Многочлены → .03 Корни многочленов

а) Так как число не рациональное число, то оно не может быть корнем многочлена степени с целыми коэффициентами, значит его степень хотя бы Многочлен удовлетворяет условию задачи.

б) Заметим, что остаток при делении на равен Тогда для некоторого многочлена Тогда

Поскольку а то по теореме о промежуточном значении между и есть корень этого многочлена. значит, между и у многочлена есть корень. значит, между и у многочлена есть корень. Получили, что у многочлена есть три различных (потому что каждый находится в своем интервале) действительных корня.

Из теоремы Виета для данного многочлена имеем:

Тогда можно через теорему Виета для найти его коэффициенты:

Отсюда

Заметим, что . Действительно, если , то первое уравнение имеет не более двух корней, если же , то для корней либо нет, либо бесконечно много, а для не более двух.

Но раз свободные коэффициенты в каждом уравнении ненулевые, то среди их корней нет нулей. Заметим, что является корнем первого уравнения тогда и только тогда, когда является корнем второго, поскольку

Значит, уравнения имеют одинаковое количество корней.

Предположим, что такие нашлись. Пусть — максимальное число сомножителей (больших по модулю), на которые раскладывается число Тогда у каждого многочлена не больше корней, отличных от

Пусть — корни этого многочлена. Рассмотрим сумму

С одной стороны, в эту сумму входит хотя бы единиц, поэтому С другой стороны,

(по теореме Виета для многочлена ). Но это невозможно при достаточно больших

Приведём стратегию за первого.

Сначала перед поставим коэффициент

Если второй поставит некоторый коэффициент перед то поставим в качестве свободного члена. Получаем многочлен

Понятно, что у этого многочлена единственный действительный корень

Если же второй выберет некоторое число в качестве свободного члена, то поставим число перед Получается многочлен

Этот многочлен имеет единственный действительный корень, так как уравнение

имеет единственное решение

Заметим, что многочлен принимает каждое действительное значение не более 3 раз, так как у него степень ровно 3. Если — корень , то — корень квадратного трёхчлена 6 корней у многочлена достигаются только в том случае, если у есть 2 различных корня, каждый из которых достигается ровно трижды многочленом . Скажем, — корни , — корни многочлена , — корни многочлена . Тогда справедливо следующее:

Понятно, что , как коэффициенты при . Рассмотрим коэффициент при у левой и правой части равенства:

Предположим, что наши корни различны. Но тогда одно и то же натуральное число представимо в двоичной системе счисления двумя разными способами — противоречие. Значит, рассматриваемый многочлен не мог иметь 6 различных корней, являющихся степенями двойки.

Первое решение. Так как многочлен

имеет старший коэффициент и корни то

Подставим в последнее равенство вместо получим

что равносильно

Из полученного равенства получаем, что тремя корнями уравнения являются числа

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. По теореме Виета выполняются следующие соотношения:

Эти же равенства можно переписать следующим образом:

из чего следует, что числа и являются корнями уравнения

Ивану достаётся многочлен нечетной степени, поэтому он не может проиграть. Однако Кощей тоже не может проигрывать: для этого ему достаточно каждый раз выбирать положительный корень. Заметим, что свободный член всегда равен Легко проверить, что при такой стратегии Кощея Ивану будут доставаться многочлены нечетной степени с чередующимися знаками коэффициентов (старший - положительный), и поэтому у них есть лишь положительные корни; а Кощею будут доставаться многочлены четной степени с положительным старшим коэффициентом и свободным членом поэтому у них существует положительный корень

Если многочлен имеет корень то он также имеет и корень поэтому количество корней может быть нечётным только если один из корней — это число Для каждой пары корней многочлена число является корнем многочлена число также является его корнем, поэтому у многочлена не менее корня (могут быть ещё какие-то отрицательные корни, про них мы ничего не знаем).

Между каждыми двумя корнями многочлена должен находиться корень производной этого многочлена, поэтому у производной не менее корней.

Легко убедиться, что это значение достигается, например, для многочлена

Пусть — коэффициенты многочлена от старшего к младшему, — известные корни, — неизвестный корень. Прежде всего заметим, что так как все корни между 0 и 1, то в силу теоремы Виета коэффициент — наименьший из коэффициентов по абсолютной величине.

Поскольку все корни многочлена положительны, знаки коэффициентов чередуются. Поэтому, зная определяем Если найти то определяется и Заметим, что по Виета

Поэтому можно найти Так как и известны, отсюда определяется А значит и третий корень

Докажем, что хотя бы одно значение приведённого многочлена степени в целой точке по модулю не меньше Пусть — эти точки. Тогда выполняется равенство (интерполяционная формула Лагранжа)

Значит,

откуда легко следует требуемое неравенство (первое равенство — сравнение старших коэффициентов в интерполяционной формуле Лагранжа).

Поскольку при возрастает и стремится к бесконечности, то для любого существует такое что при Пусть — такое число, что многочлен принимает все свои значения, по модулю меньше внутри интервала Для соответствующего верно утверждение задачи: ведь если бы у неравенства из условия нашлись хотя бы решение, то по утверждению выше среди решений нашлось бы такое, что Но тогда по выбору числа 

Заметим, что если корень первого уравнения, то и корень второго уравнения и наоборот. Так же у этих уравнение будет только отрицательные корни.

Пусть у первого уравнения есть корни и такие, что (и может быть еще какие-то отрицательные корни), то у второго уравнения есть корни и (и может быть еще какие-то отрицательные корни). Отсюда , так как все корни разные, но и , так как отрицательные?! Значит если у первого уравнения есть корень , то у второго уравнения есть корень и если у этих двух уравнений есть еще корни, то это только и . Отсюда либо , но тогда сумма корней -1?! либо . Решаем это квадратное уравнение после умножения на и получаем корни и .

Понятно, что степень — чётная, в противном случае при огромных по модулю отрицательных он бы принимал отрицательные значения. Теперь воспользуемся следующей теоремой, которая говорит о том, что любой многочлен над степени раскладывается в произведение линейных и квадратных множителей с отрицательным дискриминантом. Отсюда мы понимаем, что многочлен раскладывается на линейные и квадратичные множители с неположительным дискриминантом, у которых вещественные коэффициенты. Если какой-то линейный множитель входит в нечётной степени Будем считать, что — квадратных трёхчленов с неположительным дискриминантом, а — линейный множитель. Если же какой-то линейный множитель входит в чётной степени, то просто будем рассматривать его, как произведение нескольких квадратных трёхчленов с нулевым дискриминантом. Понятно, что количество линейных множителей чётно, тогда и количество вещественных корней чётно. Пусть это корни но тогда на отрезке многочлен принимает отрицательные значения. Таким образом, линейных множителей у него нет и он раскладывается на квадратичные трёхчлены с неположительным дискриминантом. Каждый такой трёхчлен представим в виде Теперь будем последовательно раскрывать скобки в произведении этих трёхчленов, используя тождество и получим нужное представление в виде

Пусть это числа , а . Тогда . Значит — корень уравнения

Если рациональное, то так как он является корнем многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1, то целое. Если , то правая часть уравнения делится на 2, а левая не делится. Если нечетное, то наоборот — противоречие. Значит, иррациональное и иррациональное.

Пусть — корни многочлена . По условию . Заметим, что (а значит, все корни положительны), так как иначе , что противоречит максимальности корня . Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ.

Пользуясь формулами Виета для коэффициентов , получаем

Второй способ.

Так как многочлен положителен при то

Путем несложных преобразований (например, выделяя полный квадрат) многочлен приводится к виду

Таким образом, задача сведена к аналогичной для корней квадратного трёхчлена.

Пусть и — целые корни уравнения. Тогда , и оно нечётное. Отсюда следует, что каждое из чисел и — нечётное. Тогда поскольку сумма двух нечётных чисел — чётная, а сумма нечётная, то число — тоже нечётное. Но с другой стороны, число должно быть чётным, так как а сумма двух нечётных чисел — чётная. Противоречие.

Будем искать такие и для которых выполняется

причем, , а

где Система уравнений

оказывается недоопределенной и эквивалентна и Тогда для получения примера функции достаточно положить и В итоге

Рассмотрим . Тогда

при этом

Рассмотрим Тогда

При этом также остаётся многочленом пятой степени. Поэтому он имеет не больше пяти корней, при этом пять корней мы уже нашли, так что по теореме Безу

Искомое значение

Пусть имеет корни где Так как многочлен имеет ровно корней, а уравнение имеет не более двух решений, то не более чем корней лежат за пределами — множества значений Аналогично, так как имеет ровно корней, а уравнение — не более двух решений, то не более чем корней лежат за пределами — множества значений Значит, не менее

корней лежат на откуда следует, что среди них есть два на расстоянии менее

У многочлена единственный корень , а корень его производной

Замечание. Как придумать пример? Рассмотрим — самый простой многочлен третьей степени. Чтобы у него был положительный корень, отнимем положительную константу, возьмем . Сейчас производная равна и ее корень . Если же рассмотрим функцию, например, , получим корень производной, равный