Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.03 Парабола

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#124233

При каких значениях $k$ прямая $y =kx − 4$ имеет с параболой $y = x2$ только одну общую точку?

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Прямая $y = kx − 4$ имеет с параболой $y = x2$ столько же общих точек, сколько решений имеет уравнение $kx− 4 =x2,$ или же $2 x − kx+ 4= 0.$

Квадратное уравнение не имеет решений при отрицательном дискриминанте, имеет единственное решение при дискриминанте, равном нулю, и имеет два решения при положительном дискриминанте. Посчитаем дискриминант уравнения $2 x − kx +4 =0:$

D= (−k)2 − 4⋅1⋅4= k2− 16

Мы хотим, чтобы у нашего уравнения было единственное решение, значит, хотим, чтобы его дискриминант был равен $0.$ Это происходит в следующих случаях:

2 k − 16 =0 | +16

2 k = 16

k= ±√16= ±4

Получается, нам подходит $2$ значения $k:$ $k= ±4.$

Ответ:

$k =±4.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#124234

Площадь круга $S$ (см $2)$ вычисляется по формуле $S = πr2,$ где $r$ (см) — радиус круга. Постройте график функции $S = πr2$ и найдите по графику:

(a) площадь круга, если его радиус равен $0,8$ см; $1,3$ см; $2,1$ см;

(b) радиус круга, если площадь которого равна $1,8$ см $2;$ $2,5$ см $2;$ $6,5$ см $2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Посчитаем значения функции $S =πr2$ от различных аргументов, не забывая, что радиус круга может быть только неотрицательным числом:

2 S (0)= π⋅0 = 0

2 S(0,5)= π⋅0,5 =0,25π ≈0,8

S(1)= π⋅12 =π ≈ 3,1

S(1,5)= π⋅1,52 =2,25π ≈7,1

S (2)= π⋅22 = 4π ≈ 12,6

S(2,5)= π⋅2,52 = 6,25π ≈ 19,6

Составим таблицу значений функции:

|--|--|---------|------|---------|--------|----------| |r-|0-|---0,5----|--1---|---1,5----|---2----|---2,5----| -S--0--0,25π ≈-0,8-π ≈-3,1-2,25π ≈-7,1-4π ≈-12,6-6,25π ≈-19,6|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $2 S = πr :$

$PIC$

(a) С помощью графика найдём площадь круга по его радиусу:

$PIC$

При радиусе $0,8$ см площадь круга приблизительно равна $2$ см $2,$ при радиусе $1,3$ см — $5,3$ см $2,$ при радиусе $2,1$ см — $13,9$ см $2.$

(b) С помощью графика найдём радиус круга по площади:

$PIC$

При площади $1,8$ см $2$ радиус круга приблизительно равен $0,8$ см, при площади $2,5$ см $2$ — $0,9$ см, при площади $6,5$ см $2$ — $1,4$ см.

Ответ:

$PIC$

(a) $2$ см $2,$ $5,3$ см $2$ и $13,9$ см $2$ соответственно; (b) $0,8$ см, $0,9$ см и $1,4$ см соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#124235

Площадь поверхности куба $y$ (см $2)$ зависит от ребра куба $x$ (см). Задайте эту зависимость формулой. Постройте её график и найдите по графику:

(a) площадь поверхности куба, если его ребро равно $0,9$ см; $1,5$ см; $1,8$ см;

(b) длину ребра, если площадь поверхности куба равна $7$ см $2;$ $10$ см $2;$ $14$ см $2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Формула зависимости площади поверхности куба $y$ (см $2)$ от ребра куба $x$ (см):

2 y =6x ,x≥ 0

Посчитаем значения функции $y =6x2$ от различных аргументов, не забывая, что длина ребра может быть только неотрицательным числом:

2 y(0)= 6⋅0 =0

1 1 63 3 1 y(0,5)=6⋅0,52 =6⋅(2)2 = 6⋅4 =-/ =2 = 12 = 1,5 /42

2 y(1)= 6⋅1 =6

2 1 2 3 2 9 //5427 27 1 y(1,5) =6⋅1,5 =6⋅(12) = 6⋅(2) = 6⋅4 = /4 = 2 = 132 = 13,5 2

y(2)= 6⋅22 = 6⋅4= 24

Составим таблицу значений функции:

|--|--|---|-|----|---| |x-|0-|0,5-|1|-1,5-|-2-| -y--0--1,5--6-13,5-24--

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = x2:$

$PIC$

(a) С помощью графика найдём площадь поверхности куба по длине его ребра:

$PIC$

При длине ребра $0,9$ см площадь поверхности куба приблизительно равна $4,9$ см $2,$ при длине $1,5$ см — $13,5$ см $2,$ при длине $1,8$ см — $19,4$ см $2.$

(b) С помощью графика найдём ребро куба по площади его поверхности:

$PIC$

При площади $7$ см $2$ длина ребра приблизительно равна $1,1$ см, при площади $10$ см $2$ — $1,3$ см, при площади $14$ см $2$ — $1,5$ см.

Ответ:

$PIC$

(a) $4,9$ см $2,$ $13,5$ см $2$ и $19,4$ см $2$ соответственно; (b) $1,1$ см, $1,3$ см и $1,5$ см соответственно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#124236

Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей):

(a) $1 y = 2x2;$

(b) $1 2 y =− 3x ;$

(d) $y = 1x2+4; 2$

(e) $1 y =− 3x2+2;$

(f) $1 2 y = 5(x− 3);$

(g) $y = 1x2− 3; 2$

(h) $y =− 13x2− 1;$

(i) $1 2 y = 5(x+ 3).$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $1 y = 2x2$ — парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 -1= 2 2$ раза. Её вершина находится в точке $(0;0),$ а ветви направлены вверх.

(b) $y =− 1x2 3$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $11-= 3 3$ раза и отразили симметрично относительно оси $x.$ Её вершина находится в точке $(0;0),$ а ветви направлены вниз.

(c) $y = 15x2$ — парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $11= 5 5$ раз. Её вершина находится в точке $(0;0),$ а ветви направлены вверх.

(d) $y = 1x2+4 2$ — парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1= 2 12$ раза и перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $4$ единицы вверх. Её вершина находится в точке $(0;4),$ а ветви направлены вверх.

(e) $y =− 1x2+2 3$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $11-=3 3$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $2$ единицы вверх. Её вершина находится в точке $(0;2),$ а ветви направлены вниз.

(f) $1 y = 5(x− 3)2$ — парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 1= 5 5$ раз и перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $3$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(3;0),$ а ветви направлены вверх.

(g) $1 2 y = 2x − 3$ — парабола $2 y =x ,$ которую сжали к оси $x$ в $1- 12 = 2$ раза и перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $3$ единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0;−3),$ а ветви направлены вверх.

(h) $y =− 1x2− 1 3$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1-= 3 13$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $1$ единицу вниз. Её вершина находится в точке $(0;−1),$ а ветви направлены вниз.

(i) $y = 1(x+ 3)2 5$ — парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $-11= 5 5$ раз и перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $3$ единицы влево. Её вершина находится в точке $(− 3;0),$ а ветви направлены вверх.

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

(e)

$PIC$

(f)

$PIC$

(g)

$PIC$

(h)

$PIC$

(i)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#124237

С помощью шаблона параболы $y = x2$ постройте график функции:

(a) $y =x2− 4;$

(b) $y =− x2+3;$

(d) $2 y =(x+ 3).$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Шаблон параболы $y =x2:$

$PIC$

(a) $y =x2− 4$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $4$ единицы вниз:

$PIC$

(b) $y =− x2+3$ — парабола $y =x2,$ которую отразили симметрично относительно оси $x$ и перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $3$ единицы вверх:

$PIC$

(d) $y =(x+ 3)2$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $3$ единицы влево:

$PIC$

Ответ:

Ответ

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#124238

Используя шаблон параболы $y =x2,$ постройте график функции:

(a) $y =x2+ 2;$

(b) $y =− x2− 1;$

(d) $2 y =− (x − 3).$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Шаблон параболы $y =x2:$

$PIC$

(a) $y =x2+ 2$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $2$ единицы вверх:

$PIC$

(b) $y =− x2− 1$ — парабола $y =x2,$ которую отразили симметрично относительно оси $x$ и перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $1$ единицу вниз:

$PIC$

(d) $y =− (x − 3)2$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $5$ единиц вправо и отразили симметрично относительно оси $x:$

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#124239

В каких координатных четвертях расположен график функции:

(a) $y =10x2+ 5;$

(b) $y =− 7x2 − 3;$

(d) $2 y =(x− 4);$

(e) $y =− (x− 8)2;$

(f) $y = −3(x+ 5)2?$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $y = 10x2+5$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в $10$ раз и перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $5$ единиц вверх. Её вершина находится в точке $(0;5),$ а ветви направлены вверх. График функции расположен в $I$ и $II$ координатных четвертях.

(b) $y =− 7x2 − 3$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в $7$ раз и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $3$ единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0;−3),$ а ветви направлены вниз. График функции расположен в $III$ и $IV$ координатных четвертях.

(c) $y =−6x2+ 3$ — парабола $y = x2,$ которую растянули от оси $x$ в $6$ раз и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $3$ единицы вверх. Её вершина находится в точке $(0;3),$ а ветви направлены вниз. График функции расположен во всех координатных четвертях: в $I,$ $II,$ $III$ и $IV.$

(d) $y =(x− 4)2$ — парабола $y =x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $4$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(4;0),$ а ветви направлены вверх. График функции расположен в $I$ и $II$ координатных четвертях.

(e) $y =− (x− 8)2$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $8$ единиц вправо, а потом отразили симметрично относительно оси $x$ . Её вершина находится в точке $(8;0),$ а ветви направлены вниз. График функции расположен в $III$ и $IV$ координатных четвертях.

(f) $y = −3(x+ 5)2$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в $3$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $5$ единиц влево. Её вершина находится в точке $(− 5;0),$ а ветви направлены вниз. График функции расположен в $III$ и $IV$ координатных четвертях.

Ответ:

(a) в $I$ и $II$ четвертях; (b) в $III$ и $IV$ четвертях; (c) в $I,$ $II,$ $III$ и $IV$ четвертях; (d) в $I$ и $II$ четвертях; (e) в $III$ и $IV$ четвертях; (f) в $III$ и $IV$ четвертях.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#124240

Изобразите схематически график функции:

(a) $1 y = 2(x− 2)2+1;$

(b) $1 2 y = 2(x +3) − 1;$

(d) $y =− 4(x+ 2)2 − 2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $1 y = 2(x− 2)2+ 1$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 -1= 2 2$ раза, а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $1$ единицу вверх и вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2;1),$ а ветви направлены вверх. Она не пересекает ось абсцисс, пересекает ось ординат в $(0;3).$

(b) $1 2 y = 2(x +3) − 1$ — парабола $2 y = x,$ которую сжали к оси $x$ в $1- 12 =2$ раза, а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $1$ единицу вниз и вдоль оси $x$ на $3$ единицы влево. Её вершина находится в точке $(−3;−1),$ а ветви направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $√ - (− 3− 2;0)$ и $√ - (− 3+ 2;0),$ ось ординат — в $(0;3,5).$

(c) $y =−4(x− 3)2+ 5$ — парабола $y = x2,$ которую растянули от оси $x$ в $4$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $5$ единиц вверх и вдоль оси $x$ на $3$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(3;5),$ а ветви направлены вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках $6-− √5 ( 2 ;0)$ и $6+√5- ( 2 ;0),$ ось ординат — в $(0;− 31).$

(d) $y =− 4(x+ 2)2 − 2$ — парабола $y =x2,$ которую растянули от оси $x$ в $4$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $2$ единицы вниз и вдоль оси $x$ на $2$ единицы влево. Её вершина находится в точке $(−2;−2),$ а ветви направлены вниз. Она не пересекает ось абсцисс, пересекает ось ординат в $(0;− 18).$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

(d)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#124241

Изобразите схематически график функции:

(a) $1 y = 4(x− 2)2− 3;$

(b) $1 2 y =− 4(x+2) + 3.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) $1 y = 4(x− 2)2− 3$ — парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 -1= 4 4$ раза, а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $3$ единицы вниз и вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2;−3),$ а ветви направлены вверх. Она пересекает ось абсцисс в точках $(2− 2√3;0)$ и $(2+ 2√3;0),$ ось ординат — в $(0;− 2).$

(b) $1 2 y =− 4(x+2) + 3$ — парабола $2 y = x,$ которую сжали к оси $x$ в $1- 14 =4$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $y$ на $3$ единицы вверх и вдоль оси $x$ на $2$ единицы влево. Её вершина находится в точке $(−2;3),$ а ветви направлены вниз. Она пересекает ось абсцисс в точках $√- (−2 − 2 3;0)$ и $√- (−2+ 2 3;0),$ ось ординат — в $(0;2).$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#124242

Используя шаблон параболы $y =x2,$ постройте график функции:

(a) $y =(x− 2)2+ 3;$

(b) $y =− (x − 3)2+5.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Шаблон параболы $y =x2:$

$PIC$

(a) $y =(x− 2)2+ 3$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо и вдоль оси $y$ на $3$ единицы вверх:

$PIC$

(b) $y =− (x − 3)2+5$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $3$ единицы вправо, отразили симметрично относительно оси $x,$ а затем перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $5$ единиц вверх:

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#124243

С помощью шаблона параболы $y = x2$ постройте график функции:

(a) $y =(x+ 3)2− 4;$

(b) $y =− (x +4)2− 2.$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Шаблон параболы $y =x2:$

$PIC$

(a) $y =(x+ 3)2− 4$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно $2$ раза: вдоль оси $x$ на $3$ единицы влево и вдоль оси $y$ на $4$ единицы вниз:

$PIC$

(b) $y =− (x +4)2− 2$ — парабола $y = x2,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $4$ единицы влево, отразили симметрично относительно оси $x,$ а затем перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $2$ единицы вниз:

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#124244

Найдите нули функции (если они существуют):

(a) $y =12x2− 3;$

(b) $y =6x2+ 4;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Нули функции — это значения её аргумента, при которых функция равна нулю.

(a) Найдём нули функции $y = 12x2− 3,$ решив уравнение:

12x2 − 3= 0| +3

12x2 = 3| ÷ 4

1 x2 =-/3-- //124

1 x2 = 4

∘-- x= ± 1= ±1 4 2

(b) Найдём нули функции $2 y = 6x +4,$ решив уравнение:

6x2+ 4= 0| − 4

2 6x = −4

Уравнение не имеет решений, т. к. его левая часть неотрицательна, а правая — наоборот, отрицательна. Получается, функция не имеет нулей.

Неудивительно, $y = 6x2+4$ — парабола с вершиной в точке $(0;4),$ ветви которой направлены вверх. Она целиком лежит в $I$ и $II$ четвертях и не пересекает ось абсцисс, так что нулей не имеет.

−x2− 4= 0

x2 =− 4

Неудивительно, $y = −x2− 4$ — парабола с вершиной в точке $(0;−4),$ ветви которой направлены вниз. Она целиком лежит в $III$ и $IV$ четвертях и не пересекает ось абсцисс, так что нулей не имеет.

Ответ:

(a) $1 x = ±2;$ (b) функция не имеет нулей; (c) функция не имеет нулей.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#124245

При каких значениях $a$ функция $y =ax2+ 5$ имеет нули?

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Нули функции — это значения её аргумента, при которых функция равна нулю.

Первое решение.

Чтобы функция $2 y = ax + 5$ имела нули, необходимо, чтобы уравнение $2 ax + 5=0$ имело хотя бы одно решение. Немного преобразуем это уравнение:

ax2+ 5= 0| − 5

2 ax = −5

При $a= 0$ равенство не выполняется, так что можем считать, что $a⁄= 0:$

ax2 =−5 | ÷ a⁄= 0

x2 = − 5 a

При $a> 0$ это уравнение не будет иметь решений, т. к. левая часть будет неотрицательной, а правая — отрицательной. При $a <0:$

2 5 x = − a

∘--- x =± − 5 a

Получается, подходят все $a <0.$

Второе решение.

Выясним, что из себя представляет график функции $y = ax2+5.$

Для начала рассмотрим частный случай $a =0.$ Если $a =0,$ функция принимает вид $y = 5$ — это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в точке $(0;5).$ Она целиком лежит в $I$ и $II$ координатных четвертях, так что не имеет нулей.

При $a⁄= 0$ график функции $y = ax2+5$ — парабола с вершиной в $(0;5).$ При $a< 0$ её ветви будут направлены вниз, поэтому парабола будет лежать во всех координатных четвертях и пересекать ось абсцисс в двух точках, т. е. иметь нули. При $a >0$ её ветви будут направлены вверх, поэтому парабола будет лежать только в $I$ и $II$ координатных четвертях и не будет пересекать ось абсцисс, т. е. не будет иметь нулей.

Получается, нам подходят все $a< 0.$

Ответ:

$a <0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#124246

Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью $v 0$ (м/с) с высоты $h 0$ (м), на которой окажется тело через $t$ (с), выражается формулой $gt2 h =− -2-+v0t+h0,$ ( $g ≈ 10$ м/с $2).$ На рисунке показан график зависимости $h$ от $t$ для случая, когда $h0 = 20,$ $v0 = 15:$

$PIC$

Найдите по графику:

(a) сколько времени тело поднималось вверх;

(b) сколько времени оно опускалось вниз;

(d) через сколько секунд тело упало на землю?

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Прежде чем отвечать на все вопросы, внимательно рассмотрим формулу и выясним координаты некоторых значимых точек графика.

Для начала отметим, что при $g ≈10$ (м/с $2 ),$ $h0 = 20$ (м) и $v0 =15$ (м/с) формула принимает следующий вид:

5 h= − //10t2-+15t+20 =− 5t2+ 15t+ 20= −5(t2− 3t− 4)= −5(t+ 1)(t− 4) /21

Перейдём к значимым точкам графика.

При $t= 0$ (с) значение функции равно $20$ (м), т. е. точка $(0;20)$ является “началом” графика.

Вершина нашего графика имеет абсциссу $--15--- //153- 3 1 t0 =− 2⋅(− 5) = //10 = 2 = 12 = 1,5 2$ и ординату $2 125 h0 = − 15-−-4⋅(−5)⋅20-= 225-+400=-/6/25--= 125= 311= 31,25. 4⋅(−5) 20 //204 4 4$ То есть максимум функции — точка $(1,5;31,25).$

Значение функции равно $0$ (м) при $t= 4$ (с), т. е. точка $(4;0)$ является “концом” графика.

Отметим найденные точки на графике:

$PIC$

Теперь можем перейти к вопросам.

(a) Тело начало подниматься вверх при $t= 0$ (с), а закончило при $t=1,5$ (с), когда достигло вершины параболы. Получается, оно поднималось вверх $1,5$ с.

(b) Тело начало опускаться вниз при $t= 1,5$ (с), когда достигло вершины параболы, а закончило при $t= 4$ (с). Получается, оно опускалось вниз $2,5$ с.

(d) Тело упало на землю через $4$ секунды после начала полёта.

Ответ:

(a) $1,5$ с; (b) $2,5$ с; (c) $31,25$ м; (d) $4$ с.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#124247

Квадратичная функция задана формулой:

(a) $y =x2− 4x+ 7;$

(b) $y =− 2x2 − 5x− 2.$

Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Абсцисса параболы:

2 x = − −4-= -/4-= 2 0 2⋅1 /21

Ордината параболы:

(−4)2− 4⋅1⋅7 16− 28 //123 y0 = −----4⋅1----= −---4--= -4--= 3 /1

Вершина параболы — точка $(2;3),$ ось симметрии — прямая $x= 2.$ Ветви параболы направлены вверх, она целиком лежит выше оси абсцисс, пересекает ось ординат в точке $(0;7).$ Схема графика:

$PIC$

(b) Абсцисса параболы:

x0 = −-−5--= − 5 = −11= −1,25 2⋅(−2) 4 4

Ордината параболы:

2 y0 = − (−5)-− 4-⋅(−2)⋅(−2)= 25− 16-= 9= 11= 1,125 4⋅(− 2) 8 8 8

Вершина параболы — точка $(−1,25;1,125),$ ось симметрии — прямая $x =−1,25.$ Ветви параболы направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в точках $(−2;0)$ и $(−0,5;0),$ ось ординат — в точке $(0;− 2).$ Схема графика:

$PIC$

Ответ:

(a) $(2;3)$

$PIC$

(b) $(−1,25;1,125)$

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#124248

Постройте график функции $y = −x2+ 2x +8$ и найдите, используя график:

(a) значение функции при $x= 2,5;$ $− 0,5;$ $− 3;$

(b) значения аргумента, при которых $y =6;$ $0;$ $− 2;$

(d) промежутки возрастания и убывания функции, наибольшее значение функции.

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Для начала найдём координаты вершины параболы.

Абсцисса параболы:

1 x0 = −--2--= -/2-= 1 2 ⋅(−1) /21

Ордината параболы:

9 22-− 4⋅(−1)⋅8 4+-32 -//36- y0 = − 4 ⋅(−1) = 4 = /4 = 9 1

Таким образом, координата вершины параболы — $(1;9).$

Посчитаем значения функции $y = −x2+2x +8$ от различных аргументов:

y(−4)= −(−4)2+2⋅(−4)+ 8= −16−/8+/8= −16 / /

2 y(−3)= −(−3) +2⋅(−3)+ 8= −9− 6+8 =− 7

y(−2)= −(− 2)2+ 2⋅(−2)+8= −4 − 4+ 8= 0

y(−1)= −(− 1)2+ 2⋅(−1)+8= −1 − 2+ 8= 5

y(0)=− 02 +2⋅0+ 8= 8

y(2)= −22+ 2⋅2+ 8= //−4//+4 +8= 8

y(3)=− 32 +2⋅3+ 8= −9+ 6+ 8= 5

y(4)= −42− 2⋅4+8 =− 16 /−/ 8 /+/8 =0

y(5)= −52+ 2⋅5+ 8= −25+10+ 8= −7

2 y(6)= −6 +2 ⋅6 +8= −36+ 12+ 8= −16

Составим таблицу значений функции:

|x-|−-4-|−3-|−2-|−1-|0-|1-|2|3-|4-|-5-|-6--| |y-|−16-|−7-|-0-|-5-|8-|9-|8|5-|0-|−7-|−16-| -------------------------------------------|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = −x2+ 2x+ 8:$

$PIC$

(a) Найдём значения функции при $x= 2,5;$ $− 0,5;$ $− 3:$

$PIC$

y(2,5)= 6,8

y(−0,5) =6,8

y(3)= −7

(b) Найдём значения аргумента, при которых $y = 6;$ $0;$ $− 2:$

$PIC$

$y = 6$ при $x =− 0,7$ и $x= 2,7.$ $y = 0$ при $x= −2$ и $x= 4.$ $y = −2$ при $x= −2,3$ и $x= 4,3.$

(d) Функция возрастает при $x ≤1,$ убывает при $x≥ 1.$ Наибольшее значение функции — $y =9.$

Ответ:

$PIC$

(a) $y(2,5)= 6,8,$ $y(−0,5) =6,8,$ $y(3)=− 7;$ (b) $y = 6$ при $x= −0,7$ и $x= 2,7,$ $y = 0$ при $x= −2$ и $x= 4,$ $y = −2$ при $x= −2,3$ и $x =4,3;$ (c) нули функции — $x =− 2$ и $x =4,$ $y <0$ при $x∈ (− ∞;−2)∪(4;+∞ ),$ $y >0$ при $x∈ (− 2;4);$ (d) функция возрастает при $x ≤1,$ убывает при $x≥ 1,$ наибольшее значение функции — $y = 9.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#124249

Постройте график функции и опишите её свойства:

(a) $1 y = 3x2 − 4x+ 4;$

(b) $1 2 y =− 4x + x− 1;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) Для начала найдём координаты вершины параболы.

Абсцисса параболы:

6 x = −-−4-= 4-= //12--=6 0 2⋅ 13 23 /21

Ордината параболы:

(−4)2− 4⋅ 1⋅4 16 − 16 48− 16 //328 y0 = −----4⋅ 1-3-= − --4-3-=− --4---= −-4--= −8 3 3 /1

Таким образом, координата вершины параболы — $(6;− 8).$

Посчитаем значения функции $1 2 y = 3x − 4x +4$ от различных аргументов:

1 2 1 1 y(−1)= 3 ⋅(−1) − 4⋅(−1)+ 4= 3 + 4+ 4= 83

1 2 y(0)= 3 ⋅0 − 4⋅0+ 4=4

1 2 1 1 y(1)= 3 ⋅1 − 4⋅1+ 4= 3//−4//+4= 3

y(2)= 13 ⋅22− 4 ⋅2 +4 = 43 − 8 +4 =113 − 4 =−2 23

y(3)= 1⋅32− 4 ⋅3 +4= 3− 12+ 4= −5 3

y(4) = 1 ⋅42 − 4⋅4+ 4= 16− 16+ 4= 51− 12 =− 62 3 3 3 3

y(5) = 1 ⋅52 − 4⋅5+ 4= 25− 20+ 4= 81− 16 =− 72 3 3 3 3

y(7)= 1⋅72− 4⋅7+ 4= 49− 28 +4 =161− 24= −72 3 3 3 3

1 2 64 1 2 y(8)= 3 ⋅8 − 4⋅8+ 4= 3 − 32 +4 =213 − 28= −63

1 2 y(9)= 3 ⋅9 − 4⋅9+ 4= 27− 36+ 4= −5

1 2 100- 1 2 y(10)= 3 ⋅10 − 4⋅10+4 = 3 − 40+ 4= 333 − 36=− 23

1 2 121 1 1 y(11)= 3 ⋅11 − 4⋅11+4 = 3--− 44+ 4= 403 − 40= 3

y(12)= 13 ⋅122− 4⋅12+ 4=//48/−/ 48+ 4= 4

y(13)= 1⋅132− 4 ⋅13+ 4= 169− 52+4 =561 − 48= 81 3 3 3 3

Составим таблицу значений функции:

|----|---|--|--|----|---|----|-----|---|----|----|---|----|---|--|---| | x |−1 |0 |1 | 2 | 3 | 4 | 5 |6 | 7 | 8 | 9 | 10 |11 |12| 13 | |-y--|81-|4-|1-|−22-|−5-|−62-|−-72-|−8-|−72-|−62-|−5-|−22-|-1-|4-|81-| -------3-----3----3--------3-----3--------3----3--------3---3------3--

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = 1x2− 4x+ 4: 3$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 4.$ $y = 0$ при $√- x= 6± 2 6.$ $y > 0$ при $√ - √ - x∈ (−∞; 6− 2 6)∪ (6+2 6;+∞ ).$ $y < 0$ при $- - x ∈(6− 2√ 6;6+ 2√6).$

$2)$ График функции расположен в $I,$ $II$ и $IV$ координатных четвертях.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(6;−8).$ График функции симметричен относительно прямой $x= 6.$

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞; 6]$ и возрастает в промежутке $[6;+ ∞).$

$5)$ Наименьшее значение, равное $− 8,$ функция принимает при $x= 0,$ наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $[−8;+ ∞).$

(b) Немного преобразуем функцию $1 2 y =− 4x + x− 1:$

1 1 1 y = −4x2+ x− 1= −4(x2− 4x +4)= −4(x− 2)2

Это парабола $y =x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 1-=4 4$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2;0),$ а ветви направлены вниз.

Посчитаем значения функции $y = − 1(x− 2)2 4$ от различных аргументов:

9 y(− 4) =− 14(− 4− 2)2 = − 14 ⋅(−6)2 = −-//36-= −9 /41

1 2 1 2 25 1 y(− 3)=− 4(− 3− 2) = −4 ⋅(−5) = − 4 =− 64 = −6,25

4 y(− 2) =− 1(− 2− 2)2 = − 1 ⋅(−4)2 = −-//16-= −4 4 4 /41

y(−1)= − 1(−1− 2)2 =− 1⋅(−3)2 =− 9= −21 =− 2,25 4 4 4 4

1 2 1 2 /41 y(0)= −4(0− 2) = −4 ⋅(− 2) = −-4- =− 1 /1

1 2 1 2 1 y(1)=− 4(1− 2) = −4 ⋅(−1) = −4 =− 0,25

1 2 1 2 1 y(3)= −4(3− 2) = − 4 ⋅1 = −4 = −0,25

1 y(4)= − 1(4− 2)2 =− 1⋅22 = −-/4-= −1 4 4 /41

y(5)= − 1(5− 2)2 =− 1⋅32 = − 9 =− 21= −2,25 4 4 4 4

1 1 164 y(6)= −4(6− 2)2 = −4 ⋅42 =− //-=− 4 /41

1 2 1 2 25 1 y(7)= −4(7− 2) = −4 ⋅5 =− 4 = −64 =− 6,25

9 y(8)= − 1(8− 2)2 = − 1 ⋅62 =− //36-=− 9 4 4 /41

Составим таблицу значений функции:

|--|---|-----|---|-----|---|-----|--|-----|---|------|---|-----|---| |x-|−4-|-−3--|−2-|-−-1-|-0-|--1--|-2|--3--|-4-|--5---|6--|-7---|8--| -y--−9--−6,25--−4--−2,25-−-1-−-0,25--0-−-0,25-−-1-−-2,25--−4--−6,25--−9-|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $1 y = −4x2 +x− 1:$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = −1.$ $y = 0$ при $x= 2.$ $y < 0$ при $x ⁄= 2.$ Положительных значений функция не принимает.

$2)$ График функции расположен в нижней полуплоскости.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(2;0).$ График функции симметричен относительно прямой $x = 2.$

$4)$ Функция возрастает в промежутке $(−∞; 2]$ и убывает в промежутке $[2;+ ∞).$

$5)$ Наибольшее значение, равное $0,$ функция принимает при $x= 2,$ наименьшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $(−∞;0].$

Абсцисса параболы:

-3- 3 1 x0 =− 2⋅1 = −2 = −12 = −1,5

Ордината параболы:

32 − 4⋅1⋅0 9 1 y0 = −--4-⋅1----=− 4 = −24 =− 2,25

Таким образом, координата вершины параболы — $(−1,5;−2,25).$

Посчитаем значения функции $y = x2 +3x$ от различных аргументов:

y(−5)=(−5)2+3 ⋅(−5)= 25− 15 =10

y(−4)= (− 4)2+ 3⋅(− 4)=16− 12= 4

y(−3)=(−3)2+ 3⋅(−3)= /9/−/9= 0

y(−2)= (−2)2+ 3⋅(−2)= 4− 6 =− 2

y(−1)= (−1)2+ 3⋅(−1)= 1− 3 =− 2

2 y(0)=0 + 3⋅0= 0

2 y(1)=1 + 3⋅1= 1+ 3= 4

y(2)= 22+ 3⋅2= 4+6 =10

Составим таблицу значений функции:

|--|---|---|---|---|-----|---|--|--|---| |x-|−5-|−4-|−3-|−-2|-−1,5-|−-1|-0|1-|2--| |y |10 | 4 | 0 |− 2|− 2,25|− 2| 0|4 |10 | ---------------------------------------

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = x2+ 3x:$

$PIC$

Опишем свойства этой функции:

$1)$ Если $x= 0,$ то $y = 0.$ $y = 0$ при $x= −3$ и $x= 0.$ $y > 0$ при $x ∈(−∞;− 3)∪(0;+∞ ).$ $y < 0$ при $x ∈(−3;0).$

$2)$ График функции расположен в $I,$ $II$ и $III$ координатных четвертях.

$3)$ Вершина параболы находится в точке $(− 1,5;− 2,25).$ График функции симметричен относительно прямой $x =− 1,5.$

$4)$ Функция убывает в промежутке $(−∞; −1,5]$ и возрастает в промежутке $[− 1,5;+ ∞).$

$5)$ Наименьшее значение, равное $− 2,25,$ функция принимает при $x =−1,5,$ наибольшего значения функция не имеет. Областью значений функции является промежуток $[−2,25;+∞ ).$

Ответ:

(a)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y = 4;$ $y = 0$ при $√ - x= 6± 2 6;$ $y > 0$ при $√- √- x ∈(−∞;6− 2 6)∪(6+ 2 6;+∞);$ $y < 0$ при $√- √ - x∈ (6− 2 6;6+ 2 6);$ график функции расположен в $I,$ $II$ и $IV$ координатных четвертях; вершина параболы находится в точке $(6;−8);$ график функции симметричен относительно прямой $x= 6;$ функция убывает в промежутке $(−∞;6]$ и возрастает в промежутке $[6;+∞ );$ наименьшее значение, равное $− 8,$ функция принимает при $x= 0,$ наибольшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $[− 8;+∞ ).$

(b)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y = −1;$ $y =0$ при $x= 2;$ $y < 0$ при $x ⁄=2;$ положительных значений функция не принимает; график функции расположен в нижней полуплоскости; вершина параболы находится в точке $(2;0);$ график функции симметричен относительно прямой $x =2;$ функция возрастает в промежутке $(−∞;2]$ и убывает в промежутке $[2;+∞ );$ наибольшее значение, равное $0,$ функция принимает при $x= 2,$ наименьшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $(−∞;0].$

(c)

$PIC$

Если $x= 0,$ то $y =0;$ $y = 0$ при $x= −3$ и $x= 0;$ $y > 0$ при $x∈ (−∞; −3)∪(0;+ ∞);$ $y < 0$ при $x∈ (−3;0);$ график функции расположен в $I,$ $II$ и $III$ координатных четвертях; вершина параболы находится в точке $(−1,5;−2,25);$ график функции симметричен относительно прямой $x= −1,5;$ функция убывает в промежутке $(− ∞;−1,5]$ и возрастает в промежутке $[−1,5;+∞);$ наименьшее значение, равное $− 2,25,$ функция принимает при $x= −1,5,$ наибольшего значения функция не имеет; областью значений функции является промежуток $[− 2,25;+∞).$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#124250

Постройте график функции:

(a) $1 y =− 2x2+ 5;$

(b) $y =x2− 4x;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) График функции $1 y =− 2x2+ 5$ — это парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 1-= 2 2$ раза и отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $5$ единиц вверх. Её вершина находится в точке $(0;5),$ а ветви направлены вниз.

Посчитаем значения функции $y = − 1x2+ 5 2$ от различных аргументов:

1 /168 y(−4)= −2 ⋅(−4)2+ 5= −-/2--+5 =− 8+5 =− 3 /1

1 2 9 1 1 y(−3)= −2 ⋅(−3) +5 =− 2 + 5= −42 +5= 2 = 0,5

2 y(−2)= − 1 ⋅(−2)2+ 5= −-/4-+ 5= −2+ 5= 3 2 /21

1 2 1 2 1 y(−1)= −2 ⋅(−1) + 5= −2 + 42 =42 =4,5

y(1)= y(− 1)= 4,5

y(2)=y(−2)= 3

y(3)= y(− 3)= 0,5

y(4)= y(− 4)= −3

Составим таблицу значений функции:

|--|---|---|---|---|--|---|--|---|---| |x-|−4-|−3-|−2-|−1-|0-|-1-|2-|3--|4--| -y--−3--0,5---3--4,5--5--4,5--3--0,5--−3-|

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $1 y = −2x2 +5:$

$PIC$

(b) Для начала найдём координаты вершины параболы.

Абсцисса параболы:

2 x0 = − −4-=-/4-= 2 2⋅1 /21

Ордината параболы:

(−4)2−-4⋅1⋅0 //164- y0 =− 4⋅1 = − /4 =− 4 1

Таким образом, координата вершины параболы — $(2;− 4).$

Посчитаем значения функции $y = x2 − 4x$ от различных аргументов:

2 y(−1)= (−1) − 4⋅(− 1)= 1+ 4= 5

y(0)=02− 4⋅0= 0

y(1)= 12− 4 ⋅1 =1 − 4= −3

y(3)=32− 4⋅3= 9− 12= −3

y(4)= 42 − 4⋅4= 16− 16= 0

y(5)= 52 − 4⋅5= 25− 20= 5

Составим таблицу значений функции:

|--|---|-|---|----|---|-|--| |x-|−1-|0|-1-|-2--|3--|4|5-| -y--5---0-−-3--−4--−3--0-5--

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = x2− 4x:$

$PIC$

2 2 2 y =−x +6x− 9= −(x − 6x +9)= −(x− 3)

Это парабола $y = x2,$ которую отразили симметрично относительно оси $x,$ а потом перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $3$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(3;0),$ а ветви направлены вниз.

Посчитаем значения функции $y = −(x − 3)2$ от различных аргументов:

2 2 y(0)= −(0− 3) = −(−3) =− 9

y(1)= −(1− 3)2 = −(−2)2 =− 4

y(2)= −(2− 3)2 = −(−1)2 =− 1

y(4)= −(4− 3)2 = −12 = −1

y(5)= −(5− 3)2 = −22 = −4

y(6)= −(6− 3)2 = −32 = −9

Составим таблицу значений функции:

|--|---|---|---|--|---|---|---| |x-|-0-|-1-|-2-|-3|-4-|-5-|-6-| --y-−-9-−-4-−-1--0-−-1-−-4-−-9-

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = −x2+ 6x− 9:$

$PIC$

Ответ:

(a)

$PIC$

(b)

$PIC$

(c)

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#124251

Постройте график функции:

(a) $y =0,5x2− 2;$

(b) $y =x2− 4x+ 4;$

Источники: "Алгебра, 9 класс, учебник", Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г. (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

(a) График функции $y =0,5x2 − 2$ — это парабола $y = x2,$ которую сжали к оси $x$ в $1 -1= 2 2$ раза, а потом перенесли параллельно вдоль оси $y$ на $2$ единицы вниз. Её вершина находится в точке $(0;−2),$ а ветви направлены вверх.

Посчитаем значения функции $y = 0,5x2 − 2$ от различных аргументов:

//168 y(−4)= 0,5⋅(−4)2 − 2=--2-− 2= 8− 2= 6 /1

2 9 1 1 y(−3)= 0,5⋅(−3)− 2= 2 − 2 =42 − 2 =22 = 2,5

2 y(− 2)= 0,5 ⋅(−2)2− 2= /4-− 2 =2//− 2 =0 /21 /

y(− 1)=0,5⋅(−1)2− 2= 0,5− 2= −1,5

y(1)= y(−1)= −1,5

y(2)=y(−2)= 0

y(3)= y(− 3)= 2,5

y(4)=y(−4)= 6

Составим таблицу значений функции:

|--|---|---|---|----|---|----|--|---|--| |x-|−4-|−3-|−2-|−-1-|-0-|-1--|-2|-3-|4-| -y--6---2,5--0---−1,5--−2--−1,5--0-2,5-6--

Построив точки, координаты которых указаны в таблице, и соединив их, получим график функции $y = 0,5x2− 2:$

$PIC$

(b) Немного преобразуем функцию $2 y =x − 4x+ 4:$

y = x2− 4x +4 =(x− 2)2

Это парабола $2 y = x ,$ которую перенесли параллельно вдоль оси $x$ на $2$ единицы вправо. Её вершина находится в точке $(2;0),$ а ветви направлены вверх.