Параллелограмм

Продлим прямую до пересечения с прямой Пусть они пересекутся в точке

Прямые и параллельны, так как — параллелограмм. Отсюда и — накрестлежащие при и секущих и соответственно. Получается, как вертикальные, по условию, то есть треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Отсюда следует, что При этом по определению параллелограмма, то есть откуда

Заметим, что треугольник — прямоугольный треугольник с углом так как по условию и По свойству прямоугольного треугольника с углом катет, лежащий напротив угла в в два раза меньше гипотенузы, то есть Итак, перпендикуляр равен стороне параллелограмма

а) Докажем, что в общем случае это неверно. В условии не указаны стороны, на которые опускаются высоты и а значит, возможны два варианта: либо точки и лежат соответственно на сторонах и либо соответственно на сторонах и Приведём пример параллелограмма для второго случая, в котором утверждение задачи неверно — пусть Тогда вершина совпадает с точками и а точка является серединой Очевидно, что тогда угол между и равен и они не перпендикулярны.

Замечание. В случае, когда высоты и опущены на стороны и действительно, всегда будет перпендикулярность между прямыми и

б) Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Подставляя известные значения и получаем:

Заменяя и подставляя все в выражение тригонометрического тождества, получаем уравнение:

Полученное квадратное уравнение на не имеет решений, так как его дискриминант меньше нуля. Значит, этот случай невозможен.

Случай Рассмотрим случай, когда высоты и опущены на стороны и

Для треугольника вписанного в окружность с диаметром верна теорема синусов:

Таким образом,

Пусть Треугольники и подобны (их углы равны), следовательно,

Подставляя находим:

Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Углы и равны как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей Аналогично равны углы и следовательно, треугольники и подобны по двум углам, кроме этого их соответственные стороны и равны, а значит и сами треугольники равны, то есть равны отрезки и что влечет равенство отрезков и

Наконец, в прямоугольном треугольнике отрезок является медианой, проведенной из прямого угла, а значит равен отрезку Аналогично что завершает доказательство.

Второе решение. Пусть и — середины отрезков и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника Значит, и

Получаем, что и — параллелограммы, а, следовательно, и треугольники и равны по сторонам. Т.к. и — медианы в прямоугольных треугольниках и то и

(треугольник — р/б) (треугольник — р/б, ) Получаем, что по признаку что и доказывает утверждение задачи.

Обозначим точки пересечения и с диагональю как и соответственно, тогда Рассмотрим треугольник заметим, что — средняя линия, т.к. и Следовательно Аналогично получаем, что Значит, является параллелограммом.

Проведём диагональ — точка пересечения и т.к. — параллелограмм, то делит и пополам.

Но следовательно делит и пополам. — точка пересечения диагоналей четырехугольника делящая их пополам, значит, — параллелограмм.

Удвоим получим точку

Рассмотрим треугольник В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.

Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.

как противоположные стороны параллелограмма.

Обозначим через середину отрезка Поскольку треугольник равнобедренный, Так как и то

Таким образом, — точка пересечения высот треугольника Значит, Так как — параллелограмм, откуда

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим середину отрезка точкой Продлим и до их пересечения. Пусть это будет точка

— серединный перпендикуляр в треугольнике значит серединный перпендикуляр в треугольнике — середина , это следует из подобия треугольников и Тогда, — середенный перпендикуляр, следовательно точка — точка пересечения серединных перпендикуляров. Так как — середина и то — средняя линия треугольника , следовательно — середина Значит, это серединный перпендикуляр, и искомый угол равен

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Третье решение.

Обозначим середину отрезка точкой Проведем и

Тогда, треугольники и равны по двум сторонам и углу. Следовательно, — вписанный, тогда из-за вписанности. Треугольник равнобедренный, тогда Итого, получили, что следовательно, — вписанный, тогда

Поскольку треугольник — равнобедренный, Из

и получаем Так, а значит — равнобедренный, Итак, получается — серединный перпендикуляр к Поскольку

то по признаку равенства треугольники Из получаем Следовательно, серединный перпендикуляр к а значит, проходит через середниу отрезка

Отметим на середину проведём медиану треугольника

Раз прямой, значит, треугольник прямоугольный, поэтому а так как и как средняя линия параллелограмма, то

Продолжим до пересечения с прямой в точке Положим ,

Из подобия треугольников и (коэффициент ) находим, что

а из подобия треугольников и — что

Пусть , тогда , откуда , поскольку . Тогда из подобия и имеем

Первое решение.

Проведем и

Тогда — параллелограмм, поэтому

Так как — вписанный четырехугольник и

Так как — параллелограмм, следовательно поэтому

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Через точку проведем и

Так как — параллелограмм, то

Заметим, что по двум углам и А так как то

Учитывая, что получаем по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно,

Первое решение.

Заметим, что линия центров перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым и Пусть - середина отрезка - середина отрезка Тогда и, поскольку прямые и параллельны. Далее, и при этом поэтому Заключаем, что четырёхугольник — параллелограмм по определению, следовательно Кроме того, поскольку отрезки и равны, то по двум катетам будут равны прямоугольные треугольники и следовательно, равны их гипотенузы и являющиеся также радиусами наших окружностей, что и требовалось доказать

Первое решение.

Предположим противное, радиусы окружностей и описанных около треугольников и соответственно, различны.

При параллельном переносе на отрезок перейдет в отрезок окружность перейдёт в окружность а прямая перейдёт в себя. Причём не может совпадать с поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров совпадающая с прямой перпендикулярна общей хорде Таким образом, прямая параллельна общей хорде окружностей и и, следовательно, перпендикулярна прямой Но тогда параллелограмм является прямоугольников, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей и равны.

Пусть — середина стороны Продлим луч до точки такой, что Так как диагонали четырёхугольника пересекаются в своих серединах, это параллелограмм; отсюда получаем, что точка лежит на прямой и

Отметим, что — параллелограмм ( равен и параллелен поэтому искомый С другой стороны, из вписанности имеем

Кроме того, — средняя линия и параллельна сторонам и откуда получаем Значит, треугольники и подобны по двум углам. Тогда то есть

Введём масштаб длин на чертеже так, чтобы отрезок имел длину тогда и а Мы знаем один из углов треугольника и две его стороны; теперь можно воспользоваться любым из известных методов, чтобы вычислить остальные его элементы (включая искомый угол Например, опустим высоту на прямую Так как отрезки и окажутся по разные стороны от прямой В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а угол напротив катета равен то есть сам катет равен Теперь ясно, что прямоугольный треугольник равнобедренный, так как отношение гипотенузы к катету в нём равно Получаем

Так как точки и являются серединами соответствующих сторон, то

Складывая, получим, что

Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку а то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, прямые и параллельны и четырёхугольник — параллелограмм, откуда следует, что отрезки и параллельны и равны. Но тогда стороны и параллельны и равны, то есть — параллелограмм.

Пусть а биссектриса пересекает прямую в точке Тогда Значит, биссектрисы углов и параллельны. Пусть — середина отрезка Так как по условию она лежит на а — средняя линия треугольника откуда Обозначим через точку пересечения биссектрисы и прямой и заметим, что треугольники и равны, так как

Значит, Следовательно, средняя линия треугольника лежит на прямой откуда и вытекает утверждение задачи.

Продлим до пересечения с в точке . Тогда , а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда , а ещё как противоположные стороны параллелограмма.

Первый способ.

В прямоугольном проведём медиану к гипотенузе, тогда . В силу параллельности . — равнобедренный, тогда , откуда как внешний угол . Заметим, что — равнобедренный с углом , а значит, равносторонний,

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном катет напротив угла в градусов равен половине гипотенузы , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Пусть и — середины и соответственно. Пересечём и в точке

а значит, откуда

— равнобедренный, причём

из чего следует, что

Аналогично находим значит, тупой угол параллелограмма равен а острый —

Изобразим окружности и их центры, которые обозначим Рассмотрим векторы и

Поскольку центры описанных окружностей лежат на пересечении серединных перпендикуляров, проекции указанных векторов на стороны исходного параллелограмма будут равны половине этих сторон.

Таким образом, если ввести две оси: одну параллельно стороне а другую параллельно стороне то каждая пара рассматриваемых векторов будет иметь одинаковые проекции на каждую из введенных осей. Отсюда следует попарное равенство самих векторов.

Т.к. — параллелограмм, то и Из получившихся равнобедренных треугольников и и параллелограмма делаем вывод, что Пусть — пересечение и а — и Тогда

По признаку что и доказывает утверждение задачи.

Продлим до пересечения с в точке Тогда имеем, что а значит, по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда Также из свойств параллелограмма В прямоугольном отрезок — медиана, проведённая к гипотенузе, а значит, что и требовалось.

Продолжим до пересечения с прямой в точке . Так как , то Кроме того, и , значит, равны треугольники и Тогда

Таким образом, в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, поэтому этот треугольник — прямоугольный с прямым углом Следовательно, и угол — прямой.