Тема АЛГЕБРА

Тригонометрия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тригонометрия

Преобразования тригонометрических выражений

Базовые уравнения

Сведение тригонометрических уравнений к квадратным

Формулы в тригонометрических уравнениях

Системы в тригонометрии

Тригонометрические неравенства

Оценки в тригонометрии

Метод вспомогательного аргумента (доп. угла)

Арктрига (аркфункции - обратные тригоном. функции)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#91355

Решите уравнение:

x2−-8 x π arcsin 8 = 2arcsin 4 − 2.

Показать ответ и решение

Для начала напишем ОДЗ:

(| x2 − 8 |{ −1 ≤--8-- ≤1 ||( x −1 ≤-4 ≤ 1

Откуда

− 4≤ x≤ 4

Возьмём синус от обеих частей уравнения. Тогда слева получится:

( x2− 8) x2− 8 sin arcsin--8-- = --8--

А в правой части получится:

( ) sin 2 arcsinx − π 4 2

По формуле синуса разности это равно:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 2arcsin x cos π − cos2arcsinx sin π =− cos 2arcsinx 4 2 4 2 4

Что по формуле косинуса двойного угла равно:

2sin2(arcsinx) − 1 =2( x)2− 1 = x2− 8 4 4 8

Получатся, что левая часть уравнения равна правой, откуда решениями будут такие $x$ из ОДЗ, при которых правая часть уравнения попадает в область значения арксинуса. Так как арксинус является строго возрастающей функций, при $x < 0$ верно, что

x π π π 2 arcsin4 − 2 < 2arcsin(0)− 2 = −2

При $x≥ 0$ верно, что

π x π π π − 2 ≤ 2arcsin 4 − 2 ≤2arcsin1− 2 = 2

Итак, $x ∈[0;4].$

Ответ:

$[0;4]$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#103845

Решите уравнение $2cos4x− sin3x= 1$ .

Показать ответ и решение

По основному тригонометрическому тождеству уравнение равносильно

2 2 3 2(1− sinx) − sin x= 1

2 2 2 2(1− sinx) (1+ sinx) = (1 +sinx)(1− sinx+ sin x)

$sinx= −1$ либо

2(1+ sinx)(1− 2sinx+ sin2x)= 1− sinx+ sin2x

2− 4sinx +2sin2x +2sin x− 4sin2x+ 2sin3x= 1− sinx+ sin2x

1− sinx− 3sin2x+ 2sin3x= 0

1− 2sinx+ sinx− 2sin2x− sin2x+ 2sin3x =0

2 (1− 2sinx)(1+ sinx − sin x)= 0

$sinx= 1 2$ либо $sinx = −1±-√1+4. −2$

В итоге после объединения решений с учётом области значений синуса подходят $1 1−√5 − 1;2; 2 .$ Соответственно

⌊ x= − π + 2πn,n∈ ℤ | π 2 ||| x= 65π+2πn,n∈ ℤ || x= 6 + 2π1−n√,n5-∈ℤ ⌈ x= arcsin 2 1−+√25πn,n∈ ℤ x= π− arcsin 2 +2πn,n∈ ℤ

Ответ:

$π π 5π 1-− √5 1−√5- − 2 + 2πn;6 + 2πn; 6 +2πn;arcsin 2 + 2πn;π− arcsin 2 + 2πn; n∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#103994

Решите уравнение $arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5)$ .

Показать ответ и решение

Существует такой $x,$ при котором найдётся угол $α ∈ [0;π], α= arcsin(9x − 6)= arccos(7x− 5) 2$ тогда и только тогда, когда

( |{ 0≤ 9x− 6≤ 1 |( 0≤ 7x−25≤ 1 2 (9x − 6) + (7x− 5) =1

Уравнение из системы равносильно

2 2 81x − 108x+ 36+49x − 70x +25= 1

130x2− 178x+ 60= 0

x= 3 или x= 10 5 13

Но так как

9⋅ 3 − 6 = 27-− 6 <0, 5 5

то $x= 35$ не удовлетворяет первому неравенству системы.

А корень $x= 1103$ тривиальной подстановкой уже оказывается подходящим под неравенства системы.

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#104696

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#118415

Решите уравнение

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0.

Показать ответ и решение

Преобразуем наше выражение:

3 2 2sin x− 1− sinx+ 2sin x= 0

(2sin3x − sin x) +(2sin2x− 1)= 0

sinx(2sin2x − 1)+ (2 sin2x− 1)= 0

(2sin2x − 1)(sinx+ 1)= 0

Тогда:

cos2x (sinx +1)= 0

Получается,

[ cos2x= 0 sin x+ 1=0

⌊ π |⌈ 2x= 2 + πk , k ∈ℤ sinx= −1

⌊ x= π + πk ||⌈ 4 2 , k∈ ℤ x =− π+ 2πk 2

Ответ:

$π + πk, − π+ 2πk, k∈ ℤ 4 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#77217

Решите уравнение $cos(sinx)− cos(cosx)= cos2x.$

Показать ответ и решение

Первое решение. Распишем косинус двойного угла

2 2 cos(sinx)− cos(cosx)= cosx − sin x

2 2 cos(sinx)+sin x =cos(cosx)+cosx

Получаем уравнение вида

f(sin x) =f(cosx),

где $f(t)=cost+t2.$ Так как

f′(t)= 2t− sint; f′′(t)= 2− cost

вторая производная положительна при любом $t$ , то первая производная — монотонно возрастающая функция. Тогда $f′(t)= 0$ имеет не больше одного решения. Точка $t= 0$ подходит. Также заметим, что $f′(t) ≥0$ при $t≥ 0$ и $f′(t)≤ 0$ при $t≤0$ . А значит, $f(t)$ возрастает при $t≥ 0$ и убывает при $t≤ 0$ . Кроме того, функция $f$ чётна. Тогда уравнение $f(sinx)= f(cosx)$ может иметь решение только в случаях $sinx= cosx$ или $sinx= − cosx$ . Решив эту совокупность, получим

x= π + πk, k ∈ℤ 4 2

Второе решение.

Левую часть уравнения преобразуем по формуле разности косинусов, правую — по формуле косинуса двойного аргумента:

( ) ( ) −2sin sinx+-cosx- ⋅sin sinx−-cosx- = −(sin2 x− cos2x) 2 2

В правой части применим формулу разности квадратов и введём обозначения:

sinx +cosx sin x− cosx a= ----2----; b=----2----

Тогда наше уравнение запишется в виде

2sina ⋅sinb= 2a ⋅2b

sina⋅sinb= 2ab

Перенесём всё в правую часть и вынесем множитель $ab, (ab ⁄=0)$

( sina sinb) ab 2 −--a-⋅-b- = 0

Ясно, что выражение в скобках строго больше 1 в виду неравенства $|sintt|< 1 при t ⁄= 0.$

Значит, при $ab⁄= 0$ уравнение решений не имеет, то есть оно может иметь решения только при $a= 0$ или $b=0.$

Проверяем эти значения подстановкой в уравнение $sina⋅sinb =2ab$ и убеждаемся, что при этих значениях уравнение верно.

Делаем обратную замену и получаем ответ $x = π4 + π2k, k∈ ℤ.$

Ответ:

$π + πk, k∈ ℤ 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#79603

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80768

Что больше:

( 3π) (π) ( π) 5− 4sin 14 или 4cos 7 − 5sin 14 ?

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $t= π-, 14$ тогда требуется сравнить $5 − 4sin 3t$ и $4cos2t− 5sint.$ Будем сравнивать с $0$ их разницу:

3 2 5− 4sin3t− 4 cos2t+5sin t=5 − 4(3sint− 4sin t)− 4(1− 2sin t)+5sint=

3 2 = 16sin t+8sin t− 7sint+ 1

Пусть $sint= z.$ Тогда исследуем следующую функцию на отрезке $[−1; 1]$

f(z)= 16z3 +8z2− 7z +1

Заметим, что $f(−1)=0,$ значит разделим $16z3+ 8z2− 7z+ 1$ на $z+ 1.$ Тогда получим, что

f(z)=(z+ 1)(16z2 − 8z+ 1)=(z+ 1)(4z− 1)2

Несложно заметить, что $f(z)≥0$ на $[− 1; 1],$ причем $f(z)= 0$ лишь при $z = −1$ и $z = 14.$ Тогда $f(t)= f(π14)>0.$ Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что $sin π14 ⁄= 14.$ Это легко делается, так как

sin π-< π-< 3,5-= 1 14 14 14 4

Ответ:

$5− 4sin(3π)> 4cos(π)− 5sin(π) 14 7 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#81378

Решите уравнение

2x−-1 x-+3- arctg x+ 2 + arctg3x− 1 = x

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.5 (см. www.fa.ru)

Показать ответ и решение

Посчитаем

2x-− 1 -x+-3 tg(arctg x+ 2 +arctg3x − 1)=

2x−-1 x+3- = -x+22x−+1-3x−x1+3-= 1− x+2-⋅3x−1-

7x2+ 7 = -x2+1-= 7

Тогда для корня уравнения $tg(x)= 7$ . При этом так как $π π − 2 < arctg(t)< 2$ , получаем $− π < x< π$ .

Откуда получаем, что кандидатами в корни могут быть только $arctg 7$ и $arctg 7− π$ . Покажем, что они подходят: для этого достаточно проверить, что при подстановке этих значений левая часть примет тот же знак, что и правая. (Так как левая часть всегда равна $arctg 7$ или $arctg7− π$ )

Для $x= arctg7$ имеем

arctg 2x-− 1 =arctg(2−-5-)>0, x+ 2 x+ 2

так как $2> 5> --5- 3 x +2$ для $x= arctg7$ в силу того, что $arctg7> arctg√3 = π> 1 3$ .

А также

x-+3- 1 -10-- arctg3x− 1 = arctg(3 + 9x − 3)> 0

Для $x= arctg7− π$ имеем

2x − 1 5 arctg-x+-2 =arctg(2− x+-2)<0,

так как

2< --5- ⇐⇒ 1> x+ 2> 2π − π+ 2= 2− 3π >0 x+ 2 5 5

А также

arctg x-+3-= arctg(1 +-10-)< 0, 3x− 1 3 9x − 3

потому что

1-< --1-- ⇐⇒ x< 0,3 − 9x< 30 (x> π − π > −3) 30 3− 9x 3

Значит, оба этих значения — корни.

Ответ:

$arctg7$ и $arctg7 − π$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#83297

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83743

Дана последовательность:

∘ ∘ n ∘ a1 = cos10 ,a2 =cos100,...,an = cos(10) ,...

Найдите наименьшее значение выражения

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx, где x∈ ℝ

Источники: Звезда - 2024, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Показать ответ и решение

Посмотрим на разность градусных мер углов у соседних членов последовательности:

n n−1 n−1 n−3 n−3 10 − 10 = 10 (10− 1)=9⋅1000⋅10 =360⋅25⋅10

Если $n≥ 3,$ то эта разность делится на 360. Тогда косинусы равны, то есть $a3 =a4 = ...= a2024.$

Преобразуем по известным тригонометрическим формулам:

∘ ∘ ∘ ∘ a2+a2023+ a2024 = cos100 + 2cos1000 =cos100 + 2cos(360 ⋅3− 80)=

= cos(90∘+ 10∘)+ 2cos80∘ =− sin10∘+2 sin10∘ =sin 10∘

Теперь подставим в искомое выражение:

a1⋅cosx +(a2+ a2023+a2024)⋅sinx =

= cos10∘⋅cosx+ sin10∘⋅sinx= cos(x− 10∘)

Наименьшее значение косинуса, как известно, равно $− 1.$

Ответ:

$− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83948

Решите систему:

{ sin x+cosy = 1; sin2x − cos2y =1.

Показать ответ и решение

2 2 sin x− cos y = (sinx+ cosy)(sinx− cosy)= sinx− cosy =1

Тогда $sinx= 1$ и $cosy = 0$ . Отсюда $x= 2πk+ π,k∈ℤ 2$ и $y = πn+ π,n∈ℤ 2$

Ответ:

$(2πk+ π;πn+ π), k,n ∈ℤ 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#83949

Решите уравнение

√ ------- 1− cos2x= sin2x

Показать ответ и решение

√------- { 1− cos2x= sin22x 1 − cos2x = sin2x ⇐⇒ sin2x≥ 0

Решим первое уравнение

1− cos2x= sin22x

1− cos2x= 1− cos22x

cos2x= cos22x

[ ⌊ cos2x= 0 ⌈ 2x= π2 + πk cos2x= 1 ⇐ ⇒ 2x= πk , k∈ ℤ

Учтём, что $sin2x≥ 0,$ получим

⌊ 2x= π + 2πk ⌈ 2x= 22πk , k∈ ℤ

⌊ x= π + πk ⌈ 4 , k∈ ℤ x= πk

Ответ:

$π + πk,πk,k∈ ℤ 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83950

Решите уравнение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

Показать ответ и решение

∘ --(---π)- (1+ 2sinx) cos x+ 4 =0

⌊ ( | { 1+2( sinx=) 0 || ( cos x+ π ≥0 |⌈ ( π)4 cos x+ 4 = 0

Решим сначала первый случай

1 +2sin x= 0

⌊ π 1 | x= −6 + 2πk sin x= −2 ⇔ |⌈ 5π , k∈ ℤ x= − 6 +2πk

Проверим условие из системы

( ) ( ) cos − π +2πk+ π =cos π- > 0 6 4 12

( ) ( ) cos − 5π-+ 2πk + π = cos − 7π < 0 6 4 12

Следовательно, в этом случае подходит только $x =− π+ 2πk, k∈ ℤ. 6$

Теперь решим второй случай

( π) cos x+ 4 = 0

π π x+ 4 = 2 + πk, k∈ ℤ

π x= 4 +πk, k ∈ℤ

Ответ:

$− π + 2πk,π +πk, k∈ℤ 6 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#83951

Решите уравнение

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

Показать ответ и решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством

sin2x cos2x 81 + 81 = 30

81sin2x+ 811−sin2x = 30

81sin2x+ 81⋅81− sin2x = 30

Сделаем замену $2 a= 81sinx,$ тогда получим

a+ 81a = 30

a2− 30a +81= 0

По теореме Виета корнями будут $a= 3$ и $a= 27,$ делаем обратную замену

[ sin2x 81sin2x= 3 81 = 27

⌊ 2 1 || sin x = 4 ⌈ 2 3 sin x = 4

⌊ 1 | sin x= ±2 |⌈ √3 sin x= ±-2-

⌊ π x= ±6 +2πk ||| 5π || x= ±-6 +2πk ||| π , k∈ℤ || x= ±3 +2πk |⌈ x= ±2π +2πk 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#83952

Решите систему:

{ tgx= √2sin y; ctgx= √2cosy.

Показать ответ и решение

Пусть $t= tg2 x$ . Тогда $ctg2x= 1 t$ . Возведем в квадрат оба уравнения и сложим их:

1 t+ t = 2

t=1

Отсюда

tgx= ±1

x =± π+ πn,n∈ ℤ 4

Тогда из системы

siny =cosy = ±√1 2

y = π +πk,k∈ ℤ 4

Ответ:

$(π + πn;π +πk),k,n ∈ℤ 4 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#84368

Решите уравнение

2 2 3sin x+ 5sinxcosx− 2cos x= 2

Показать ответ и решение

Представим 2 в правой части как $2cos2x+ 2sin2x$ . Получим:

2 2 2 2 3sin x +5sin xcosx− 2cosx =2 cos x+ 2sin x

sin2 x+5 sinxcosx − 4cos2x= 0

1 случай.) $cosx =0$

Тогда $sin2x= 1− cos2x= 1$ . Подставим это в получившееся уравнение:

0= sin2x+ 5sinxcosx− 4cos2x= 1+ 5⋅0− 4 ⋅0 =1

Получаем противоречие, решений нет.

2 случай.) $cosx ⁄=0$

Разделим обе части уравнения на $cos2x⁄= 0$ .

2 sin2x+ 5⋅ sin-x− 4= 0 cos x cosx

Сделаем замену $scinoxsx = t$ .

t2+ 5t− 4= 0

Решив квадратное уравнение, получим следующие корни:

√-- √-- t1 = −5+-41- t2 = −-5−-41 2 2

√-- √-- sinx-= −5+--41- sinx-= −5−--41- cosx 2 cosx 2

−5+ √41 −5− √41 tg x= ---2---- tg x= ---2----

−5+ √41 −5− √41 x= arctg ---2---+ πn x = arctg ---2---+ πn n ∈ℤ

Ответ:

${arctg −5+√41+ πn,arctg −5−-√41-+πn |n∈ ℤ} 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#84837

Решите уравнение

cosx+cos2x+ cos3x+ cos4x= 0

Показать ответ и решение

По формуле суммы косинусов получаем уравнение

3x x 7x x 2cos2-cos2 + 2cos2-cos 2 = 0

x( 3x 7x ) cos2 cos-2 + cos2 = 0

( ) cosx 2cos5xcosx = 0 2 2

⌊ cosx= 0 |⌈ cos25x= 0 cos2x= 0

⌊ x= π+ 2πk, k∈ ℤ |⌈ x= π5 + 2π5k, k ∈ℤ x= π2 + πk, k ∈ℤ

Ответ:

$π +2πk;π+ 2πk;π +πk; k ∈ℤ 5 5 2$

Следующая подтема