Тема Алгебра

03 Графики функций → 03.05 Смешанные графики

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Графики функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#125652

Постройте график функции $y = ||x2− 4x|+x − 4|.$

(a) Выясните, при каких значениях $a$ уравнение $||x2− 4x|+ x− 4|=a$ имеет наибольшее количество корней.

(b) Назовите все значения параметра $a,$ при которых уравнение $||x2− 4x|+ x− 4|= a$ будет иметь $3$ корня.

Источники: "Графики функций, представляющих сочетание квадратичной функции и модуля", фестиваль педагогических идей "Открытый урок", ИД "Первое сентября" (см. urok.1sept.ru)

Показать ответ и решение

Немного преобразуем нашу функцию:

2 y = ||x − 4x|+ x− 4|= ||x(x− 4)|+(x− 4)|

При $x≤ 0$ и $x≥ 4$ функция $y = ||x2− 4x|+x − 4|$ эквивалентна следующей:

2 y = |x(x− 4)+(x− 4)|= |(x+ 1)(x− 4)|= |x − 3x− 4|

$y = |x2− 3x − 4|$ — это график функции $y = x2− 3x − 4,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

При $x∈ [0;4]$ функция $y = ||x2− 4x|+ x− 4|$ эквивалентна следующей:

2 y = |− x(x− 4)+ (x − 4)|=|(1 − x)(x − 4)|=|(x − 1)(x − 4)|=|x − 5x +4|

$y = |x2− 5x +4|$ — это график функции $y = x2− 5x +4,$ нижнюю часть которого отразили относительно оси абсцисс.

Изобразим графики функций $y = x2− 3x− 4$ и $y =x2− 5x+ 4,$ а потом “сотрём” лишнее:

$PIC$

Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, симметрично относительно неё:

$PIC$

Это и есть искомый график.

Осталось выяснить, сколько корней будет иметь уравнение $||x2 − 4x|+x − 4|= a$ в зависимости от значения параметра $a.$

При $a< 0$ уравнение не будет иметь корней:

$PIC$

При $a= 0$ уравнение будет иметь ровно $3$ корня: $x= −1,$ $x= 1,$ и $x =4:$

$PIC$

При $a∈ (0;2,25)$ уравнение будет иметь $6$ корней:

$PIC$

При $a= 2,25$ уравнение будет иметь $5$ корней:

$PIC$

При $a∈ (2,25;4)$ уравнение будет иметь $4$ корня:

$PIC$

При $a= 4$ уравнение будет иметь $3$ корня:

$PIC$

При $a> 4$ уравнение будет иметь $2$ корня:

$PIC$

Ответ:

$PIC$

(a) уравнение имеет наибольшее число корней, равное $6,$ при $a∈ (0;2,25);$ (b) уравнение будет иметь $3$ корня при $a= 0$ и $a= 4;$ (c) наибольшее целое значение параметра $a,$ при котором уравнение будет иметь наибольшее количество корней, равное $6,$ равно $2.$