Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#417

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона $pV = νRT.$ Здесь $p$ — давление в паскалях, $V$ — объем в $м3,$ $ν$ — количество вещества в молях, $T$ — температура в кельвинах, $R$ — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К $⋅$ моль). В какое минимальное число раз надо увеличить температуру совершенного газа, чтобы при неизменном давлении его объем вырос не менее чем в 5 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. При увеличении объема не менее чем в 5 раз имеем:

νRT = pV ≥ 5pV0 = 5νRT0

Отсюда $T ≥ 5T0,$ то есть чтобы при неизменном давлении газа его объем вырос не менее чем в 5 раз, надо увеличить его температуру минимум в 5 раз.

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#421

Совершенный газ описывается законом Менделеева-Клапейрона: $pV = νRT$ , где $p$ – давление в паскалях, $V$ – объем в м $3$ , $ν$ – количество вещества в молях, $T$ – температура в кельвинах, $R$ – универсальная газовая постоянная, равная $8,31$ Дж/(К $⋅$ моль). В некоторый момент давление газа увеличилось в $1,5$ раза по сравнению с первоначальным. В какое минимальное число раз при этом должен был увеличиться объем газа, чтобы его температура увеличилась не менее, чем в 6 раз?

Показать ответ и решение

Обозначим начальные параметры с индексом 0. Выразим температуру:

T = pV-, νR

тогда при увеличении давления газа в 1,5 раза и увеличении его температуры не менее чем в 6 раз имеем:

1, 5p0V p0V0 --------= T ≥ 6T0 = 6 ⋅----, νR νR

откуда $V ≥ 4V0$ , то есть объем газа должен был увеличиться не менее, чем в 4 раза.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23589

Автомобиль, начав тормозить, за $t$ секунд проходит путь $at2 s(t)= v0t− 2 ,$ где $v0$ (м/с) — начальная скорость, $2 a (м/с )$ — ускорение в момент времени $t.$

С какой наименьшей скоростью двигался автомобиль до начала торможения, если за 6 секунд, тормозя с ускорением $5 м/с2,$ он проехал не менее 90 метров? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

По условию $s(6)≥ 90$ при $a= 5.$ Тогда имеем неравенство:

s(6) ≥90 5⋅62 6v0− 2 ≥ 90 6v0 ≥ 90+ 90 6v0 ≥ 180 v0 ≥ 30

Значит, до начала торможения автомобиль двигался со скоростью не меньше 30 м/с.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#418

Сила тока в неразветвлённой части некоторой полной цепи с $n$ параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле

ℰ I = R-+-r, n

где $ℰ >0$ – ЭДС каждого источника (в вольтах), $R =6$ Ом – сопротивление цепи в Омах, $r =4$ Ом – внутреннее сопротивление каждого источника. При каком наибольшем количестве элементов ЭДС в сети сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника

ℰ- Iкз = r ?

Показать ответ и решение

Количество источников, при котором сила тока составит не более, чем половину от силы тока короткого замыкания одного источника, удовлетворяет неравенству

ℰ 1 ℰ R-+-r ≤ 2 ⋅r-, n

которое с учётом известных данных принимает вид

ℰ 1 ℰ 6+--4≤ 2 ⋅4, n

что в силу $ℰ >0$ равносильно

--1-- 1 4- 4- 6+ 4n ≤ 8 ⇔ 6+ n ≥ 8 ⇔ n ≥ 2,

откуда $0< n ≤ 2.$ Таким образом, наибольшее допустимое число элементов ЭДС равно 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#419

Подводная лодка “Скумбрия” $\text{[math]}$ плывет с постоянной скоростью $v0 = 20$ узлов (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени $t = 0$ часов она выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением $a = 80$ узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска до торпеды определяется из формулы

at2 S = v0t + ---. 2

Определите в течение какого времени с момента пуска торпеда плыла последние $1, 3$ морской мили до цели, если в момент пуска расстояние до неподвижной цели было 2,4 морских мили. Ответ дайте в часах.

Показать ответ и решение

Разделим путь торпеды на 2 участка: участок А – первые 1,1 морской мили пути; участок В – последние 1,3 морской мили пути. Тогда моменты $t$ , в которые торпеда будет находиться на участке В, удовлетворяют двойному неравенству

2 1,1 ≤ 20t + 40t ≤ 2,4.

Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $1,1 ≤ 20t + 40t2$ . Оно равносильно неравенству

2 40t + 20t − 1,1 ≥ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $20t + 40t2 − 1,1 = 0$ :

t1 = − 0,55, t2 = 0,05,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥ 0$ подходят только $t ≥ 0,05$ .

Рассмотрим теперь неравенство $2 20t + 40t ≤ 2,4$ . Оно равносильно неравенству

40t2 + 20t − 2,4 ≤ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $20t + 40t2 − 2,4 = 0$ :

t1 = − 0,6, t2 = 0,1,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥ 0$ подходят только $0 ≤ t ≤ 0,1$ .

В итоге торпеда находилась на участке В в моменты $0,05 ≤ t ≤ 0,1$ , то есть в течение $0,1 − 0,05 = 0,05$ часа.

Ответ: 0,05

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#420

Максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный Артемом под углом $α$ к горизонту с начальной скоростью $v0$ м/с, может быть найдена по формуле

2 2 h = v0sin-α, 2g

где $h$ — максимальная высота в метрах, $g =10м/с2$ — ускорение свободного падения. Артем смог бросить камень под углом $30∘$ к горизонту с такой начальной скоростью, которая оказалось минимальной среди скоростей, достаточных для того, чтобы камень поднялся на высоту не менее 2,8125 метра. С какой скоростью бросил камень Артем? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

Поскольку $∘ 1 sin30 = 2 ,$ то искомая начальная скорость может быть найдена как наименьшее положительное решение неравенства

2 1 2 v0-⋅(2)-≥ 2,8125 ⇔ v02− 225 ≥ 0 2⋅10

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $v02− 225 = 0:$

v01 = − 15, v02 =15

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

ак как наименьшее положительное решение этого неравенства равно 15, то Артем бросил камень со скоростью 15 м/с.

Ответ: 15

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#422

Относительное удлинение твёрдого стержня может быть найдено по формуле

ℰ = l−-l0, l0

где $l0$ — начальная длина стержня (в метрах), $l$ — конечная длина (в метрах). Длина стержня сначала увеличилась (состояние 1) не менее, чем в 1,4 раза, а затем уменьшилась (состояние 2) и стала составлять 60% от длины, которая была в состоянии 1. Какое при этом наименьшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию?

Показать ответ и решение

В состоянии 1 длина стержня стала $l1 ≥ 1,4l0,$ а после перехода в состояние 2 она стала составлять

l2 =-60 ⋅l1 ≥-60 ⋅1,4l0 =0,84l0. 100 100

Таким образом, относительное удлинение, которое при этом получил стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию:

ℰ = l2− l0 ≥ 0,84l0−-l0-=− 0,16. l0 l0

Следовательно, наименьшее относительное удлинение, которое при этом мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к первоначальному состоянию, равно $− 0,16.$

Ответ: -0,16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#423

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный под углом $α$ к горизонту с начальной скоростью $v0$ м/с, может быть найдено по формуле

2 l = v0-sin(2α), g

где $l$ — расстояние в метрах, $g = 9,8м/ с2$ — ускорение свободного падения. С какой минимальной начальной скоростью достаточно бросить камень под углом $∘ 60$ к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было не менее чем $√ - 1445-3 98$ метра? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

Поскольку $∘ ∘ √3 sin(2⋅60) =sin120 = -2 ,$ то

√- √- 2 -3- √- √ - 1445-3 ≤ l = v0-⋅-2 ⇔ 1445-3 ≤ 5v02⋅--3 ⇔ v02− 289≥ 0 98 9,8 98 98

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $v02− 289 = 0:$

v0 = ±17

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Так как $v0 ≥ 0,$ то подходят значения $v0 ≥ 17,$ то есть минимальная подходящая начальная скорость равна 17 м/с.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#424

В гидростатике сила давления жидкости на дно цилиндрического сосуда может быть найдена по формуле $F = ρghSдна,$ где $F$ — сила давления в ньютонах, $ρ$ — плотность жидкости в $кг/м3,$ $h$ — высота столба жидкости в метрах, $Sдна$ — площадь дна в $м2.$ В какое наименьшее число раз надо увеличить радиус основания цилиндра при прочих неизменных параметрах, чтобы сила давления на дно сосуда увеличилась не менее чем в 16 раз?

Показать ответ и решение

Для начальных параметров используем индекс 0, тогда

ρghSдна = F ≥ 16F0 = 16ρghSдна0

откуда $S ≥ 16S . дна дна0$

Так как $Sкруга = πr2,$ где $r$ — радиус этого круга, то неравенство эквивалентно

r2− 16r02 ≥ 0

Обозначим искомое отношение через $k = r-, r0$ тогда $r = kr0$ и неравенство перепишется в виде

k2r02− 16r02 ≥ 0 ⇔ k2 − 16 ≥0

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $k2− 16= 0:$

k =±4

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Так как $k ≥0,$ то подходят значения $k ≥ 4,$ то есть радиус основания цилиндра надо увеличить минимум в 4 раза.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#425

Материальная точка $P$ движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде

2 v- +gz =4, 2

где $v$ — её скорость в м/с, $g = 10 м/с2$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах). Определите, при какой наибольшей высоте над уровнем моря скорость точки $P$ может быть не менее, чем 2 м/с. Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Выразим $v2 :$

2 v = 8− 20z.

Так как $v ≥ 2,$ то $v2 ≥ 4,$ тогда

8 − 20z ≥4 4≥ 20z z ≤0,2

То есть наибольшая допустимая высота равна 0,2 метра.

Ответ: 0,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#426

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

t m (t) = m0 ⋅ 2−T-,

где $m0$ – начальная масса изотопа в мг, $t$ – время в годах, прошедшее от начального момента, $T$ – период полураспада (в годах). В начальный момент времени масса изотопа $m0 = 100$ мг. Период его полураспада $T = 400$ лет. Через какое наименьшее количество лет масса изотопа станет не более, чем $25$ мг?

Показать ответ и решение

Количество лет, через которое масса изотопа станет не более, чем $25$ мг, удовлетворяет соотношению

m ⋅ 2− tT-= m(t) ≤ 25, 0

откуда

-t- t-- 1 -t- t t 100 ⋅ 2−400 ≤ 25 ⇔ 2− 400 ≤ -- ⇔ 2−400 ≤ 2−2 ⇔ − ----≤ − 2 ⇔ ----≥ 2, 4 400 400

откуда $t ≥ 800$ , то есть минимум через 800 лет масса изотопа станет не более, чем $25$ мг.

Ответ: 800

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#427

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

t m (t) = m0 ⋅ 2−T-,

где $m0$ – начальная масса изотопа в мг, $t$ – время в годах, прошедшее от начального момента, $T$ – период полураспада (в годах). В начальный момент времени масса изотопа $m0 = 1000$ мг. Известно, что через 60000 лет после начала распада масса изотопа составила не более, чем $125$ мг. Каким наибольшим может быть период полураспада этого изотопа? Ответ дайте в годах.

Показать ответ и решение

Искомый период полураспада удовлетворяет соотношению

t m0 ⋅ 2− T-= m (t) ≤ 125,

откуда

− 60000 − 60000 1- − 60000 −3 60000- 60000- 1000 ⋅ 2 T ≤ 125 ⇔ 2 T ≤ 8 ⇔ 2 T ≤ 2 ⇔ − T ≤ − 3 ⇔ T ≥ 3,

откуда $T ≤ 20000$ , следовательно, наибольший возможный период полураспада этого изотопа составляет 20000 лет.

Ответ: 20000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#428

Аня подбросила толстого плохо обтекаемого кота. Высота, на которой он находился до достижения люстры, менялась по закону

h = 1 + 8t − 8t2,

где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. После достижения люстры (которая висела на высоте $h = 3$ м) кот провисел на ней 1 секунду и упал вместе с ней. Во время падения кота его высота до благополучного приземления на лапы менялась по закону $2 h = 3 − 2t$ , где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента совместного падения кота и люстры. Сколько секунд с момента подбрасывания кот находился на высоте не менее $1$ метра?

Показать ответ и решение

Моменты $t$ , в которые кот находился на высоте не менее $1$ метра пока летел вверх, удовлетворяют двойному неравенству

1 ≤ 1 + 8t − 8t2 ≤ 3.

Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $1 ≤ 1 + 8t − 8t2$ . Оно равносильно неравенству

t2 − t ≤ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2 − t = 0$ :

t1 = 0, t2 = 1,

тогда:

$PIC$

тогда решениями этого неравенства будут $t ∈ [0;1]$ .

Рассмотрим теперь неравенство $1 + 8t − 8t2 ≤ 3$ . Оно равносильно неравенству

4t2 − 4t + 1 ≥ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $4t2 − 4t + 1 = 0$ :

t = 0,5,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥ 0$ подходят только $t ≥ 0$ .

По условию задачи при достижении высоты 3 метра (как показано выше, это произошло в момент $t = 0,5$ ) кот зацепился на люстре и его высота больше не менялась по закону $2 h = 1 + 8t − 8t$ , следовательно из решений последнего неравенства нас интересуют только $t ∈ [0; 0,5]$ .

Тогда общее решение двух неравенств: $t ∈ [0;0,5]$ , то есть пока кот летел вверх, он находился на высоте не менее 1 метра в течение $0, 5 − 0 = 0,5$ секунд.

Далее 1 секунду он висел на люстре, потом стал падать и до падения его высота менялась по закону $2 h = 3 − 2t$ .

Моменты $t$ , в которые он был на высоте не менее 1 метра, удовлетворяют неравенству $3 − 2t2 ≥ 1$ , которое равносильно

t2 ≤ 1.

Решим его методом интервалов. Найдём корни уравнения $3 − 2t2 = 1$ :

t1 = − 1, t2 = 1,

тогда:

$PIC$

так как нас интересуют только $t ≥ 0$ , то в итоге, падая, кот находился на высоте не менее $1$ метра в моменты $t ∈ [0;1 ]$ , то есть в течение $1 − 0 = 1$ секунды. В сумме он был на высоте не менее одного метра в течение $0, 5 + 1 + 1 = 2, 5$ секунд.

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1732

Таня бросила камень вниз с обрыва. Она может приближенно рассчитать высоту над уровнем моря (в метрах), на которой находился камень в момент времени $t$ секунд ( $t$ отсчитывается с момента броска) по формуле $h = 1000 − 20t − 5t2$ . Какое по ее подсчетам наибольшее время после броска камень находился на высоте не менее, чем 520 метров над уровнем моря, если она не ошиблась? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Время $t$ , в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, удовлетворяет неравенству

1000 − 20t − 5t2 ≥ 520 ⇔ t2 + 4t − 96 ≤ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2 + 4t − 96 = 0$ :

t1 = 8, t2 = − 12,

тогда:

$PIC$

то есть наибольшее время, в течение которого камень находился на высоте не менее, чем 520 метров, равно 8 секунд.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1733

Проводя опыты с погружением тела, ограниченного поверхностью куба, в жидкость, Настя вспомнила, что на погружённое в жидкость тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда), которая находится по формуле $FA = ρgV,$ где $ρ$ – плотность воды в $кг/м3,$ $g = 9,8 м/с2$ – ускорение свободного падения, $V$ — объем тела в $м3.$ Она задумалась, в какое минимальное число раз надо увеличить каждое ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза. Какой ответ она должна получить при правильном вычислении?

Показать ответ и решение

Пусть длина ребра начального куба равна $x$ м, тогда объем ограниченного им тела равен $x3 м3,$ следовательно, начальная сила Архимеда равна $FAн =ρgx3.$ Обозначим ребро искомого куба за $y.$ Так как сила Архимеда должна увеличиться не менее, чем в 64 раза, то

3 3 3 3 3 3 ρgy ≥ 64FAн = 64ρgx ⇔ y − 64x ≥ 0 ⇔ y − (4x) ≥ 0.

Так как фактически в задаче просят найти именно отношение $y$ к $x,$ то обозначим $y = z, x$ откуда $y = zx,$ следовательно,

3 3 (zx) − (4x) ≥0.

Последнее неравенство можно разделить на $x3$ с учётом того, что $x3 > 0,$ так как $x > 0.$ В результате получим

3 3 z − 4 ≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $z3− 43 = 0:$ $z = 4,$ тогда:

$PIC$

То есть минимальное число раз, в которое надо увеличить ребро куба, ограничивающего тело, чтобы сила Архимеда, действующая на тело, увеличилась не менее, чем в 64 раза, равно 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1734

Максим подкинул монетку, высота которой до падения меняется по закону

h = 1,2 + 15t − 5t2,

где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента подкидывания. Сколько секунд монетка будет находиться на высоте не менее $11, 2$ метра?

Показать ответ и решение

Монетка будет находиться на высоте не менее $11,2$ метра в те моменты $t$ , которые удовлетворяют неравенству

1,2 + 15t − 5t2 ≥ 11,2 ⇔ t2 − 3t + 2 ≤ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2 − 3t + 2 = 0$ :

t1 = 1, t2 = 2,

тогда:

$PIC$

то есть монетка находилась на высоте не менее $11,2$ метра в моменты $t ∈ [1;2]$ , тогда она находилась на высоте не менее $11,2$ метра в течение $2 − 1 = 1$ секунды.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1735

Объем спроса $Q$ единиц в месяц на продукцию предприятия $M$ зависит от цены $P$ в тыс. руб. по формуле $Q(P)= 55 − P.$ Месячная выручка $R$ в тыс. руб. предприятия $M$ вычисляется по формуле $R = P ⋅Q.$ Определите наибольшую цену $P,$ при которой месячная выручка $R$ окажется не менее 250 тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Показать ответ и решение

Выразим месячную выручку $R$ только через цену $P :$

2 R = P ⋅Q = 55P − P

Месячная выручка составит не менее 250 тыс. руб. при цене $P,$ которая может быть найдена из неравенства

2 55P − P ≥250 P 2− 55P + 250 ≤ 0

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $P2 − 55P + 250 = 0:$

P1 =5, P2 = 50

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Тогда наибольшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 250 тыс. руб., равна 50 тыс. руб.

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1736

Маша подбросила мячик, высота которого до падения меняется по закону $h =1 +7t− 5t2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента подбрасывания мячик находился на высоте не менее 1 метра, но не более 2,2 метра?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые мячик находился на высоте от 1 метра до 2,2 метра, удовлетворяют двойному неравенству

2 1 ≤ 1+ 7t− 5t ≤ 2,2

Решим оба неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $1 ≤ 1+ 7t− 5t2.$ Оно равносильно неравенству

2 5t − 7t ≤0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 7t= 0:$

t1 =0, t2 = 1,4

Тогда:

$PIC$

и решениями этого неравенства будут $t∈ [0;1,4].$

Рассмотрим теперь неравенство $1 +7t− 5t2 ≤ 2,2.$ Оно равносильно неравенству

5t2 − 7t+ 1,2 ≥ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 7t+1,2= 0:$

t1 = 0,2, t2 = 1,2

Тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥0,$ подходят только $t∈[0;0,2]∪[1,2;+∞ ).$

В итоге мячик находился на высоте не менее 1 метра, но не более 2,2 метра в моменты $t∈ [0;0,2]∪ [1,2;1,4],$ то есть в течение $(0,2 − 0)+ (1,4− 1,2) =0,4$ секунды.

Ответ: 0,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1737

Для системы $N$ материальных точек справедлив второй закон Ньютона

F = m1a1 + ...+ mN an,

где $F$ – сила в ньютонах, $mi$ – масса $i$ -ой точки в кг, $ai$ – ускорение $i$ -ой точки в м/с $2$ . Пусть система состоит из 5 материальных точек с массами $m1 = 1, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 2, m5$ и ускорениями $a1 = 1, a2 = 2, a3 = 2, a4 = 4, a5$ , пусть сила при этом $F = 40$ . В какое минимальное число раз надо увеличить ускорение 5-ой точки, чтобы сила $F$ увеличилась не менее, чем в 3 раза?

Показать ответ и решение

Пусть $m50$ и $a50$ – начальные параметры 5-ой точки, тогда изначально

F0 = 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + m50a50 = 15 + m50a50 = 40,

откуда $m50a50 = 25$ Н. При увеличении силы не менее, чем в 3 раза имеем:

105 105 15 + m50a5 = F ≥ 3F0 = 120, ⇔ m50a5 ≥ 105 = ----⋅ 25 =----m50a50, ⇔ a5 ≥ 4,2 ⋅ a50, 25 25

то есть ускорение 5-ой точки надо увеличить минимум в 4,2 раза.

Ответ: 4,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1738

Закон Ома гласит, что сила тока полной цепи, измеряемая в амперах, равна

I = --ℰ---, R + r

где $ℰ ≥ 0$ – ЭДС источника (в вольтах), $R$ – сопротивление цепи в Омах, $r = 10$ Ом – внутреннее сопротивление источника. При каком максимальном сопротивлении цепи сила тока будет составлять не менее, чем $0,5$ от силы тока короткого замыкания

Iкз = ℰ? r

Ответ дайте в Омах.

Показать ответ и решение

I ≥ 0,5I ⇔ --ℰ----≥ 0,5 ⋅ ℰ- ⇔ ---1--- ≥ 0, 5 ⋅ 1-⇔ --1----≥ 1-, кз R + 10 10 R + 10 10 R + 10 20

что равносильно $R + 10 ≤ 20$ , откуда находим $R ≤ 10$ Ом, то есть максимальное сопротивление, при котором сила тока будет составлять не менее, чем $0,5$ от силы тока короткого замыкания, равно $10$ Ом.

Ответ: 10

Предыдущий раздел

Следующий раздел