Тема Треугольники с фиксированными углами

Прямоугольные треугольники

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела треугольники с фиксированными углами

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#42703

На стороне $AB$ треугольника $ABC$ взята такая точка $P,$ что $AP = 2P B,$ а на стороне $AC$ — ее середина, точка $Q.$ Известно, что $CP = 2P Q.$ Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

Показать доказательство

Продлим отрезок $PB$ за точку $B$ на свою длину. Получим точку $R$ . Тогда $P B =BR = a,$ $AP = 2a.$ Пусть также $PQ = b,$ тогда $CP = 2b.$

$PIC$

$PQ$ — средняя линия в $△ARC,$ следовательно, $RC = 2PQ = 2b.$ Тогда $RC = P C =2b,$ то есть $△RCP$ равнобедренный, причем $CB$ в нем — медиа на, проведенная к основанию. Следовательно, это и высота, то есть $CB ⊥ AB.$ Чтд.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#42706

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $B$ отметили точку $M$ так, что $AM = AC$ и $∘ ∠BCM = 30 .$ Докажите, что $∠BAM$ в два раза меньше, чем $∠CAM.$

Показать доказательство

$AN$ — высота, биссектриса и медиана в равнобедренном $△AMC.$ Тогда $∠MAN = ∠CAN,$ $MN = CN,$ $AN ⊥ MC.$

$PIC$

$M$ равноудалена от сторон угла $ABC$ , так как лежит на его биссектрисе, следовательно, $MR =MS,$ $MR ⊥ AB,$ $MS ⊥ BC.$

В $△CMS$

∠MCS = 30∘ ⇒ MS = 1CM = MN. 2

Следовательно, $RM = MN,$ причем $MN ⊥ AN,$ значит, $M$ лежит на биссектрисе $∠BAN,$ то есть $∠BAM = ∠NAM = 12∠CAM.$ Чтд.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80681

Гипотенуза прямоугольного треугольника с углом $30∘$ равна 14. Найдите катет, лежащий напротив меньшего угла.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с углами 30 и 60 градусов. Чтобы получилось это использовать, нужно найти какие-то треугольники, в которых было бы удобно перекидывать углы :)

Подсказка 2

Как известно, медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине, а значит создаёт два равнобедренных треугольника. Почему бы её не провести?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $BD$ — медиана прямоугольного треугольника $ABC$ , $∠B = 90∘$ , $∠A= 30∘$ , значит, $∠C = 180∘− ∠A − ∠B = 60∘$ . $BD = 12AC = AD = DC$ , отсюда треугольник $BDC$ — равнобедренный с углом $60∘$ , то есть он равносторонний. А значит, $BC = DC = 12AC = 14 :2=7$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80683

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а его медиана, проведенная к гипотенузе, разбивает этот треугольник на два треугольника с периметрами 16 и 18. Найдите катеты.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Воспользуйтесь тем, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы! Если вдруг Вы забыли или не знали про этот факт, попробуйте доказать его самостоятельно, это не составит большого труда)

Показать ответ и решение

Пусть $∠B = 90∘$ , тогда медиана $BD$ равна $1AC = 5 2$ . Периметр треугольника $ADC$ равен $AD + DB + AB =5+ 5+ AB = 10 +AB = 16$ , тогда отсюда $AB =6$ . Периметр треугольника $BDC$ равен $BD + DC +BC = 5+ 5+ BC =10+ BC = 18$ , тогда отсюда $BC = 8$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#103655

Острый угол прямоугольного треугольника равен $30∘,$ а его гипотенуза равна $1.$ Найдите длину отмеченного пунктиром на рисунке отрезка.

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Допустим, речь о прямоугольном треугольнике ABC с углом C в 30 градусов, и в нем опущена высота BD на гипотенузу AC, а в треугольнике BDC опущена высота DE на гипотенузу BC. Итак, AC = 1. Что мы знаем о длинах катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике с углов 30 градусов?

Подсказка 2

Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, в 2 раза меньше гипотенузы! Чему тогда равно AB?

Подсказка 3

AB = AC/2 = 1/2. А какой отрезок нам было бы полезно найти, чтобы так же вычислить катет DE?

Подсказка 4

Хотелось бы найти длину CD! А нам дано, что CD + DA = 1. Какой тогда отрезок будет полезно найти?

Подсказка 5

Осталось лишь понять, как найти DA! В каком треугольнике это будет удобно сделать?

Подсказка 6

Рассмотрите треугольник ABD. Какие у него углы?

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству прямоугольного треугольника с углом $30∘,$ катет, лежащий напротив угла в $30∘,$ в два раза меньше гипотенузы, то есть $AB = 12AC = 12.$

Сумма острых углов прямоугольного треугольника $ABC$ равна $90∘,$ поэтому $∠CAB =90∘− ∠BCA = 60∘.$ Аналогично, сумма острых углов прямоугольного треугольника $BDA$ равна $90∘,$ поэтому $∠DBA = 90∘− ∠CAB = 30∘.$ Тогда $AD = 12AB = 14,$ так как катет $AD$ лежит напротив угла $30∘.$

Получается, $CD = CA − DA = 1− 14 = 34.$ Заметим, что $CDE$ — прямоугольный треугольник с углом $30∘.$ Отсюда $DE = 12CD = 38.$

Ответ:

$3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#103658

Выразите сторону четырёхугольника, обозначенную буквой $x$ на рисунке, через его стороны $a$ и $b$ .

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Продлим AD и BC до пересечения в точке O. Какие углы треугольника AOB можно выразить?

Подсказка 2

Верно! Угол ∠OAB равен 60° из смежных углов, а из прямоугольного треугольника DOC легко получить, что ∠AOB равен 60°. А что тогда можно сказать о треугольнике AOB?

Подсказка 3

Точно! Он является правильным. Тогда AO = OB = AB = b. Можно ли тогда теперь связать стороны треугольника DOC?

Подсказка 4

DOC — прямоугольный треугольник с углом в 30°, поэтому OC = 2OD. А как выражаются OC и OD через a, b и BC?

Показать ответ и решение

Продлим прямые $AD$ и $BC$ до пересечения друг с другом. Пусть они пересекаются в точке $O.$

$PIC$

Рассмотрим треугольник $OAB.$ $∘ ∘ ∠OAB = 180 − ∠DAB = 60$ по свойству смежных углов. $∘ ∘ ∠AOB = 90 − ∠DCO =60 ,$ так как сумма острых углов прямоугольного треугольника $DOC$ равна $∘ 90.$ Получается, в треугольнике $AOB$ два угла равны $∘ 60 ,$ а, значит, третий его угол так же равен $∘ 60,$ то есть треугольник правильный. Отсюда $OA = OB =AB = b.$

Заметим, что $CDO$ — прямоугольный треугольник с углом $∘ 30.$ Отсюда

OC =2OD = 2(OA+ OD )= 2(b+ a)

Тогда $BC = OC − OB =2b+ 2a− b=2a+ b.$

Ответ:

$2a+ b$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#103660

Квадратный лист бумаги сложили вдвое, а затем перегнули так, показано на рисунке. Чему равен отмеченный угол?

$PIC$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Будем работать на второй картинке из условия — прямоугольник, где одна сторона в два раза больше другой. Отметим все линии, которые получились после сгибания, а также равные углы и стороны. Что у нас получилось?

Подсказка 2

Мы знаем, что уголок, который мы сгибали, создал два равных треугольника (это можно доказать строго по одному из признаков равенства треугольников). Тогда на рисунке можно найти прямоугольный треугольник, в котором катет в два раза короче гипотенузы, чему равны углы в таком треугольнике?

Подсказка 3

Действительно, один из углов такого треугольника равен 30, и у него есть накрест лежащий угол, который в 2 раза больше нашего искомого.

Показать ответ и решение

Разложим наш треугольник обратно и обозначим все углы.

$PIC$

$∠BAC = ∠A′BA,$ так как накрест лежащие углы у параллельных прямых.

Рассмотрим $△A ′EB$ и $△AEB :$

Так как $BE$ — общая гипотенуза и $∠A′BE =∠ABE,$ следовательно $△A′EB =△AEB.$ Из равенства треугольников следует, что $BA ′ =BA.$ Рассмотрим $△ABC :$ Так как гипотенуза $AB$ в два раза больше, чем катет $BC,$ то $∠BAC = 30∘.$

Тогда $∠ α= 30∘2-= 15∘$

Ответ:

$15∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#103846

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ ( $C$ — вершина прямого угла) с острым углом $α$ при вершине $A.$ Две окружности с центрами $O1$ и $O2$ проходят через вершины $A,C$ и $B,C$ соответственно и касаются прямой $AB$ . Найдите отношение площадей треугольников $ABC$ и $O1MO2$ , где $M$ — середина гипотенузы $AB$ .

Источники: БИБН - 2025, 11.2 (см. www.unn.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте будем постепенно "раскручивать" то, что дано в условии. O₁ и O₂ центры окружностей, как тогда можно их связать с M?

Подсказка 2

Каким является треугольник O₁MO₂?

Подсказка 3

Отлично, O₁MO₂ — прямоугольный! А чему равно отношение площадей прямоугольных треугольников?

Подсказка 4

Нужное нам отношение равно отношению произведений катетов! Осталось лишь понять, как используя данный угол выразить одни катеты через другие ;) Не забываем, что на картинке много прямых углов!

Показать ответ и решение

$PIC$

Как центры описанных окружностей, точки $O1$ и $O2$ лежат на серединных перпендикулярах к $AC$ и $BC$ соответственно, причём пересечением перпендикуляров является точка $M.$ Так как $AC$ и $BC$ взаимноперпендикулярны, то и серединные перпендикуляры $O1M, O2M$ к ним тоже взаимноперпендикулярны. Поэтому треугольник $O1MO2$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $M.$

$PIC$

Отношение площадей прямоугольных треугольников равно отношению произведений их катетов, то есть

-SABC--= -AC-⋅BC--- SO1MO2 O1M ⋅MO2

По условию окружности касаются $AB,$ поэтому радиусы $O1A$ и $O2B$ перпендикулярны касательной $AB.$ Тогда из соответствующих прямоугольных треугольников

AM AB MB AB O1M = sinα-= 2sinα-; O2M = cosα-= 2cosα

В итоге

-AC-⋅BC--= AC-⋅BC-⋅2sinα⋅2cosα O1M ⋅MO2 AB ⋅AB

Так как $AC = AB cosα,BC =AB sinα,$ окончательно получаем

4sin2α cos2α= sin22α

Ответ:

$sin22α$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#104694

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ( $∠C =90∘$ ) на отрезке $BC$ выбрана точка $M$ так, что $BM :MC = 4:3.$ Отрезок $AM$ пересекает биссектрису $BN$ в точке $K.$ Известно, что $BK = 3,KN =2.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Источники: ОММО - 2025, номер 4 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известно, в каком отношении прямая KM делит стороны треугольника BNC. На какую теорему это может нам намекать?

Подсказка 2

Верно, на теорему Менелая! Воспользуйтесь ей, чтобы найти, в каком отношении точка N делит отрезок AC. Но ведь BN — не просто прямая.. Как теперь найти отношение сторон треугольника АВС?

Подсказка 3

Да, с помощью основного свойства биссектрисы! Теперь, чтобы дорешать задачу, нужно несколько раз воспользоваться теоремой Пифагора:)

Показать ответ и решение

$PIC$

По теореме Менелая для треугольника $BNC$ и точек $A,K,M :$

CM--⋅ BK-⋅ NA =1 MB KN AC

3 ⋅ 3⋅ NA-= 1 4 2 AC

Отсюда $NAAC-= 89.$ Пусть $NC = y,$ тогда $NC = 8y.$ По свойству биссектрисы:

BC-= NC-= 1 BA NA 8

Пусть $CM = 3x,MB =4,$ тогда $BC =7x.$ Отсюда $BA = 8BC = 56x.$ По теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

AC2 + BC2 = AB2

2 2 2 (9y)+ (7x) = (56x)

2 2 2 2 81y = 49x ⋅64− 49x =49⋅63⋅x

y2 = 73x2 9

7√7x y =--3-

По теореме Пифагора для треугольника $BCN :$

CN2 + CB2 = NB2

y2+ 49x2 =25

73x2 2 --9-+ 49x =25

15 x= 28

Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:

1 1 63 7√7x 63 ⋅7√7 ⋅152 675√7 S = 2AC ⋅BC = 29y⋅7x = 2-⋅-3-⋅x = --6⋅282---=--32-

Ответ:

$675√7 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#80697

Точки $E$ и $K$ — середины сторон $AD$ и $DC$ параллелограмма $ABCD.$ Из его вершины $B$ на прямую $EK$ опустили перпендикуляр $BH.$ На стороне $BC$ выбрали точку $F$ так, что углы $FHK$ и $KED$ равны. Найдите $BF :F C.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Интересно, что нам дает условие про равные углы? На картинке они расположены неудобно. Вот бы придумать доп. построение, чтобы равные углы оказались в одном треугольнике(и тогда он равнобедренный)/равных треугольниках.

Подсказка 2

Давайте продлим KE до пересечения с BC! Тогда возникнет равнобедренный треугольник HFG (где G - точка пересечения BC и EK). А еще возникают равные треугольники EDK и KCG! С этим уже приятнее работать. Подумайте, как теперь применить условие, что BHK - прямой угол (посчитайте уголки на чертеже)

Подсказка 3

Можно доказать, что BHF тоже равнобедренный! Какая приятная картинка - так много равных сторон. Давайте обозначать их за переменные. Например, ED = a, FC = b (или как-то по-другому на ваше усмотрение). Осталось выразить BF:FC, используя факты из прошлых подсказок

Показать ответ и решение

$PIC$

Продлим $HK$ за точку $K,$ пересечем с прямой $BC,$ получим точку $G.∠BGK = ∠KED = α$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BG$ и $AD$ и секущей $EG.∠GBH = 90∘− α,∠BHF = 90∘− α,$ а значит, треугольник $BFH$ равнобедренный и $BF = FH.$ Аналогично треугольник $HF G$ равнобедренный с углом при основании $α,$ то есть $HF = FG.$ Отсюда $BF = FH = FG.$ Рассмотрим треугольники $CKG$ и $DKE.$ Они равны по стороне и двум прилежащим к ней углам $(CK = DK,∠CKG = ∠DKE,∠KCG = ∠KDE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых). Значит, $ED =CG = a,$ пусть $FC =b,BF =a +b,$ тогда $BC =AD = 2a= (a +b)+ b,$ отсюда $2b= a,b= 12a.$

BF :FC = (a +b):b= (a + 1a): 1a= 3: 1= 3:1 2 2 2 2

Ответ:

$3 :1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#84745

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ проведена высота $CH.$ Пусть $I,I 1$ и $I 2$ центры вписанных окружностей треугольников $ABC,ACH$ и $BCH$ соответственно. Докажите, что $CI$ перпендикулярно $I1I2.$

Показать доказательство

$PIC$

Заметим, что

∠CAI +∠ACI2 = ∠A-+90∘− ∠BCH--= 90∘ 2 2

А значит, $AI ⊥CI2,$ откуда $I1I ⊥ CI2.$ Аналогично $I2I ⊥ CI1,$ откуда следует, что $I$ это ортоцентр треугольника $AI1I2.$ А значит $CI ⊥I1I2.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#89112

В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC$ равна $1,$ $∠CAB = 30∘.$ Пусть $BH$ — высота этого треугольника, $HK$ — высота треугольнике $AHB.$ Найдите длину $HK.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Начнем разбираться с условием) KH - катет напротив угла в 30 градусов в прямоугольном треугольнике KAH, тогда он равен половине гипотенузы AH! Осталось найти AH. Для этого свойство про 30 градусов возможно придется применить снова

Подсказка 2

Обратим внимание, что треугольник HBC тоже прямоугольный с углом 30 градусов. Как теперь посчитать AH?

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠ACB = 90∘ − ∠CAB = 60∘.$ Тогда в прямоугольном треугольнике $△CHB$ угол $∠CBH = 90∘− ∠HCB =30∘.$

$PIC$

В прямоугольном треугольнике катет напротив угла в $30∘$ равен половине гипотенузы. То есть для прямоугольных треугольников $△ACB, △BHC, △AKH,$ выполнено:

BC = 1AC,HC = 1BC,HK = 1 AH 2 2 2

Откуда $HC = 1AC = 1. 4 4$ Тогда

HK = 1AH = 1(AC − CH )= 1⋅ 3 = 3 2 2 2 4 8

Ответ:

$3 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#89597

В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $BAC$ равен $120∘.$ Точка $M$ — середина стороны $AB.$ Точка $P$ симметрична точке $M$ относительно стороны $BC.$ Отрезки $AP$ и $BC$ пересекаются в точке $Q.$ Прямые $QM$ и $AC$ пересекаются в точке $R.$ Докажите, что $MR = AP.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что хорошего можно сказать про отражение M относительно BC? У нас ведь понятные углы на картинке.

Подсказка 2

Получаем, что треугольник MBP - равносторонний. На картинке есть ещё один отрезок, по длине равный стороне MBP. Хотелось бы полезный вывод из равенств отрезков.

Подсказка 3

Ага, треугольник APB является прямоугольным, ещё и с углами 30, 60. Может у нас где-то ещё есть треугольник с такими углами?

Подсказка 4

Действительно, треугольник AQB равнобедренный, QM - его высота, вот уже угол 90 градусов. Не забываем, что хотим приблизиться к отрезку MR, так что из имеющихся прямоугольных треугольников нас интересует ARM. Осталось посчитать остальные его углы и доказать равенство треугольника с APB.

Показать доказательство

Проведем $MP$ . Заметим, что $∠MBP = 60∘,$ при этом $BM = BP,$ тогда треугольник $MBP$ — правильный. Тогда $MP = BM =MA.$ Следовательно, треугольник $AP B$ — прямоугольный. Мы знаем, что $∘ ∠BAP =30 .$ Тогда треугольник $AQB$ — равнобедренный с основанием $AB.$ Получаем, что $QM$ — высота в этом треугольнике, следовательно, треугольник $ARM$ — прямоугольный с углом $MAR,$ равным $∘ 60 ,$ и $RA =2MA = BA.$ То есть треугольники $RAM$ и $ABP$ равны. Тогда $RM = AP,$ что и требовалось.

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#97834

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AB = 7,$ а гипотенуза $BC = 18.$ Найдите длину биссектрисы $BL.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пусть L делит сторону AC на отрезки длиной AL= x и CL = y. Попробуйте выразить x через y, используя основное свойство биссектрисы.

Подсказка 2

Получиться, что y = x*18/7. Теперь чему равна сторона AC (через x)?

Подсказка 3.

Верно! AC = 25/7*x. Осталось воспользоваться теоремой Пифагора и решить уравнение на x.

Показать ответ и решение

Пусть $L$ делит сторону $AC$ на отрезки длиной $AL= x$ и $CL = y.$

$PIC$

По свойству биссектрисы $xy = 718.$ Тогда $y = 187 x.$ По теореме Пифагора $72+ x2 =BL2.$ Остается найти $x.$

AC =x + 18x = 25x 7 7

По теореме Пифагора $AC2 + AB2 = 182,$ то есть

252x2+ 49 =182 72

Решаем это уравнение и получаем $x= 7√11. 5$ Итак,

∘ ----2- 42 BL= 49 +x = 5 =8,4

Варианты правильных ответов:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#104679

Острый угол прямоугольного треугольника равен $30∘.$ На его гипотенузу опустили высоту. В каком отношении она ее делит?

Показать ответ и решение

Пусть гипотенуза $AC$ равна $4.$ Тогда катет $AB,$ лежащий напротив угла $30∘,$ равен $2.$ Пусть $BH$ — высота. Заметим, что

∘ ∘ ∠ABH =90 − ∠HBC = ∠BCH =30

Значит, в прямоугольном треугольнике катет $AH$ равен половине гипотенузы, то есть $1.$ Далее вычисляем $HC = AC− AH = 3$ и получаем требуемое отношение.

$PIC$

Ответ:

$1$ к $3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#104683

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна $1,$ а один из его углов равен $15∘.$ Найдите высоту треугольника, опущенную на гипотенузу.

Показать ответ и решение

Обозначим наш треугольник $ABC$ с прямым углом $B.$ Пусть $BM$ — медиана. Она проведена к гипотенузе, а значит, равна её половине, то есть $1 2.$ Треугольник $BMC$ — равнобедренный, а значит, его внешний угол $BMA$ равен $∘ 30 .$ Следовательно, в прямоугольном треугольнике $HBM,$ где $H$ — основание высоты, катет $BH$ равен $1 4,$ потому что лежит напротив угла $∘ 30 .$

$PIC$

Ответ:

$1 4$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63596

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точка $M$ — середина гипотенузы $AB.$ На катетах $AC$ и $BC$ отмечены точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $∘ ∠PMQ = 90.$ Докажите, что $2 2 2 AP +BQ = PQ .$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужное равенство похоже на теорему Пифагора, поэтому попробуем ее применить. У нас есть прямой угол ∠ACB. Как можно перебросить куда-нибудь BQ так, чтобы получился новый прямой угол?

Подсказка 2

Верно! Удвоив MQ за точку M к новой точке T, получим параллелограмм ATBQ. Тогда угол ∠CAT прямой и BQ = AT. Что теперь осталось доказать?

Подсказка 3

Точно! Остается проверить, что PT = PQ. Вспомним, что ∠PMQ тоже прямой. Как тогда доказать нужное равенство?

Показать доказательство

$PIC$

Чтобы доказать это равенство, соберём все отрезки в один прямоугольный треугольник и применим теорему Пифагора.

Удвоим $MQ$ до точки $T$ за точку $M.$ Заметим, что $ATBQ$ является параллелограммом, поскольку его диагонали пересекаются в своих серединах. Отсюда $AT ∥ BC ⊥AC$ и $BQ = AT.$

Остаётся доказать, что $P Q= PT$ (и из треугольника $PAT$ мы получим требуемое). Но действительно, $PM$ является медианой (по построению) и высотой (по условию) треугольника $PTQ,$ откуда он равнобедренный и $PT =PQ.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#100109

В прямоугольном треугольнике $ABC,$ где $∠ABC = 90∘,$ на сторонах $BC$ и $AC$ отмечены точки $D$ и $E$ соответственно так, что $CD = DE.$ Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABE$ лежит на биссектрисе угла $∠BDE.$

Источники: Муницип - 2023, Мос. область, 10.5 (см. tasks.olimpiada.ru)

Показать доказательство

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABE$ и $∠BAC = α:$

$PIC$

Тогда

∠ACB = ∠CED = 90∘ − α

∠BDE =180∘− 2α = 180∘− ∠BOE

Значит, четырёхугольник BOED вписанный. Так что углы $BDO$ и $EDO$ равны, как вписанные, опирающиеся на равные хорды $OB = OE$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#31385

Вершину $A$ параллелограмма $ABCD$ соединили с серединой $M$ стороны $CD$ . Известно, что угол $MAD$ равен $30∘$ . Докажите, что перпендикуляр $BH$ на прямую $AM$ равен одной из сторон параллелограмма.

Показать доказательство

Продлим $AM$ до пересечения с $BC$ в точке $K$ . Тогда $DM = MC,∠ADM = ∠MCK, ∠AMD = ∠CMK$ , а значит, $ΔAMD =ΔKMC$ по стороне и двум прилежащим к ней углам, откуда $AD = CK$ , а ещё $AD = BC$ как противоположные стороны параллелограмма.

$PIC$

Первый способ.

В прямоугольном $ΔBHK$ проведём медиану $CH$ к гипотенузе, тогда $CH =BC = CK$ . В силу параллельности $∘ ∠DAM =∠MKC = 30$ . $ΔCHK$ — равнобедренный, тогда $∘ ∠CHK =30$ , откуда $∘ ∠BCH = 60$ как внешний угол $ΔCHK$ . Заметим, что $ΔBCH$ — равнобедренный с углом $∘ 60$ , а значит, равносторонний, $BH = BC.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второй способ.

В прямоугольном $△BHK$ катет $BH$ напротив угла в $30$ градусов равен половине гипотенузы $BK = 2BC$ , так что равен одной из сторон параллелограмма.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#31718

Гипотенуза $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ равна $c.$ Через середину $M$ его катета $AC$ провели прямую, которая делит гипотенузу в отношении $1:3,$ считая от вершины $A.$ Найдите отрезок данной прямой, заключённый внутри треугольника.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

М - уже середина катета. Пусть точка, которая делит гипотенузу 1к3 - Е. Давайте попробуем отметить середину гипотенузы и провести среднюю линию между ними!

Подсказка 2

Она разделит AB пополам, а как разделится половина гипотенузы, содержащая точку Е?

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точка $E$ на отрезке $AB$ делит его в отношении $1:3.$ Проведём среднюю линию $MN ∥ BC,$ отсюда $△AMN$ прямоугольный и $ME$ — его медиана, то есть $ME = AB ∕4 =c∕4.$

Ответ:

$c∕4$