Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.02 Модуль

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Гипербола

Модуль

Парабола

Прямая

Смешанные графики

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119380

Постройте график функции $y = |x|.$

Источники: "Использование преобразований графиков функций при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль (часть II)", Рисберг В. Г., Черникова И. Ю. (см. genius.pstu.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Нули модуля:

x= 0

При $x≤ 0$ функция $y = |x|$ эквивалентна $y = −x.$ При $x≥ 0,$ функция $y = |x|$ эквивалентна функции $y = x.$

Изобразим графики функций $y = −x$ при $x ≤0$ и $y = x$ при $x≥ 0.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что $y = |x|$ — это $y = |f(x)|$ для $f(x)= x.$

Изобразим график функции $y =x:$

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Третье решение.

Заметим, что $y = |x|$ — это $y = f(|x|)$ для $f(x)= x.$

Изобразим график функции $y =x:$

$PIC$

Заменим часть графика, расположенную левее оси ординат, на часть, симметричную правой:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#119382

Постройте график функции $y = |x− 2|+1.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Нули модуля:

x− 2= 0| + 2

x= 2

При $x≤ 2$ функция $y = |x− 2|+1$ эквивалентна функции $y =2− x+ 1= 3− x.$ При $x ≥2,$ функция $y =|x− 2|+ 1$ эквивалентна функции $y =x − 2+ 1= x− 1.$

Изобразим графики функций $y = 3− x$ при $x≤ 2$ и $y = x− 1$ при $x ≥2.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что:

$1) y = |x − 2|+1$ — это график $y = |x− 2|$ со сдвигом вдоль оси ординат вверх на $1$ единицу;

$2) y = |x − 2|$ — это график $y =|x|$ со сдвигом вдоль оси абсцисс вправо на $2$ единицы.

Изобразим график функции $y =|x|:$

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси абсцисс вправо на $2$ единицы:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вверх на $1$ единицу:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#119384

Постройте график функции $y = −|x − 5|+ 2.$

Показать ответ и решение

Первое решение.

Нули модуля:

x− 5= 0| + 5

x= 5

При $y ≤ 5$ функция $y = −|x − 5|+ 2$ эквивалентна функции $y = x− 5+2 =x − 3.$ При $x≥ 5$ функция $y =− |x− 5|+2$ эквивалентна функции $y = 5− x+ 2= 7− x.$

Изобразим графики функций $y = x− 3$ при $x≤ 5$ и $y = 7− x$ при $x ≥5.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что:

$1) y = −|x− 5|+ 2$ — это график $y =− |x− 5|$ со сдвигом вдоль оси ординат вверх на $2$ единицы;

$2) y = −|x− 5|$ — это график, симметричный графику $y =|x− 5|$ относительно оси абсцисс;

$3) y = |x − 5|$ — это график $y =|x|$ со сдвигом вдоль оси абсцисс вправо на $5$ единиц.

Изобразим график функции $y =|x|:$

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси абсцисс вправо на $5$ единиц:

$PIC$

Отразим график симметрично относительно оси абсцисс:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вверх на $2$ единицы:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#119385

Постройте график функции $y = ||x+3|− 1|− 2.$

Показать ответ и решение

Заметим, что

$1) y = ||x+ 3|− 1|− 2$ — это график $y = ||x+ 3|− 1|$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы;

$2) y = ||x+ 3|− 1|$ — это $y = |f(x)|$ для $f(x)= |x+ 3|− 1;$

$3) y = |x +3|− 1$ — это график $y = |x+ 3|$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $1$ единицу;

$4) y = |x +3|$ — это график $y =|x|$ со сдвигом вдоль оси абсцисс влево на $3$ единицы.

Изобразим график функции $y =|x|:$

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси абсцисс влево на $3$ единицы:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вниз на $1$ единицу:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#119389

Постройте график функции $y = −|− |3− x|+ 2|− 1.$

Показать ответ и решение

Заметим, что

$1) y = −|− |3− x|+ 2|− 1$ — это график $y = −|− |3− x|+2|$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $1$ единицу;

$2) y = −|− |3− x|+ 2|$ — это график, симметричный графику $y = |− |3− x|+2|$ относительно оси абсцисс;

$3) y = |− |3− x|+ 2|$ — это $y = |f(x)|$ для $f(x)= −|3− x|+ 2;$

$4) y = −|3− x|+ 2$ — это график $y =− |3− x|$ со сдвигом вдоль оси ординат вверх на $2$ единицы;

$5) y = −|3− x|$ — это график, симметричный графику $y =|3− x|$ относительно оси абсцисс;

$6) y = |3− x|= |x− 3|$ — это график $y = |x|$ со сдвигом вдоль оси абсцисс вправо на $3$ единицы.

Изобразим график функции $y =|x|:$

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси абсцисс вправо на $3$ единицы:

$PIC$

Отразим график симметрично относительно оси абсцисс:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вверх на $2$ единицы:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Отразим график симметрично относительно оси абсцисс:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вниз на $1$ единицу:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#119393

Постройте график функции $y = |1− ||− x− 3|− 2||− 2$ и выясните, сколько корней имеет уравнение $y = a$ в зависимости от значения параметра $a.$

Показать ответ и решение

Для начала построим график функции $y = |1− ||− x − 3|− 2||− 2.$ Для этого заметим, что:

$1) y = |1− ||− x− 3|− 2||− 2$ — это график $y = |1− ||− x− 3|− 2||$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы;

$2) y = |1− ||− x− 3|− 2||$ — это $y = |f(x)|$ для $f(x)= 1− ||− x − 3|− 2|;$

$3) y = 1− ||− x − 3|− 2|$ — это график $y = −||− x− 3|− 2|$ со сдвигом вдоль оси ординат вверх на $1$ единицу;

$4) y = −||− x− 3|− 2|$ — это график, симметричный графику $y = ||− x− 3|− 2|$ относительно оси абсцисс;

$5) y = ||− x− 3|− 2|$ — это $y = |f(x)|$ для $f(x)= |− x− 3|− 2;$

$6) y = |− x − 3|− 2$ — это график $y = |− x− 3|$ со сдвигом вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы;

$7) y = |− x − 3|= |x+ 3|$ — это график $y = |x|$ со сдвигом вдоль оси абсцисс влево на $3$ единицы.

Изобразим график функции $y =|x|:$

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси абсцисс влево на $3$ единицы:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Отразим график симметрично относительно оси абсцисс:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вверх на $1$ единицу:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Сдвинем полученный график вдоль оси ординат вниз на $2$ единицы:

$PIC$

$y = a$ — прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;a).$ Будем перемещать линейку параллельно оси абсцисс и смотреть, при каких сколько корней имеет уравнение:

При $a< −2$ уравнение не имеет решений, или же имеет $0$ решений, т. к. наша функция не определена при $y < −2:$

$PIC$

При $a= −2$ уравнение имеет ровно $4$ решения: $x= −6,$ $x =− 4,$ $x = −2$ и $x= 0.$ В этом не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

При $− 2< a< −1$ уравнение имеет $8$ решений:

$PIC$

При $a= −1$ уравнение имеет ровно $5$ решений: $x= −7,$ $x =−5,$ $x =− 3,$ $x= −1$ и $x= 1.$ В этом не сложно убедиться, посмотрев на график:

$PIC$

При $a> −1$ уравнение имеет $2$ решения:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

При $a< −2$ уравнение имеет $0$ решений, при $a =− 2$ — $4,$ при $− 2< a< −1$ — $8,$ при $a= −1$ — $5,$ а при $a> −1$ — $2.$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119394

Постройте график функции $y = |x+ 1|+|x− 3|.$

Показать ответ и решение

Нули модуля:

[ x +1 =0 [ x= −1 ⇐⇒ x − 3 =0 x= 3

При $x≤ −1$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = −(x+ 1)− (x− 3)=− x− 1− x +3= −2x+ 2

При $− 1≤ x≤ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

/ y = (x +1)− (x − 3)= /x+ 1/− x+3 =4

При $x≥ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = (x+1)+ (x − 3)= x+ 1+ x− 3= 2x − 2

Изобразим графики функций $y = −2x+ 2$ при $x≤ −1,$ $y = 4$ при $− 1≤ x≤ 3$ и $y =2x − 2$ при $x≥ 3.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#119395

Постройте график функции $y = |2− x|− |− 4− x|.$

Показать ответ и решение

Немного преобразуем нашу функцию:

y = |2− x|− |− 4− x|= |x− 2|− |x+ 4|

Нули модуля:

[ x − 2 =0 [ x= 2 x +4 =0 ⇐⇒ x= −4

При $x≤ −4$ исходная функция эквивалентна следующей:

/ / y = −(x− 2)+(x+ 4)= /− x +2/+x +4= 6

При $− 4≤ x≤ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = −(x− 2)− (x+ 4)=− x+ 2− x − 4= −2x− 2

При $x≥ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

(x− 2)− (x+ 4)= /x− 2/−/ x − 4 =− 6

Изобразим графики функций $y = 6$ при $x≤ −4,$ $y = −2x− 2$ при $− 4≤ x≤ 2$ и $y = −6$ при $x ≥ 2.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#119396

Постройте график функции $y = |x− 4|− |− x− 3|+ |2− x|+2.$

Показать ответ и решение

Немного преобразуем нашу функцию:

y = |x− 4|− |− x− 3|+ |2 − x|+2 =|x− 4|− |x +3|+ |x− 2|

Нули модуля:

⌊ x − 4 =0 ⌊ x =4 |⌈ x +3 =0 ⇐⇒ |⌈ x =− 3 x − 2 =0 x =2

При $x≤ −3$ функция $y = |x − 4|− |x+ 3|+ |x− 2|$ эквивалентна функции $y = −(x− 4)+ (x+ 3)− (x− 2)= /−/x +4//+x+ 3− x+ 2= 9− x.$

При $− 3≤ x≤ 2$ функция $y = |x− 4|− |x+3|+ |x− 2|$ эквивалентна функции $y =− (x − 4)− (x +3)− (x− 2)= −x+ 4− x− 3− x +2= 3− 3x.$

При $2≤ x≤ 4$ функция $y = |x− 4|− |x+ 3|+ |x− 2|$ эквивалентна функции $y =− (x − 4)− (x +3)+ (x − 2)= /−x+ 4− x− 3+/x− 2 =− x− 1. / /$

При $x≥ 4$ функция $y = |x− 4|− |x+ 3|+ |x − 2|$ эквивалентна функции $y = (x − 4)− (x +3)+ (x− 2)= x− 4−/x− 3 +x− 2= x− 9. / /$

Изобразим графики функций $y = 9− x$ при $x≤ −3,$ $y = 3− 3x$ при $− 3≤ x ≤2,$ $y = −x − 1$ при $2≤ x≤ 4$ и $y = x− 9$ при $x ≥4.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#119398

Постройте график функции $y = x|x− 2|− 3.$

Показать ответ и решение

Нули модуля:

x− 2= 0| + 2

x= 2

При $x≤ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = x(2 − x)− 3= −x2+ 2x − 3

Это парабола ветвями вниз с вершиной в $(1;−2).$

При $x≥ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

y =x(x− 2)− 3 =x2− 2x− 3

Это парабола ветвями вверх с вершиной в $(1;−4).$

Изобразим графики функций $y = −x2+ 2x− 3$ при $x ≤ 2$ и $y =x2− 2x− 3$ при $x ≥ 2.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#119400

Постройте график функции $y = 2x|3− x|− 2x− 4.$

Показать ответ и решение

Нули модуля:

3− x= 0

x= 3

При $x≤ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = 2x(3− x)− 2x− 4= 6x− 2x2− 2x− 4= −2x2+ 4x− 4

Это парабола ветвями вниз с вершиной в $(1;−2).$

При $x≥ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

y =2x(x− 3)− 2x− 4= 2x2 − 6x− 2x− 4= 2x2− 8x− 4

Это парабола ветвями вверх с вершиной в $(2;−12).$

Изобразим графики функций $y =− 2x2+ 4x− 4$ при $x≤ 3$ и $y = 2x2− 8x− 4$ при $x≥ 3.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#119404

Постройте график функции $y = |2x−-3|− x. x − 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 1⁄= 0| + 1

x⁄= 1

Нули модуля:

2x − 3 =0 | +3

2x= 3| ÷ 2

x= 3 = 11= 1,5 2 2

При $x≤ 1,5$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = 3−-2x-− x-= 3−-3x= −3(x−-1) x− 1 x − 1 x− 1

На ОДЗ:

/ 1 y =--− 3/(x/−-1)-= −3 /x−//11

$y = −3$ — прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;− 3).$

При $x≥ 1,5$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = 2x−x−3−1-x= xx−−-31

На ОДЗ:

x−-3 x-− 1−-2 -/x-//− 11 --2- --2- y = x− 1 = x− 1 = /x //− 1 − x− 1 =1− x − 1 1

$y = 1−-2-- x− 1$ — гипербола с асимптотами $x= 1$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 1$ (т. к. дробь $--2- x − 1$ принимает любые значения, кроме нуля).

Итак, изобразим графики функций $y = −3$ при $x≤ 1,5$ и $y = 1−-2-- x− 1$ при $x≥ 1,5.$ Точку $(1;−3)$ выколем, т. к. она не удовлетворяет ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#119407

Постройте график функции $y =--x+-3--. |x +6|+ x$

Показать ответ и решение

Нули модуля:

x+ 6⁄= 0

x⁄= −6

При $x≤ −6$ исходная функция эквивалентна следующей:

y =--x-+3---= − x+-3 /−/x − 6//+x 6

Это прямая, проходящая через $(0;− 1) 2$ и $(− 3;0).$

При $x≥ 6$ исходная функция эквивалентна следующей:

x +3 x+3 x +3 y = x+-6+-x = 2x+-6 = 2(x+-3)

ОДЗ:

2(x +3)⁄= 0| ÷ 2

x+ 3= 0| − 3

x= −3

На ОДЗ:

/ 1 --/x+/3/--= 1 2/(x/+3)1 2

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $1 (0;2).$

Итак, изобразим графики функций $y =− x+-3 6$ при $x≤ −6$ и $y = 1 2$ при $x≥ −6.$ Точку $(−3;1) 2$ выколем, т. к. она не удовлетворяет ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#119408

Постройте график функции $y = |x-− 2|. x +2$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x+ 2⁄= 0| − 2

x= −2

Первое решение.

Нули модуля:

[ x − 2 =0 [ x= 2 x +2 =0 ⇐⇒ x= −2

При $x <−2$ и $x ≥2$ функция $y = |x−-2| x+ 2$ эквивалентна функции $y = x−-2. x+ 2$ Или же, если немного преобразовать на ОДЗ:

// 1 y = x−-2= x-+2−-4=-/x-+//2-− --4- =1− --4- x+ 2 x+ 2 /x +21 x+ 2 x +2

Это гипербола с асимптотами $x =− 2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 1$ (т. к. дробь $--4- x +2$ принимает любы значения, кроме нуля).

При $− 2< x≤ 2$ функция $x− 2 y = |x+2|$ эквивалентна функции $x− 2 y =− x+-2.$ Это функция, симметричная функции $y = x-− 2 x +2$ относительно оси абсцисс. Если немного преобразовать её на ОДЗ, она примет вид $y =-4--− 1. x+ 2$ Это гипербола с асимптотами $x =− 2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = −1$ (т. к. дробь $x4+-2$ принимает любы значения, кроме нуля).

Итак, изобразим графики функций $y = 1−-4-- x+2$ при $x <− 2$ и $x ≥ 2$ и $y = -4--− 1 x+ 2$ при $− 2< x≤ 2.$ Точки $(π;−π2− 4)$ и $(π;π2− 4)$ выколем, т. к. они не удовлетворяют ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что $x− 2 y = |x+-2|$ — это $y = |f(x)|$ для $x − 2 f(x)= x-+2.$

Немного преобразуем функцию $y = x−-2 x+ 2$ на ОДЗ:

// 1 y = x−-2= x-+2−-4=-/x-+//2-− --4- =1− --4- x+ 2 x+ 2 /x +21 x+ 2 x +2

Изобразим её:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#119409

Постройте график функции $y = |2x−-5|. x− 3$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 3⁄= 0| + 3

x⁄= 3

Первое решение.

Нули модуля:

[ 2x − 5= 0 [ 2x= 5 [ x= 5= 21= 2,5 x− 3 =0 ⇐⇒ x= 3 ⇐ ⇒ x= 23 2

При $x ≤2,5$ и $x >3$ функция $y = |2x− 5| x− 3$ эквивалентна функции $y = 2x-− 5. x− 3$ Или же, если немного преобразовать на ОДЗ:

/ 1 y = 2x−-5= 2x−-6+-1=-2/(x-/−// 3)-+-1--= 2+ --1- x− 3 x− 3 /x− 31 x− 3 x− 3

Это гипербола с асимптотами $x =3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 2$ (т. к. дробь $-1-- x− 3$ принимает любы значения, кроме нуля).

При $2,5 ≤x <3$ функция $2x− 5 y = |x−-3-|$ эквивалентна функции $2x− 5 y =− x-− 3-.$ Это функция, симметричная функции $2x-− 5 y = x− 3$ относительно оси абсцисс. Если немного преобразовать её на ОДЗ, она примет вид $-1-- y = 3− x − 2.$ Это гипербола с асимптотами $x =3$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = −2$ (т. к. дробь $--1- 3 − x$ принимает любы значения, кроме нуля).

Итак, изобразим графики функций $y = 2+-1-- x− 3$ при $x ≤2,5$ и $x > 3$ и $y = -1--− 2 3− x$ при $2,5 ≤x < 3.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Второе решение.

Заметим, что $2x − 5 y = |x−-3 |$ — это $y = |f(x)|$ для $2x− 5 f(x)= -x− 3-.$

Немного преобразуем функцию $y = 2x−-5 x − 3$ на ОДЗ:

// 1 y = 2x−-5= 2x−-6+-1=-2/(x-−// 3)-+-1--= 2+ --1- x− 3 x− 3 /x− 31 x− 3 x− 3

Изобразим её:

$PIC$

Отразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#119410

Постройте график функции $y = |x-− π|⋅x2− 4. x − π$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− π ⁄= 0| + π

x ⁄= π

Нули модуля:

x− π = 0| + π

x = π

При $x< π$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = −(x−-π)⋅x2− 4 x− π

На ОДЗ:

// 1 y = -−x/(−x//−π π)-⋅x2− 4= −x2− 4 / 1

$2 y = −x − 4$ — это стандартная парабола, отражённая симметрично относительно оси абсцисс и сдвинутая вдоль оси ординат вниз на $4$ единицы.

При $x> π$ исходная функция эквивалентна следующей:

x− π y = x−-π ⋅x2 − 4

На ОДЗ:

-/x−//π1 2 2 y = /x−//π ⋅x − 4= x − 4 1

$y = x2 − 4$ — это стандартная парабола, сдвинутая вдоль оси ординат вниз на $4$ единицы.

Изобразим графики функций $y = −x2− 4$ при $x< π$ и $x2− 4$ при $x >4.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#119411

Постройте график функции $y = |x-− 3|+-|x+-1|. x− 2$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x− 2⁄= 0| + 2

x⁄= 2

Нули модуля:

[ x − 3 =0 [ x= 3 x +1 =0 ⇐⇒ x= −1

При $x≤ −1$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = −(x−-3)− (x+-1)= −x+-3−-x−-1= 2−-2x= − 2x-− 2 x− 2 x − 2 x − 2 x− 2

Немного преобразуем функцию $y = − 2xx−− 22$ на ОДЗ:

1 y =− 2x−-2= − 2x−-4+-2= − 2/(x/−/2)-−--2- =− -2--− 2 x − 2 x− 2 /x //− 21 x− 2 x− 2

Это гипербола с асимптотами $x =2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y =− 2$ (т. к. дробь $2 x−-2$ принимает любые значения, кроме нуля).

При $− 1≤ x≤ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = −(x-− 3)+-(x-+1)= /−/x+3-/+/x-+1 =-4-- x − 2 x− 2 x− 2

Это гипербола с асимптотами $x =2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 0$ (т. к. дробь $-4-- x− 2$ принимает любые значения, кроме нуля). Её ветви лежат в $I$ и $III$ координатных четвертях.

При $x≥ 3$ исходная функция эквивалентна следующей:

(x− 3)+(x+ 1) x− 3+ x+ 1 2x− 2 y =-----x− 2--- = ---x−-2---= x-− 2

Немного преобразуем функцию $2x− 2 y = −x-− 2$ на ОДЗ:

/ 1 y = 2x−-2= 2x−-4+-2=-2/(x-/−// 2)-+-2--= --2- +2 x− 2 x− 2 /x− 21 x− 2 x − 2

Это гипербола с асимптотами $x =2$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 2$ (т. к. дробь $-2-- x− 2$ принимает любые значения, кроме нуля).

Итак, изобразим графики функций $2 y =− x−-2 − 2$ при $x ≤ −1,$ $4 y = x−-2$ при $− 1≤ x≤ 3$ и $2 y = x−-2 + 2$ при $x ≥3.$ Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#119412

Постройте график функции $y = |2-− x|−-|x+-4|. x+ 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x+ 1⁄= 0| − 1

x⁄= −1

Нули модуля

[ 2 − x =0 [ x= 2 x +4 =0 ⇐⇒ x= −4

При $x≤ −4$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = (2−-x)+-(x-+4)= 2/−/x//+x-+4 = -6-- x+ 1 x +1 x+1

Это гипербола с асимптотами $x =− 1$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 0$ (т. к. дробь $x+21$ принимает любые значения, кроме нуля). Её ветви лежат в $I$ и $III$ координатных четвертях.

При $− 4≤ x≤ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = (2− x)x−+-(1x+4) = 2− xx-−+ x1−-4-= −2xx+−1 2-= − 2(xx++11)

На ОДЗ:

2(x/+/1)1 y =− -//x/+/1--= −2 1

Это прямая, параллельная оси абсцисс, и пересекающая ось ординат в $(0;−2).$

При $x≥ 2$ исходная функция эквивалентна следующей:

−(2− x)−-(x+-4) −2/+/x/−/x−-4 --6- y = x+1 = x +1 = −x +1

Это гипербола с асимптотами $x =− 1$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 0$ (т. к. дробь $6 x+-1$ принимает любые значения, кроме нуля). Её ветви лежат во $II$ и $IV$ координатных четвертях.

Итак, изобразим графики функций $y = -6-- x+ 1$ при $x ≤ −4,$ $y = −2$ при $− 4≤ x≤ 2$ и $y =− -6-- x+ 1$ при $x≥ 2.$ Точку $(− 1;−2)$ выколем, т. к. она не удовлетворяет ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#119413

Постройте график функции $y =--x2− x-+1--⋅|x+ 1|. x4− x3+x − 1$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

4 3 x − x + x− 1⁄= 0

3 x (x− 1)+ (x − 1)⁄= 0

(x3+ 1)(x− 1)⁄= 0

( ( ( {x3+ 1⁄= 0 {x3 ⁄= −1 {x⁄= −1 (x − 1⁄= 0 ⇐⇒ (x⁄= 1 ⇐ ⇒ (x⁄= 1 ⇐ ⇒ x⁄= ±1

Немного преобразуем исходную функцию:

2 2 2 y =-4x-−3x+1---⋅|x+ 1|= |x+-1|(x-−3 x-+1)=--|x-+1|(x-−-x2+-1)-- x − x +x − 1 (x − 1)(x + 1) (x− 1)(x+ 1)(x − x+1)

Поскольку $x2− x+ 1= (x− 1)2+ 3≥ 3, 2 4 4$ спокойно можем сократить дробь:

2 - -- 1 y = ---|x-+1|-(x-−-x2+-1)----= ---|x-+1|-- (x− 1)(x+ 1)-(x-− x+ 1)1 (x− 1)(x+ 1)

Нули модуля:

x+ 1= 0| − 1

x= −1

При $x< −1$ исходная функция эквивалентна следующей:

y =--−(x+-1)- =− ---x+-1--- (x− 1)(x+ 1) (x− 1)(x+1)

На ОДЗ:

// 1 y = −---/x+-1//--= −--1- (x − 1)/(x +1)1 x − 1

Это гипербола с асимптотами $x =1$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 0$ (т. к. дробь $1 x− 1$ принимает любые значения, кроме нуля). Её ветви лежат во $II$ и $IV$ координатных четвертях.

При $x> −1$ исходная функция эквивалентна следующей:

y =---x+-1--- (x− 1)(x+ 1)

На ОДЗ:

// 1 y =-(x-−/x 1+)(x1/+/1)-= x−11 / 1

Это гипербола с асимптотами $x =1$ (т. к. знаменатель не может быть равен $0)$ и $y = 0$ (т. к. дробь $1 x− 1$ принимает любые значения, кроме нуля). Её ветви лежат в $I$ и $III$ координатных четвертях.

Итак, изобразим графики функций $y =− x1−-1$ при $x< −1$ и $y = x−11$ при $x> −1.$ Точки $(−1;− 12)$ и $(− 1;12)$ выколем, т. к. они не удовлетворяют ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#119414

Постройте график функции $y =-x4+2x3−-8x−-16-. (x2 +2x+ 4)⋅|x+ 2|$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 (x + 2x+4)⋅|x +2|⁄= 0

2 2 ((x +1) + 3)⋅|x+2|⁄= 0| ÷ ((x +1) +3)≥ 3

|x+ 2|⁄=0

x+ 2⁄= 0| − 2

x⁄= −2

Немного преобразуем числитель исходной функции:

x4+ 2x3− 8x − 16= x3(x +2)− 8(x+ 2)=(x+ 2)(x3− 8)=(x+ 2)(x− 2)(x2+ 2x +4)

Тогда исходная функция:

(x+ 2)(x− 2)(x2+ 2x +4) y =--(x2+-2x-+4)⋅|x-+2|--

Поскольку $x2+ 2x+4 =(x+ 1)2+ 3≥ 3,$ спокойно можем сократить дробь:

(x+ 2)(x− 2)(x2-+-2-x+--4)1 (x +2)(x − 2) y =----(x-2+-2x-+---4)⋅|x-+2|-- = --|x+-2|--- 1

Нули модуля:

x+ 2= 0| − 2

x= −2

При $x< −2$ исходная функция эквивалентна следующей:

(x+ 2)(x− 2) (x+2)(x− 2) y =--−(x+-2)- =− ---x+-2---

На ОДЗ:

1/(x/+/2)(x − 2) y = −---/x/+/2---= −(x− 2)= 2− x 1

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0;2)$ и $(2;0).$

При $x> −2$ исходная функция эквивалентна следующей:

y = (x+-2)(x−-2) x+ 2

На ОДЗ:

1 // y = /(x+x2)(//+x2−-2)= x− 2 / 1

График этой функции — прямая, проходящая через точки $(0;−2)$ и $(2;0).$

Итак, изобразим графики функций $y =2 − x$ при $x< −2$ и $y = x− 2$ при $x> −2.$ Точки $(−2;− 4)$ и $(−2;4)$ выколем, т. к. они не удовлетворяют ОДЗ. Это и будет искомый график:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Предыдущая подтема

Следующая подтема