Тема ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ

Уравнения в целых числах → .02 Разложение на целые скобки

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела теория чисел

Разделы подтемы Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Разложение на целые скобки

Оценки в уравнениях над Z

Уравнения на НОД и НОК

Линейные диофантовы уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#86091Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах:

2 3xy− x− y = 2019− 3x

Источники: ПВГ 2019

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как было бы удобнее работать с данным уравнением?

Подсказка 2

Перенесите все неизвестные в левую часть и разложите на множители.

Подсказка 3

Посмотрите на остатки.

Показать ответ и решение

Перенесём все неизвестные в одну сторону и разложим на множители:

2 3x + 3xy− x − y =2019

3x(x +y)− (x +y)= 2019

(3x− 1)(x+ y)=2019

Заметим, что $2019 =3⋅673,$ где каждый сомножитель простой, и что выражение в первой скобке даёт остаток 2 по модулю 3, значит, оно должно быть равно числу с остатком 2 по модулю 3. Посмотрим остатки всех целых делителей числа 2019 по модулю 3: у 2019 остаток 0, у 673 остаток 1, у 3 остаток 0, у 1 остаток 1, у $− 1$ остаток 2, у $− 3$ остаток 0, у $− 673$ остаток 2, у $− 2019$ остаток 0.

Следовательно, возможно только два случая

{ { 3x − 1 =− 1 3x− 1= −673 x+y =− 2019 и x+ y = −3

{ { x= 0 и x = −224 y = −2019 y =221

Ответ:

$(0;− 2019),(−224;221)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#104431Максимум баллов за задание: 7

Про натуральное число $n$ известно, что число $√12n2+-1-$ — также натуральное. Докажите, что натуральным является и число

∘ √---2------ -12n-+-1+-1 2

Показать доказательство

Пусть $√12n2+-1= m.$ Тогда $m2 − 1= 12n2,$ откуда $m$ нечётно, следовательно, последнее равенство можно переписать в виде

(m − 1)( m+ 1) 2 --2-- -2--- =3n

Если $k= m+21-$ (это то самое число, корень из которого должен оказаться целым в нашей задаче), имеем $k(k− 1)= 3n2.$ Так как числа $k$ и $k− 1$ взаимно просты, одно из них квадрат, а другое – утроенный квадрат. Но квадрат не может быть на единицу меньше числа, кратного трём, поэтому квадрат — это число $k,$ что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#89084Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что простое число $p$ можно представить в виде $n4− m4 n3+m3$ для некоторых натуральных чисел $m$ и $n$ тогда и только тогда, когда $p$ является суммой квадратов двух последовательных натуральных чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть p представимо в виде из условия. Выделите d - наибольший общий делитель m и n(m = dx, n=dy), затем преобразуйте как-нибудь дробь, чтобы остались приятные множители

Подсказка 2

Преобразованиями можно получить d(y-x)(y^2+x^2) = p(x^2-xy+y^2) Чему может быть равен НОД множителей с разных сторон?

Подсказка 3

На самом деле такое возможно только при y - x = 1 и p = x^2 + y^2

Подсказка 4

Для решения в другую сторону попытайтесь выразить d через x (полезно посмотреть на подсказки выше)

Подсказка 5

На самом деле d кратно x^2-xy+y^2, может это оно и есть?

Показать доказательство

Пусть $p$ представимо в таком виде. Выделим наибольший общий делитель чисел $m$ и $n$ — $d= (m,n),m = dx,n =dy,$ где $x$ и $y$ взаимно просты. Сокращая равенство $4 4 ( 3 3) n − m =p n + m$ на $3 d(x+ y),$ получаем $( 2 2) ( 2 2) d(y − x) y +x = p x − xy +y .$ Очевидно, число $2 2 x − xy+ y$ взаимно просто и с $2 2 y +x ,$ и с $y− x.$ Поэтому $p$ кратно $( 2 2) (y− x) y + x .$ Так как из двух сомножителей $y − x$ и $2 2 y + x$ второй, очевидно, больше $1,$ получаем $2 2 p =y + x$ и $y− x= 1,$ что и требовалось доказать.

Если, наоборот, $2 2 p= x +(x+ 1),$ то искомое представление доставляют $(2 ) ( 2 ) n = (x+ 1) x +x+ 1 ,m =x x + x+ 1 .$ Действительно,

( )( ) (x+ 1)4− x4 = (x+1)2+ x2 (x+ 1)2− x2 =p((x+1)+ x)

откуда

( )( ) ( ) x2+x +1 (x +1)4− x4= p((x +1)+ x) x2+ x+ 1 =

( 2 2) ( 3 3) = p((x+ 1)+x) (x +1) − x(x+ 1)+x = p (x +1) +x

то есть

(( 2 ) )4 (( 2 ) )4 (((2 ) )3 (( 2 ) )3) x +x +1 (x+ 1) − x + x+ 1x = p x +x +1 (x+1) + x + x+ 1x

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#95906Максимум баллов за задание: 7

Три наименьших делителя натурального числа $n$ — это $1< k< m.$ Известно, что $n =(3k+ m)2.$ Найдите все такие $n.$

Источники: Лига открытий - 2018

Показать ответ и решение

Пусть $n$ не делится на $2.$ Тогда $k$ и $m$ нечетны, меж тем $n =(3k+ m)2$ четно, значит, $k= 2,$ противоречие. Поэтому $n$ четно и $k =2.$ Так как $n$ является квадратом, то оно делится на $4.$ Значит, $m ≤ 4.$ Но $m = 3$ не подходит из-за той же четности. Итого $k =2,m =4,$ откуда $n= 100.$

Ответ:

$n =100$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#101480Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n,$ для каждого из которых существуют такие натуральные числа $p$ и $q,$ что

( 2 )p q n + 2 =(2n− 1).

Показать ответ и решение

Очевидно, что $n ≤ 4$ условию задачи не удовлетворяют.

Непосредственно проверяем, что $n = 5$ удовлетворяет условию.

Далее считаем, что $n ≥ 6$ .

Если $r$ является простым делителем числа $2 n + 2$ , то $.. (2n − 1).r$ и наоборот: если $r$ — простой делитель числа $2n− 1$ , то $(2 ) .. n + 2 .r$ . Итак, возьмем общий простой делитель $r$ чисел $2 n + 2$ и $2n− 1$ . Имеем:

n2+2 =rk,2n− 1= rl,

где $k$ и $l$ — натуральные числа. Тогда

2 2 22 (2n) +8 =4rk, (rl+ 1)+ 8= 4rk, rl + 2rl+ 9= 4rk,

и поэтому $9 ...r$ . Поскольку число $r$ простое, то $r= 3$ . Мы установили, что

n2+ 2= 3m, 2n− 1= 3s,

где $m$ и $s$ — натуральные числа, причём $m > s≥ 3$ . Но из последних двух равенств следует, что

(3s+ 1)2+ 8= 4⋅3m,32s +2⋅3s+ 9= 4⋅3m.

Итак, $. 9..3s$ , что невозможно для $s≥ 3$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#92721Максимум баллов за задание: 7

Доминик потерял из полного комплекта домино все кости, на которых в одной из ячеек было пусто. И тут он понял, что каждая доминошка представляет из себя дробь, в которой числителем является верхнее число, а знаменателем — нижнее. Доминик и его сестра Ника решили сесть за стол друг на против друга. Они выложили перед собой $4$ доминошки, крайние из которых лежат точками вверх, а две другие — точками вниз. Доминик поставил между доминошками ними знаки и видит картинку справа. Когда они перевернули вторую и третью доминошки, оказалось, что равенство верное и со стороны Доминика, и со стороны Ники. Какие две доминошки могли быть на месте перевернутых?

$PIC$

Источники: Лига открытий - 2017

Показать ответ и решение

Пусть Доминик видит перед собой выражение, эквивалентное

2 a c 1 3 ⋅b ⋅d = 3

Тогда его сестра Ника видит

3 d b 3 1 = c ⋅a ⋅2

Получаем, что для чисел $a,b,c,d$ от $1$ до $6$ верны два равенства: $2bd= ac$ и $9bc= 2ad.$ Перемножив их, получим, что $9b2 = a2.$ Это означает, что либо $b= 1$ и $a= 3,$ либо $b= 2$ и $a= 6.$ Но доминошка $1 :3$ уже есть на столе, поэтому вариант $b= 1,a= 3$ не подходит. Поэтому $b=2,a= 6.$ Далее, подставляя соответствующие значения вместо $a$ и $b,$ получаем, что $3c= 2d.$ В таком случае либо $c= 2,d= 3,$ либо $c= 4,d =6.$ Но доминошка $2:3$ опять же уже присутствует на столе, поэтому единственный возможный вариант — $c=4,d= 6.$ Нетрудно убедиться, что $a= 6,b=2,c= 4,d =6$ подходит.

Ответ:

$2 :6$ и $4 :6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#102397Максимум баллов за задание: 7

Вычислите $√n +√n-+-524-$ , если известно, что это число рациональное и что $n$ — натуральное.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мда, так себе условие... Как бы нам из него что-то достать интересное. Возвести в квадрат, получить произведение двух корней — плохо. Надо как-то по отдельности их что-ли в квадрат возвести. Как бы это сделать? Может что-то обозначить...

Подсказка 2

Так и сделаем. Пусть √n + √(n+254) = a. Тогда √(n+254) = a - √n. Вот щас уже можно что-то сделать...

Подсказка 3:

Возведём в квадрат. Получим, что n + 254 = a² + n - 2a√n. Мы знаем, что a — рационально по условию, n — натурально. Какой вывод можно сделать из этого?

Подсказка 4:

Докажите, что √n — натурально. В каком виде тогда можно представить числа n и n+254?

Подсказка 5:

Верно! n = k², n + 254 = m², где n, m ∈ N. Осталось вспомнить формулу разности квадратов и понять, что 524 = 131 * 4 = 2*2*131 — разложили на простые. С помощью этого дорешайте задачу, опираясь на натуральность множителей)

Показать ответ и решение

Пусть искомое число равно $a$ . Имеем

√------ √ - 2 √- n+ 524= a− n, n+ 524= a − 2a n +n

По условию $a$ рационально, поэтому и $√n$ рационально. Значит, $n =k2,k∈ ℕ$ . Тогда число $√n-+-524-$ тоже рационально, поэтому $n +524= m2,m ∈ℕ$ . Значит,

2 2 m − k = 524, (m − k)(m+ k)= 4⋅131

Заметим, что числа $m− k$ и $m +k$ одинаковой чётности, а число 131 простое. Следовательно, $m − k= 2$ и $m+ k= 2⋅131$ . Оба равенства выполнены при $m = 132,k= 130$ . Итак, $a= m + k= 262$ .

Ответ: 262

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#38866Максимум баллов за задание: 7

Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел $a$ и $b,$ оба больших $1,$ удовлетворяющих уравнению $a13 ⋅b31 = 62015.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Заметим, что 2015 раскладывается на множители очень интересным образом. Это 31*13*5. То есть попробуем сказать, что а и b это 6 в некоторой степени, и как-то их выразить..

Показать ответ и решение

Заметим, что $2015= 5⋅13⋅31,$ пусть $a= 631x,b= 613y,$ где $x,y >0.$ Тогда $13⋅31x+31⋅13y = 5⋅13⋅31,$ положим $x= 2,y = 3,$ откуда $62 39 a =6 ,b= 6$ подходят.

Ответ:

$662,639$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#70325Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $(x,y)$ , для которых выполнено равенство

2 x +xy = y+ 92

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать выражение.

Подсказка 2

Вычтите из обеих частей y+1.

Подсказка 3

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 4

Разложите 91 на простые множители.

Показать ответ и решение

Вычтем из обеих частей $y+ 1$ и разложим левую часть на скобки

x2+ xy = y+ 92⇔ x2+ xy− y − 1 =91⇔ x2− 1+ y(x − 1)= 91⇔ ⇔ (x− 1)(y+ x+ 1) =91= 7⋅13

Так как $x,y ∈ ℕ, y+ x+ 1> x− 1,$ а также обе скобки неотрицательны. Значит возможны только следующие случаи:

[ x− 1= 1 и y+x +1 =91 x− 1= 7 и y+x +1 =13

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(2,88),(8,4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#74216Максимум баллов за задание: 7

Решите в целых числах уравнение

6 3 x =y + 217

Источники: ПВГ - 2016, 9 класс(см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда нужно решить уравнение в целых числах, какие у нас обычно есть варианты действий?

Подсказка 2

Выбрать нужно вариант, который максимально сократит количество переборов. Для этого нужно внимательно посмотреть на уравнение: можно ли его как-то удобно преобразовать?

Подсказка 3

Обратите внимание на степени х и у. Случайно, не возникает никаких ассоциаций?

Подсказка 4

Можно перенести y³ влево и воспользоваться разностью кубов. Тогда что можно сделать с числом справа?

Подсказка 5

Что нужно сделать с числом 217, чтобы понять, какие значения могут принимать множители слева?

Подсказка 6

Да, разложим его на множители — останется только перебрать варианты.

Подсказка 7

Число 1 тоже может быть множителем.

Подсказка 8

Вышло несколько вариантов систем уравнений, которые нужно решить? А что можно сделать, чтобы решить систему?

Подсказка 9

Выражаем у через х и подставляем во второе уравнение. Осталось только всё найти)

Показать ответ и решение

Запишем уравнение в виде $(x2− y)(x4+ x2y +y2)= 217.$ Осталось просто перебрать всевозможные варианты значений скобочек. Чтобы сократить перебор, заметим, что первая скобка меньше второй, а значит она меньше $√--- 217.$ Таким образом, возможны варианты $1,217$ и $7,31,$ так как вторая скобка всегда положительна, значит и первая должна быть положительна. Ясно, что в обоих случаях надо выразить $y$ через $x$ и подставить во второе уравнение, получится квадратное уравнение, которое нужно решить и выписать целочисленных ответы ответы.

Ответ:

$(±3,8),(±1,− 6)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#72110Максимум баллов за задание: 7

Найдите все натуральные числа $n$ , такие, что число $n2+ 77n$ является точным квадратом натурального числа.

Источники: Высшая проба - 2015, задача 9.6(см. olymp.hse.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях с целыми числами полезно приводить выражение к виду (что-то)*(что-то)=число, попробуйте сделать что-то в этом духе

Подсказка 2

В условии фигурируют квадраты чисел. Какую ФСУ требуется применить к квадратам чтобы получить разложение на скобки?

Подсказка 3

Выделите полный квадрат с n и распишите разность квадратов.

Подсказка 4

Вы получили уравнение: (2n-2q+77)(2n+2q+77)=77². Осталось перебрать варианты. Как можно упростить перебор?

Подсказка 5

Заметим, что: 2n-2q+77 < 2n+2q+77. Осталось разобрать случаи!

Показать ответ и решение

Решим уравнение $n2+ 77n =q2$ в натуральных числах. Преобразуем левую часть следующим образом:

2 77 772 772- 2 n + 2⋅2 ⋅n+ 4 − 4 = q

Теперь запишем уравнение в виде

77 772 (n +-2 )2− q2 = 4-

Домножим равенство на $4$ и разложим левую часть на множители через разность квадратов:

(2n − 2q+ 77)(2n+ 2q +77)= 772

Осталось перебрать возможные варианты. Для упрощения перебора заметим, что

2n − 2q+ 77< 2n +2q+ 77

Следовательно, для скобочек возможны следующие варианты: $1$ и $2 77 ,$ $7$ и $2 7⋅11,$ $11$ и $2 7 ⋅11,$ $49$ и $121.$ Осталось разобрать каждый случай и написать ответ.

Ответ:

$1444,175,99,4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#32931Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y$ , удовлетворяющие уравнению

3xy− y+3x =1008.

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте получить в левой части разложение на множители, а справа — число, чтобы дальше перебрать возможные случаи, пользуясь натуральностью чисел.

Подсказка 2

Вычтите 1 из обеих частей уравнения, тогда левая часть разложится на множители, а справа будет число 1007 = 19×53. Какие случаи надо теперь рассмотреть? Можно ли сократить их число?

Подсказка 3

Конечно же, есть всего два случая: первая скобка равна 19, вторая равна 53 и наоборот. Мы воспользовались тем, что каждая скобка больше 1 в силу натуральности переменных.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

3xy+ 3x− y− 1=1008− 1

3x(y +1)− (y+ 1)= 1007

(3x − 1)(y+ 1)= 19 ⋅53

При натуральных $x,y$ каждая из скобок в левой части уравнения являются натуральными числами больше $1$ , поэтому по основной теореме арифметике равенство может выполняться только лишь в случае, когда одна из скобок равна $19$ , а другая $53.$

Имеем два случая:

3x− 1= 19,y+ 1= 53

3x− 1= 53,y+ 1= 19,

откуда и получаем ответ, выбрав из решений только пару, в которой оба числа натуральные.

Ответ:

$(18;18)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#67139Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

5xy+ y− 5x =1038

Источники: ПВГ-2014, 11.1 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Замечаем, что 5х повторяется - вынесем его за скобку и посмотрим на то, что останется в скобках. Кажется, нам чего-то не хватает, чтобы сделать еще один множитель. Чего?

Подсказка 2

Ну конечно, нам не хватает слева вычесть единичку, тогда вынесется еще и у-1. Мы получили произведение двух натуральных чисел (так как правая часть натуральная), отсюда следует посмотреть на в целом возможные делители правой части. Только им и могут равняться скобки левой части.

Подсказка 3

1037 = 17 * 61 = 1 * 1037. Отсюда получим возможные варианты и просто выберем те, в которых х и у получаются натуральными.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по единице, получим

5xy+ y− 5x − 1 =1037 ⇐⇒ (5x+ 1)(y− 1)= 1037= 17⋅61 =1 ⋅1037

Поскольку мы решаем уравнение в натуральных числах, то обе скобки неотрицательны и принимают натуральные значения. При этом $5x+ 1> 1,$ поэтому возможны только случаи

⌊ 5x+ 1= 17 и y− 1 =61 |⌈ 5x+ 1= 61 и y− 1 =17 5x+ 1= 1037 и y− 1= 1

В первом и третьем случае решений нет, поскольку $x$ получается нецелым. Получаем только решение $(12,18)$ из второго случая.

Ответ:

$(12,18)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#120844Максимум баллов за задание: 7

Решите в натуральных числах уравнение

abc+ ab+bc+ ac+a+ b+ c= 164.

Показать ответ и решение

Прибавив единицу, разложим левую часть на скобки:

(a+1)⋅(b+1)⋅(c+1)= abc +ab+ bc+ ac+ a+b+ c+ 1= 165 =3 ⋅5⋅11

Заметим, что каждая скобка больше единицы, так как числа натуральные, поэтому никакая скобка слева не может быть равна $1.$ Следовательно, $a =2,b= 4$ и $c=10.$ Заметим, что решение единственно с точностью до перестановки $a,b$ и $c,$ поскольку $3,5,11$ — простые числа.

Ответ:

$(2,4,10),(4,10,2),(10,2,4),(4,2,10),(2,10,4),(10,4,2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#67140Максимум баллов за задание: 7

Найдите все пары натуральных чисел $x,y,$ удовлетворяющие уравнению

2 2 6x y+ 2x +3xy+ x− 9y =2016

Источники: ПВГ-2013, 11.2 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Слагаемых с 3у больше, тогда попробуем вынести его за скобку. Будет чего-то не хватать, как будто нужно еще одно слагаемое, чтобы разложить левую часть на множители.

Подсказка 2

Естественно, нам нужно вычесть тройку из левой и правой частей. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - число, разложение которого на множители нам и стоит рассмотреть. (Кстати, 2 + 0 + 1 + 3 = 6 делится на 3) :)

Подсказка 3

Проще будет работать со скобкой 3у+1, так как мы четко понимаем, что она не меньше 4, а также имеет остаток 1 при делении на 3. Тогда отсекается очень много вариантов для 3у+1, так как возможные случаи либо просто делятся на 3, либо делятся с остатком 2. Почти все, кроме одного.

Показать ответ и решение

Сразу левая часть на скобки не раскладывается, поэтому вычтем из обеих частей по тройке и сгруппируем

2 2 2 2x + x− 3 +3y(2x + x− 3)=2013 ⇐⇒ (2x + x− 3)(3y+ 1)= 2013= 3⋅11⋅61

Поскольку $x,y$ натуральны, то $3y+ 1≥ 4.$ При этом для $x ≥1$ скобка $2x2+ x− 3$ принимает неотрицательные значения, поэтому достаточно рассмотреть случаи

⌊ 3y+ 1= 11 и 2x2 +x− 3= 3⋅61 || 3y+ 1= 61 и 2x2 +x− 3= 3⋅11 || 3y+ 1= 3⋅11 и 2x2 +x− 3= 61 ||| 3y+ 1= 3⋅61 и 2x2 +x− 3= 11 || 3y+ 1= 11⋅61 и 2x2+ x− 3= 3 ⌈ 3y+ 1= 3⋅11⋅61 и 2x2+ x− 3= 1

В каждом случае посмотрим сначала на первое уравнение. Натуральное решение есть только в случае $2,$ поскольку только там остаток правой части при делении на $3$ равен единице. Оттуда $y = 20,2x2+x − 36= 0 =⇒ y = 20,x= 4.$

Ответ:

$(4,20)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#81761Максимум баллов за задание: 7

Найдите все тройки натуральных чисел $(x,y,z),$ такие что $x≤ y ≤ z,$ удовлетворяющие уравнению

3( 3 3) x y +z = 2012(xyz+2)

Показать ответ и решение

Для начала отметим, что $x$ делит $2012⋅2 =23⋅503.$ Это выполнено так как $(x, xyz +2)≤ 2.$ Если $503 |x,$ то правая часть уравнения делится на $3 503,$ откуда следует, что $2 503 |xyz+ 2.$ Это не верно так как $503|x.$ Следовательно, $m x= 2 ,$ где $m ∈ {0,1,2,3}.$ Если $m ≥2$ , то $6 2 |2012(xyz+ 2).$ Однако в таком случае 2012 и $m xyz +2= 2 yz+ 2$ делятся на $2 2$ и $1 2$ соответственно и не делятся на большие степени $2.$ Значит $x =1$ или $x= 2,$ откуда следует, что выполнено одно из уравнений

y3+ z3 =2012(yz+ 2) или y3+ z3 = 503(yz+1)

В обоих случаях простое $503= 3⋅167+2$ делит $y3 +z3.$ Утверждается, что $503|y +z.$ Это очевидно если $503|y$ или $503 |z,$ так что будем рассматривать случай $503∤y$ и $503∤z.$ Тогда $502 502 y ≡ z (mod 503)$ по малой теореме Ферма. С другой стороны, из $3 3 y ≡ −z (mod 503)$ следует, что $3⋅167 3⋅167 y ≡ −z (mod 503),$ то есть $501 501 y ≡ −z (mod 503).$ Из этих двух сравнений следует, что $y ≡− z (mod 503),$ что и требовалось доказать.

Таким образом, $y+ z = 503k,$ где $k≥ 1.$ Поскольку $3 3 ( 2 ) y + z = (y +z) (y − z) +yz ,$ два уравнения выше принимают вид

2 k(y− z)+ (k− 4)yz = 8 k(y− z)2+ (k− 1)yz = 1

Рассмотрим уравнение $(1).$ Утверждается, что если оно выполнено, то $(k− 4)yz ≤8,$ откуда $k≤ 4.$ Действительно, если $k >4,$ то $1 ≤(k− 4)yz ≤ 8,$ откуда $y ≤8$ и $z ≤ 8.$ Это невозможно поскольку $y+z =503k≥ 503.$ Отметим дальше, что если выполнено уравнение $(1),$ то $y3 +z3$ четное. Поэтому $y+ z = 503k$ также является четным числом, откуда $k$ четное. Тогда $k= 2$ или $k= 4.$ Ясно, что у $(1)$ нет целочисленных решений при $k= 4.$ Если $k= 2$ то $(1)$ обращается в $(y+ z)2 − 5yz = 4.$ Поскольку $y+ z = 503k =503⋅2,$ уравнение принимает вид $5yz =5032⋅22− 4.$ Однако $5032⋅22− 4$ не кратно $5.$ Таким образом, уравнение $(1)$ не имеет целочисленных значений.

Из уравнения $(2)$ следует, что $0 ≤(k− 1)yz ≤ 1,$ поэтому $k =1$ или $k= 2.$ Также верно, что $0≤k(y− z)2 ≤1,$ поэтому $k= 2$ только тогда, когда $y = z.$ Однако в таком случае из первого двойного неравенства получаем, что $y =z =1,$ что противоречит неравенству $y+ z ≥503.$ Значит $k= 1$ и уравнение (2) принимает вид $(y − z)2 = 1,$ откуда $z− y = |y − z|= 1.$ Из условий $k = 1$ и $y+ z = 503k$ получаем, что $y = 251$ , $z = 252.$ Таким образом, $(2,251,252)$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ:

$(2,251,252)$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#70323Максимум баллов за задание: 7

Дано простое число $p.$ Решите в натуральных числах уравнение

2 2 x = y +2010p

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь ФСУ.

Подсказка 2

Разложите 2010 на простые множители.

Подсказка 3

Что можно сказать о четностях (x+y) и (x-y)?

Показать ответ и решение

$2010= 2⋅3⋅5⋅67;$

Преобразуем исходное уравнение

2 2 x − y = 2010p⇔ (x− y)(x +y)= 2⋅3⋅5⋅67

Заметим, что $x− y$ и $x+ y$ одинаковой четности, так как $x+ y = x− y+ 2y.$

Поэтому, так как $2010$ четно, обе скобки тоже должны быть четными. И тогда $p= 2,$ иначе

. (x− y)(x +y)..4,

но $2010p$ не кратно $4.$

Получаем

(x− y)(x+ y)= 22⋅3⋅5⋅67

Поскольку $x,y ∈ℕ,$ обе скобки положительные, а также $x +y > x− y.$

Следовательно, возможны только следующие случаи:

⌊ x− y = 2⋅3⋅5 и x+ y = 2⋅67 || x− y = 2⋅3 и x+ y = 2⋅5⋅67 ||⌈ x− y = 2⋅5 и x+ y = 2⋅3⋅67 x− y = 2 и x+ y = 2⋅3⋅5⋅67

Решив систему уравнений в натуральных числах в каждом из случаев, получаем ответ.

Ответ:

$(82,52),(338,332),(206,196),(1006,1004)$ при $p= 2,$ иначе решений нет.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#70326Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $m$ и $n$ таковы, что

4m+ 5n= mn − 9

Найдите, какое наибольшее значение может принимать $m$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим выражение вида a * mn + b * n + c * m + d, то первым делом нам нужно попробовать его разложить на скобки, добавив некоторую константу к обеим частям уравнения. Попробуйте это сделать, ведь с множителями удобнее работать чем с слагаемыми!

Подсказка 2

Получится (m-5)(n-4)=29. Много ли целых чисел могут давать в произведении 29?

Показать ответ и решение

Первое решение. Постараемся разложить на скобки:

mn − 4m− 5n− 9= 0

mn− 4m − 5n+ 20= 29

(m − 5)(n − 4)= 29

В правой части простое число, поэтому в левой части целые числа в скобках могут равняться только 1 и 29, либо -1 и -29. Наибольшее значение $m$ достигается при $m − 5 =29 ⇐⇒ m = 34.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Запишем равенство в виде

m = 9+-5n =5+ -29- ≤5+ 29= 34 n− 4 n − 4

Равенство реализуется при $n =5.$

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 79#67141Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение в целых числах:

∘ --2-------- 9x +80x− 40= 3x − 20y

Источники: ПВГ-2010, 11.5 (см. pvg.mk.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Хммм... В условии есть корень, от которого сразу же хочется избавиться. Что можно сделать?

Подсказка 2:

Конечно! Запишем себе где-то на полях условие, что 3x−20y неотрицательно и смело возведём в квадрат. Давайте теперь в левой и правой части разложим выражения так, чтобы получить произведение множителя на скобку. Что можно сказать, помня, что x и y — целые?

Подсказка 3:

Да! Заметим, что (2 + 3y) не может быть равным нулю, поэтому на него можно поделить! Окей, с одной стороны получили всё ещё целый x, а с другой — отношение двух двучленов. Что всё это значит?

Подсказка 4:

Да! Получаем, что часть с игриками должна быть целым числом! Умножим обе части на 9. Получим 9x-30y+20=49/(3y+2). Тогда 3y+2 — делитель числа 49. Осталось только перебрать все возможные случаи и записать ответ!

Подсказка 5:

(Не забудем, что 3x−20y неотрицательно!) Чтобы сократить перебор, можно посмотреть на то, какие остатки дают левая и правая части, например, при делении на 3 ?)

Показать ответ и решение

Сначала бездумно возведём обе части в квадрат, в конце уже проверим, чтобы $3x− 20y$ было неотрицательно.

2 2 2 9x +80x− 40=9x − 120xy +400y

2 40x(2+ 3y) =40(10y + 1)

Так как $x,y$ целые, то можно поделить на ненулевое $2+ 3y$ обе части уравнения и получить, что целым числом должно являться

x= 10y2-+1- 3y+2

Поделим многочлен на многочлен в столбик: для начала избавимся от $2 10y,$ для этого надо домножить $3y+ 2$ на $10 3 y.$ Получим

10 20 10y2+ 1= (3y+ 2)⋅3-y− 3-y+ 1

Теперь разделим $− 230y$ на $3y+ 2:$

− 20-y = − 20⋅(3y +2)+ 40 3 9 9

Тогда

10y2+ 1= 10y⋅(3y +2)− 20⋅(3y +2)+ 40+ 1= 3 9 9

10 20 49 = 3 y⋅(3y +2)− 9 ⋅(3y +2)+ 9

Получим

10y2+ 1 10 20 49- -3y+-2-= -3 y− 9-+ 3y9+-2

Тогда получается, что должно быть целым и число

10 20 -49∕9- x= 3 y− 9 + 3y+ 2

После переноса слагаемых и умножения на $9$ обоих частей получим

49 9x− 30y+ 20= 3y+-2 .

Делителями (целыми) числа $49$ являются $− 49,− 7,− 1,1,7,49.$ Заметим, что только $− 1,−7,−49$ дают остаток $2$ по модулю $3,$ поэтому скобка $3y+ 2$ может принимать только эти значения. Разберём случаи

$3y+ 2= −1 ⇐⇒ y = −1 =⇒ 20+ 9x − 30y = −49 ⇐⇒ x= −11$
$3y+ 2= −7 ⇐⇒ y = −3 =⇒ 20+ 9x − 30y = −7 ⇐⇒ x= −13$
$3y+ 2= −49 ⇐⇒ y = −17 =⇒ 20 +9x− 30y =− 1 ⇐⇒ x= −59$

Остаётся проверить, что $3x− 20y$ принимает неотрицательные значения для полученных решений. Из трёх кандидатов не подходит только первая пара, потому что $3⋅(− 11)− 20⋅(−1)= −13< 0.$

Ответ:

$(−13,− 3),(−59,−17)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 80#91037Максимум баллов за задание: 7

В диване живут клопы и блохи. Боря лежит на диване и рассуждает: если клопов станет в несколько раз больше, то всего насекомых будет $2012,$ а если блох станет во столько же раз больше, а число клопов не изменится, то всего насекомых будет $2011.$ Сколько же насекомых живет в диване сейчас?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим переменными количество клопов и блох, также введём коэффициент, показывающий во сколько раз мы увеличиваем выражение. Кажется теперь можно составить уравнения...

Подсказка 2

Теперь можно попытаться разложить на множители то, что у нас получилось и попытаться увидеть что-нибудь красивое. Мы получили, что произведение двух скобок равно 1, значит мы с уверенностью можем сказать чему равно количество насекомых и коэффициент увеличения.

Показать ответ и решение

Пусть в диване живут $x$ клопов и $y$ блох. Через $n$ обозначим количество, в которое будем увеличивать. Тогда по условию имеем $nx +y = 2012,x+ ny = 2011.$ Если вычесть из второго равенства первое, мы получим $(n− 1)(x− y)= 1.$ То есть $n − 1$ делит $1,$ а значит $n − 1$ равно либо $1,$ либо $− 1.$ Второй вариант нам не подходит, потому что тогда $n= 0.$ Следовательно, $n =2.$ Если сложить равенства, полученные выше, и поделить на $3,$ получим: $x+ y = 1341.$

Ответ:

$1341$

Предыдущая подтема

Следующая подтема