Тема 15. Треугольники

15.07 Площадь треугольников

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31920

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, при этом $AC = 36,$ $MN = 28.$ Площадь треугольника $ABC$ равна 162. Найдите площадь треугольника $MBN.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Докажем, что треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны. По условию $AC ∥ MN,$ следовательно, $∠BAC = ∠BMN$ как соответственные углы, образованные параллельными прямыми $AC$ и $MN$ и секущей $AB.$ Кроме того, $∠ABC$ — общий, значит, треугольники $MBN$ и $ABC$ подобны по двум углам.

$PIC$

Коэффициент подобия $k$ этих треугольников равен отношению соответственных сторон:

k = MN- = 28-= 7 AC 36 9

Отношение площадей подобных треугольников равно их коэффициенту подобия в квадрате, то есть

( ) SMBN-= k2 ⇒ S =S ⋅k2 = 162⋅ 7 2 = 162⋅49 = 2⋅49= 98 SABC MBN ABC 9 81

Ответ: 98

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#52696

Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 27. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию, то

1 S = 2 ⋅16⋅27 =216

Ответ: 216

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41476

Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите его площадь.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, то

1 S = 2 ⋅7⋅12 =42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22292

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14,$ $BC = 5,$ $sin∠ABC = 6. 7$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$ABC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем площадь треугольника по формуле через длины двух сторон и синус угла между ними. Так как $AB = 14,$ $BC = 5,$ $sin∠ABC = 1, 2$ то

1 1 6 S = 2AB ⋅BC ⋅sin∠ABC = 2 ⋅14⋅5⋅7 = 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#22294

Периметр треугольника равен 28, одна из его сторон равна 10, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Из условия $r =5,$ $P = 28,$ то есть

p = 1P = 14 2

Подставив эти значения в формулу площади, получаем:

S = pr = 14⋅5 = 70

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#21348

У треугольника со сторонами 12 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 3. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Показать ответ и решение

По формуле для площади треугольника через основание и высоту, опущенную на это основание, площадь треугольника равна $12 ⋅12⋅3= 18.$ Тогда другая высота, $h,$ вычисляется из равенства $18= 12 ⋅6⋅h,$ то есть $h = 6.$

$PIC$

Ответ: 6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22290

Прямая, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC,$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, причем $AC = 15,$ $MN = 10.$ Площадь треугольника $ABC$ равна 27. Найдите площадь треугольника $MBN.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $MBN.$ Из параллельности прямых $MN$ и $AC$ получаем, что $∠BAC = ∠BMN,$ $∠BCA = ∠BNM.$ Угол $∠ABC (∠MBN )$ — общий. Тогда треугольники $ABC$ и $MBN$ подобны по двум углам, при этом

AC--= AB--= BC-- MN MB BN

Так как $-AC = 15-= 1,5, MN 10$ то коэффициент подобия треугольников $k = 1,5.$ Тогда их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, то есть как $2 k .$

S S SABC- =1,52 ⇔ SABC = 1,52⋅SMBN ⇔ SMBN = 1A,B5C2- MBN

Подставив значение площади треугольника $ABC,$ получаем:

SMBN = 27-= 12 1,52

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22291

На стороне $AC$ треугольника $ABC$ отмечена точка $D$ так, что $AD = 3,$ $DC =4.$ Площадь треугольника $ABC$ равна 28. Найдите площадь треугольника $ABD.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим перпендикуляр $BH$ на сторону $AC.$

$BH$ — высота треугольника $ABC,$ то есть его площадь можно найти по формуле $SABC = 12BH ⋅AC.$

$BH$ — высота треугольника $ABD,$ то есть его площадь можно найти по формуле $SABD = 12BH ⋅AD.$

Тогда

SABD-= 12BH--⋅AD-= AD- SABC 12BH ⋅AC AC

SABD- = AD- ⇔ SABD = AD- ⋅SABC SABC AC AC

Известно, что $AD = 3,$ $CD = 4.$ Тогда $AC = AD + DC = 3+ 4= 7.$ Площадь треугольника $ABC$ равна 28. Подставим эти значения в формулу выше:

3 SABD = 7 ⋅28 =12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22293

В треугольнике одна из сторон равна 13, а опущенная на неё высота — 10. Найдите площадь треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим вершины треугольника за $A, B, C$ . При этом $AC = 13$ . $BH$ — высота, опущенная на сторону $AC$ . Тогда площадь треугольника можно найти по формуле $S = 12BH ⋅AC$ . Подставив значения $AC$ и $BH$ из условия, получаем $S = 12 ⋅10⋅13= 65$

Ответ: 65

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#22295

В треугольнике $ABC$ известно, что $DE$ — средняя линия, параллельная стороне $AB.$ Площадь треугольника $CDE$ равна 15. Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $DE$ — средняя линия, то $AD = DC,$ $BE = EC,$ то есть $1 CD = 2AC,$ $1 CE = 2CB.$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $DEC.$ В них $ADCC-= CCBE-= 2,$ $∠ACB (∠DCE )$ — общий. Тогда треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия равен $k = 2.$ Тогда

SABC-= 22 ⇔ SABC = 4SDEC SDEC

По условию $SDEC = 15,$ то есть

SABC = 4⋅15= 60.

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#22296

В треугольнике $ABC$ отмечены середины $M$ и $N$ сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Площадь треугольника $CNM$ равна 35. Найдите площадь четырехугольника $ABMN.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $M$ и $N$ — середины сторон, то $AN = NC,$ $BM = MC,$ то есть $1 CN = 2AC,$ $1 CM = 2CB.$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $CNM.$ В них $ANCC-= CCBM-= 2,$ $∠ACB (∠NCM )$ — общий. Тогда треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия равен $k = 2.$ Тогда

SABC-= 22 ⇔ SABC = 4SCNM SCNM

Также отметим, что

SABC = SCNM +SABMN ⇒ 4SCNM = SCNM + SABMN ⇒ SABMN = 3SCNM

Подставив $SCNM = 35,$ получаем

SABMN = 3⋅35= 105.

Ответ: 105

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22297

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 50, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим высоту $CH$ на сторону $AB$ . Так как треугольник равнобедренный, $AC = CB$ , эта высота является также биссектрисой и медианой. Тогда $H$ — середина $AB$ и $AH = 12 ⋅60 = 30$ .

Треугольник $ACH$ — прямоугольный, так как $∠AHC = 90∘$ . Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника выполнено следующее:

AC2 = CH2 + AH2 ⇔ CH = ∘AC2--−-AH2--

Подставив значения $AC = 50$ и $AH = 30$ , получим

∘ -------- ---- CH = 502 − 302 = √2500-−-900 = √ 1600 = 40

Получили, что $CH = 40$ . Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ через высоту и основание:

SABC = 1CH ⋅AB = 1 ⋅40⋅60 = 1200 2 2

Ответ: 1200

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22298

Периметр равнобедренного треугольника равен 144, а основание — 64. Найдите площадь треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник равнобедренный, $AC = BC$ , то периметр можно найти по следующей формуле:

PABC − AB PABC = AC + BC +AB = 2AC +AB ⇔ AC = ----2-----

Подставив значения периметра и стороны $AB$ , получаем $AC = 144−264= 40$ .

Опустим высоту $CH$ на сторону $AB$ . Так как треугольник равнобедренный, $AC = CB$ , эта высота является также биссектрисой и медианой. Тогда $H$ — середина $AB$ и $AH = 1⋅64= 32 2$ .

Треугольник $ACH$ — прямоугольный, так как $∘ ∠AHC = 90$ . Тогда по теореме Пифагора для этого треугольника выполнено следующее:

∘ ---------- AC2 = CH2 + AH2 ⇔ CH = AC2 − AH2

Подставив значения $AC = 40$ и $AH = 32$ , получим

∘ -------- √ ---------- √ --- CH = 402 − 322 = 1600 − 1024= 576 = 24

Получили, что $CH = 24$ . Теперь найдем площадь треугольника $ABC$ через высоту и основание:

1 1 SABC = 2CH ⋅AB = 2 ⋅24⋅64= 768

Ответ: 768

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#22299

Сторона равностороннего треугольника равна 20. Найдите его площадь, деленную на $√ - 3.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $a2√3 S = -4-.$ Подставив значение $a =20,$ получим

2 √ - √- S = 20-⋅--3= 100 3 4

Тогда площадь, деленная на $√3,$ равна $- 100√√3= 100. 3$

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#22300

Периметр равностороннего треугольника равен 30. Найдите его площадь, деленную на $√ - 3.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Периметр равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $P = 3a$ , откуда $1 a= 3P$ . Подставив значение периметра, получим $a = 13 ⋅30= 10$

Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле $√- S = a24-3$ . Подставив значение $a= 10$ , получим

√- S = 102⋅-3-= 25√3- 4

Тогда площадь, деленная на $√- 3$ , равна $25√3- √ 3 = 25$

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#22301

Высота равностороннего треугольника равна 6. Найдите его площадь, деленную на $√- 3.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Высоту равностороннего треугольника со стороной $a$ можно найти по формуле

a√3 2h 2h√3 h = -2-- ⇔ a= √3-= --3--

Тогда

√- AB = BC =AC = 2⋅6-3-= 4√3 3

По формуле площади треугольника через высоту $CH = 6$ и основание $√- AB = 4 3,$

1 1 √- √ - SABC = 2CH ⋅AB = 2 ⋅6⋅4 3= 12 3

Тогда площадь, деленная на $√- 3,$ равна $√- 12√33-= 12$

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22302

Два катета прямоугольного треугольника равны 5 и 8. Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

1 1 S = 2AB ⋅BC = 2 ⋅5⋅8 = 20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#22304

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 8 и 17.

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как треугольник прямоугольный, можно найти катет $AB$ по теореме Пифагора:

2 2 2 ∘ ---------- AC = AB +BC ⇔ AB = AC2 − BC2

Подставив значения $AC = 17$ , $BC = 8$ , получаем:

∘ ---------- ∘ ------- √------- √ --- AB = AC2− BC2 = 172− 82 = 289− 64= 225 = 15

Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов:

1 1 S = 2AB ⋅BC = 2 ⋅15⋅8= 60

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#22305

Площадь прямоугольного треугольника равна $√ - 50 3.$ Один из острых углов равен $∘ 30 .$ Найдите длину гипотенузы.

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим длину гипотенузы за $x.$

Так как угол $∠ACB = 30∘,$ катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы, то есть $AB = x2.$

По теореме Пифагора $AC2 = AB2 + BC2,$ откуда получаем, что

( ) 2 2 √ - BC2 = AC2 − AB2 =x2 − x 2 = x2− x = 3x- ⇒ BC = x--3 2 4 4 2

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть

√- √- 1 1 x x-3- x2-3- SABC = 2AB ⋅BC = 2 ⋅2 ⋅ 2 = 8

С другой стороны, по условию площадь треугольника равна $√ - 50 3,$ то есть

√ - x2√3- 2 50 3= --8-- ⇔ x = 50⋅8 =400 ⇔ x = 20

Тогда длина гипотенузы равна 20.

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#22307

Площадь прямоугольного треугольника равна $√- 800 3.$ Один из острых углов равен $∘ 60 .$ Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим длину катета, прилежащего к углу $∘ 60,$ за $x.$

Так как угол $∠CAB = 60∘,$ а треугольник прямоугольный, то $∠ACB = 30∘.$

Катет, противолежащий углу $∠ACB = 30∘,$ равен половине гипотенузы, то есть $AC = 2AB = 2x.$

По теореме Пифагора $AC2 = AB2 + BC2$ , откуда получаем, что

BC2 = AC2 − AB2 = (2x)2− x2 = 4x2− x2 = 3x2 ⇒ BC = x√3

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, то есть

√ - SABC = 1AB ⋅BC = 1⋅x ⋅x√3 = x2--3 2 2 2

С другой стороны, по условию площадь треугольника равна $√ - 800 3$ , то есть

√- x2√3 2 800 3 = --2-- ⇔ x = 800 ⋅2= 1600 ⇔ x= 40

Тогда длина искомого катета равна 40.

Ответ: 40

Предыдущий раздел

Следующий раздел