15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

Выпишем ОДЗ:

Теперь вернемся к исходному неравенству:

Из ОДЗ , то есть можем поделить обе части неравенства на . После деления знак неравенства сохранится и получим:

Учтем ОДЗ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Разложим левую часть неравенства на множители:

Обозначим тогда и второй множитель примет вид

Вернемся к то есть выражение примет вид

Тогда для исходного неравенства имеем:

Воспользуемся методом рационализации для каждого из множителей:

Используем метод интервалов:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Обозначим , тогда имеем:

Таким образом, исходное неравенство примет вид

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Учтем и получим

Подставим

Тогда окончательно получили

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Обозначим , тогда , и неравенство примет вид:

Решим неравенство методом интервалов:

Учтем и получим:

Подставим :

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Воспользуемся методом рационализации и получим:

Решим неравенство методом интервалов:

Тогда окончательно имеем

Решим неравенство методом интервалов:

Теперь используем метод рационализации для первого неравенства из системы и получим:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Исходное неравенство равносильно системе

Решим неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем

Используем метод рационализации для первого неравенства системы и получим

Отсюда окончательно имеем:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Выпишем ОДЗ данного неравенства:

Так как на ОДЗ то выполнено следующее равенство:

Используем метод рационализации для этого неравенства и получим:

Решим полученное неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Наложим ограничения на

Решим неравенство без учета ограничений:

Так как основание логарифма равно то можем перейти к неравенству аргументов:

Решим полученное неравенство методом интервалов. Заметим, что при любом является положительным выражение

Тогда имеем:

Пересекая с ограничениями, получаем

Таким образом, окончательно имеем:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Заметим, что аргумент логарифма равен

Также заметим, что при всех Следовательно, при всех

Тогда ОДЗ неравенства следующая:

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что при всех из ОДЗ основание логарифма больше Следовательно, имеем

Пусть Тогда неравенство примет вид

Сделаем обратную замену:

Пересечем полученное множество с ОДЗ и получим окончательный ответ:

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ограничения на для логарифмов:

Решим неравенство при этих ограничениях.

Воспользуемся формулой

Как уже говорилось выше, при всех следовательно, неравенство можно переписать в виде

Решая полученное неравенство методом интервалов, получим

Учитывая ограничения на получим окончательно

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ОДЗ неравенства:

Пользуясь формулой неравенство можно записать в виде:

Так как основания степеней то неравенство можно переписать в виде

Так как основания логарифмов то неравенство на ОДЗ равносильно

Решением этого неравенства будут

Пересекая полученное множество с ОДЗ, получим

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Выпишем ОДЗ неравенства:

Отсюда получаем

Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации:

Решим данное неравенство методом интервалов:

Отсюда получаем

Пересечем полученное множество с ОДЗ и окончательно получим

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Найдем ограничения логарифмов:

Сделаем замену Тогда при ограничениях выше имеем:

Тогда исходное неравенство примет вид

Решим последнее неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением будут

Сделаем обратную замену:

Учитывая получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Сделаем замену тогда неравенство примет вид

Решим данное неравенство методом интервалов:

Выпишем подходящие и сделаем обратную замену:

Таким образом, получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Общее ОДЗ всех логарифмов: На этом ОДЗ

Сделаем замену :

Решая данное неравенство методом интервалов, получим

Сделаем обратную замену:

Пересекая полученное множество с ОДЗ, получим

Сделаем замену Тогда имеем:

Решая данное неравенство методом интервалов, получим

Вернемся к старой переменной:

Тогда окончательно получаем

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

ОДЗ логарифмов: . Сделаем замену . Тогда на ОДЗ . Тогда неравенство примет вид:

Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ

Перейдем к старой переменной:

Окончательный ответ, учитывая ОДЗ:

Сделаем замену: Тогда неравенство примет вид

Корнями уравнения являются числа 3 и 4. Следовательно, неравенство равносильно

Сделаем обратную замену.

1) Первое неравенство совокупности:

Решением неравенства является

Решением неравенства является

Пересекая эти решения, получим

2) Второе неравенство совокупности:

Объединенив решения первого и второго неравенств, окончательно получим

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «» вместо «» или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Сделаем замену: Тогда неравенство примет вид

Пусть тогда следовательно, имеем:

Сделаем обратную замену:

Следовательно, получаем