15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#58734Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-------12------- ------7------ (log2x + 4log x)2 + log23x+ 4log3x + 1≥ 0. 3 3

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $log23x + 4log3x =t.$ Тогда получим следующее неравенство:

$pict$

Пусть $log3x= s.$ Тогда $t= s2+ 4s.$ Значит,

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$s−−−−0++−−++4321$

Таким образом, $s ∈(−∞; −4)∪ (− 4;− 3]∪{−2} ∪[−1;0)∪(0;+∞ ).$ Сделаем обратную замену:

$pict$

Пересекая полученные значения c ограничениями логарифма $x> 0,$ получаем

( ) ( ] { } [ ) x ∈ 0;-1 ∪ -1;-1 ∪ 1 ∪ 1;1 ∪(1;+ ∞ ) 81 81 27 9 3

Ответ:

$( ) ( ] { } [ ) 0; 1 ∪ 1; 1- ∪ 1 ∪ 1 ;1 ∪ (1;+∞ ) 81 81 27 9 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#2436Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4x−x2− 1 4x−x2−1 9 − 36 ⋅3 + 243≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2023 и 2017, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства: $x ∈ℝ.$ Сделаем замену $3−x2+4x− 1 = t.$

Тогда неравенство примет вид

t2− 36t+243≥ 0 (t− 9)(t− 27) ≥0 t ∈(−∞; 9]∪[27;+ ∞)

Сделаем обратную замену:

$pict$

Так как $x2− 4x+ 4= (x− 2)2,$ то получаем

$pict$

Ответ:

$(−∞; 1]∪{2}∪ [3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#65016Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3x 4 8 ----( x-) ≥ log3x-+ log23x-− log3x3. log3 27

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log3x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$--y- 4 ---8-- y − 3 ≥ y + y2 − 3y y2− 4(y − 3)− 8 ---y(y−-3)----≥ 0 -(y-− 2)2≥ 0 y(y− 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y023+−−+$

Получаем

⌊ y < 0 |⌈y = 2 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊log x < 0 ⌊ 0< x< 1 | 3 ⇔ | ⌈log3x = 2 ⌈ x= 9 log3x > 3 x> 27

Окончательно получим

x∈ (0;1)∪ {9}∪(27;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{9}∪ (27;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#65017Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log(64x) log x− 3 log x4+ 16 log4x−-3 + log4(64x) ≥-lo4g2x−-9-. 4 4 4

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log4x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$y+-3 y-− 3 4y+-16 y− 3 + y +3 ≥ y2 − 9 y2+ 6y+ 9+ y2− 6y + 9− 4y − 16 --------(y+-3)(y-− 3)--------≥ 0 --2(y−-1)2-- ≥0 (y+ 3)(y − 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−13+−−+ 3$

Получаем

⌊ y < −3 |⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ -1 | log4x< − 3 | 0< x< 64 ⌈ log4x= 1 ⇔ |⌈ x= 4 log4x> 3 x> 64

Тогда окончательно получаем

( 1 ) x∈ 0;64 ∪{4}∪ (64;+∞ )

Ответ:

$( ) 0; 1 ∪ {4}∪ (64;+∞ ) 64$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#65018Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (25x) log (x)− 2 6− log (x4) log-5(x)− 2-+-lo5g-(25x)-≥ -log2(5x)− 4-. 5 5 5

Показать ответ и решение

Выпишем ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $t=log5x.$ Тогда неравенство при $x > 0$ равносильно

$t+2- t−-2 6-− 4t t− 2 + t+ 2 ≥ t2− 4 (t+ 2)2+ (t− 2)2 6− 4t --(t− 2)(t+2)- − t2−-4-≥ 0 2t2+-8−-6+-4t≥ 0 (t− 2)(t+ 2) 2(t+ 1)2 (t−-2)(t+-2) ≥ 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t−−2+−−+ 21$

Получаем совокупность

⌊ t< −2 |⌈t= −1 t> 2

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ |log5x < −2 |0< x< 125- ⌈log5x = −1 ⇔ ⌈x= 15 log5x > 2 x> 25

Тогда окончательно получаем

( ) { } -1 1 x∈ 0;25 ∪ 5 ∪(25;+∞ )

Ответ:

$( ) { } 0; 1 ∪ 1 ∪ (25;+ ∞) 25 5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#65019Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3x 2 5 ---(-x)-≥ log3-x + log23x-−-log3(x3). log3 27

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log3x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$--y- 2 ---5-- y − 3 ≥ y + y2 − 3y y2− 2(y − 3)− 5 ---y(y−-3)----≥ 0 -(y-− 1)2≥ 0 y(y− 3)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y013+−−+$

Получаем

⌊ |y < 0 ⌈y = 1 y > 3

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log3x < 0 0< x< 1 |⌈log3x = 1 ⇔ |⌈ x= 3 log3x > 3 x> 27

Тогда окончательно получаем

x∈ (0;1)∪ {3}∪(27;+∞ )

Ответ:

$(0;1) ∪{3}∪ (27;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#65020Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (32x) log(x)− 5 log (x16)+ 18 log-2(x)−-5 +-lo2g-(32x)-≥ -lo2g2(x)−-25-. 2 2 2

Источники: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Ограничения логарифмов: $x > 0.$

Сделаем замену $y = log2x.$ Тогда неравенство при $x> 0$ равносильно

$y-+5 y−-5 16y-+18- y − 5 + y+ 5 ≥ y2− 25 y2+ 10y +25 +y2− 10y+ 25− 16y− 18 ----------(y+-5)(y-− 5)----------≥ 0 ( ) 2-y2−-8y+-16- (y+ 5)(y − 5) ≥ 0 2 --2(y−-4)-- ≥0 (y+ 5)(y − 5)$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$y−45+−−+ 5$

Получаем

⌊ y < −5 |⌈y = 4 y > 5

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ log2x< − 5 | 0< x< -1 |⌈ log2x= 4 ⇔ |⌈ x= 16 32 log2x> 5 x> 32

Ответ:

( 1) x ∈ 0;32 ∪ {16} ∪(32;+ ∞ )

Ответ:

$( ) 0; 1 ∪ {16}∪(32;+∞ ) 32$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#30767Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

6 1 5x−-125-≤ 5x−-25.

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть $x 5 = t> 0.$ Тогда имеем:

6 1 6(t− 25)− (t− 125) 5t− 25 t− 125-≤ t−-25 ⇔ --(t−-125)(t−-25)--≤ 0 ⇔ (t−-125)(t−-25)-≤ 0

Применим метод интервалов:

$PIC$

Тогда $t∈ (−∞; 5]∪ (25;125).$ Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 5x ≤ 5 x≤ 1 ⌈ x ⇒ ⌈ 25< 5 <125 2< x< 3

Тогда окончательно имеем

x ∈(−∞; 1]∪(2;3)

Ответ:

$(− ∞;1]∪(2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#30768Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 1 2x+-112-+ 2x−-128 ≥ 0.

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x 2 = t$ и сведем неравенство к виду

1 1 t+-112 + t−-128 ≥ 0 t−-128+-t+-112≥ 0 (t+ 112)(t− 128) ----2t−-16----≥ 0 (t+ 112)(t− 128) -----t−-8----- (t+ 112)(t− 128) ≥ 0

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов, тогда

t∈ (− 112;8]∪(128;+ ∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ −112< 2x ≤ 8 ⌊x ≤ 3 ⌈ ⇔ ⌈ 2x > 128 x > 7

Таким образом, получаем $x ∈ (− ∞;3]∪ (7;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; 3]∪(7;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#30769Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 1 3x-+27 ≥ 3x−-27

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x 3 = t$ и сведем неравенство к виду

2 1 2(t− 27)− (t+27) t+-27 ≥ t−-27 ⇔ -(t+-27)(t−-27)--≥0 ⇔

⇔ ----t− 81----≥0 (t+ 27)(t− 27)

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов, тогда получим

t∈ (−27;27)∪ [81;+∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ x ⌊ ⌈ −27< 3 < 27 ⇔ ⌈x < 3 81 ≤ 3x x ≥ 4

Таким образом, подходят

x∈ (−∞; 3)∪[4;+ ∞)

Ответ:

$(− ∞;3)∪ [4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#30770Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x 243 3 + 3x−-36 ≥ 0

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $x 3 = t$ и сведем неравенство к виду

243 t2− 36t+ 243 (t− 9)(t− 27) t+ t−-36 ≥ 0 ⇔ ---t− 36---≥ 0 ⇔ ----t− 36---≥ 0

Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов, тогда

t ∈[9;27]∪ (36;+∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ x ⌊ ⌈9 ≤ 3 ≤ 27 ⇔ ⌈2≤ x ≤ 3 36< 3x log336 < x

Таким образом, получаем

x∈ [2;3]∪ (log336;+ ∞)

Ответ:

$[2;3]∪ (log336;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#26917Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

√----- 1 log|x−5| x − 3 ≤ 4.

Источники: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ данного неравенства:

(| (| |||| |x − 5|> 0 ||||x ⁄= 5 |{ |x − 5|⁄= 1 |{x ⁄= 6 || ⇔ || |||| x√−-3≥-0 ||||x ⁄= 4 ( x − 3> 0 (x > 3

Вернемся к решению исходного неравенства:

$pict$

Решим неравенство методом рационализации:

$pict$

Заметим, что

2 2 2 2 x − 7x + 14 = x − 2⋅3,5x +3,5 + 1,75= (x − 3,5) + 1,75 > 0

Тогда мы можем поделить на это выражение неравенство из первой системы. Получим следующее:

$pict$

Решим последнее неравенство методом интервалов:

x∈ [1;+∞ ) ⇔ x ≥1

Тогда совокупность примет вид

⌊ 5≤ x≤ 6 ⌈ ⇔ 1 ≤x ≤ 6 1≤ x< 5

С учетом ОДЗ окончательно получим $x ∈ (3;4)∪(4;5)∪(5;6).$

Ответ:

$(3;4) ∪(4;5)∪ (5;6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#26918Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log7(49x2)− 7 --log2x-− 4--≤ 1. 7

Источники: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| 2 ( ||{49x > 0 { x> 0 |x > 0 ⇔ ( 2 ||( 2 log7x ⁄= 4 (log7x− 4⁄= 0 ( ||x > 0 ||x > 0 |{ |{ ||log7x⁄= 2 ⇔ ||x ⁄= 49 |(log7x⁄= − 2 |(x ⁄= 149-

Вернемся к решению исходного неравенства. Преобразуем левую часть с учетом $x >0 :$

log7(49x2)− 7-= 2+-log7-x2− 7-= 2log7x−-5 log27x − 4 log27x − 4 log27x − 4

Тогда исходное неравенство примет вид

2log x − 5 log27x−-4-≤ 1 7

Обозначим $log x =t, 7$ тогда

$pict$

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим

⌊ t= 1 t∈(− ∞;−2)∪ (2;+ ∞) ∪{1} ⇔ ||| ⌈t> 2 t< − 2

Сделаем обратную замену:

$pict$

С учетом ОДЗ получим

( 1) x∈ 0;49 ∪{7} ∪(49;+ ∞)

Ответ:

$( 1-) 0;49 ∪ {7}∪ (49;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#26919Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log4(64x)− 2 log2-x−-log-x3 ≤− 1. 4 4

Источники: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x> 0,x⁄= 1,x⁄= 64$ .

Преобразуем левую часть неравенства:

$pict$

Тогда неравенство примет вид

log x+ 1 log-x(4log-x−-3)-≤− 1 4 4

Обозначим $t =log4x$ и запишем неравенство через $t$ :

$pict$

Решив полученное неравенство методом интервалов, получим $t∈ (0;3)$ .

Вернемся к исходной переменной:

0< t< 3 ⇔ 0 < log4x <3 ⇔ 1< x< 64

С учетом ОДЗ получаем $x∈ (1;64).$

Ответ:

$(1;64)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#30858Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2x+1+ 17⋅22−x --2x−-26−-x---≥1.

Источники: ЕГЭ 2022, резервная волна

Показать ответ и решение

Умножим числитель и знаменатель дроби на $x t =2 > 0.$ Получим

2t2+ 17⋅22 t2 +4 ⋅33 --t2−-26---≥1 ⇔ -t2-− 26-≥ 0

Оценим числитель дроби:

t> 0 ⇒ t2 > 0 ⇒ t2+ 4 ⋅33 > 0

Следовательно, дробь неотрицательна, если ее знаменатель положителен:

t2− 26 > 0 ⇒ t> 23 ⇒ 2x > 23 ⇒ x > 3

Ответ:

$(3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#26242Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1−1 1−1 9x +2 ⋅3x − 3≥ 0

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Обозначим $1−1 3x = t,$ тогда $1−1 2 9x = t$ и неравенство примет вид

$pict$

Вернемся к переменной $x:$

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x ∈(0;1]

Ответ:

$(0;1]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#26243Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x x+1)2 x+1 x 9 − 3 + 8⋅3 < 8⋅9 + 20

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

$pict$

Обозначим $y = 9x− 3x+1,$ тогда неравенство примет вид:

$pict$

Вернемся к обозначениям $x x+1 y = 9 − 3 :$

$pict$

Обозначим $t =3x,$ тогда неравенство примет вид:

$pict$

Вернемся к обозначениям $t =3x :$

$pict$

Выражение $x log32 3 + 3 > 0$ при любых значениях $x,$ то есть можно поделить на него левую и правую части неравенства, знак от этого не изменится:

$pict$

Используем метод рационализации для каждого из множителей:

$pict$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x∈ (− ∞;0)∪ (log32;log35)

Ответ:

$(−∞; 0)∪(log32;log35)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#26244Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

3x 3x +1 5 3x−-3 + 3x-− 2 + 9x−-5⋅3x+-6 ≤0

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Обозначим $3x = t,$ тогда $9x = (3x)2 = t2$ и неравенство примет вид

-t-- t+-1 ----5----- t− 3 + t− 2 + t2− 5⋅t+ 6 ≤ 0 t t+1 5 t−-3 + t− 2-+ (t-− 3)(t− 2)-≤0 t(t− 2)+ (t+1)(t− 3)+ 5 ------(t−-3)(t−-2)----- ≤ 0 2 2 t-−-2t+-t−-2t−-3+-5 ≤0 (t− 3)(t− 2) 2t2−-4t+-2-- (t− 3)(t− 2) ≤ 0 t2− 2t+ 1 (t−-3)(t−-2) ≤ 0 2 --(t−-1)---≤ 0 (t− 3)(t− 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t123+−++$

Получим, что $t∈{1}∪ (2;3).$

Сделаем обратную замену:

$pict$

Таким образом, получаем $x ∈ {0} ∪(log32;1).$

Ответ:

${0}∪ (log32;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#16745Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 4x+12 − 2x+5+ 4 2x-− 1-+---2x-− 16---≥ 2x+1

Источники: ЕГЭ 2021, резервная волна

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые налево и приведем к общему знаменателю:

(2x − 16)+ (2x− 1)(4x+ 12 − 2x+5+ 4) − 2x+1(2x − 1)(2x− 16) -----------------(2x−-1)(2x−-16)------------------≥ 0 2x−-16+-23x+1-− 22x+5+-2x+2-− 22x+1+-2x+5−-4−-(23x+1−-22x+1−-22x+5-+2x+5)≥ 0 (2x− 1)(2x− 16) 2x− 16+ 2x+2− 4 (2x−-1)(2x−-16)-≥ 0 x 2-(4+-1)− 4(4+-1)≥ 0 (2x− 1)(2x− 16) ---5(2x−-4)--- (2x− 1)(2x− 16) ≥ 0

Пусть $t= 2x,$ тогда запишем полученное неравенство через $t$ и решим с помощью метода интервалов:

---5(t− 4)- ≥ 0 (t− 1)(t− 16)

$PIC$

Учитывая, что $x 2 = t> 0,$ а также знаменатель не может равняться нулю, получим систему

(| ⌊ (| ⌊ x ||{ ⌈16< t ||{ ⌈16< 2 | 1< t≤ 4 ⇔ | 1< 2x ≤ 4 ||( 0< t ||( 0< 2x

Отсюда окончательно получаем

⌊ ⌈4 < x 0 < x≤ 2

Ответ:

$(0;2]∪(4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#15854Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 x log625(3− x)≤ log5(x − 6x +9).

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

$pict$

Преобразуем исходное неравенство с учетом ОДЗ:

x2log625(3 − x) ≤log5(x2− 6x + 9) x2log (3− x)≤ log ((x− 3)2) 4 5 5 x2 4 log5(3− x)− 2log5(|x − 3|)≤ 0 ( x2 ) log5(3− x) 4-− 2 ≤ 0

Значит, имеем систему, к первому неравенству которой применим метод рационализации:

$pict$

Решим первое неравенство системы методом интервалов:

$√ √- x−22+−+− 222$

Отсюда получим

[ √ - ] [ √- ) x ∈ −2 2;2 ∪ 2 2;+∞

С учетом ОДЗ и оценки $√- 2 2 < 3$ получаем окончательно

[ √ - ] [ √- ) x ∈ − 2 2;2 ∪ 2 2;3

Ответ:

$[ √- ] [ √- ) − 2 2;2 ∪ 2 2;3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».