Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91355

Решите уравнение:

x2−-8 x π arcsin 8 = 2arcsin 4 − 2.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте первым делом возьмём синус от обеих частей уравнения, чтобы упростить левую) А вот в правой части появляется синус разности, который можно раскрыть!

Подсказка 2

Во время раскрытия синуса разности возникнет косинус двойного арксинуса, который также можно раскрыть)

Подсказка 3

После всех преобразований мы видим, что равенство выполняется при всех x. Но не забыли ли мы про ОДЗ?...

Показать ответ и решение

Для начала напишем ОДЗ:

(| x2 − 8 |{ −1 ≤--8-- ≤1 ||( x −1 ≤-4 ≤ 1

Откуда

− 4≤ x≤ 4

Возьмём синус от обеих частей уравнения. Тогда слева получится:

( x2− 8) x2− 8 sin arcsin--8-- = --8--

А в правой части получится:

( ) sin 2 arcsinx − π 4 2

По формуле синуса разности это равно:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2arcsin x cos π − cos2arcsinx sin π =− cos 2arcsinx 4 2 4 2 4

Что по формуле косинуса двойного угла равно:

2sin2(arcsinx) − 1 =2( x)2− 1 = x2− 8 4 4 8

Получатся, что левая часть уравнения равна правой, откуда решениями будут такие $x$ из ОДЗ, при которых правая часть уравнения попадает в область значения арксинуса. Так как арксинус является строго возрастающей функций, при $x < 0$ верно, что

x π π π 2 arcsin4 − 2 < 2arcsin(0)− 2 = −2

При $x≥ 0$ верно, что

π x π π π − 2 ≤ 2arcsin 4 − 2 ≤2arcsin1− 2 = 2

Итак, $x ∈[0;4].$

Ответ:

$[0;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103845

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Источники: БИБН - 2025, 11.1 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Неприятно, когда в уравнении есть и синус, и косинус. Давайте попробуем оставить что-то одно.

Подсказка 2

С помощью ОТТ выразим косинус через синус. При раскрытии скобок получатся большие степени, поэтому наша задача — разложить выражение на множители. Вспомните формулы разности квадратов и суммы кубов для этого.

Подсказка 3

Теперь нам остаётся только аккаратно раскрыть произведение в бОльшей скобке, и заново всё сгруппировать, чтобы найти корни:)

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Источники: КФУ - 2025, 11.1 (см. malun.kpfu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Изначально уравнение представлено в не самом приятном виде. Попробуем его преобразовать! Пусть t = arcsin(9x-6) = arccos(7x-5). Тогда удобно понимать, что t — некоторый угол. А что тогда можно сказать о синусе и косинусе этого угла?

Подсказка 2

Верно! Сумма квадратов синуса и косинуса t равна 1. Это необходимое условие того, чтобы уравнение имело решения! А какое условие будет достаточным?

Подсказка 3

Конечно! Не считая ОДЗ, достаточно, чтобы сумма квадратов 9x-6 и 7x-5 была равна 1. Теперь достаточно решить простенькое квадратное уравнение и найти ОДЗ!

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104696

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Источники: ОММО - 2025, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнении содержатся функции sin(x) и cos(x). Хотелось бы сделать какую-нибудь замену и выразить эти функции через замену. Какая замена может подойти?

Подсказка 2

Верно! Универсальная тригонометрическая замена t = tg(x/2) вполне подойдет. Тогда sinx = 2t/(1+t²) и cosx = (1-t²)/(1+t²). Но эта замена не совсем "бесплатная". Что еще нужно проверить?

Подсказка 3

Верно! Нужно проверить, что tg(x/2) определен! Могут ли быть решениями такие x, что для x/2 не определен тангенс?

Подсказка 4

Подставляя x = π + 2πn при целых n в уравнение, получаем, что ни один такой x решением не является, а значит, можно сделать нашу замену! Однако при простом раскрытии скобок в уравнении возникнет четвертая степень t! Можно ли этого избежать?

Подсказка 5

Конечно! Приведя к общему знаменателю и раскрыв скобки, не будем сразу умножать на знаменатель, а заметим, что в числителе выделяется полный квадрат! Как тогда упростить уравнение?

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1, пункт (а)

Раскроем скобки и после перенесения слагаемых воспользуемся тригонометрическими формулами. Какое уравнение тогда получится?

Подсказка 2, пункт (а)

Верно! В точности cos(2πx) = -cos(π(x+y)). А в каких случаях возможно такое равенство?

Подсказка 3, пункт (а)

С помощью формулы суммы косинусов легко получить уравнение, в котором произведение двух косинусов равно 0. Приравнивая каждый из косинусов к нулю, можем получить условия на x и y! Какими они будут?

Подсказка 1, пункт (б)

Из определения арксинуса и арккосинуса мы знаем, что значение их суммы всегда не меньше -π/2 и не больше 3π/2. Какие ограничения на x и y вытекают из этого условия?

Подсказка 2, пункт (б)

Верно! -5 ≤ x ≤ 5 и -4 ≤ y ≤ 4. Тут стоит быть осторожнее! У нас неравенство строгое. Есть ли точка, в которой достигается равенство?

Подсказка 3, пункт (б)

Конечно! Это точка (5,-4). Остается найти количество целых x и y, удовлетворяющих одному из полученных уравнений внутри прямоугольника. Как это сделать?

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#118415

Решите уравнение

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше выражение:

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0

(2sin3x − sin x) +(2sin2x− 1)= 0

sinx(2sin2x − 1)+ (2 sin2x− 1)= 0

(2sin2x − 1)(sinx+ 1)= 0

Тогда:

cos2x (sinx +1)= 0

Получается,

[ cos2x= 0 sin x+ 1=0

⌊ π |⌈ 2x= 2 + πk , k ∈ℤ sinx= −1

⌊ x= π + πk ||⌈ 4 2 , k∈ ℤ x =− π+ 2πk 2

Ответ:

$π + πk, − π+ 2πk, k∈ ℤ 4 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не кажется ли вам, что тригонометрические функции в этом уравнении не несут особой смысловой нагрузки? Может сделать какую-нибудь замену?

Подсказка 2

Как насчёт того, чтобы корни из правой части обозначить через a, b, c. Попробуйте возвести в квадрат полученное уравнение (с учётом одз, разумеется). Кажется, там всё должно красиво разложиться на скобки.

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#120650

Дан прямоугольный треугольник с натуральными длинами сторон. Пусть $α$ — его острый угол, а угол $β$ таков, что $tg2β = tg3α.$ Докажите, что величина $tgβ$ рациональна.

Источники: Курчатов - 2025, 11.1 ( см. olimpiadakurchatov.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим катеты через p и q. Соответсвенно, тангенс будет равен p/q. Теперь попробуйте расписать тангенсы двойного и тройного углов.

Подсказка 2

Получилось что-то совсем неприятное, слева — выражение от tgβ, справа — выражение от p и q. Как насчёт того, чтобы обозначить это выражение через n и попытаться понять, при каких n уравнение относительно tgβ будет иметь рациональные корни?

Подсказка 3

Нетрудно заметить, что это уравнение относительно tgβ является квадратным. Значит, для его рациональности достаточно лишь проверить, что дискриминант является квадратом рационального числа. При проверке не забывайте, что гипотенуза тоже имеет рациональную длину!

Показать доказательство

Пусть катеты треугольника будут $p$ и $q,$ тогда $tgα= p. q$ По формулам двойного и тройного аргументов получаем следующие формулы:

2tgβ tgα(3− tg2α) p(3q2 − p2) 1−-tg2β-= tg2β =tg3α= --1−-3tg2α--= q(q2− 3p2) :=n

Значит, $tg2β +2ntgβ − 1= 0.$ Это уравнение имеет рациональные корни тогда и только тогда, когда дискриминант этого квадратного уравнения будет точным квадратом. Вычисляя дискриминант, находим

( ) D ∕4 =n2+ 1= p(3q2− p2) 2+ 1=-(p2+q2)3- q(q2− 3p2) p2(3q2− p2)2

Видно, что это число является квадратом рационального числа, поскольку гипотенуза тоже натуральное число, а значит, $2 2 p + q$ тоже точный квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#120846

Найдите значение выражения:

sin(127∘)cos(192∘)cos(308∘) -cos(12∘)sin-(38∘)cos(37∘)-.

Показать ответ и решение

Используя для преобразований разные формулы приведения, упростим выражение. Заметим, что

∘ ∘ ∘ ∘ cos(308 )=cos(360 − 52 )= cos(52 )

Кроме того,

∘ ∘ ∘ ∘ cos(52 )=cos(90 − 38 )= sin(38 )

Далее,

sin(127∘)=sin(180∘ − 53∘)=sin(53∘)=cos(37∘)

Аналогичным образом получаем $cos(192∘)=− cos(12∘).$

Тогда имеем

sin(127∘)cos(192∘)cos(308∘)= − cos(37∘)cos(12∘)sin(38∘)= −1 cos(12∘)sin(38∘)cos(37∘) cos(12∘)sin(38∘)cos(37∘)

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123019

Найдите значение выражения

3cosα + -2-+sin α −-cosα-+4ctgtαgα+-4sinα,

если $tgα = 3,5.$

Показать ответ и решение

По определению тангенса $tgα= sinα. cosα$ Отсюда

sinα = tgα ⋅cosα= 3,5cosα

Тогда числитель искомой дроби равен

-2- 2-- 4 3cosα + tgα + sinα= 3cosα+ 3,5 + 3,5cosα= 6,5cosα+ 7

По определению котангенса

cosα 1 1 2 ctgα = sinα-= tgα = 3,5 = 7

Тогда распишем знаменатель искомой дроби:

− cosα+ 4ctg α+ 4sinα= − cosα+ 4-⋅2 +4 ⋅3,5cosα =13cosα+ 8 7 7

Заметим, что числитель дроби меньше знаменателя, поэтому искомая дробь равна

6,5 cosα+ 4 1 --------78-= 2 13cosα+ 7

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#124433

Решите уравнение

(√- π ) √- 2sin x +2 = 3.

Показать ответ и решение

Пользуясь формулой приведения преобразуем уравнение:

(√- π) √- 2sin x + 2 = 3

- √- cos√ x= -3- 2

Значит:

⌊ √x = π+ 2πn, n∈ ℤ, n≥ 0 |⌈ √- 6π x =− 6 + 2πk, k∈ ℕ

⌊ ( π )2 | x = 6 + 2πn , n∈ ℤ,n≥ 0 |⌈ ( π )2 x = − 6 + 2πk , k∈ ℕ

Ответ:

$(π+ 2πn)2, (− π +2πk)2 ,n ∈ℤ,n ≥0,k∈ ℕ 6 6$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#124435

Решите уравнение:

∘--2x- tg2(π(x+ y))+ctg2(π(x +y))= x2+-1 + 1.

Показать ответ и решение

В левой части стоит сумма двух взаимно обратных положительных слагаемых, которая в силу неравенства о средних не меньше $2 :$

∘ --------------------- tg2(π(x+ y))+tg2(π(1x+-y)) ≥2 tg2(π(x+ y))⋅tg2(π(1x+-y))-=2

В то же время для правой части имеем оценку сверху:

∘--2x- ∘----(x−-1)2 x2+-1 + 1= 1+ 1 − x2+-1-≤ 2

(поскольку под корнем стоит величина, не превосходящая $1$ ). Следовательно, наше уравнение будет иметь решения лишь в том случае, когда обе части уравнения равны $2$ одновременно. Правая часть равна $2$ только при $x= 1$ (это легко видеть из полученной выше оценки для правой части). Левая часть равна $2,$ только если каждое слагаемое равно $1 :$

tg2(π(1+ y))= 1

π(1+ y)= π+ πn 4 2

y = 2n-− 3-, n∈ ℤ 4

Ответ:

$(x;y)= (1;2n−-3), 4$ $n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#124628

Решите уравнение

4− 3cos4x= 10sinxcosx.

Показать ответ и решение

Заметим формулу синуса двойного угла в левой части уравнения:

4− 3cos4x= 5sin2x

Теперь раскроем косинус двойного угла:

4− 3(1 − 2sin22x)= 5sin2x

6sin22x− 5sin2x+ 1= 0

Сделаем замену: пусть $t= sin2x,$ при этом $t∈ [−1;1].$ Тогда наше уравнение имеет вид:

6t2− 5t+1 =0

Это квадратное уравнение, его дискриминант равен $D =52− 4⋅6= 1.$ Тогда его корни равны $5− 1 1 t1 =-12-= 3$ и $1 t2 = 2.$ Нам подходят оба корня, так как и $t1,$ и $t2$ лежат на отрезке $[− 1;1].$ Сделаем обратную замену:

⌊ | sin2x = 1 |⌈ 31 sin2x = 2

⌊ 2x= arcsin 1+ 2πk ||| 3 1 || 2x= π− arcsin 3 + 2πk, k∈ ℤ ||| 2x= π + 2πk |⌈ 6 2x= 5π6 +2πk

⌊ x= 1 arcsin1 +πk ||| 2π 1 3 1 || x= 2 − 2arcsin 3 + πk ||| x= -π +πk , k∈ ℤ |⌈ 12 x= 5π +πk 12

Ответ:

$1 arcsin1 +πk, π− 1arcsin1+ πk, π-+ πk, 5π-+ πk, k∈ℤ 2 3 2 2 3 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#124629

Решите уравнение

5 sinx− 4ctgx =0.

Показать ответ и решение

По определению котангенса $ctgx = cosx. sinx$ Подставим это в наше уравнение:

cosx- 5sinx− 4ctgx =5sinx− 4⋅sinx = 0

Так как котангенс определён, то синус не равен нулю. Поэтому мы можем домножить обе часть уравнения на $sinx :$

5sin2x − 4cosx= 0

По основному тригонометрическому тождеству:

2 5− 5cos x− 4cosx =0

5cos2x+ 4cosx− 5 =0

Итак, мы получили квадратное уравнение относительно $cosx.$ Сделаем замену: пусть $t= cosx.$ Заметим, что $t∈[−1;1].$ Тогда решим уравнение:

5t2+ 4t− 5 =0

Дискриминант этого уравнения равен $D = 16+4 ⋅25= 4⋅29,$ откуда $√ -- √-- D= 2 29.$ Получается, корни уравнения равны $−2+ √29 t1 = ---5----$ и $√-- −-2−--29 t2 = 5 .$ Так как $√-- 5, 29< 6,$ то

−2+ √29 − 2+5 − 2+√29- −2+ 6 t1 =---5---> --5-- > 0 и t1 =---5----< --5--< 1

√-- t2 = −2−-29-< −2−-5< −1 5 5

Получается, $t1 ∈ [−1;1],$ a $t2 ∕∈[−1;1].$ То есть нам подходит только первый корень, и $√ -- t=t1 = −2-+-29. 5$ Сделаем обратную замену:

−2+-√29- cosx = 5

√ -- x= ±arccos−2-+--29-+2πk, k ∈ℤ 5

Ответ:

$−2+-√29- ±arccos 5 +2πk, k ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#124631

Решите уравнение

2 sin4x +2cosx = 1.

Показать ответ и решение

Вспомним формулу косинуса двойного угла:

2 2 2 cos2x = cos x− sin x= 2cos x− 1

Из неё следует, что $2 cos2x= cos2x+ 1.$ Подставим это в наше уравнение:

sin4x+cos2x+ 1= 1

Сократим единички и раскрем синус двойного угла:

2sin 2x cos2x+ cos2x= 0

cos2x (2sin 2x +1)= 0

Если произведение двух множителей равно нулю, то как минимум один из них равен нулю. Получается,

[ cos2x= 0 2 sin2x+1 =0

⌊ ⌈ cos2x= 01 sin2x= −2

⌊ π | 2x= 2 +πk || 5π ||⌈ 2x= − 6 +2πk k∈ ℤ 2x= − π + 2πk 6

⌊ x= π + πk || 4 2 ||| x= − 5π12 +πk k∈ ℤ ⌈ -π x= −12 +πk

Ответ:

$π + πk, − 5π +πk, − π-+ πk, k∈ ℤ 4 2 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#124632

Решите уравнение

2cos2x +sin 3x = 2.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше уравнение пользуясь формулами:

2 3 cos2x= 1− 2sin x и sin3x= 3sin x− 4sin x

Получим:

2(1− 2sin2x)+3sin x− 4sin3x= 2

sinx(4sin2x+ 4sinx− 3)= 0

Значит,

[ sin x= 0 4sin2x +4sinx− 3= 0

В первом случаи получаем $x= kπ, k∈ ℤ.$ Во втором решим квадратное уравнение относительно $sin x∈[−1;1].$

D= 42− 4⋅4⋅(−3)= 64= 82

Тогда:

sinx = 12 или sinx =− 32

Так как $− 32 <− 1,$ остается только случай

sinx = 1 2

⌊x = π+ 2πk, k∈ ℤ || 6 ⌈x= 5π+ 2πk, k∈ ℤ 6

Ответ:

$π + 2πk, 5π-+ 2πk, πk k∈ ℤ 6 6$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#124634

Решите уравнение

2 2sinx- --3-- --1-- tg x− 3tgx+ cos3x = cos2x −cos4x.

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

cosx⁄= 0

π x ⁄= 2 + kπ, k∈ ℤ

Заметим, что

2sinx 1 cos3x = 2tgx⋅cos2-x

1 cos2x-= 1+ tg2x

Тогда:

( )2 --1--= --1-- = (1+ tg2x)2 cos4x cos2x

Пусть $t=tgx$ . Уравнение принимает вид:

2 2 2 2 2 t − 3t+2t(1+ t)= 3(1+t )− (1+ t)

Раскроем скобки и упростим:

t2− 3t+ 2t+ 2t3 =3 +3t2− (1+ 2t2+ t4)

t4+ 2t3− t− 2= 0

3 t (t+ 2)− 1(t+2)= 0

(t3− 1)(t+ 2)= 0

Отсюда получаем:

⌊ ⌊ t3− 1 =0 t= 1; ⌈t+ 2= 0 ⇔ ⌈t=− 2

Делая обратную замену получаем:

⌊ tgx= 1 ⌊ x= π +nπ, n ∈ℤ ⌈ ⇔ ⌈ 4 tgx =−2 x= arctg(−2)+ nπ, n ∈ℤ

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

$π + nπ, arctg(−2)+ nπ, n∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#125177

Найдите все решения уравнения

3 3 3 3 cos(πx)+ cos(2πx)− cos(4πx)=(cos(πx)+cos(2πx)− cos(4πx)),

принадлежащие отрезку $[0.3;1.6].$

Источники: Ломоносов - 2025, 11.4 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, кажется будет полезно в этой задаче сделать замену. Давайте так и поступим! Заменим cos(πx) на a, cos(2πx) на b, -cos(4πx) на c. Теперь подумаем, когда такое равенство может выполняться.

Подсказка 2

Да, как бы ни было страшно, надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. Затем полученное выражение легко разложится на множители! Действительно, уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда какая-то из сумм(a + b, b + c, a + c) равна 0.

Подсказка 3

Не забудем формулу разности косинусов и решим каждое из получившихся уравнений, затем отберём корни, принадлежащие промежутку из условия.

Показать ответ и решение

Так как