Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#503

Решите неравенство

logx2(x2+1) >0.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 |{ x > 0 {x ⁄= 0 | x2 ⁄= 1 ⇔ x⁄= ±1 ( x2+ 1> 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

logx2(x2+ 1)> 0 2 2 (x − 1)⋅(x + 1− 1)> 0 (x2− 1)⋅x2 > 0

Так как на ОДЗ $x2 > 0,$ то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

x2− 1> 0 ⇔ (x− 1)(x+ 1)> 0

C учётом ОДЗ окончательно получаем

x ∈ (− ∞;− 1) ∪(1;+ ∞ )

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1811

Решите неравенство

logx+1(x− 1)≥ 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( |{ x+ 1> 0 | x+ 1⁄= 1 ⇔ x > 1 ( x− 1> 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

logx+1(x − 1) ≥0 ⇔ (x +1 − 1)⋅(x− 1− 1)≥ 0 ⇔ x ⋅(x− 2)≥ 0

Так как на ОДЗ $x> 1 >0,$ то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

x− 2 ≥0 ⇔ x≥ 2

C учётом ОДЗ в итоге получаем

x ∈[2;+∞ )

Ответ:

$[2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#504

Решите неравенство

log e (x − 2016) > 0 (x+π )

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | x + πe > 0 { e | x + π ⁄= 1 ⇔ x > 2016. ( x − 2016 > 0

По методу рационализации на ОДЗ:

e e (x + π − 1)(x − 2016 − 1) > 0 ⇔ (x + π − 1)(x − 2017) > 0,

что при $x > 2016$ равносильно

x − 2017 > 0,

откуда $x ∈ (2017;+ ∞ )$ .
Пересечем ответ с ОДЗ:

x ∈ (2017;+ ∞ ).

Ответ:

$(2017; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#505

Решите неравенство

2 -----1------ 2 log(x+7)(x + 4) < − log √x-+--7 + log (x+7)(x − 1) x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x + 7 > 0 ||| |||| x + 7 ⁄= 1 ||| x2 + 4 > 0 |{ x2 − 1 > 0 ⇔ x > 1. ||| x > 0 ||| x ⁄= 1 |||| √ ------ ||| √ x-+-7-> 0 ( x + 7 ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

2 2 log(x+7)(x + 4 ) − log(x+7)(x − 1) < − log√x+7-x ⇔ x2 + 4 x2 + 4 ⇔ log(x+7 )-2-----< − 2log|x+7|x ⇔ log(x+7)--2----< − log (x+7)x2 ⇔ x − 1 x − 1 x2-+-4- 2 x2(x2-+-4) ⇔ log(x+7 )x2 − 1 + log(x+7) x < 0 ⇔ log(x+7) x2 − 1 < 0

По методу рационализации: на ОДЗ

( ) x2(x2-+-4) x2(x2-+-4) log(x+7 ) x2 − 1 < 0 ⇔ (x + 7 − 1) x2 − 1 − 1 < 0 ⇔ 4 2 ⇔ (x + 6) ⋅ x-+-3x--+-1-< 0. x2 − 1

x4 + 3x2 + 1 = x4 + 2x2 + 1 + x2 = (x2 + 1)2 + x2 > 0,

тогда

4 2 (x + 6 ) ⋅ x-+-3x-+-1-< 0 ⇔ -x-+-6-< 0, x2 − 1 x2 − 1

но на ОДЗ (при $x > 1$ ) у выражения в левой части последнего неравенства числитель и знаменатель не обращаются в $0$ , тогда оно знакопостоянно при $x > 1$ .

Так как

x + 6 -2----> 0 п ри x = 2, x − 1

то у исходного неравенства решений нет.

Ответ:

$∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#506

Решите неравенство

log -x-2 ≤ logx 2. x− 1 3

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | --x---> 0 |||| x − 1 |{ --x---⁄= 1 xx − 1 ⇔ x ∈ (1;3 ) ∪ (3;+ ∞ ). ||| --> 0 ||| 3x ( --⁄= 1. 3

log x−x1 2 − logx3 2 ≤ 0.

Воспользуемся формулой $loga b = --1--- logba$ , которая верна на ОДЗ:

log2 x-− log2 -x---- -----1---- − ---1-- ≤ 0 ⇔ -----3--------x −-1 ≤ 0. log --x--- log x- log --x---⋅ log x- 2 x − 1 2 3 2x − 1 2 3

Воспользуемся разностью логарифмов:

log x-(x-−--1) log x-−-1- -----2---3x-------≤ 0 ⇔ -------2--3-------≤ 0. log --x---⋅ log x- log --x--⋅ log x- 2x − 1 2 3 2 x − 1 23

По методу рационализации:

(2 − 1)(x−1 − 1) x − 4 --------x-------3------x------ ≤ 0 ⇔ ----------1--≤ 0. (2 − 1)(3 − 1)(2 − 1)(x−1 − 1) (x − 3) ⋅ x−1

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $x ∈ (− ∞; 1) ∪ (3; 4]$ .
Пересечем ответ с ОДЗ:

x ∈ (3;4].

Ответ:

$(3;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#507

Решите неравенство

2 log8− 4x(16x − 8x + 1) ≤2

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| 8− 4x> 0 ( ) ( ) ( ) { 1 1 7 7 |( 8−24x⁄= 1 ⇔ x∈ − ∞;4 ∪ 4;4 ∪ 4;2 16x − 8x +1 > 0

Преобразуем исходное неравенство:

16x2− 8x+ 1 log8−4x(16x2− 8x+ 1)− log8−4x(8− 4x)2 ≤ 0 ⇔ log8−4x--(8−-4x)2-- ≤0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

( 2 ) (8− 4x− 1) 16x(8−−-84xx+)2-1− 1 ≤ 0 ⇔ 2 2 ⇔ (7 − 4x)⋅ 16x-−-8x+-1−-(64−2-64x-+-16x-) ≤0 ⇔ (8− 4x) ⇔ (7-− 4x)(56x−-63)-≤ 0 ⇔ (4x−-7)(8x−-9)≥ 0 (8− 4x)2 (4x − 8)2

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда $( 9] [7 ) x∈ − ∞;8 ∪ 4 ;2 ∪(2;+∞ ).$

Пересечем с ОДЗ и получим окончательный ответ

( 1) ( 1 9] (7 ) x ∈ −∞; 4 ∪ 4;8 ∪ 4;2

Ответ:

$( 1) ( 1 9] ( 7 ) −∞; 4 ∪ 4;8 ∪ 4;2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#508

Решите неравенство

log 2 √x2-−-4x-+--4 ≤ 0,5. x +x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | x2 + x > 0 { 2 | x + x ⁄= 1 ⇔ ( x2 − 4x + 4 > 0 ( √ -) ( √ -- ) ( √ --) ( √-- ) 1 +---5 1-+---5 − 1-+--5- −-1 +--5- x ∈ − ∞; − 2 ∪ − 2 ;− 1 ∪ 0; 2 ∪ 2 ;2 ∪ (2;+ ∞ )

√ ------------ 2 x2 − 4x + 4 2 logx2+x x2 − 4x + 4 − logx2+x(x + x) ≤ 0 ⇔ logx2+x----2------- ≤ 0. x + x

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) 2 x2-−-4x-+-4- 2 x2-−-4x-+--4 −-(x2-+-x-) (x + x − 1) x2 + x − 1 ≤ 0 ⇔ (x + x − 1) ⋅ x2 + x ≤ 0 ⇔ ⇔ (x2 + x − 1) ⋅ − 5x-+-4-≤ 0 ⇔ (x2 + x − 1 ) ⋅ 5x-−-4-≥ 0 x2 + x x2 + x

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $[ ) ( ] √ -- √ -- x ∈ − 1-+---5 ;− 1 ∪ 0; −-1 +--5 ∪ [0,8; +∞ ) 2 2$ .
Пересечем ответ с ОДЗ: $( √ -- ) ( √ -) x ∈ − 1 +---5;− 1 ∪ 0; −-1-+--5 ∪ [0,8;2 ) ∪ (2;+ ∞ ) 2 2$ .
Окончательный ответ

( ) ( ) 1 + √5-- − 1 + √5- x ∈ − ------- ;− 1 ∪ 0;--------- ∪ [0,8;2) ∪ (2; +∞ ). 2 2

Ответ:

$( √ -- ) ( √ -) 1-+---5 −-1 +---5 − 2 ;− 1 ∪ 0; 2 ∪ [0,8;2) ∪ (2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#873

Решите неравенство

( x2−x−6 ) ( x2+2x+2 ) 4 − 1 ⋅log0,25 4 − 3 ≤0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

x2+2x+2 x2+2x+2 log 3 2 2 4 − 3> 0 ⇔ 4 > 4 4 ⇔ x + 2x+ 1+ 1> log43 ⇔ (x + 1) > log43− 1.

Заметим, что $log 3< log 4 = 1 4 4$ , следовательно, число $log 3− 1 <0 4$ . Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то неравенство $(x +1)2 > log 3 − 1 4$ выполнено при всех $x$ .
Следовательно, ОДЗ: $x ∈ℝ$ .

Перейдем к неравенству:

( x2− x−6 0) ( x2+2x+2 ) 4 − 4 ⋅log0,25 4 − 3 ≤ 0

Преобразуем его по методу рационализации:

( 2 ) (4− 1)(x2− x− 6− 0)⋅(0,25− 1) 4x +2x+2− 3− 1 ≤0 ⇔ ( ) ⇔ 3(x2− x − 6)⋅(− 0,75) 4x2+2x+2− 41 ≤ 0 ⇔ ⇔ (x2− x− 6)⋅(4 − 1)(x2+ 2x + 2− 1) ≥0 ⇔ ⇔ (x+ 2)(x− 3)⋅(x+ 1)2 ≥ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ:

x ∈ (− ∞;− 2]∪ {−1}∪ [3;+∞ ).

Ответ:

$(− ∞; − 2] ∪ {− 1} ∪ [3;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1249

Решите неравенство

15x − 3x+1− 5x+1+ 15 -----−x2-+2x------≥ 0

Показать ответ и решение

Рассмотрим числитель дроби:

15x− 3x+1− 5x+1 +15 3x⋅5x− 3⋅3x− 5⋅5x+ 15 3x(5x− 3)− 5(5x− 3) (5x− 3)(3x− 5)

Следовательно, домножив также обе части неравенства на -1 и, сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде:

x x (5-−-32)(3-−-5)≤ 0 x − 2x (5x-− 5log53)(3x−-3log35)≤ 0 x(x− 2)

Решим данное неравенство методом рационализации:

(5−-1)(x-−-log53)(3-− 1)(x−-log35)≤ 0 x(x− 2) (x-−-log53)(x-− log35) x(x− 2) ≤ 0

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, ответ:

x∈ (0;log53]∪ [log3 5;2)

Ответ:

$(0;log53 ] ∪ [log35; 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1250

Решите неравенство

10x− 25 ⋅2x − 2⋅5x+ 50 -----5x−-x2−-4------≥ 0

Показать ответ и решение

Рассмотрим числитель дроби:

10x− 25⋅2x− 2⋅5x+ 50 x x x x 2 ⋅5 − 25⋅2 − 2⋅5 +50 2x(5x− 25)− 2(5x− 25) x x (5 − 25)(2 − 2)

Следовательно, домножив также обе части неравенства на -1 и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде:

x x (5-−2-25)(2-−-2)≤ 0 x − 5x+ 4 (5x− 52)(2x− 21) -(x−-1)(x-− 4)-≤ 0

Решим данное неравенство методом рационализации:

(5−-1)(x−-2)(2-− 1)(x−-1) (x− 1)(x − 4) ≤ 0 (x−-2)(x-− 1) ≤ 0 (x− 1)(x − 4)

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, ответ:

x∈ [2;4)

Ответ:

$[2;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1251

Решите неравенство

x x -2-8--− 5x⋅2-4−x-≥0 (x − 1)(2 − 2 )

Показать ответ и решение

Рассмотрим числитель дроби в левой части неравенства:

x x x x x x x 8 − 5 ⋅2 = 2 ⋅4 − 5⋅2 = 2 ⋅(4 − 5)

Следовательно, мы можем переписать неравенство в виде

x x -2-2-⋅(4-x− 5)4−x-≥0 (x − 1)(2 − 2 ) ----2x⋅(4x-−-4log45)--- (x − 1)(x+ 1)(2x− 24− x) ≥ 0

Заметим, что $x 2 > 0$ для любого $x,$ следовательно, можно разделить обе части неравенства на это положительное выражение, при этом знак неравенства не изменится. Теперь решим последнее неравенство методом рационализации:

------(4−-1)(x-− log45)-----≥ 0 (x− 1)(x + 1)(2− 1)(x− (4− x)) (x− log45) (x-−-1)(x+-1)(2x−-4)-≥0

Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, получаем ответ:

x∈ (−∞; −1)∪ (1;log45]∪ (2;+∞ )

Ответ:

$(−∞; −1)∪ (1;log 5]∪ (2;+ ∞) 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1812

Решите неравенство

log(x+1)2≥ ----1----. logx(x+ 1)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( |||x+ 1 >0 { {x+ 1 ⁄=1 ⇔ x >0 |||x >0 x ⁄=1 (x ⁄=1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log(x+1)2 ≥ log(x+1)x log(x+1)2 − log(x+1)x≥ 0 2 log(x+1) x ≥ 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

( ) log(x+1)-2≥ 0 ⇔ (x+ 1− 1) 2 − 1 ≥ 0 x x 2−-x- x⋅ x ≥ 0 2 − x ≥ 0 ⇔ x≤ 2

Таким образом, с учётом ОДЗ окончательно получаем

x ∈ (0;1)∪ (1;2]

Ответ:

$(0;1) ∪(1;2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1813

Решите неравенство

2 ------1------ --------1-------- log(x+11)(x + 3 ) ≥ − log √x-+--11-+ log 2 (x + 11) x (x− 1)

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( || x + 11 > 0 |||| ||| x + 11 ⁄= 1 ||| x2 + 3 > 0 |||| x > 0 { { x > 1 x ⁄= 1 ⇔ √ -- |||| √x-+--11 > 0 x ⁄= 2 ||| √------- ||| x + 11 ⁄= 1 |||| x2 − 1 > 0 ||( 2 x − 1 ⁄= 1

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

log (x2 + 3) ≥ − log √----x + log (x2 − 1) ⇔ (x+11) x+11 (x+11) ⇔ log(x+11)(x2 + 3) − log (x+11)(x2 − 1) + log√x+11-x ≥ 0 ⇔ 2 2 ⇔ log(x+11) x-+--3-+ log √x+11x ≥ 0 ⇔ log (x+11) x-+-3-+ 2log|x+11|x ≥ 0 ⇔ x2 − 1 x2 − 1 x2 + 3 2 x2(x2 + 3) ⇔ log(x+11) -2-----+ log (x+11)x ≥ 0 ⇔ log (x+11)---2------ ≥ 0 x − 1 x − 1

По методу рационализации: на ОДЗ

( ) x2(x2 +-3) x2(x2-+-3) log(x+11) x2 − 1 ≥ 0 ⇔ (x + 11 − 1) x2 − 1 − 1 ≥ 0 ⇔ 4 2 ⇔ (x + 10 ) ⋅ x-+-2x-+-1-≥ 0. x2 − 1

x4 + 2x2 + 1 = (x2 + 1)2 ≥ 0

Тогда

⌊ x4 + 2x2 + 1 x-+-10-≥ 0 (x + 10) ⋅-------------≥ 0 ⇔ ⌈ x2 − 1 x2 − 1 x2 + 1 = 0

Так как при $x > 1$ , $√-- x ⁄= 2$ выражение $x-+-10- x2 − 1$ положительно, то множество решений исходного неравенства совпадает с ОДЗ.

Ответ:

$√ -- √-- (1; 2) ∪ ( 2; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1814

Решите неравенство

(x2-+-x-)lg(2x2 +-4x −-4)- lg(−-2x2 −-4x-+-4)2 |x + 2| ≥ x + 2 .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | 2x2 + 4x − 4 > 0 { √-- √-- | x + 2 ⁄= 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 1 − 3 ) ∪ (− 1 + 3; +∞ ). ( (− 2x2 − 4x + 4)2 > 0

Так как $(− a )2 = a2$ , то $(− 2x2 − 4x + 4)2 = (2x2 + 4x − 4)2$ .
Обозначим

2 A = 2x + 4x − 4,

тогда

2 2 (x--+-x-)lgA-- lg-A-- |x + 2| ≥ x + 2

Рассмотрим 2 случая:
1) $x + 2 > 0 ⇒ |x + 2 | = x + 2$ .

2 2 (x-+--x)lgA--−-2lgA--≥ 0 ⇔ (x--+-x-−-2)-lg-A-≥ 0. x + 2 x + 2

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 2 (x--+-x-−-2)(10-−-1)(A-−-1)-≥ 0 ⇔ (x-+--x −-2)(2x-+--4x −-5) ≥ 0 x + 2 ( ) ( x +)2 √ --- √ --- (x − 1)(x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ ----------------------------------------------- ≥ 0 x + 2

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $[ √ --- ) ( √---] 14 14 x ∈ − 1 − -----;− 2 ∪ − 2;− 1 + ----- ∪ [1; +∞ ) 2 2$ .
Пересечем с условием $x + 2 > 0$ : $( √ ---] 14 x ∈ − 2;− 1 +----- ∪ [1;+ ∞ ) 2$

2) $x + 2 < 0 ⇒ |x + 2 | = − x − 2$ .

−-(x2-+-x)lg-A-−-2-lg-A- (x2-+-x-+-2)-lg-A- x + 2 ≥ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

(x2-+-x-+-2)(10-−-1)(A-−--1)- (x2-+-x-+-2)(2x2-+-4x-−-5) x + 2 ≤ 0 ⇔ x + 2 ≤ 0 ⇔ ( √ ---) ( √ --) (x2 + x + 2) x + 1 + --14- x + 1 − --14- 2 2 ⇔ --------------------------------------------- ≤ 0 x + 2

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $( ] ( ] √14-- √14-- x ∈ − ∞; − 1 − ----- ∪ − 2;− 1 + ----- 2 2$ .
Пересечем с условием $x + 2 < 0$ : $( √---] x ∈ − ∞; − 1 − -14-- 2$ .
Объединенное решение двух случаев: $( √ ---] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 2;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2$ .
Пересечем ответ с ОДЗ: $( √ --] ( √ ---] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + √3;-− 1 +--14- ∪ [1;+ ∞ ) 2 2$ .
Окончательный ответ

( √ ---] ( √ -- √ --] x ∈ − ∞; − 1 − --14- ∪ − 1 + 3;− 1 + --14- ∪ [1;+ ∞ ). 2 2

Ответ:

$( √ ---] ( √ --] --14- √ -- --14- − ∞; − 1 − 2 ∪ − 1 + 3;− 1 + 2 ∪ [1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1817

Решите неравенство

------logx(x-−-3)------ (ex + 2) ⋅ log (x + 11 ) ≤ 0 2

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | x > 0 ||| |||| x ⁄= 1 { x − 3 > 0 x ⇔ x > 3. |||| e + 2 ⁄= 0 ||| log2(x + 11) ⁄= 0 |( x + 11 > 0

По методу рационализации: на ОДЗ

-----logx-(x-−--3)------ -----(x-−-1)(x −-3 −-1)------ (ex + 2) ⋅ log2 (x + 11) ≤ 0 ⇒ (ex + 2 ) ⋅ (2 − 1)(x + 11 − 1) ≤ 0.

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

x − 4 ≤ 0

Таким образом, с учётом ОДЗ:

x ∈ (3;4].

Ответ:

$(3;4]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2054

Решите неравенство

( ) ( ) 9x2+x− 2 − (3x+2 + 1) ⋅ 3x2+x−2 + 3x+2 ⋅ log 2 3x2+2x+2 − 2 ≥ 0 x −3

Показать ответ и решение

Рассмотрим первую скобку: $( 2 2 ) 9x+x −2 − (3x+2 + 1) ⋅ 3x +x−2 + 3x+2$ .

Сделаем замену $t = 3x2+x −2$ . Тогда данное выражение преобразуется к виду

2 ( x+2 ) x+2 2 x+2 x+2 ( x+2) ( x+2) ( x+2) t − 3 + 1 t + 3 = t − 3 t − t + 3 = t t − 3 − t − 3 = t − 3 (t − 1)

Таким образом, данное выражение имеет вид:

( x2+x−2 x+2) ( x2+x−2 ) 3 − 3 3 − 1

Тогда все неравенство примет вид:

( x2+x−2 x+2) ( x2+x− 2 ) ( x2+2x+2 ) 3 − 3 3 − 1 ⋅ logx2−3 3 − 2 ≥ 0

1) Найдем ОДЗ левой части:

( ( ( || x2 − 3 > 0 | x ∈ (− ∞; − √3-) ∪ (√3; +∞ ) | x ∈ (− ∞; − √3-) ∪ (√3;-+ ∞ ) { 2 { { | x − 3 ⁄= 1 ⇒ | x ⁄= ±2 ⇒ | x ⁄= ±2 |( 3x2+2x+2 − 2 > 0 ( 3x2+2x+2 > 3log32 ( x2 + 2x + 2 > log 2 3

Решим последнее неравенство отдельно:

2 2 2 2 x + 2x + 2 > log32 ⇒ x + 2x + 1 > log3 2 − 1 ⇒ (x + 1) > log3 2 − log33 = log3 -- 3

Заметим, что число $2 log33 < 0$ , следовательно, при любых $x$ выражение $2 (x + 1)$ будет больше отрицательного числа, то есть решением этого неравенства являются $x ∈ ℝ$ .

Таким образом, ОДЗ исходного неравенства: $x ∈ (− ∞; − 2) ∪ (− 2;− √3-) ∪ (√3;-2) ∪ (2; +∞ )$ .

2) Перейдем к решению самого неравенства на ОДЗ.

Применим метод рационализации для первого множителя (скобки) и для второго множителя (логарифма):

$2 2 2 x2+2x+2 (x + x − 2 − 0 )(x + x − 2 − (x + 2)) ⋅ (x − 3 − 1)(3 − 2 − 1) ≥ 0 ⇒$

$⇒ (x2 + x − 2)(x2 − 4) ⋅ (x2 − 4)(x2 + 2x + 2 − 1 ) ≥ 0 ⇒$

$2 ⇒ (x − 1)(x + 2)(x + 2)(x − 2) ⋅ (x − 2)(x + 2)(x + 1 ) ≥ 0 ⇒$

$⇒ (x − 1)(x + 2)3(x − 2)2(x + 1)2 ≥ 0$

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, нам подходят точки $x ∈ (− ∞; − 2] ∪ {− 1} ∪ [1;+∞ )$ .

3) Пересечем полученный ответ с ОДЗ и получим:

√ -- x ∈ (− ∞; − 2) ∪ ( 3;2) ∪ (2; +∞ ).

Ответ:

$√ -- x ∈ (− ∞; − 2) ∪ ( 3;2 ) ∪ (2;+ ∞ )$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2172

Решите неравенство

----------1-2--------≤ 1 2− log1−x2(4x − 4x+ 1)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ( | 1 − x2 > 0 | − 1 < x < 1 ||{ 2 ||{ 1 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 0 ⇔ || 4x2 − 4x + 1 > 0 || (2x − 1)2 > 0 |( 2 |( 2 2 2 2 − log1−x2 (4x − 4x + 1) ⁄= 0 (2x − 1) ⁄= (1 − x ) ( ( | − 1 < x < 1 | − 1 < x < 1 ||{ ||{ ⇔ x ⁄= 0 ⇔ x ⁄= 0 || x ⁄= 0,5 || x ⁄= 0,5 |( 2 |( √ -- 2x − 1 ⁄= ±(1 − x ) x ⁄= − 1 ± 3;0;2

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: $√ -- √ -- x ∈ (− 1; 0) ∪ (0;0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ ( 3 − 1;1)$ .

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену $2 t = 2 − log1− x2 (4x − 4x + 1)$ . Тогда неравенство примет вид:

1-≤ 1 ⇔ 1-−-t ≤ 0 ⇔ t ∈ (− ∞; 0) ∪ [1;+ ∞ ). t t

Сделаем обратную замену:

⌊ 4x2 −-4x-+-1- [ 2 | log1−x2 1 − x2 ≤ 0 2 − log1− x2 (4x − 4x + 1) ≥ 1 ⇔ || 2 − log1− x2 (4x2 − 4x + 1) < 0 |⌈ 2 log1−x2 4x-−--4x-+-1-> 0 (1 − x2)2

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

⌊ ( ) ⌊ 2 4x2 − 4x + 1 x3 (5x − 4) |(1 − x − 1) ---------2---− 1 ≤ 0 | --------------≤ 0 || 1 − x || (x + 1)(x − 1 ) | ( 2 ) ⇔ | 3 2 ⌈(1 − x2 − 1) 4x--−-4x-+--1− 1 > 0 ⌈ x-(x −-2)(x-+--2x −-2)-> 0 (1 − x2)2 (x − 1)2(x + 1)2

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 3 − 1) ∪ (− 1; 3 − 1) ∪ [0,8; 1) ∪ (2;+ ∞ ).

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

√ -- x ∈ (− 1;0) ∪ (0;0, 5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8;1).

Ответ:

$√ -- (− 1;0) ∪ (0; 0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8; 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2569

Решите неравенство

( 1) x ⋅log1 4− 3⋅3x > 1 3

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

1 1 4 − 3 ⋅ 3x > 0 ⇔ 3 x < 4- ⇔ 3 1x log3(43) 1- 4- ⇔ 3 < 3 ⇔ x < log33 ⇔ 1 − x ⋅ log 4 x − log43 ⇔ ----------33-< 0 ⇔ -------3--> 0 ⇔ x x ( ) ⇔ x ∈ (− ∞; 0) ∪ log 43;+ ∞ 3

Решим неравенство на ОДЗ. Его можно преобразовать так:

( ( ) ) ( ( ) ) x ⋅ − log 4 − 3 ⋅ 31x − 1- > 0 ⇔ x ⋅ log 4 − 3 ⋅ 3 1x + log 3 1x < 0 3 x 3 3

Так как $logab + logac = loga(bc)$ , то

( 1 ( 1)2) x ⋅ log3 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3 x < 0

По методу рационализации на ОДЗ данное неравенство равносильно

( 1 ( 1)2 ) ( 1 ( 1 )2 ) x ⋅ (3 − 1) ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0 ⇔ x ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0

Найдем нули скобки. Сделаем замену $1 3x = t$ , тогда скобка примет вид $4t − 3t2 − 1$ . Чтобы найти ее нули, нужно решить уравнение $4t − 3t2 − 1 = 0$ . Его корни: $t1 = 1$ , $t2 = 1 3$ . Следовательно, выражение $2 4t − 3t − 1$ можно переписать в виде $( 1) − 3(t − 1) t − 3$ . Значит, наше неравенство примет вид

( 1 ) ( 1 1) ( 1 ) ( 1 ) x ⋅ (− 3) ⋅ 3 x − 1 ⋅ 3 x − -- < 0 ⇔ x ⋅ 3 x − 30 ⋅ 3 x − 3−1 > 0 3

По методу рационализации данное неравенство преобразуется в неравенство

( ) ( ) 1- 1- x-(x +-1) x ⋅ (3 − 1) ⋅ x − 0 ⋅ (3 − 1) ⋅ x − (− 1) > 0 ⇔ x2 > 0

Решая полученное неравенство методом интервалов, получим ответ
$x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; +∞ )$ .
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ

( ) x ∈ (− ∞; − 1) ∪ log 43;+ ∞ 3

Ответ:

$( ) x ∈ (− ∞; − 1) ∪ log43 3; +∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2570

Решите неравенство

2 2 2 2 log5(x--−-6x-−-6)--−-log11(x--−-6x-−--6)- 4 + x − 3x2 ≥ 0

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ неравенства:

{ { (x2 − 6x − 6 )2 > 0 x2 − 6x − 6 ⁄= 0 2 ⇔ 2 ⇔ 4 + x − 3x ⁄= 0 3x − x − 4 ⁄= 0 √ --- 4- √ --- ⇔ x ⁄= − 1; 3 − 15; 3; 3 + 15

Будем далее решать неравенство на ОДЗ (то есть как будто оно выполнено, а в конце решения полученный ответ пересечем с ОДЗ).

Предлагается сделать следующее: воспользоваться формулой $--1--- loga b = log a b$ , чтобы “перевернуть” логарифмы, тем самым у них станут одинаковые основания. НО! Данная формула верна только в том случае, когда $b ⁄= 1$ (так как основание логарифма не может быть равно $1$ ).
Наше ОДЗ этого не учитывает. Следовательно, нужно рассмотреть два случая: когда “будущее” основание, то есть $(x2 − 6x − 6)2$ , равно $1$ , и когда не равно.

1) Пусть $(x2 − 6x − 6)2 = 1$ :

(x2 − 6x − 6)2 = 1 ⇔ x2 − 6x − 6 = ±1 ⇔ √ --- √ --- ⇔ x = − 1; 3 − 14; 3 + 14; 7

Сразу исключим значение $x = − 1$ , так как оно не входит в ОДЗ.
При остальных трех значениях $x$ числитель дроби нашего неравенства будет равен:

log5 1 − log111 = 0 − 0 = 0

Следовательно, вне зависимости от того, чему будет равен знаменатель (главное, чтобы не был равен нулю), вся дробь будет равна нулю. Так как нам нужно, чтобы эта дробь была больше или равна нулю, то данные три значения $√ --- √ --- x = 3 − 14; 3 + 14; 7$ нам подходят.
Следовательно, их нужно будет включить в окончательный ответ.

2) Пусть $2 2 (x − 6x − 6) ⁄= 1$ . Следовательно, $√ --- √ --- x ⁄= 3 − 14; 3 + 14; 7$ .
Тогда можно воспользоваться формулой $loga b = --1--- logba$ : Можно применить метод рационализации для данного неравенства. Все множители вида $logab$ заменяются на $(a − 1)(b − 1)$ ; все множители вида $loga b − loga c$ заменяются на $(a − 1)(b − c)$ :