Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.03 Парабола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Гипербола

Модуль

Парабола

Прямая

Смешанные графики

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#123876

Как называется график функции $y = ax2+bx+ c?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Квадратичная функция всегда задаёт параболу.

Ответ: Парабола

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#123877

Куда направлены ветви параболы $y = 3x2?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Если коэффициент $a> 0,$ ветви направлены вверх.

$PIC$

Ответ: Вверх

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123878

В какой точке парабола достигает своего минимального или максимального значения?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Вершина — это точка минимума или максимума параболы.

Ответ: В вершине

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123879

По какой формуле можно найти вершину параболы $y = ax2 +bx+ c?$

A) $-b x= 2a$

B) $-b x= −2a$

C) $c x= a$

D) $x= 0$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x= − b. 2a$

Ответ: B)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123880

Сколько корней может быть у квадратичной функции?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Зависит от дискриминанта: $D > 0$ — 2 корня, $D = 0$ — 1, $D < 0$ — нет корней.

Ответ: 0, 1 или 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#123908

Найдите вершину параболы $y = x2− 4x+ 3.$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

$x =− b-= 2 2a$ , подставляем в уравнение: $y = 4− 8+3 =− 1.$

$PIC$

Ответ: (2, -1)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123909

Куда направлены ветви графика функции $y = −0.5x2+ x?$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Коэффициент $a =−0.5< 0.$

$PIC$

Ответ: Вниз

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#123910

Как преобразовать $y = x2$ для сдвига влево на $3?$

A) $2 y = (x− 3)$

B) $2 y = x − 3$

C) $2 y = (x+3)$

D) $2 y = x + 3$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Замена $x$ на $x +3$ сдвигает график влево.

$PIC$

Ответ: C)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#123911

Какое уравнение соответствует параболе с вершиной в $(1,−2)?$

A) $2 y = (x+1) − 2$

B) $2 y = x − 2$

C) $2 y = (x− 2) + 1$

D) $2 y = (x− 1) − 2$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

График квадратичной функции (параболы) с вершиной в точке $(h,k)$ задаётся вершинной формой уравнения:

2 y = a(x− h) + k

где:

$h =1$ — координата вершины по оси абсцисс
$k =− 2$ — координата вершины по оси ординат
$a$ — коэффициент, определяющий направление и ширину параболы ( $a >0$ — ветви вверх, $a< 0$ — ветви вниз)

Подставляя координаты вершины $(1,−2):$

2 y =a(x− 1) − 2

При стандартном значении $a =1$ получаем:

2 y = (x − 1) − 2

$PIC$

Ответ: D)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123912

Какой коэффициент $a$ сделает параболу $y = ax2$ шире?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

При $|a|< 1$ расстояние между ветвями параболы становится шире.

Ответ: a = 0.5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124220

Постройте график функции $y = 1x2. 4$ Найдите:

(a) значения $y$ при $x =− 2,5;$ $− 1,5;$ $3,5;$

(b) значения $x,$ при которых $y = 5;$ $3;$ $2;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем значения функции $y = 1x2 4$ от различных аргументов:

1 2 49 1 y(−7)= 4 ⋅(−7) = 4-= 124 = 12,25

9 y(−6)= 1 ⋅(−6)2 =-//36-= 9 4 /41

y(−5)= 1⋅(−5)2 = 25-= 61= 6,25 4 4 4

1 /164 y(−4)= 4 ⋅(−4)2 =-/4--= 4 /1

y(−3)= 1 ⋅(−3)2 = 9= 21 =2,25 4 4 4

1 41 y(−2)= 4 ⋅(− 2)2 =-/4-= 1 /1

1 2 1 y(− 1)= 4 ⋅(−1) = 4 =0,25

1 y(0)= 4 ⋅02 = 0

y(1)=y(−1)= 0,25

y(2)=y(−2)= 1

y(3)=y(−3)= 2,25

y(4)=y(−4)= 4

y(5)=y(−5)= 6,25

y(6)=y(−6)= 9

y(7)= y(− 7)=12,25

Составим таблицу значений функции:

|--|-----|---|----|---|---|----|---|--|----|--|----|-|----|--|-----| |x-|-−7--|−6-|−5--|−4-|−3-|−-2-|−1-|0-|-1--|2-|-3--|4|--5-|6-|--7--| -y--12,25--9---6,25--4---2,25--1---0,25-0--0,25--1--2,25--4-6,25-9--12,25-|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $1 2 y = 4x :$

$PIC$

(a) Найдём значения $y$ при $x = −2,5;$ $y = −1,5$ и $y =3,5:$

y(−2,5)= 1⋅(− 2,5)2 = 1⋅(5)2 = 1⋅ 25= 25 =1-9 4 4 2 4 4 16 16

y(− 1,5)= 1⋅(− 1,5)2 = 1⋅(3)2 = 1 ⋅ 9=-9 4 4 2 4 4 16

y(3,5)= 1 ⋅3,52 = 1⋅(7)2 = 1⋅ 49= 49 =3-1 4 4 2 4 4 16 16

(b) Найдём значения $x,$ при которых $y = 5;$ $3;$ $2.$ Для этого решим несколько уравнений.

Для $y = 5:$

1 4x2 = 5| ⋅4

x2 = 20

√-- √ - x= ± 20= ±2 5

Для $y = 3:$

1x2 = 3| ⋅4 4

2 x = 12

x= ±√12= ±2√3

Для $y = 2:$

1x2 = 2| ⋅4 4

x2 = 8

√ - √- x= ± 8= ±2 2

Ответ:

$PIC$

(a) $y(−2,5)= 1 916;$ $y(−1,5)= 916;$ $y(3,5)= 3 116;$ (b) $√ - x= ±2 5;$ $√- x =±2 3;$ $√- x= ±2 2;$ (c) убывает в промежутке $(−∞; 0];$ возрастает в промежутке $[0;+∞ ).$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124222

Постройте график функции $y = −2x2.$ Найдите:

(a) значение $y$ при $x= −1,5;$ $0,6;$ $1,5;$

(b) значения $x,$ при которых $y = −1;$ $− 3;$ $− 4,5;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем значения функции $y =−2x2$ от различных аргументов:

2 y(−2)= −2⋅(−2) =− 2⋅4=− 8

9 y(−1,5)= −2⋅(−1,5)2 = −2⋅(3)2 =− 2⋅ 9= − //18-= − 9= −41 =− 4,5 2 4 /42 2 2

y(−1)= −2⋅(−1)2 =− 2

1 y(−0,5)= −2⋅(−0,5)2 = −2⋅(1)2 = −2⋅ 1= − /2-= − 1= −0,5 2 4 /42 2

y(0)= −2 ⋅02 = 0

y(0,5)= y(−0,5)= −0,5

y(1)= y(− 1)= −2

y(1,5)= y(−1,5)= −4,5

y(2)= y(− 2)= −8

Составим таблицу значений функции:

|x-|−2-|−1,5-|−1-|−0,5|-0|-0,5--|1--|1,5-|-2-| |y-|−8-|−4,5-|−2-|−0,5|-0|−-0,5-|−2-|−4,5-|−8-| --------------------------------------------

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = −2x2:$

$PIC$

(a) Найдём значения $y$ при $x = −1,5;$ $0,6;$ $1,5:$

2 32 9 //189- 9 1 y(−1,5)= −2⋅(−1,5) = −2⋅(2) =− 2⋅4 = − /4 = − 2 = −42 =− 4,5 2

y(0,6) =−2 ⋅0,62 =− 2⋅(3)2 =−2 ⋅ 9-= − 18= 0,72 5 25 25

2 3 2 9 //189- 9 1 y(1,5)= −2⋅1,5 = −2⋅(2) =− 2⋅4 = − /4 =− 2 = −42 =− 4,5 2

(b) Найдём значения $x,$ при которых $y = −1;$ $− 3;$ $− 4,5.$ Для этого решим несколько уравнений.

Для $y = −1:$

2 −2x = −1 | ÷(−2)

2 1 x = 2

∖⋅√2 ∘ 1- --√1---- √2- x= ± 2 =± √2 = ± 2

Для $y = −3:$

−2x2 = −3 | ÷(−2)

x2 = 32

√ - ∘ -- √-∖⋅ 2 √- x= ± 3= ± --√3----= -6- 2 2 2

Для $y = −4,5:$

− 2x2 =4,5

2 9 −2x = −2 | ÷ (− 2)

2 9 x = − 4

∘ -- x= ± 9 =± 3= ±11 = ±1,5 4 2 2

Ответ:

$PIC$

(a) $y(−1,5)= −4,5;$ $y(0,6)=0,72;$ $y(1,5)= −4,5;$ (b) $√- x = ±-2; 2$ $√- x = ±-6; 2$ $x = ±1,5;$ (c) возрастает в промежутке $(−∞; 0];$ убывает в промежутке $[0;+∞ ).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124223

Постройте в одной системе координат график функций $y =x2,$ $y = 1,8x2$ и $y = 1x2. 3$ Сравните значения этих функций при $x= 0,5,$ $x =1$ и $x =2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем значения функций от различных аргументов.

Для $2 y = x :$

2 y(−5)= (− 5) = 25

2 y(−4)= (− 4) = 16

y(− 3)= (−3)2 =9

y(− 2)= (−2)2 =4

y(− 1)= (−1)2 =1

y(0)= 02 =0

y(1)=y(−1)= 1

y(2)=y(−2)= 4

y(3)=y(−3)= 9

y(4)= y(−4)=16

y(5)= y(−5)=25

Для $y = 1,8x2 = 95x2:$

9 2 9 //22545 y(−5)= 5 ⋅(−5) = 5 ⋅25=-/5--= 45 1

y(−4)= 9⋅(−4)2 = 9⋅16= 144-= 28 4= 28,8 5 5 5 5

9 2 9 81 1 y(−3)= 5 ⋅(−3) =5 ⋅9= 5 = 165 = 16,2

9 9 36 1 y(− 2)= 5 ⋅(− 2)2 = 5 ⋅4 = 5-= 75 = 7,2

y(−1)= 9⋅(− 1)2 = 9 = 14= 1,8 5 5 5

y(0)= 9⋅02 = 0 5

y(1)= y(− 1)= 1,8

y(2)= y(− 2)= 7,2

y(3)=y(−3)= 16,2

y(4)=y(−4)= 28,8

y(5)= y(−5)=45

Для $y = 1x2: 3$

y(−5)= 1 ⋅(−5)2 = 1⋅25= 25= 81 3 3 3 3

1 2 1 16 1 y(−4)= 3 ⋅(−4) = 3 ⋅16= 3 = 53

3 y(−3)= 1⋅(−3)2 = 1⋅9= -/9-= 3 3 3 /31

y(−2)= 1⋅(−2)2 = 1⋅4= 4 =11 3 3 3 3

1 2 1 y(−1)= 3 ⋅(−1) = 3

1 y(0)= 3 ⋅02 = 0

y(1) =y(−1)= 1 3

y(2)= y(− 2)= 11 3

y(3)=y(−3)= 3

y(4)= y(− 4)= 513

y(5)= y(− 5)= 81 3

Составим таблицу значений всех трёх функций:

--------------------------------------------------------- | x |− 5| −4 | −3 |−2 |− 1|0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |--y =-x2-|-25-|-16-|-9--|-4-|-1-|0-|-1-|-4-|-9--|-16-|25-| |-y =-1,8x2|-45-|28,8|16,2-|7,2-|1,8|0-|1,8-|7,2-|16,2-|28,8-|45-| |-----12--|--1|--1-|----|-1-|-1-|--|-1-|-1-|----|--1-|-1-| --y-=-3x-----83--53---3---13---3--0---3--13---3----53--83-|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим графики функций $2 y = x ,$ $2 y = 1,8x$ и $1 2 y =3 x:$

$PIC$

По графику видно, что при $x= 0,5,$ $x= 1$ и $x= 2$ выполняется неравенство $1x2 < x2 < 1,8x2: 3$

$PIC$

При желании можем проверить это, поочерёдно подставив в это неравенство каждое из значений $x$ и в каждом случае получив верное неравенство.

Для $1 x= 0,5 = 2:$

-5 < 15-< 27 60 60 60

Для $x= 1:$

1 < 1< 1,8 3

Для $x= 2:$

11< 4< 7,2 3

Ответ:

$PIC$

При $x= 0,5,$ $x= 1$ и $x= 2$ выполняется неравенство $1 3x2 < x2 < 1,8x2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124225

Постройте в одной системе координат график функций $y = 0,4x2$ и $y =− 0,4x2.$ Какова область значений каждой из этих функций?

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем значения функций от различных аргументов.

Для $2 2 2 y = 0,4x = 5x :$

2 2 2 32 2 y(−4)= 5 ⋅(−4) = 5 ⋅16= 5-= 65 =6,4

2 2 18 3 y(− 3)= 5 ⋅(− 3)2 = 5 ⋅9 = 5-= 35 = 3,6

y(−2)= 2⋅(−2)2 = 2⋅4= 8 =13 = 1,6 5 5 5 5

y(−1)= 2⋅(−1)2 = 2 = 0,4 5 5

y(0)= 2⋅02 = 0 5

y(1)= y(− 1)= 0,4

y(2)= y(− 2)= 1,6

y(3)= y(− 3)= 3,6

y(4)= y(− 4)= 6,4

Для $y = −0,4x2 = 2x2: 5$

y(−4)= − 2 ⋅(−4)2 = − 2 ⋅16 =− 32= −62= −6,4 5 5 5 5

2 2 2 18 3 y(− 3)= − 5 ⋅(− 3)= − 5 ⋅9= − 5 =− 35 = −3,6

2 2 8 3 y(−2)= −5 ⋅(−2)2 = −5 ⋅4 =− 5 = −15 =− 1,6

y(−1)= − 2 ⋅(−1)2 = − 2 =− 0,4 5 5

y(0)= − 2 ⋅02 =0 5

y(1)= y(−1)= −0,4

y(2)= y(−2)= −1,6

y(3)= y(−3)= −3,6

y(4)= y(−4)= −6,4

Составим таблицу значений функций:

|---x-----|−-4-|-−3-|-−2--|−-1-|0-|-1--|-2--|--3--|-4--| |y-=0,4x2--|6,4-|-3,6-|-1,6--|0,4-|0-|-0,4-|-1,6-|-3,6--|6,4-| |y =-−0,4x2|−6,4-|−3,6|−-1,6-|−0,4-|0-|−0,4-|−1,6|−-3,6-|−6,4-| --------------------------------------------------------

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим графики функций $y = 0,4x2$ и $y = −0,4x2:$

$PIC$

Областью значений функции вида $y= ax2$ при $a> 0$ является промежуток $[0;+ ∞).$ Областью значений функции вида $y= ax2$ при $a <0$ является промежуток $(−∞; 0].$

Ответ:

$PIC$

$E(y)= [0;+ ∞)$ и $E(y)= (−∞; 0]$ соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124226

Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:

(a) $y =− 1,5x2;$

(b) $y =0,8x2.$

Перечислите свойства этой функции.

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $y = −1,5x2$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в полтора раза и отразили симметрично относительно оси $x.$

Схема расположения в координатной плоскости:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ График функции проходит через начало координат.

$2)$ Если $x⁄= 0,$ то $y < 0.$ График функции расположен в нижней полуплоскости.

$3)$ Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. График функции симметричен относительно оси $y.$

$4)$ Функция возрастает в промежутке $(−∞; 0]$ и убывает в промежутке $[0;+∞ ).$

$5)$ Наибольшее значение, равное нулю, функция принимает при $x= 0,$ наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $(−∞;0].$

(b) $y =0,8x2$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 5 1 4-= 4 = 14 = 1,25 5$ раз.

Схема расположения в координатной плоскости:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ График функции проходит через начало координат.

$2)$ Если $x⁄= 0,$ то $y > 0.$ График функции расположен в верхней полуплоскости.

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞;0]$ и возрастает в промежутке $[0;+∞ ).$

$5)$ Наименьшее значение, равное нулю, функция принимает при $x =0,$ наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $[0;+∞ ).$

Ответ:

(a)

$PIC$

График функции проходит через начало координат, расположен в нижней полуплоскости, симметричен относительно оси $y,$ функция возрастает в промежутке $(− ∞;0]$ и убывает в промежутке $[0;+∞ ).$ , наименьшее значение, равное нулю, принимает при $x = 0,$ наибольшего значения не имеет, областью значений является промежуток $[0;+ ∞);$

(b)

$PIC$

График функции проходит через начало координат, расположен в верхней полуплоскости, симметричен относительно оси $y,$ функция убывает в промежутке $(− ∞;0]$ и возрастает в промежутке $[0;+∞ )$ , наименьшее значение, равное нулю, принимает при $x = 0,$ наибольшего значения не имеет, областью значений является промежуток $[0;+ ∞).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124228

Изобразите схематически график и перечислите свойства функции:

(a) $y =0,2x2;$

(b) $y =− 10x2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $y = 0,2x2$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 5 -1= 1 =5 5$ раз.

Схема расположения в координатной плоскости:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ График функции проходит через начало координат.

$2)$ Если $x⁄= 0,$ то $y > 0.$ График функции расположен в верхней полуплоскости.

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞;0]$ и возрастает в промежутке $[0;+∞ ).$

(b) $y =− 10x2$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в десять раз и отразили симметрично относительно оси $x.$

Схема расположения в координатной плоскости:

$PIC$

Свойства:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ График функции проходит через начало координат.

$2)$ Если $x⁄= 0,$ то $y < 0.$ График функции расположен в нижней полуплоскости.

$4)$ Функция возрастает в промежутке $(−∞; 0]$ и убывает в промежутке $[0;+∞ ).$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124229

Пересекаются ли парабола $y = 2x2$ и прямая:

(a) $y =50;$

(b) $y =100;$

(d) $y =14x− 20?$

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Если парабола $y =2x2$ и прямая $y = 50$ пересекаются, то уравнение $2x2 = 50$ должно иметь хотя бы одно решение:

2x2 = 50| ÷ 2

x2 = 25

√-- x= ± 25= ±5

Уравнение $2x2 = 50$ имеет два решения, значит парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(−5;50)$ и $(5;50).$

(b) Если парабола $y = 2x2$ и прямая $y = 100$ пересекаются, то уравнение $2x2 = 100$ должно иметь хотя бы одно решение:

2 2x = 100| ÷2

x2 = 50

√-- √ - x= ± 50= ±5 2

Уравнение $2x2 = 100$ имеет два решения, значит парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(−5√2;100)$ и $(5√2;100).$

2x2 = −8| ÷ 2

x2 =− 4

Левая часть этого уравнения неотрицательная, а правая — отрицательная, значит, оно не имеет решений. Тогда парабола и прямая не пересекаются. Не удивительно: график параболы $y = 2x2$ расположен в верхней полуплоскости, а график прямой $y = −8$ — в нижней, т. к. это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в $(0;−8).$

(d) Если парабола $y = 2x2$ и прямая $y =14x− 20$ пересекаются, то уравнение $2x2 = 14x− 20$ должно иметь хотя бы одно решение:

2x2 = 14x − 20| ÷2

x2 − 7x+ 10= 0

2 2 D = 7 − 4⋅1⋅10= 49− 40 =9 =3

7±-3 x1,2 = 2

⌊ 2 || x1 = 7−2 3-=-/4-= 2 ||| /215 |⌈ 7+3- //10-- x2 = 2 = /2 =5 1

Уравнение $2x2 = 14x − 20$ имеет два решения, значит парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(2;8)$ и $(5;50).$

Ответ:

(a) Да, в точках $(−5;50)$ и $(5;50);$ (b) да, в точках $√ - (− 5 2;100)$ и $√- (5 2;100);$ (c) нет; (d) да, в точках $(2;8)$ и $(5;50).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#124230

Принадлежит ли графику функции $y = −100x2$ точка:

(a) $M (1,5;− 225);$

(b) $K (−3;− 900);$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Если точка $M (1,5;−225)$ принадлежит графику функции $y =− 100x2,$ то при подстановке в функцию $x= 1,5$ и $y = −225$ должно получиться верное равенство:

−225= −100 ⋅1,52

−2,25⋅100= −225

−225= −225

Равенство оказалось верным, точка $M(1,5;−225)$ принадлежит графику функции $y =− 100x2.$

(b) Если точка $K (− 3;−900)$ принадлежит графику функции $2 y = −100x ,$ то при подстановке в функцию $x= −3$ и $y = −900$ должно получиться верное равенство:

2 −900= −100⋅(− 3)

−9⋅100= −900

−900= −900

Равенство оказалось верным, точка $K(−3;−900)$ принадлежит графику функции $y = −100x2.$

(c) Если точка $P(2;400)$ принадлежит графику функции $y = −100x2,$ то при подстановке в функцию $x= 2$ и $y = 400$ должно получиться верное равенство:

400= −100 ⋅22

− 4⋅100= 400

− 400= 400

Равенство оказалось неверным, точка $P (2;400)$ не принадлежит графику функции $y =− 100x2.$ Не удивительно: график параболы $y = −100x2$ расположен в нижней полуплоскости, а точка $P(2;400)$ лежит в $I$ координатной четверти (верхняя полуплоскость).

Ответ:

(a) Да, принадлежит; (b) да, принадлежит; (c) нет, не принадлежит.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#124231

Найдите координаты точек пересечения графиков функций $y = −x2$ и $y = 2x − 3.$ Выполните графическую иллюстрацию.

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Решим уравнение $− x2 = 2x− 3:$

2 −x = 2x− 3

x2+ 2x − 3 =0

D = 22− 4 ⋅1⋅(−3)= 4+ 12 =16= 42

x1,2 = −2±-4 2

⌊ | −2-− 4 -/63 || x1 = 2 =− /2 = −3 ||| 11 ⌈ x2 = −2-+4 =−-/2-= 1 2 /21

Уравнение $− x2 = 2x− 3$ имеет два решения, значит парабола и прямая пересекаются в двух точках: $(− 3;− 9)$ и $(1;− 1).$

Выполним графическую иллюстрацию.

Для начала построим график функции $y =− x2.$

Посчитаем значения этой функции от различных аргументов.

y(−4)=− (− 4)2 = −16

y(−3)= −(−3)2 =− 9

y(−2)= −(−2)2 =− 4

y(−1)= −(−1)2 =− 1

y(0)= −02 = 0

y(1)= y(− 1)= −1

y(2)= y(− 2)= −4

y(3)= y(− 3)= −9

y(4)=y(−4)= −16

Составим таблицу значений этой функции:

|-|----|---|---|---|--|---|---|---|----| |x|-−4-|−-3|−-2|−-1|-0|-1-|-2-|-3-|-4--| |y| −16|− 9|− 4|− 1| 0|− 1|− 4|− 9|− 16| ----------------------------------------

Построим точки, координаты которых указаны в таблице. Соединив их линией, получим график функции $y = −x2:$

$PIC$

Далее построим график функции $y =2x− 3.$ Это прямая, пересекающая ось абсцисс в точке $(1,5;0),$ ось ординат — в $(0;− 3):$

$PIC$

Видно, что графики пересекаются в точках $(− 3;−9)$ и $(1;−1).$

Ответ:

Ответ

$(−3;−9)$ и $(1;−1).$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#124232

Изобразите схематически графики функций $y = 0,01x2$ и $y =10x.$ Графики этих функций имеют общую точку $O(0;0).$ Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.