03 Графики функций → 03.01 Гипербола

(a) График функции при — гипербола, ветви которой лежат в и координатных четвертях. График функции — “эталонная” парабола. Эскиз графиков в одной координатной плоскости:

Уравнение имеет единственное решение, которое лежит в координатной четверти.

(b) График функции при — гипербола, ветви которой лежат во и координатных четвертях. График функции — “эталонная” парабола. Эскиз графиков в одной координатной плоскости:

Уравнение имеет единственное решение, которое лежит во координатной четверти.

(c) График функции при — гипербола, ветви которой лежат в и координатных четвертях. График функции — “эталонная” кубическая парабола. Эскиз графиков в одной координатной плоскости:

Уравнение имеет решения — одно в координатной четверти, а второе — в

(d) График функции при — гипербола, ветви которой лежат во и координатных четвертях. График функции — “эталонная” кубическая парабола. Эскиз графиков в одной координатной плоскости:

Уравнение не имеет решений, т. к. график гиперболы лежит в во и координатных четвертях, а график кубической параболы — в и

Чтобы найти объём прямоугольного параллелепипеда, нужно умножить площадь его основания на высоту или перемножить его длину, ширину и высоту:

Эта зависимость является обратной пропорциональностью. Её область определения — т. к. сторона параллелограмма — это действительное положительное число.

Построим график функции при Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции при

Если некоторая функция — обратная пропорциональность, значит, она имеет вид

(a) Поскольку точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять равенству Вычислим значение решив уравнение:

Формула обратной пропорциональности —

(b) Поскольку точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять равенству Вычислим значение решив уравнение:

Формула обратной пропорциональности —

(c) Поскольку точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять равенству Вычислим значение решив уравнение:

Формула обратной пропорциональности —

Выразим через

(a) Если график функции расположен в первой и третьей координатных четвертях, то и имеют одинаковый знак, а значит,

(b) Если график функции расположен во второй и четвёртой координатных четвертях, то и имеют разные знаки, а значит,

На рисунке изображён график гиперболы — функции вида Он расположен во второй и четвёртой координатных четвертях, значит, Тогда функции под пунктами и уже нам не подходят. Осталось выбрать между функциями под пунктами и

Заметим, что что соответствует функции но никак не может соответствовать функции Тогда искомая функция — под пунктом

На рисунках изображены графики гиперболы — функции вида На рисунках и ветви гипербол расположены в первой и третьей координатных четвертях, значит, и нужно лишь определиться, какой из этих графиков является графиком функции а какой — графиком функции А на рисунках и ветви гипербол расположены во второй и четвёртой координатных четвертях, значит, и нужно лишь определиться, какой из этих графиков является графиком функции а какой — графиком функции

Заметим, что на рисунке что соответствует функции но никак не может соответствовать функции Тогда функции соответствует график а функции — график

Аналогично, заметим, что на рисунке что соответствует функции но никак не может соответствовать функции Тогда функции соответствует график а функции — график

Поскольку точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять равенству Вычислим значение решив уравнение:

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты в уравнение функции. Если равенство выполняется (левая часть равна правой), то точка принадлежит графику.

(a) Точка принадлежит графику:

(b) Точка принадлежит графику:

(c) Точка не принадлежит графику:

(d) Точка не принадлежит графику:

Поскольку точка принадлежит графику функции, её координаты должны удовлетворять равенству Вычислим значение решив уравнение:

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты в уравнение функции. Если равенство выполняется (левая часть равна правой), то точка принадлежит графику.

(a) Точка принадлежит графику:

(b) Точка принадлежит графику:

(c) Точка не принадлежит графику:

(d) Точка принадлежит графику:

(e) Точка не принадлежит графику:

(f) Точка не принадлежит графику:

(a) Немного преобразуем нашу функцию:

Область определения функции —

Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(b) Немного преобразуем нашу функцию:

Область определения функции —

На ОДЗ:

График функции выглядит, как график функции но с выколотой точкой т. к. исходная функция не определена при

Для начала изобразим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, точку “выколем” т. к. исходная функция не определена при

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(c) Немного преобразуем нашу функцию:

Область определения функции —

Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(d) Немного преобразуем нашу функцию:

Область определения функции —

На ОДЗ:

График функции выглядит, как график функции но с выколотой точкой т. к. исходная функция не определена при

Для начала изобразим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, точку “выколем” т. к. исходная функция не определена при

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

Немного преобразуем нашу функцию:

Область определения функции —

На ОДЗ:

График функции выглядит, как график функции но с выколотой точкой т. к. исходная функция не определена при

Для начала изобразим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице, точку “выколем” т. к. исходная функция не определена при

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

Осталось определить, при каких значениях прямая не имеет с графиком общих точек.

Прямая — прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в Положим линейку на ось абсцисс и будем перемещать её параллельно оси абсцисс, наблюдая, как меняется количество общих точек прямой с графиком.

При прямая имеет с графиком единственную общую точку:

При прямая не имеет с графиком общих точек, т. к. график функции никогда не принимает значения и из-за того, что она не определена при и

(a) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(b) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(c) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(d) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(e) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(f) Построим график функции Для этого найдём значения соответствующие некоторым положительным значениям и противоположным им отрицательным значениям

Отметим в координатной плоскости точки, координаты которых указаны в таблице:

Через отмеченные точки проведём две плавные линии: сначала соединим плавной линией точки с положительными абсциссами, затем — точки с отрицательными абсциссами. Получим график функции

(a) ОДЗ:

Нули модуля:

При функция имеет вид:

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в

При функция не определена..

При функция принимает вид:

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в

Чтобы изобразить график функции изобразим графики функций при и при Точки и “выколем”, т. к. функция не определена при

(b) ОДЗ:

Нули модуля:

При функция имеет вид:

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в

При функция не определена.

При функция принимает вид:

Это прямая, параллельная оси абсцисс и пересекающая ось ординат в

Чтобы изобразить график функции изобразим графики функций при и при Точки и “выколем”, т. к. функция не определена при

(a) ОДЗ:

Нули модуля:

При функция имеет вид:

Это прямая, пересекающая ось абсцисс в ось ординат — в

При функция не определена.

При функция принимает вид:

Это прямая, пересекающая ось абсцисс в ось ординат — в

Чтобы изобразить график функции изобразим графики функций при и при Точки и “выколем”, т. к. функция не определена при

(b) ОДЗ:

Нули модуля:

При функция имеет вид:

Это прямая, пересекающая ось абсцисс в ось ординат — в

При функция принимает вид:

Это прямая, пересекающая ось абсцисс в ось ординат — в

Чтобы изобразить график функции изобразим графики функций при и при

(a) Поскольку гипербола и прямая должны проходить через точку её координаты должны удовлетворять равенствам и Вычислим значение решив систему:

При и гипербола и прямая проходят через точку

(b) Поскольку гипербола и прямая должны проходить через точку её координаты должны удовлетворять равенствам и Вычислим значение решив систему:

При и гипербола и прямая проходят через точку

(c) Поскольку гипербола и прямая должны проходить через точку её координаты должны удовлетворять равенствам и Вычислим значение решив систему:

При и гипербола и прямая проходят через точку

Если нас спрашивают “можно ли”, при утвердительном ответе достаточно лишь привести пример без доказательства. При отрицательном же ответе необходимо привести подробное доказательство.

(a) Да, могут. Например, при и графики функций пересекаются только в одной точке:

Они пересекаются в

(b) Да, могут. Например, при и графики функций пересекаются только в двух точках:

Они пересекаются в и

(c) Нет, не могут. Чтобы доказать это, предположим противное. Допустим, что графики функций пересеклись в трёх точках. Тогда уравнение имеет решения. Немного преобразуем его, не забывая, что из-за левой части уравнения:

Мы получили квадратное уравнение, которое может иметь не более двух решений. Мы получили противоречие, значит, наше предположение оказалось неверным. Графики функций не могли пересечься в двух точках.

Замечание. Чтобы найти пример для пунктов и достаточно изобразить график функции (или любой другой), а потом перемещать линейку и вращать её вокруг своей оси, обращая внимание, сколько общих точек имеет невидимая прямая с гиперболой в каждом из случаев.

Если нас спрашивают “можно ли”, при утвердительном ответе достаточно лишь привести пример без доказательства. При отрицательном же ответе необходимо привести подробное доказательство.

(a) Да, могут. Например, при и графики функций пересекаются в двух точках, лежащих в одной четверти:

Они пересекаются в и — обе эти точки лежат в четверти.

(b) Нет, не могут, т. к. график гиперболы лежит или в и четвертях (при положительных или во и четвертях (при отрицательных Соответственно, точка пересечения может быть или в или во четвертях, но никак не в обеих из них одновременно.

(c) Да, могут. Например, при и графики функций пересекаются в двух точках, лежащих в и четвертях:

Они пересекаются в ( четверть) и ( четверть).

Замечание. Чтобы найти пример для пунктов и достаточно изобразить график функции (или любой другой), а потом перемещать линейку и вращать её вокруг своей оси, обращая внимание, сколько общих точек имеет невидимая прямая с гиперболой в каждом из случаев.