $4 f(x)= x$ и $g(x)=2x − 7.$ Узнаем абсциссы точек их пересечения, решив уравнение:

-4 x = 2x− 7 | ⋅x⁄= 0

2 2x − 7x− 4= 0

2 2 D= (−7) − 4⋅2⋅(−4)= 49 +32= 81= 9

x1,2 = −(−7)±-9= 7±-9 2 ⋅2 4

⌊ 1 || x1 = 7− 9-= −-/2-= − 1 || 4 /42 2 ||⌈ 7+9- //164- x2 = 4 = /4 =4 1

$x= 4$ — абсцисса точки $A.$ Тогда $1 x = −2$ — абсцисса точки $B,$ а её ордината — $y =− 8.$

Ответ:

$B (− 1;− 8). 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125634

$PIC$

Источники: "Графики функций: Комбинированные задачи", Образавр (см. obrazavr.ru)

Показать ответ и решение

Для $k f(x)= x$ и $(3;−1):$

k 3 = −1| ⋅3

k= −3

Для $g(x) =ax+ b,$ $(2;3)$ и $(3;−1):$

( ( ( {a ⋅2 +b= 3 ⇐ ⇒ {2a+ b= 3 ⇐ ⇒ {a= −4 (a ⋅3 +b= −1 (3a+ b= −1 (b= 11

Получается, на рисунке были изображены графики функций $f(x)= −x3$ и $g(x)= −4x+ 11.$ Узнаем абсциссы точек их пересечения, решив уравнение:

3 −x =− 4x +11| ⋅x ⁄= 0

2 4x − 11x− 3= 0

2 2 D =(−11) − 4 ⋅4 ⋅(−3)= 121 +48= 169= 13

x1,2 = −(−-11)±-13= 11±-13 2⋅4 8

⌊ 1 || x1 = 11− 13-=−-/2-= − 1 || 8 /84 4 ||⌈ 11+13- //243- x2 = 8 = /8 = 3 1

$x= 3$ — абсцисса точки $A.$ Тогда $1 x = −4$ — абсцисса точки $B,$ а её ордината — $y =12.$

Ответ:

$B (− 1;12). 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125635

$PIC$

Источники: "Графики функций: Комбинированные задачи", Образавр (см. obrazavr.ru)

Показать ответ и решение

Для $k f(x)= x$ и $(− 3;−1):$

k −-3 = −1| ⋅(−3)

k= 3

Для $g(x) =ax+ b,$ $(− 3;−1)$ и $(−2;3):$

( ( ( { a⋅(− 3)+b= −1 ⇐ ⇒ {− 3a +b= −1 ⇐ ⇒ {a =4 ( a⋅(− 2)+b= 3 (− 2a +b= 3 (b= 11

Получается, на рисунке были изображены графики функций $f(x)= 3x$ и $g(x)=4x +11.$ Узнаем абсциссы точек их пересечения, решив уравнение:

3 x =4x+ 11| ⋅x ⁄=0

2 4x + 11x− 3= 0

2 2 D = 11 − 4⋅4⋅(−3)= 121+ 48= 169 =13

x1,2 = −11±-13= −-11-±13 2⋅4 8

⌊ 3 || x1 = −11−-13= −-//24-= −3 || 8 /81 ||⌈ −11+-13 -/21 1 x2 = 8 = /8 = 4 4

$x= −3$ — абсцисса точки $A.$ Тогда $1 x= 4$ — абсцисса точки $B,$ а её ордината — $y =12.$

Ответ:

$B (1;12). 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125636

На рисунке изображены графики функций $f(x)= 3x+ 4$ и $g(x)= ax2+bx+ c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите координату точки $B.$

$PIC$

Источники: "Графики функций: Комбинированные задачи", Образавр (см. obrazavr.ru)

Показать ответ и решение

Найдём значения $a,$ $b$ и $c,$ подставив в функцию $g(x)= ax2+bx+ c,$ координаты точек $(− 5;− 3),$ $(−3;3)$ и $(− 1;1),$ принадлежащих её графику, и решив получившуюся систему:

(| 2 (| (| ||{a⋅(−5) +b⋅(−5)+c= −3 ||{25a− 5b+c= −3 ||{a =− 1 ||a⋅(−3)2 +b⋅(−3)+c= 3 ⇐⇒ ||9a− 3b+ c=3 ⇐⇒ ||b =− 5 |(a⋅(−1)2 +b⋅(−1)+c= 1 |(a − b+ c= 1 |(c =− 3

Получается, на рисунке был изображён график функции $g(x)= −x2− 5x− 3.$

Узнаем абсциссы точек их пересечения $f(x)= 3x +4$ и $g(x) =− x2 − 5x− 3,$ решив уравнение:

3x+ 4= −x2− 5x− 3

x2+ 8x +7 =0

D = 82 − 4⋅1⋅7= 64− 28=36 =62

x1,2 = −8±-6 =− 4±3 2

[ x1 =−4 − 3 =−7 x2 =−4 +3 =−1

$x= −1$ — абсцисса точки $A.$ Тогда $x= −7$ — абсцисса точки $B,$ а её ордината — $y = −17.$

Ответ:

$B (−7;−17).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#125637

На рисунке изображены графики функций $f(x)= −8x+ 13$ и $g(x)= ax2+bx+ c,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B.$ Найдите координату точки $B.$

$PIC$

Источники: "Графики функций: Комбинированные задачи", Образавр (см. obrazavr.ru)

Показать ответ и решение

Найдём значения $a,$ $b$ и $c,$ подставив в функцию $g(x)= ax2+bx+ c,$ координаты точек $(− 2;1),$ $(1;−5)$ и $(2;−3),$ принадлежащих её графику, и решив получившуюся систему:

(| 2 (| (| ||{a⋅(−2) +b⋅(−2)+c =1 ||{4a− 2b+c =1 ||{a =1 ||a⋅12+ b⋅1+c =− 5 ⇐ ⇒ ||a+ b+ c= −5 ⇐⇒ ||b =− 1 |(a⋅22+ b⋅2+c =− 3 |(4a+ 2b+c =− 3 |(c =− 5

Получается, на рисунке был изображён график функции $g(x)= x2− x− 5.$

Узнаем абсциссы точек их пересечения $f(x)= −8x+ 13$ и $g(x)=x2− x− 5,$ решив уравнение:

− 8x +13= x2− x− 5

x2 +7x− 18= 0

D= 72− 4⋅1⋅(− 18)= 49+ 72 =121= 112

−7±-11 −-7±11 x1,2 = 2 ⋅1 = 2

⌊ 9 | x1 = −-7− 11 =− //18-=− 9 ||| 2 /21 || − 7+11 42 ⌈ x2 =---2-- = /2--=2 /1

$x= 2$ — абсцисса точки $A.$ Тогда $x = −9$ — абсцисса точки $B,$ а её ордината — $y = 85.$

Ответ:

$B (−9;85).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#125638

Решите уравнение графически:

3 x − x+ 2= 0

Источники: "Решение уравнений и неравенств (с помощью графиков)", YouClever (см. youclever.org)

Показать ответ и решение

Немного преобразуем уравнение:

3 x =x − 2

Левая часть уравнения — гипербола, правая — прямая. Изобразим их в одной координатной плоскости.

Начнём с графика функции $3 y = x.$ Чтобы построить его, найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|--|--|---|-----|---|----|-|------|----|----|----| |x-|1-|1,2-|-1,6--|2--|2,4-|3|--3,2--|-4--|-4,8-|-5--| -y--3--2,5--1,875--1,5--1,25--1-0,9375--0,75--0,625-0,6-|

|--|-|-----|------|----|-----|---|-------|-----|------|----| |x-|1|-1,2--|-1,6---|-2--|-2,4--|-3-|--3,2---|--4--|-4,8--|-5--| -y--3-−-2,5--−1,875--−1,5--−1,25--−1--−0,9375--−0,75--−0,625--−0,6--

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции $y = 3: x$

$PIC$

Теперь построим график функции $y = x− 2.$ Это прямая, пересекающая ось абсцисс в $(2;0),$ ось ординат — в $(0;−2):$

$PIC$

Видно, что гипербола и прямая пересекаются в точках $(−1;−3)$ и $(3;1).$ Значит, корни уравнения — $x= −1$ и $x= 3.$

Ответ:

$x =− 1$ и $x = 3.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#125639

Решите уравнение графически:

3 2x − x − 1 =0

Источники: "Решение уравнений и неравенств (с помощью графиков)", YouClever (см. youclever.org)

Показать ответ и решение

Немного преобразуем уравнение:

3 2x = x+ 1

Левая часть уравнения — кубическая парабола, правая — прямая. Изобразим их в одной координатной плоскости.

Начнём с графика функции $y = 2x3.$ Составим таблицу значений этой функции:

|x-|−1-|-−0,8--|-−0,6--|-−0,4--|-−0,2--|0|-0,2-|-0,4--|-0,6-|-0,8-|1-| |y-|−2-|−1,024-|−0,432-|−0,128-|−0,016-|0|0,016-|0,128-|0,432|1,024-|2-| ---------------------------------------------------------------|

Построим точки, координаты которых указаны в таблице. Соединив их линией, получим график функции $y = 2x3:$

$PIC$

Теперь построим график функции $y = x+ 1.$ Это прямая, пересекающая ось абсцисс в $(−1;0),$ ось ординат — в $(0;1):$

$PIC$

Видно, что кубическая парабола и прямая пересекаются в точке $(1;2).$ Значит, корень уравнения — $x = 1.$

Ответ:

$x =1.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#125640

Решите неравенство графически:

3 4x < x

Источники: "Решение уравнений и неравенств (с помощью графиков)", YouClever (см. youclever.org)

Показать ответ и решение

Левая часть уравнения — прямая, правая — кубическая парабола. Изобразим их в одной координатной плоскости.

Начнём с графика функции $3 y = x .$ Составим таблицу значений этой функции:

|--|-------|---|------|---|------|-|-----|--|-----|-|------| |x-|-−2,5--|−2-|-−1,5--|−1-|-−0,5--|0|-0,5-|1-|-1,5--|2|--2,5--| -y--−15,625--−8--−3,375--−1--−0,125--0-0,125--1--3,375--8-15,625-|

Построим точки, координаты которых указаны в таблице. Соединив их линией, получим график функции $y = x3:$

$PIC$

Теперь построим график функции $y = 4x.$ Это прямая, пересекающая начало координат:

$PIC$

Видно, что кубическая парабола и прямая пересекаются в точках $(−2;8),$ $(0;0)$ и $(2;8).$

Нас устраивают все $x,$ при которых прямая $y = 4x$ лежит “ниже” кубической параболы. Это $x∈(−2;0)∪(2;+∞ ):$

$PIC$

Ответ:

$x ∈(−2;0)∪ (2;+∞ ).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#125642

Постройте графики следующих функций:

(a) $y =|x2− 3|x|+ 2|;$

(b) $y =|||x− 2|+ 3|− 5|.$

Источники: "Преобразование графиков", Фоксфорд Учебник (см. foxford.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решим эту задачу, используя определение модуля.

(a) При $x≤ 0$ функция $y =|x2− 3|x|+2|$ эквивалентна функции $y = |x2+ 3x+ 2|,$ при $x≥ 0$ — функции $y = |x2− 3x+ 2|.$ Преобразуем каждую из этих функций, найдя корни квадратного уравнения под знаком модуля и разложив многочлен на скобки:

y = |x2+ 3x+ 2|= |(x +2)(x +1)|

y = |x2− 3x+ 2|= |(x − 1)(x − 2)|

При $x≤ −2$ и $x ≥− 1$ первая функция ( $2 y =|x +3x +2|)$ эквивалентна функции $2 y =x + 3x+ 2,$ при $x∈ [−2;−1]$ — функции $2 y =− x − 3x− 2.$

При $x≤ 1$ и $x≥ 2$ вторая функция функция ( $2 y = |x − 3x+ 2|)$ эквивалентна функции $2 y = x − 3x +2,$ при $x ∈[1;2]$ — функции $2 y =− x +3x− 2.$

Подытожим, что у нас есть: при $x ∈(−∞;− 2]∪ [−1;0]$ график исходной функции совпадает с графиком функции $y = x2+ 3x+ 2,$ при $x ∈[−2;− 1]$ — с графиком $y = −x2− 3x− 2,$ при $x∈ [0;1]∪ [2;+∞ )$ — с графиком $y =x2 − 3x+ 2,$ а при $x ∈[1;2]$ — с графиком $y =− x2 +3x− 2.$

Изобразим графики функций $y =x2+ 3x+ 2,$ $y = −x2− 3x − 2,$ $y = x2− 3x+2$ и $y =− x2+3x− 2,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

(b) При $x≤ 2$ можно преобразовать функцию $y = |||x− 2|+ 3|− 5|$ следующим образом:

/ / y =|||x− 2|+ 3|− 5|=||− x +2+ 3|− 5|= ||− x+5|− 5|= |− x /+ 5/− 5|= |− x|= |x|

Аналогично, при $x≥ 2$ можно преобразовать функцию $y =|||x− 2|+ 3|− 5|$ следующим образом:

y = |||x − 2|+3|− 5|= ||x− 2+ 3|− 5|=||x +1|− 5|= |x +1− 5|=|x− 4|

При $x≤ 0$ функция $y = |x|$ эквивалентна функции $y = −x,$ а при $x≥ 0$ — функции $y = x.$

При $x≤ 4$ функция $y = |x− 4|$ эквивалентна функции $y = 4− x.$ а при $x≥ 4$ — функции $y = x− 4.$

Подытожим, что у нас есть: при $x ≤0$ график исходной функции совпадает с графиком функции $y = −x,$ при $x∈[0;2]$ — с графиком $y =x,$ при $x ∈[2;4]$ — с графиком $y = 4− x,$ а при $x ≥4$ — с графиком $y =x − 4.$

Изобразим графики функций $y = −x,$ $y =x,$ $y =4 − x$ и $y = x− 4,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Второе решение.

Решим эту задачу, используя основные преобразования графиков функций.

(a) Заметим, что функция $y = |x2− 3|x|+ 2|$ эквивалентна функции $y = ||x|2 − 3|x|+ 2|,$ т. к. $x2 = |x|2.$

Обозначим $f(x)= x2 − 3x+ 2.$ Тогда $y = |x2− 3|x|+2|= ||x|2− 3|x|+ 2|= |f(|x|)|.$ Значит, чтобы изобразить график функции $y =|x2− 3|x|+ 2|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = x2− 3x +2:$

$PIC$

$2)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

$3)$ Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Это и будет искомый график.

(b) $y =|||x− 2|+ 3|− 5|$ — это график функции $y =||x − 2|+3|− 5,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. $y =||x− 2|+3|− 5$ — это график функции $y =||x − 2|+3|$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $5$ единиц. $y = ||x− 2|+ 3|$ — это график функции $y =|x− 2|+ 3,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. $y = |x− 2|+3$ — это график функции $y =|x− 2|$ со сдвигом вдоль оси ординат вверх на $3$ единицы. $y = |x − 2|$ — это график функции $y =x − 2,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс. $y = x− 2$ — это график функции $y = x$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы.

Таким образом, чтобы построить график функции $y = |||x − 2|+ 3|− 5|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = x:$

$PIC$

$2)$ Сдвинуть график вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы:

$PIC$

$3)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

$4)$ Сдвинуть график вдоль оси ординат вверх на $3$ единицы:

$PIC$

$5)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё (на самом деле ничего не произойдёт, т. к. график и так лежит целиком выше оси абсцисс):

$PIC$

$6)$ Сдвинуть график вдоль оси ординат вниз на $5$ единиц:

$PIC$

$7)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Это и будет искомый график.

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#125643

Постройте графики функций на одной координатной плоскости:

(a) $− x2+ 4|x|;$

(b) $− x2− 4|x|.$

Источники: "Графики функций, представляющих сочетание квадратичной функции и модуля", фестиваль педагогических идей "Открытый урок", ИД "Первое сентября" (см. urok.1sept.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решим эту задачу, используя определение модуля.

(a) При $x≤ 0$ функция $y = −x2+4|x|$ эквивалентна функции $y =− x2− 4x,$ при $x ≥0$ — функции $y =− x2+4x.$

(b) При $x≤ 0$ функция $y = −x2− 4|x|$ эквивалентна функции $y = −x2+4x,$ при $x ≥ 0$ — функции $y = −x2− 4x.$

Таким образом, если мы построим графики функций $− x2+4|x|$ и $y = −x2− 4|x|$ на одной координатной плоскости, это будет то же самое, что построить графики функций $y =− x2− 4x$ и $y = −x2+ 4x$ на одной координатной плоскости. То есть графики будут выглядеть так:

$PIC$

Второе решение.

Решим эту задачу, используя основные преобразования графиков функций.

(a) Заметим, что функция $y = −x2+ 4|x|$ эквивалентна функции $y = −|x|2+ 4|x|,$ т. к. $x2 = |x|2.$

Обозначим $f(x)= −x2+4x.$ Тогда $y = −x2+ 4|x|= −|x|2+ 4|x|=f(|x|).$ Значит, чтобы изобразить график функции $y = −x2+4|x|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = −x2+ 4x:$

$PIC$

$2)$ Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Это и будет искомый график.

(b) Заметим, что функция $y = −x2− 4|x|$ эквивалентна функции $y = −|x|2− 4|x|,$ т. к. $x2 = |x|2.$

Обозначим $f(x)= −x2− 4x.$ Тогда $y = −x2− 4|x|= −|x|2− 4|x|=f(|x|).$ Значит, чтобы изобразить график функции $y = −x2− 4|x|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = −x2− 4x:$

$PIC$

$2)$ Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Это и будет искомый график.

Если построить оба графика функций на одной координатной плоскости, получится следующий график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#125644

Постройте графики функций:

(a) $y =|x2+2x − 3|;$

(b) $y =|x2− 2x +3|.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решим эту задачу, используя определение модуля.

(a) Преобразуем функцию, найдя корни квадратного уравнения под знаком модуля и разложив многочлен на скобки:

y = |x2+ 2x− 3|= |(x +3)(x − 1)|

При $x≤ −3$ и $x ≥1$ эта функция эквивалентна функции $2 y = x +2x− 3,$ при $x∈ [− 3;1]$ — функции $2 y = −x − 2x +3.$

Изобразим графики функций $2 y = x + 2x− 3$ и $2 y =− x − 2x+ 3,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Это и есть искомый график.

(b) Преобразуем функцию, выделив полный квадрат из подмодульного выражения, чтобы показать, что оно принимает только положительные значения и что от модуля можно избавиться:

y = |x2 − 2x+ 3|=|(x − 1)2+ 2|= (x− 1)2+ 2= x2− 2x+ 3

Получается, функция $y =|x2− 2x +3|$ эквивалентна функции $y = x2− 2x+ 3.$ Изобразим график последней функции:

$PIC$

Это и есть искомый график.

Второе решение.

Решим эту задачу, используя основные преобразования графиков функций.

(a) $y =|x2+2x − 3|$ — график функции $y = x2+2x− 3,$ нижняя часть которого отражена симметрично оси абсцисс.

Изобразим график функции $y =x2+ 2x− 3:$

$PIC$

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Это и есть искомый график.

(b) $y =|x2+ 2x +3|$ — график функции $y = x2+2x +3,$ нижняя часть которого отражена симметрично оси абсцисс.

Изобразим график функции $y =x2+ 2x+ 3:$

$PIC$

Теперь мы должны отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё. Однако такой части нет, так что исходный график будет совпадать с текущим.

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#125645

Постройте график функции:

2 y = |x − 2|x|− 3|

Показать ответ и решение

Первое решение.

Решим эту задачу, используя определение модуля.

При $x ≤0$ функция $2 y = |x − 2|x|− 3|$ эквивалентна функции $2 y = |x +2x− 3|,$ при $x≥ 0$ — функции $2 y = |x − 2x− 3|.$ Преобразуем каждую из этих функций, найдя корни квадратного уравнения под знаком модуля и разложив многочлен на скобки:

y = |x2+ 2x− 3|= |(x +3)(x − 1)|

2 y = |x − 2x− 3|= |(x +1)(x − 3)|

При $x≤ −3$ и $x ≥1$ первая функция ( $y = |x2 +2x− 3|)$ эквивалентна функции $y = x2+ 2x− 3,$ при $x∈ [−3;1]$ — функции $y =− x2 − 2x+ 3.$

При $x≤ −1$ и $x ≥3$ вторая функция функция ( $y = |x2 − 2x− 3|)$ эквивалентна функции $y = x2− 2x− 3,$ при $x ∈[−1;3]$ — функции $y =− x2 +2x+ 3.$

Подытожим, что у нас есть: при $x ≤− 3$ график исходной функции совпадает с графиком функции $2 y = x + 2x − 3,$ при $x ∈[−3;0]$ — с графиком $2 y = −x − 2x+ 3,$ при $x∈ [0;3]$ — с графиком $2 y = −x +2x+ 3$ а при $x≥ 3$ — с графиком $2 y =x − 2x− 3.$

Изобразим графики функций $2 y =x + 2x− 3,$ $2 y = −x − 2x +3,$ $2 y = −x + 2x+ 3$ и $2 y = x − 2x− 3,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что функция $y = |x2 − 2|x|− 3|$ эквивалентна функции $y =||x|2− 2|x|− 3|,$ т. к. $x2 = |x|2.$

Обозначим $f(x)= x2 − 2x− 3.$ Тогда $y = |x2− 2|x|− 3|= ||x|2− 2|x|− 3|= |f(|x|)|.$ Значит, чтобы изобразить график функции $y =|x2− 2|x|− 3|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = x2− 2x − 3:$

$PIC$

$2)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

$3)$ Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Это и будет искомый график.

Ответ:

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#125648

Постройте график функции:

y = x(|x|− x)+ 3

Показать ответ и решение

При $x≤ 0$ функция $y =x(|x|− x)+3$ эквивалентна функции $y =x(−x− x)+ 3= x⋅(− 2x)+ 3= 3− 2x2,$ при $x ≥ 0$ — функции $/ y =x(/x/− x)+3 =3.$

Изобразим графики функций $2 y = 3− 2x$ и $y = 3,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#125649

Постройте график функции:

y = (x− |x|)(x+ 2)

Показать ответ и решение

При $x≤ 0$ функция $y =(x− |x|)(x+ 2)$ эквивалентна функции $y = (x +x)(x +2)= 2x(x+ 2)= 2x2 +4x,$ при $x ≥0$ — функции $/ y =(/x/− x)(x+ 2)= 0.$

Изобразим графики функций $2 y = 2x + 4x$ и $y =0,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#125650

Постройте график функции:

(a) $3 y =|x-−x-4x-|;$

(b) $x− 1 2 y = |x−-1|x ;$

(d) $y = x-⋅|x − 2|⋅|x+ 2|. |x|$

Показать ответ и решение

(a) ОДЗ:

x⁄= 0

На ОДЗ:

3 1 2 y = |x-− 4x|= |/x(x-−-4)-|= |x2− 4| x /x1

$2 y = |x − 4|$ — это график функции $2 y = x − 4,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

Изобразим график функции $2 y =x − 4:$

$PIC$

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

И, наконец, выколем точку $(0;4),$ т. к. $x= 0$ не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

$PIC$

Это и есть искомый график.

(b) ОДЗ:

|x− 1|⁄=0

x− 1⁄= 0| + 1

x⁄= 1

Нули модуля:

x− 1= 0| + 1

x= 1

При $x< 1$ функция $y = x-− 1-x2 |x − 1|$ эквивалентна следующей:

y =--x−-1-x2 = − x−-1x2 − (x − 1) x− 1

На ОДЗ:

1 y = −-/x-//−/ 1-x2 = −x2 /x /− 11

При $x> 1$ функция $x − 1 2 y = |x-− 1|x$ эквивалентна следующей:

x − 1 y = x-− 1x2

На ОДЗ:

// 1 y =-/x-−// 1-x2 = x2 /x − 11

Изобразим графики функций $2 y = −x$ и $2 y = x ,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Не забудем выколоть точки $(1;−1)$ и $(1;1),$ т. к. $x= 1$ не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

$PIC$

Это и есть искомый график.

|x|⁄= 0

x⁄= 0

Нули модуля:

x= 0

При $x< 0$ функция $3 y = x-−-4x |x|$ эквивалентна следующей:

y = x3−-4x= − x(x2−-4) −x x

На ОДЗ:

1x(x2− 4) y = − /-x-----=− (x2− 4)=4 − x2 /1

При $x> 0$ функция $y = x3−-4x |x|$ эквивалентна следующей:

x(x2− 4) y = ---x---

На ОДЗ:

1x(x2− 4) y =-/--x---- =x2− 4 /1

Изобразим графики функций $y = 4− x2$ и $y = x2− 4,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Не забудем выколоть точки $(0;−4)$ и $(0;4),$ т. к. $x= 0$ не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

$PIC$

Это и есть искомый график.

(d) ОДЗ:

|x|⁄= 0

x⁄= 0

При $x< 0$ функция $y = x-⋅|x− 2|⋅|x +2| |x|$ эквивалентна следующей:

x-- x 2 y = −x ⋅|(x − 2)(x +2)|=− x|x − 4|

На ОДЗ:

1 y = −-/x-|x2 − 4|= −|x2− 4| /x1

$y = −|x2− 4|$ — это график функции $y =|x2− 4|,$ отражённый симметрично относительно оси абсцисс, а график функции $y =|x2− 4|$ — это график функции $y = x2− 4,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

При $x> 0$ функция $x y = |x| ⋅|x− 2|⋅|x +2|$ эквивалентна следующей:

y = x ⋅|(x − 2)(x +2)|= x|x2− 4| x x

На ОДЗ:

-/x1 2 2 y = /x |x − 4|= |x − 4| 1

$y = |x2− 4|$ — это график функции $y = x2− 4,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

Итак, изобразим график функции $y = x2− 4:$

$PIC$

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Отобразим часть графика, расположенную в левой полуплоскости, симметрично относительно оси абсцисс:

$PIC$

Не забудем выколоть точки $(0;−4)$ и $(0;4),$ т. к. $x= 0$ не удовлетворяет ОДЗ исходной функции:

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#125651

Выясните, сколько корней имеет уравнение $|x2− 4|x|+ 3|=a$ в зависимости от значения параметра $a.$

Показать ответ и решение

Для начала изобразим график функции $y = |x2− 4|x|+ 3|.$

Заметим, что функция $2 y = |x − 4|x|+ 3|$ эквивалентна функции $2 y =||x| − 4|x|+ 3|,$ т. к. $2 2 x = |x|.$

Обозначим $2 f(x)= x − 4x+ 3.$ Тогда $2 2 y = |x − 4|x|+3|= ||x|− 4|x|+ 3|= |f(|x|)|$ Значит, чтобы изобразить график функции $2 y =|x − 4|x|+ 3|,$ необходимо:

$1)$ Изобразить график функции $y = x2− 4x +3:$

$PIC$

$2)$ Отобразить часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

$3)$ Заменить часть графика, расположенную левее оси ординат, на симметричную правой части:

$PIC$

Это и будет искомый график.

Осталось выяснить, сколько корней будет иметь уравнение $2 |x − 4|x|+3|= a$ в зависимости от значения параметра $a.$

При $a< 0$ уравнение не будет иметь корней:

$PIC$

При $a= 0$ уравнение будет иметь ровно $4$ корня: $x= −3,$ $x= −1,$ $x= 1$ и $x= 3:$

$PIC$

При $a∈ (0;1)$ уравнение будет иметь $8$ корней:

$PIC$

При $a= 1$ уравнение будет иметь $6$ корней:

$PIC$

При $a∈ (1;3)$ уравнение будет иметь $4$ корня:

$PIC$

При $a= 3$ уравнение будет иметь ровно $3$ корня: $x= −4,$ $x= 0$ и $x= 4:$

$PIC$

При $a> 3$ уравнение будет иметь $2$ корня:

$PIC$

Ответ:

При $a< 0$ уравнение будет иметь $0$ корней, при $a ∈(1;3)∪ {0}$ — $4$ корня, при $a∈ (0;1)$ — $8,$ при $a= 1$ — $6,$ при $a= 3$ — $3,$ при $a >3$ — $2.$

Предыдущая подтема