Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.01 Гипербола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Гипербола

Модуль

Парабола

Прямая

Смешанные графики

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123399

Как называется график функции $y = k? x$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

График обратной пропорциональности $y = k x$ называется гиперболой.

Ответ: Гипербола

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123400

В каких координатных четвертях расположена гипербола $y = 5 ? x$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

При $k> 0$ гипербола расположена в I и III четвертях.

$PIC$

Ответ: I и III

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123401

При каком условии гипербола $y = k x$ проходит через точку $(2,−3)?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Подставляем точку в уравнение: $− 3= k ⇒ k= −6. 2$

Ответ: k = -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123404

Какие точки не принадлежат графику функции $y = − 12? x$

$1)(−3;4)$

$-1 2)(144;−12)$

$3)(−4;− 3)$

$4)(0,2;−24)$

Источники: Контрольно-измерительные материалы (см. file:///Users/administrator/Downloads/2265-algebra_-8kl_-kimy-k-makarychevu_2017-96s.pdf)

Показать ответ и решение

Подставим координаты каждой точки и проверим:

Точка $(− 3;4):$ $12- y = − −3 = 4$ (принадлежит)

Точка $(144;− 1-): 12$ $y = −-12 =− 1 144 12$ (принадлежит)

Точка $(− 4;−3):$ $12- y =− −4 =3 ⁄=−3$ (не принадлежит)

Точка $(0,2;− 24):$ $y =− 12-= −60 0,2$ (не принадлежит)

Ответ: 3, 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123407

Задайте формулой обратно пропорциональную зависимость, если известно, что значению аргумента, равному $1, 7$ соответствует значение функции, равное $4.$ Выберите верный ответ.

A) $-4 y = 7x$

B) $y = 7x 4$

C) $-7 y = 4x$

D) $y = 4x7$

Источники: Контрольно-измерительные материалы (см. file:///Users/administrator/Downloads/2265-algebra_-8kl_-kimy-k-makarychevu_2017-96s.pdf)

Показать ответ и решение

При $x= 1 7$ значение функции $y =4.$ Найдем коэффициент $k:$ Подставим известные значения в формулу $y = k : x$ $4 =-k1⇒ k = 4 7 7$

Формула обратно пропорциональной зависимости: $4 y = 7-= 4 x 7x$

Ответ: A)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#123440

Определите графически, сколько решений имеет уравнение $1= 2,5 − x x$

$PIC$

Источники: Контрольно-измерительные материалы (см. file:///Users/administrator/Downloads/2265-algebra_-8kl_-kimy-k-makarychevu_2017-96s.pdf)

Показать ответ и решение

Графики пересекаются в двух точках, поэтому уравнение имеет два решения.

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123441

Сколько решений имеет уравнение $1 =1.5− x? x$

Источники: Контрольно-измерительные материалы (см. file:///Users/administrator/Downloads/2265-algebra_-8kl_-kimy-k-makarychevu_2017-96s.pdf)

Показать ответ и решение

Способ $1.$

Графики $1 y = x$ и $y = 1.5 − x$ не пересекаются.

$PIC$

Способ $2.$

1.

Приведём уравнение к общему виду:

-1 x = 1.5− x

2.

Умножим обе части на $x$ (при условии $x⁄= 0$ ):

1= 1.5x− x2

3.

Перенесём все члены в одну сторону:

x2− 1.5x+ 1= 0

4.

Вычислим дискриминант:

$pict$

5.

Анализируем дискриминант:

D = −1.75< 0

Вывод:

Так как дискриминант отрицательный, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ:

Уравнение $1= 1.5 − x x$ не имеет действительных решений.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#123555

Дана функция $y = 4. x$ Какое уравнение получится после отражения графика относительно оси абсцисс?

A) $y = −4x$

B) $4 y = −x$

C) $y = −−4x$

D) $-1 y = 4x$

$PIC$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

График функции $y = f(x)$ при симметричном отражении относительно оси $Ox$ имеет вид: $y =− f(x)$ .

Тогда функция $4 y = x$ симметрично оси $Ox$ будет иметь вид $4 y =− x.$

Ответ: B)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#123558

Гипербола проходит через точку $(2,− 5).$ Найдите коэффициент $k$ в уравнении $y = k. x$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Подставляем точку: $− 5= k⇒ k= −10. 2$

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123560

Как изменится график $y = 2 +b, x$ если $b= 3?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Новое уравнение: $y = 2+ 3 x$ - вертикальный сдвиг.

Ответ: Сдвинется вверх на 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124358

Функция задана формулой $y = 8. x$ Перечертите в тетрадь таблицу и заполните её.

|--|---|---|-----|--|--|---|---| |x-|−4-|---|−-0,25|2-|5-|16-|---| -y------−4------------------0,4-|

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Для начала заполним вторую строку таблицы. Для этого посчитаем значения $y,$ соответствующие известным нам значениям $x:$

2 y(− 4)= -8-= −-/8-= −2 − 4 /41

y(− 0,25)= -8--= − 81= −32 −0,25 4

4 y(2)= -/8-= 4 /21

8 3 y(5)= 5 = 15 = 1,6

-/81- 1 y(16)= //16 = 2 = 0,5 2

Далее заполним первую строку таблицы, решив несколько уравнений.

Для $y = −4:$

−4 = 8| ⋅(−x)⁄= 0 x

4x =− 8| ÷ 4

x= −2

Для $y = 0,4:$

0,4= 8 | ⋅10x ⁄=0 x

4x = 80 | ÷4

x= 20

Ответ:

|x-|−-4|−-2|−-0,25-|2|-5-|-16-|-20-| |--|---|---|------|-|---|---|---| -y--−-2-−-4--−32---4-1,6-0,5-0,4-

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124359

Обратная пропорциональность задана формулой $y = 120. x$ Перечертите в тетрадь таблицу и заполните её.

|--|------|-----|----|---|---|---|---|-----| |x-|−1-200-|−600-|----|---|76-|120-|---|1000-| -y---------------−0,5--−1----------0,4-------|

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1 y(− 1200)= -120- = −--//120/--= − 1-= −0,1 − 1200 /12/0010 10

1 y(−600)= 120-= −-/1/20-= − 1 =− 0,2 −600 /6/005 5

-/1/2030 30 11 y(76) = //76 = 19 = 119 19

/1/201 y(120)= -/1/20-= 1 1

3 y(1000)= -//12/0/--= -3 =0,12 /100025 25

Далее заполним первую строку таблицы, решив несколько уравнений.

Для $y = −0,5:$

120 −0,5= x--| ⋅(−10x)⁄= 0

5x= −1200| ÷ 5

x= −240

Для $y = −1:$

− 1= 120| ⋅(−x)⁄= 0 x

x= −120

Для $y = 0,4:$

0,4= 120| ⋅10x ⁄=0 x

4x = 1200 | ÷4

x= 300

Ответ:

|--x--|-−1200|−-600-|−240-|−120|-76-|120|300-|1000| |-----|------|-----|-----|----|-11-|---|----|----| ---y----−-0,1---−0,2--−0,5---−1--119---1---0,4--0,12--

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124360

Двигаясь со скоростью $v$ км/ч, поезд проходит расстояние между городами $A$ и $B,$ равное $600$ км, за $t$ ч. Запишите формулу, выражающую зависимость:

(a) $v$ от $t;$

(b) $t$ от $v.$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Скорость — это отношение расстояния к времени:

600 v(t)= -t-

(b) Чтобы рассчитать время по известной скорости и расстоянию, нужно разделить расстояние на скорость:

t(v)= 600- v

Ответ:

(a) $600- v(t)= t ;$ (b) $600- t(v)= v .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124361

Обратная пропорциональность задана формулой $y = 10. x$

(a) Найдите значение функции, соответствующее значению аргумента, равному $100;$ $1 000;$ $0,1;$ $0,02.$

(b) Определите, принадлежит ли графику этой функции точка $A (− 0,05;−200);$ $B(− 0,1;100);$ $C(400;0,025);$ $D(500;−0,02).$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём значения функции, соответствующие значениям аргумента, равным $100;$ $1000;$ $0,1$ и $0,02:$

1 y(100)= --//10- = 1-= 0,1 /1/0010 10

--//101-- -1- y(1000)= /10/00 = 100 = 0,01 100

y(0,1)= 10-= 10= 100 0,1 110

10 10 y(0,02)= 0,02 = 1-= 500 50

(b) Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты в уравнение функции. Если равенство выполняется (левая часть равна правой), то точка принадлежит графику.

Для $A(−0,05;−200):$

--10-- − 200= − 0,05

−200= − 101 20

−200= −200

Точка $A(−0,05;− 200)$ принадлежит графику.

Для $B(−0,1;100):$

100⁄= -10- −0,1

100⁄= −-101- 10

100⁄= −100

Точка $B(−0,1;100)$ не принадлежит графику.

Для $C(400;0,025):$

-10- 400= 0,025

10 400= 1- 40

400= 400

Точка $C(400;0,025)$ принадлежит графику.

Для $D(500;− 0,02):$

500⁄= -10-- −0,02

-10 500⁄= − 150-

500⁄= −500

Точка $D(500;−0,02)$ не принадлежит графику.

Ответ:

(a) $y(100)= 0,1,$ $y(1000)= 0,01,$ $y(0,1)=100,$ $y(0,02)= 500;$ (b) точки $A(−0,05;− 200)$ и $C(400;0,025)$ принадлежат графику этой функции, а точки $B(−0,1;100)$ и $D (500;− 0,02)$ — нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124362

Известно, что некоторая функция — обратная пропорциональность. Задайте её формулой, зная, что значению аргумента, равному $2,$ соответствует значение функции, равное $12.$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Если некоторая функция — обратная пропорциональность, значит, она имеет вид $y = k. x$ Поскольку значению аргумента, равному $2,$ соответствует значение функции, равное $12,$ должно выполняться равенство $k= 12. 2$ Вычислим значение $k,$ решив уравнение:

k = 12| ⋅2 2

k= 24

Тогда искомая формула нашей функции — $y = 24x .$

Ответ:

$y = 24. x$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124363

На рисунке построен график функции, заданной формулой $y = 8: x$

$PIC$

Найдите по графику:

(a) значение $y,$ соответствующее значению $x,$ равному $2;$ $4;$ $− 1;$ $− 4;$ $− 5;$

(b) значение $x,$ которому соответствует значение $y,$ равное $− 4;$ $− 2;$ $8.$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Найдём по графику значения $y,$ соответствующие значениям $x,$ равным $2;$ $4;$ $− 1;$ $− 4$ и $− 5:$

$PIC$

(b) Найдём по графику значения $x,$ которым соответствуют значения $y,$ равные $− 4;$ $− 2$ и $8:$

$PIC$

Ответ:

(a) $y(2)= 4,$ $y(4)= 2,$ $y(−1)= −8,$ $y(− 4)= −2,$ $y(−5)= −1,6;$ (b) $x =− 2,$ $x= −4$ и $x= 1$ соответственно.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124364

Постройте график функции, заданной формулой $y =− 8. x$ Найдите по графику:

(a) значение $y,$ соответствующее значению $x,$ равному $4;$ $2,5;$ $1,5;$ $− 1;$ $− 2,5;$

(b) значение $x,$ которому соответствует значение $y,$ равное $8;$ $− 2.$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Построим график функции $y =− 8. x$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|--|---|---|---|-----|---| |x-|-1-|-2-|-4-|--5--|8--| -y--−8--−4--−-2-−-1,6--−1-|

|x-|−1-|−2-|−4-|−5-|−8-| |--|---|---|---|---|---| -y--8---4----2--1,6---1--

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции $8 y = − x:$

$PIC$

(a) Найдём по графику значения $y,$ соответствующие значениям $x,$ равным $4;$ $2,5;$ $1,5;$ $− 1$ и $− 2,5:$

$PIC$

(b) Найдём по графику значения $x,$ которым соответствуют значения $y,$ равные $8$ и $− 2:$

$PIC$

Ответ:

(a) $y(4)= −2,$ $y(2,5)= −3,2,$ $y(1,5)= −5,3,$ $y(−1)= 8,$ $y(−2,5)= 3,2;$ (b) $x = −1$ и $x= 4$ соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124365

Постройте график функции:

(a) $2 y = x;$

(b) $2 y =− x;$

(d) $4 y =− x;$

(e) $1 y =2x;$

(f) $y = − 2-. 5x$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Построим график функции $2 y = x.$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|--|---|-|----|--|-----|---|---|-----| |x-|0,8-|1|-1,6-|2-|-3,2--|4--|5--|-6,4--| -y--2,5--2-1,25--1--0,625--0,5--0,4--0,3125--

|-|-----|---|-----|---|------|----|-----|------| |x|-−0,8-|−1-|−-1,6-|−2-|-−3,2--|-−4-|-−5--|-−6,4--| -y--−2,5--−2--−1,25--−1--−0,625--−0,5--−-0,4--−0,3125-

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

(b) Построим график функции $2 y =− x.$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|x|-0,8--|1--|-1,6--|-2-|-3,2--|-4--|--5--|-6,4--| |y|-−2,5-|−2-|−1,25-|−1-|−0,625-|−0,5-|−-0,4-|−0,3125| ------------------------------------------------

|x|−-0,8-|−1-|−1,6-|−2-|−-3,2-|−4-|−5-|-−6,4-| |y|-2,5--|2--|1,25-|-1-|0,625-|0,5-|0,4-|0,3125| ------------------------------------------

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

(c) Построим график функции $y = 3 . x$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|x-|-0,8-|1,2-|-1,6--|2--|2,4-|3|--3,2--|-4--|-4,8-|-5--|6--| |--|----|---|-----|---|----|-|------|----|----|----|---| -y--3,75--2,5--1,875--1,5--1,25--1-0,9375--0,75--0,625--0,6--0,5-|

|x-|-0,8-|-1,2--|-1,6---|-2--|-2,4--|-3-|--3,2---|--4--|-4,8--|-5--|-6---| |y-|−-3,75|−-2,5-|−1,875-|−1,5-|−1,25-|−1-|−0,9375-|−0,75-|−0,625-|−0,6-|−0,5-| ---------------------------------------------------------------------|

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

(d) Построим график функции $4 y =− x.$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|--|---|----|---|------|---|----|------| |x-|-1-|-1,6-|-2-|-3,2--|4--|-5--|-6,4--| -y--−4--−2,5-−-2-−-1,25--−1--−0,8--−0,625-|

|--|---|----|---|----|---|---|-----| |x-|−1-|−1,6-|−2-|−3,2|−-4|−-5|-−6,4-| -y--4---2,5---2--1,25---1--0,8-0,625--

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

(e) Построим график функции $y =-1. 2x$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|x|0,2|-0,4-|-0,8--|-1-|-1,6--|-2-|--3,2---|-4--|-5-| |y|2,5|1,25|0,625-|0,5-|0,3125-|0,25|0,15625-|0,125|0,1| --------------------------------------------------

|--|----|-----|------|----|-------|-----|--------|------|----| |x |−0,2 |− 0,4 | −0,8 | −1 | −1,6 | −2 | −3,2 | − 4 |− 5 | |y-|−2,5-|−1,25-|−0,625-|−0,5|−-0,3125-|−0,25-|−-0,15625-|−0,125-|−0,1-| --------------------------------------------------------------

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

(f) Построим график функции $y = − 2. 5x$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$

|--|---|---|----|----|------|----|------|----| |x-|0,2-|0,4-|0,8-|-1--|-1,6--|-2--|-3,2--|-4--| -y--−2--−1--−0,5--−0,4-−-0,25--−0,2--−0,125--−0,1--

|--|-----|----|----|---|-----|---|----|---| |x-|−-0,2-|−0,4-|−0,8|−-1|−-1,6-|−2-|−3,2-|−-4| --y---2----1----0,5--0,4--0,25--0,2--0,125-0,1-

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

(e)

$PIC$

(f)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#124366

Постройте график функции $y = 6 x$ и, используя его, решите уравнение:

(a) $6= x; x$

(b) $6 x = −x+ 6.$

Источники: "Алгебра, 8 класс, учебник", Макарычев Ю. Н. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Построим график функции $y = 6. x$ Для этого найдём значения $y,$ соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям $x:$