Тема 21. Текстовые задачи

21.05 Проценты, смеси и сплавы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93293

Свежие фрукты содержат 81% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 420 кг свежих фруктов?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--81---|-------19-------| |Вы-суш-енные-|--16---|-------84-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

Изначально масса сухого вещества составляла 19% от всей массы свежих фруктов, то есть

420⋅-19 = 420⋅19. 100 100

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 84% от всей массы $x$ сухих фруктов. Тогда она была равна

84 420⋅19 x ⋅100 =--100-- x = 420⋅19⋅ 100 100 84 x= 5-⋅84-⋅19 84 x= 5⋅19 x= 95

Таким образом, масса сухих фруктов равна 95 кг.

Ответ: 95 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93294

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 396 кг свежих фруктов?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--86---|-------14-------| |Вы-суш-енные-|--23---|-------77-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

Изначально масса сухого вещества составляла 14% от всей массы свежих фруктов, то есть

396⋅-14 = 396⋅14. 100 100

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 77% от всей массы $x$ сухих фруктов. Тогда она была равна

77 396⋅14 x ⋅100 =--100-- x = 396⋅14⋅ 100 100 77 x= 36⋅11⋅2-⋅7 11⋅7 x= 36⋅2 x= 72

Таким образом, масса сухих фруктов равна 72 кг.

Ответ: 72 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#93300

Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 24%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 42 кг высушенных фруктов?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--86---|-------14-------| |Вы-суш-енные-|--24---|-------76-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 76% от массы сухих фруктов, то есть

42⋅-76 = 42⋅76. 100 100

Изначально масса сухого вещества составляла 14% от всей массы $x$ свежих фруктов. Тогда она была равна

14 42⋅76 x⋅100 = -100-- x= 42⋅76 ⋅ 100 100 14 x= 3-⋅14-⋅76 14 x= 3⋅76 x = 228

Таким образом, масса свежих фруктов должна быть равна 228 кг.

Ответ: 228 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#93303

Свежие фрукты содержат 78% воды, а высушенные — 17%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 44 кг высушенных фруктов?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--78---|-------22-------| |Вы-суш-енные-|--17---|-------83-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 83% от массы сухих фруктов, то есть

44⋅-83 = 44⋅83. 100 100

Изначально масса сухого вещества составляла 22% от всей массы $x$ свежих фруктов. Тогда она была равна

22 44⋅83 x⋅100 = -100-- x= 44⋅83 ⋅ 100 100 22 x= 2-⋅22-⋅83 22 x= 2⋅83 x = 166

Таким образом, масса свежих фруктов должна быть равна 166 кг.

Ответ: 166 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#93307

Имеются два сосуда, содержащие 4 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 57% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть концентрация первого раствора равна $x%,$ а концентрация второго раствора — $y%.$ Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| | | | | -x- | |П ервы й | 4 | x | 100 ⋅4 | |--------|-----------------|---------------|------y----------| | Второй | 16 | y | 100 ⋅16 | |--------|-----------------|---------------|-----------------| | См есь | 4+ 16= 20 | 57 | 57-⋅20 | -------------------------------------------------100----------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x-⋅4 + y--⋅16= 57-⋅20. 100 100 100

По условию, если слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 60% кислоты. Пусть массы первого и второго раствора равны $k$ кг. Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| |П ервы й | k | x | -x- ⋅k | |--------|-----------------|---------------|-----100---------| | | | | -y- | |-Второй--|--------k--------|------y--------|-----100-⋅k------| | | | | 60 | | См есь | k+ k =2k | 60 | 100 ⋅2k | --------------------------------------------------------------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x- ⋅k+ -y-⋅k = 60-⋅2k. 100 100 100

Так как $k ⁄=0,$ то можем поделить обе части уравнения на $k$

-x- -y- 60- 100 + 100 = 100 ⋅2.

Составим систему уравнений:

$pict$

Разделим обе части первого уравнения системы на 4:

$pict$

Вычтем из первого уравнения второе:

$pict$

Следовательно, концентрация первого раствора равна 65%. Найдём массу кислоты в первом растворе:

-65 13 100 ⋅4 кг= 5 кг= 2,6 кг.

Ответ: 2,6 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#93308

Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 30 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 73% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть концентрация первого раствора равна $x%,$ а концентрация второго раствора — $y%.$ Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| | | | | -x- | |П ервы й | 40 | x | 100 ⋅40 | |--------|-----------------|---------------|------y----------| | Второй | 30 | y | 100 ⋅30 | |--------|-----------------|---------------|-----------------| | См есь | 40+ 30= 70 | 73 | 73-⋅70 | -------------------------------------------------100----------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x-⋅40+ -y-⋅30= -73 ⋅70. 100 100 100

По условию, если слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 72% кислоты. Пусть массы первого и второго раствора равны $k$ кг. Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| |П ервы й | k | x | -x- ⋅k | |--------|-----------------|---------------|-----100---------| | | | | -y- | |-Второй--|--------k--------|------y--------|-----100-⋅k------| | | | | 72 | | См есь | k+ k =2k | 72 | 100 ⋅2k | --------------------------------------------------------------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-x- ⋅k+ -y-⋅k = 72-⋅2k. 100 100 100

Так как $k ⁄=0,$ то можем поделить обе части уравнения на $k$

-x- -y- 72- 100 + 100 = 100 ⋅2.

Составим систему уравнений:

$pict$

Разделим обе части первого уравнения системы на 30:

$pict$

Вычтем из первого уравнения второе:

$pict$

Следовательно, концентрация второго раствора равна 65%. Найдём массу кислоты во втором растворе:

65-⋅30 кг= 39 кг= 19,5 кг. 100 2

Ответ: 19,5 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#25056

Семь одинаковых рубашек дешевле одной куртки на 9%. На сколько процентов десять таких же рубашек дороже одной куртки?

Показать ответ и решение

В условии цену рубашек сравнивают с ценой куртки, то есть цена одной куртки равна 100%. Семь рубашек дешевле куртки на 9%, то есть их стоимость составляет $100% − 9% =91%$ от стоимости куртки.

Тогда цена одной рубашки выражается как $917% = 13%$ от стоимости куртки.

Теперь можем посчитать цену для 10 рубашек

10⋅13% = 130%

Тогда 10 рубашек дороже куртки на $130% − 100% = 30%.$

Ответ: 30%

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#27494

Смешали 4 литра 35-процентного раствора вещества с 11 литрами 5-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Пусть концентрация получившегося раствора равна $x%.$ Составим таблицу:

|----------|-----------------|----------------|------------------| |Р астворы |Объём раствора, л|Конц ентраци я, %|О бъём вещ ества, л | |----------|-----------------|----------------|------------------| | П ер вый | 4 | 35 | 35-⋅4 | |----------|-----------------|----------------|------100---------| | | | | 5 | | В торой | 11 | 5 | 100 ⋅11 | |----------|-----------------|----------------|------------------| | См есь | 4+ 11 = 15 | x | -x- ⋅15 | ----------------------------------------------------100----------|

Так как масса чистого вещества не меняется, то

35-⋅4 + -5-⋅11 = -x-⋅15. 100 100 100

Домножим обе части получившегося уравнения на 20:

700 100 x 100 ⋅4+ 100 ⋅11 = 100-⋅300 7⋅4+ 11 = 3x 28 +11 = 3x 39 = 3x x = 13

Следовательно, концентрация получившегося раствора составляет 13%.

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37855

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого равна 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого раствора равна $x$ кг, а масса второго раствора — $y$ кг. Составим таблицу:

|--------|-----------------|---------------|-----------------| |Растворы-|М-асса-раствора, кг|Концентрация,-%-|М-асса-вещ-ества, кг| | | | | -20 | |П ервы й | x | 20 | 100 ⋅x | |--------|-----------------|---------------|------50---------| | Второй | y | 50 | 100 ⋅y | |--------|-----------------|---------------|-----------------| | См есь | x+ y | 30 | -30-⋅(x+ y) | -----------------------------------------------100------------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

20-⋅x+ -50-⋅y = 30-⋅(x+ y). 100 100 100

Домножим на 100 обе части полученного уравнения:

20x +50y = 30(x+ y) 20x +50y = 30x+ 30y 50y− 30y = 30x− 20x 20y = 10x 2y = x x = 2 y 1

Ответ: 2 : 1

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37856

Свежие фрукты содержат 90% воды, а высушенные — 24%. Сколько сухих фруктов получится из 684 кг свежих фруктов?

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|Тип-фруктов-|Вода, %|Сухое вещ-ество, % |--С-веж-ие---|--90---|-------10-------| |Вы-суш-енные-|--24---|-------76-------| ---------------------------------------

В процессе высушивания масса сухого вещества фруктов не изменяется.

Изначально масса сухого вещества составляла 10% от всей массы свежих фруктов, то есть

684 ⋅ 10-= 684. 100 10

После высушивания фруктов масса сухого вещества стала составлять 76% от всей массы $x$ сухих фруктов. Тогда она была равна

74 684 x⋅100 = 10- 684 100 x= -10 ⋅76- x= 9⋅10 x= 90

Таким образом, масса сухих фруктов равна 90 кг.

Ответ: 90 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37858

В сосуд, содержащий 5 литров 27-процентного водного раствора вещества, добавили 4 литра воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Пусть концентрация получившегося раствора равна $x%.$ Составим таблицу:

|---------|----------------|---------------|----------------| |Растворы-|Объём-раствора, л|Концентрация,-%-|Объём-вещества, л| | | | | 27 | | Раствор | 5 | 27 | 100 ⋅5 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Вода | 4 | 0 | 0 | |---------|----------------|---------------|----------------| | Смесь | 5+ 4= 9 | x | -x-⋅9 | -------------------------------------------------100---------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-27⋅5 +0 = -x-⋅9. 100 100

Домножим обе части получившегося уравнения на 100:

27⋅5+ 0= x ⋅9 3⋅9⋅5 =x ⋅9 x= 3 ⋅5 x= 15

Следовательно, концентрация получившегося раствора составляет 15%.

Ответ: 15

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#41482

Показать ответ и решение

Пусть концетрация получившегося раствора составляет $x%.$

Объем полученного раствора равен сумме объемов первого и второго растворов, то есть

11+ 4 л= 15 л

Заполним таблицу:

Объем раствора

Процентная концентрация

Объем вещества

1 раствор

4 л

35%

$35⋅4-л= 1,4 100$ л

2 раствор

11 л

$5⋅11 л= 0,55 100$ л

Полученный раствор

4 + 11 л = 15 л

$x%$

$1150x0$ л

Так как объем вещества в полученном растворе равен сумме объемов вещества в первом и втором растворах, то

15x 100-= 1,4+ 0,55 =1,95 1,95⋅100 195 x= ---15---= 15-= 13

Тогда концентрация полученного раствора составляет $13%.$

Ответ: 13

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#47558

Смешали некоторое количество 11-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 21-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого раствора равна $x$ кг, тогда масса второго раствора также равна $x$ кг. Пусть концентрация получившегося раствора равна $y%.$ Составим таблицу:

|---------|---------------|----------------|----------------| |Растворы-|Масс раствора, кг|К-онцентрация, %|Масса вещества, кг | | | | 11- | |-Первый--|-------x-------|-------11--------|-----100 ⋅x-----| | | | | 21 | | Второй | x | 21 | 100 ⋅x | |---------|---------------|----------------|----------------| | Смесь | x+ x =2x | y | -y- ⋅2x | ------------------------------------------------100----------

Так как масса чистого вещества не меняется, то

-11 ⋅x+ 21-⋅x = -y-⋅2x. 100 100 100

Разделим обе части получившегося уравнения на $x:$

11 21 y 100 + 100 = 100 ⋅2.

Домножим обе части получившегося уравнения на 100:

11 + 21 = y⋅2 32= 2y y = 16

Следовательно, концентрация получившегося раствора составляет 16%.

Ответ: 16

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#47559

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Показать ответ и решение

Пусть масса первого сплава равна $x$ кг, а масса второго — $y$ кг. Составим таблицу. Составим таблицу:

|-------|---------------|-------------------|---------------| |Сплавы-|М-асса-сплава, кг|Содержание никеля, %|М-асса никеля, кг | | | | 10- | |Первый | x | 10 | 100 ⋅x | |-------|---------------|-------------------|-----30--------| |Второй | y | 30 | 100 ⋅y | |-------|---------------|-------------------|---------------| | Смесь | x+ y = 200 | 25 | -25-⋅200 | -------------------------------------------------100---------

Так как масса никеля не меняется, то

10-⋅x + 30-⋅y =-25⋅200. 100 100 100

Домножим обе части получившегося уравнения на 10:

x+ 3y = 500.

По условию $x+ y = 200,$ значит, пожем составить систему уравнений:

$pict$

Таким образом, разность масс первого и второго раствора равна $150− 50= 100$ кг.

Ответ: 100

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#47560

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Показать ответ и решение

Пусть масса 30-процентного раствора равна $x,$ а 60-процентного — $y.$ Составим таблицу.


	Масса раствора	Масса вещества	Концентрация

30-процентный раствор	$x$	$0,3x$	$0,3$

60-процентный раствор	$y$	$0,6y$	$0,6$

50-процентный раствор	10	$0,5⋅10$	$0,5$

Первый новый раствор	$x+ y+ 10$	$0,36(x +y +10)$	$0,36$

Второй новый раствор	$x+ y+ 10$	$0,41(x +y +10)$	$0,41$

Получаем следующую систему:

{ 0,3x + 0,6y = 0,36(x+ y+ 10) 0,3x + 0,6y+ 0,5⋅10= 0,41(x + y+ 10) ⇔ { 0,3x +0,6y = 0,36x+ 0,36y +3,6 ⇔ 0,3x +0,6y+ 5= 0,41x+ 0,41y +4,1 ⇔ { { ⇔ 0,24y− 0,06x = 3,6 ⇔ 4y− x= 60 ⇔ 0,11x− 0,19y = 0,9 11x− 19y = 90 { { ⇔ x = 4y− 60 ⇔ x = 4y− 60 ⇔ 44y− 660− 19y = 90 25y =750 { ⇔ x =4 ⋅30− 60 = 60 y =30

Таким образом, масса 30-процентного раствора равна 60 кг.

Ответ: 60 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел