Тема Геометрия 5-6

09 Расположение прямых

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 5-6

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#126360

Дан прямоугольник PBMD. Назовите сторону, которая параллельна стороне DP:

$PIC$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Противолежащие стороны прямоугольника параллельны, значит, $DP ∥BM.$

Ответ: BM

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126362

На рисунке изображен правильный шестиугольник $V TGHZU$ . Определите сторону, которая параллельна стороне $VT$ .

$PIC$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны. Значит, сторона, параллельная $VT$ , это сторона $HZ$ .

Ответ: HZ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#126364

На рисунке изображен куб $ABCDKLMN$ . Определите ребра, которые параллельны ребру $AB$ .

$PIC$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

В кубе противоположные ребра каждой грани параллельны. Ребра, параллельные $AB,$ это ребра $CD,$ $KL$ и $MN.$

Ответ: CD, KL, MN

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#126365

Дан куб $PTUV GFRS$ . Определи правильные пары параллельных прямых.

$1)$ Выбери прямую, параллельную прямой $TV.$

$2)$ Выбери прямую, параллельную прямой $TR.$

$PIC$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

$1)$ Выбери прямую, параллельную прямой $TV$ .

Прямая $TV$ — это нижнее ребро куба, соединяющее точки $T$ и $V$ . Оно проходит горизонтально спереди назад по основанию куба. Чтобы найти параллельную ей прямую, нужно найти ребро, которое:

находится в той же ориентации (горизонтально, спереди назад),
располагается в другой части куба, но в том же направлении.

Рассмотрим прямую $F S :$ она соединяет верхнюю заднюю точку $F$ с передней верхней точкой $S.$ Это верхнее ребро, расположенное строго над $TV,$ и оно идёт в том же направлении.

Следовательно:

TV ∥F S

$2)$ Выбери прямую, параллельную прямой $TR.$

Прямая $TR$ соединяет нижнюю заднюю точку $T$ с верхней передней точкой $R.$ Это диагональное ребро боковой грани, и оно идёт по наклонной от одного угла куба к противоположному по вертикали и горизонтали.

Рассмотрим прямую $P S :$ она соединяет нижнюю переднюю точку $P$ с верхней задней точкой $S.$ Это тоже диагональное ребро противоположной боковой грани, и оно идёт точно в том же направлении, но с другого угла.

Следовательно:

TR ∥P S

Ответ:

$1)TV ∥FS,$ $2)TR∥ PS$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#126374

На координатной плоскости отмечены точки $A(3;9)$ , $B(6;10)$ и $M (7;9)$ .

1.: Нарисуйте все отрезки $MN$ , параллельные отрезку $AB$ (отрезки равной длины).
2.: Какие существуют возможные координаты точки $N$ ? (Сначала введите координаты точки с большей координатой $x$ .)

$PIC$

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Шаги решения: координаты N:

Если координаты х данных точек отличаются на $3,$ а координаты у отличаются на $1,$ также из координат точки М можно вычислить координаты точки N.

Если координата х точки М равна $7,$ то координата х точки N равна $7 +3= 10$ или $7− 3 =4.$ Если координата у точки М равна $9,$ то координата у точки N равна $9+ 1= 10$ или $9 − 1 =8.$

Ответ:

N(10 ; 10) или N (4 ; 8)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#126375

Дан куб $PTUV GF RS$ , на рёбрах которого расположены точки: точка $A$ на $T F$ , точка $B$ на $UR$ , точка $C$ на $GS$ , точка $D$ на $P V$ .

$PIC$

1. С которой из прямых будет параллельна прямая $V B$ ?

1. С которой из прямых будет параллельна прямая $FC$ ?

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

1.

Рассмотрим куб $PTUV GFRS$ и точку $B$ на ребре $UR$ . Прямая $VB$ соединяет вершину $V$ (нижний передний угол) с точкой $B$ , лежащей на правом вертикальном ребре $UR$ . Эта прямая проходит по диагонали правой боковой грани куба.

Теперь найдём прямую, параллельную $VB$ . Аналогичную ей по положению и направлению прямую можно построить на противоположной левой боковой грани. Прямая $PA$ соединяет вершину $P$ (нижний задний угол) с точкой $A$ , расположенной на ребре $TF$ (левое вертикальное ребро). Она также проходит по диагонали боковой грани и ориентирована аналогично.

Следовательно,

VB ∥PA.

2.

Теперь рассмотрим прямую $F C$ . Точка $C$ лежит на ребре $GS$ , соединяющем заднюю и переднюю вершины верхнего основания, а точка $F$ — это верхняя задняя вершина. Прямая $FC$ проходит вдоль верхнего основания, по наклонной, от вершины к середине противоположного ребра.

Найдём аналогичную прямую в нижнем основании. Точка $D$ лежит на ребре $PV$ , а точка $T$ — это вершина, расположенная под точкой $F$ . Прямая $TD$ проходит аналогично $F C$ , но в нижнем основании, и сохраняет то же направление.

Следовательно,

FC ∥TD.

Ответ:

$1)VB ∥PA,$ $2)FC ∥TD$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#126376

На листе бумаги сначала изобразили $2$ пересекающиеся прямые, а затем $4$ параллельные прямые. Рассмотрите все возможные варианты расположения прямых. Сколько всего точек пересечения может быть?

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Точки пересечения: $5;7;9.$

Ответ: Точки пересечения: 5; 7; 9.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#126377

На странице тетради сначала нарисовали $3$ пересекающиеся прямые (исходные прямые не пересекаются в одной точке), а затем $4$ параллельные прямые. Рассмотри все возможные варианты расположения прямых. Сколько всего точек пересечения может быть?

Источники: ЯКласс (см. www.yaklass.ru)

Показать ответ и решение

Если параллельные прямые параллельны одной из пересекающихся прямых, возможно, одна из них идёт через общую точку пересечения двух прямых (первый рисунок). Если параллельные прямые не параллельны ни одной из пересекающих прямых, возможно, две из этих прямых проходят через две точки пересечения прямых, а также возможно, что три прямые проходят через три точки пересекаемых прямых. Точки пересечения: $9;11;13;15.$

$PIC$

Ответ: Точки пересечения: 9; 11; 13; 15.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126411

Начертите треугольник и проведите через каждую его вершину прямую, параллельную противоположной стороне.

Источники: Мультиурок, Параллельные прямые. (см. multiurok.ru)

Показать ответ и решение

1.: Начертим произвольный треугольник $ABC$ .
2.: Через вершину $A$ проведем прямую, параллельную стороне $BC$ .
3.: Через вершину $B$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$ .
4.: Через вершину $C$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$ .

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#127014

Начертите четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Источники: Мультиурок, Параллельные прямые. (см. multiurok.ru)

Показать ответ и решение

Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.

$ABCD$

На рисунке изображена трапеция $ABCD$ , где $AB ∥CD$ , а $AD$ и $BC$ не параллельны.

Ответ:

Нарисуем трапецию, у которой две стороны параллельны, а другие две не параллельны.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#127015

Сколько точек пересечения могут иметь три прямые на плоскости? Изобразите все случаи.

Источники: Мультиурок, Параллельные прямые. (см. multiurok.ru)

Показать ответ и решение

Три прямые на плоскости могут иметь следующее количество точек пересечения:

1.: 0 точек пересечения: Все три прямые параллельны.
2.: 1 точка пересечения: Все три прямые пересекаются в одной точке.
3.: 2 точки пересечения: Две прямые параллельны, а третья их пересекает.
4.: 3 точки пересечения: Все три прямые пересекаются попарно, но не в одной точке.

$0123 тотототоччччеккккаии$

Три прямые на плоскости могут иметь $0,1,2$ или $3$ точки пересечения.

Ответ:

Три прямые на плоскости могут иметь $0,1,2$ или $3$ точки пересечения.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#127016

Начертите угол $ABC$ , градусная мера которого равна $133∘$ . Отметьте между сторонами угла точку $E$ и проведите через неё прямые, параллельные сторонам угла.

Источники: Мерзляк Полонский 6 класс (Математика) (см.schooln45.ru)

Показать ответ и решение

1.: Строим угол $ABC$ величиной $∘ 133$ .
2.: Отмечаем точку $E$ внутри угла $ABC$ .
3.: Через точку $E$ проводим прямую, параллельную стороне $BA$ .
4.: Через точку $E$ проводим прямую, параллельную стороне $BC$ .

$PIC$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#127017

Укажите параллельные отрезки

$PIC$

Источники: nsportal, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

$1)BH ∥CO$

$2)AK ∥T E,CE ∥MB$

$PIC$

Ответ:

$1)BH ∥CO;$ $2)AK ∥ TE,CE ∥MB$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#127018

Какие прямые, содержащие данные отрезки, будут параллельными?

$PIC$

Источники: nsportal, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

1) BT || PO

2) HR || WZ

3) CE || SF

$PIC$

Ответ:

$1)BT ∥PO$

$2)HR ∥W Z$

$3)CE ∥SF$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#127019

Выберите верный ответ.

1.: Есть ли в треугольнике параллельные стороны? да/нет
2.: Верно ли утверждение: две стороны прямоугольника параллельны? да/нет
3.: Есть в прямоугольнике параллельные стороны? да/нет
4.: Существует ли четырехугольник, в котором две стороны параллельны? да/нет
5.: Верно ли утверждение: если у многоугольника есть параллельные стороны, то это четырехугольник? да/нет
6.: Существует ли четырехугольник, у которого три стороны параллельны? да/нет
7.: Существует ли четырехугольник, у которого две пары параллельных сторон? да/нет
8.: Существует ли пятиугольник у которого две стороны параллельны? да/нет

Источники: nsportal, ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ (см. nsportal.ru)

Показать ответ и решение

1.: Треугольник: У треугольника нет параллельных сторон (нет двух прямых, которые бы не пересекались).
2.: Прямоугольник: В прямоугольнике противоположные стороны попарно параллельны, поэтому утверждение верно.
3.: Прямоугольник: Прямоугольник имеет параллельные стороны.
4.: Четырехугольник: Трапеция – пример четырехугольника с двумя параллельными сторонами.
5.: Многоугольник: Например, шестиугольник может иметь параллельные стороны, поэтому утверждение неверно.
6.: Четырехугольник: Если у четырехугольника три стороны параллельны, то и четвертая сторона должна быть параллельна этим трем, что делает его как минимум параллелограммом, что невозможно при трёх параллельных сторонах (противоречие в определении).
7.: Четырехугольник: Параллелограмм и прямоугольник – примеры четырехугольников с двумя парами параллельных сторон.
8.: Пятиугольник: Да, пятиугольник может иметь две параллельные стороны.

Ответ:

1.: нет
2.: да
3.: да
4.: да
5.: нет
6.: нет
7.: да
8.: да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#127020

Даны три различные прямые $a$ , $b$ , $c$ . Известно, что $a$ пересекает $b$ и образуют угол $90∘$ ( $a⊥ b$ ), и $c$ пересекает $b$ и образуют угол $∘ 90$ . ( $b ⊥c$ ) Укажите верные утверждения:

А.: $a ⊥c$ (образуют угол $90∘$ )
Б.: $a ∥c$
В.: $a$ , $b$ , $c$ проходят через одну точку
Г.: $a$ , $b$ , $c$ пересекаются в трех различных точках
Д.: Все утверждения неверны

Источники: Банк заданий для подготовки к тестированию по математике (учебник Дорофеев Г.В.), Перпендикулярность (см. goo.su)

Показать ответ и решение

Верный ответ Б, потому что если прямая $“a”$ и прямая $“c”$ обе образуют прямой угол с прямой $”b”$ , то $“a”$ и $“c”$ параллельны.

Почему другие ответы не подходят:

А: Если $“a”$ и $“c”$ параллельны, они не могут еще и пересекаться, тем более под прямым углом.
В: Чтобы все три прямые пересекались в одной точке, $“a”$ и $“c”$ должны были бы быть под углом друг к другу, а не параллельны.
Г: Опять же, параллельные прямые не могут пересекаться в разных точках.
Д: Мы уже выяснили, что вариант Б верен, поэтому "все неверно неправильный ответ.

$cba$

Ответ: Б

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127021

Даны три прямые a, b, c. Известно, что a || b, и b || c. Укажите верное утверждение.

А.: a $⊥$ b (образуют угол $90∘$ )
Б.: a || c
В.: a, b, c проходят через одну точку
Г.: a, b, c пересекаются в трех различных точках

Показать ответ и решение

Если прямая a параллельна прямой b (a || b), и прямая b параллельна прямой c (b || c), то прямая a параллельна прямой c (a || c). Это основное свойство параллельных прямых.

Почему другие ответы не подходят:

А: Если a || b, то они не могут образовывать угол 90 $∘$ .
В: Параллельные прямые не пересекаются, поэтому они не могут проходить через одну точку.
Г: Параллельные прямые не пересекаются, поэтому они не могут пересекаться в трех различных точках.

$cba$

Ответ: Б

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#127022

Даны три прямые a, b, c. Известно, что a $⊥$ b (образуют угол $90∘$ ), и b || c. Укажите верное утверждение.

А.: a $⊥$ c (образуют угол $90∘$ )
Б.: a || c
В.: a, b, c проходят через одну точку
Г.: a, b, c пересекаются в трех различных точках
Д.: Все утверждения неверны

Показать ответ и решение

Если прямая a образует прямой угол с прямой b (a $⊥$ b), и прямая b параллельна прямой c (b || c), то прямая a также образует прямой угол с прямой c (a $⊥$ c).

Почему другие ответы не подходят:

Б: Если a $⊥$ b, то a не может быть параллельна c, если b || c.
В: Параллельные прямые не пересекаются, поэтому все три прямые не могут проходить через одну точку.
Г: Параллельные прямые не пересекаются, поэтому три прямые не могут пересекаться в трех различных точках.
Д: Мы выяснили, что А - верное утверждение, поэтому этот вариант не подходит.

$abc$

Ответ: А

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#127023

Даны три прямые a, b, c. Известно, что a || b, и b пересекается с c. Укажите верное утверждение.

А.: a $⊥$ c (образуют угол $90∘$ )
Б.: a || c
В.: a, b, c проходят через одну точку
Г.: a, b, c пересекаются в трех различных точках
Д.: Все утверждения неверны

Показать ответ и решение

Если прямая a параллельна прямой b (a || b), и прямая b пересекается с прямой c, то прямая a также пересекается с прямой c. Однако, мы не знаем, под каким углом пересекаются прямые, и пересекаются ли они в одной точке. Таким образом, ни одно из утверждений A, B или C не обязательно верно.

Почему другие ответы не подходят:

А: a и c могут пересекаться, но не обязательно под прямым углом.
Б: a и c пересекаются, так как а || b а b пересекает с, а значит a никак не может быть параллельна с.
В: a, b и c не обязательно проходят через одну точку. c пересекает b, но а может пересекать c в другом месте.
Г: Не обязательно a,b и с пересекаются в трех различных точках.

$abc$