Алгебраические текстовые задачи

Пусть скорость с горы в раз больше, чем скорость в гору. Тогда

так что

Пусть время пути велосипедиста равно часов, тогда расстояние между остановками равно км.

Заметим, что пока автобус едет от одной остановки до другой, он может встретить велосипедиста максимум 1 раз. Получается, автобус ехал от одной остановки до другой минимум 5 раз, а значит, он побывал на остановках минимум 4 раза, то есть расстояние, которое он проехал, не меньше км.

Предположим, что расстояние, которое проехал автобус за время движения велосипедиста, равно

Пусть во время начала движения велосипедиста автобус был на расстоянии км от остановки, в сторону которой ехал, где Тогда сначала автобус проехал км до следующей остановки, за это время он встретил велосипедиста максимум 1 раз. Затем он развернулся и проехал км до другой остановки, по пути встретив велосипедиста ровно 1 раз. Далее он ещё раз развернулся и проехал км, так же встретив велосипедиста ровно 1 раз. Наконец, автобус развернулся последний раз и до окончания движения велосипедиста проехал ещё км, встретив велосипедиста не более одного раза за это время. Всего получается, что автобус встретил велосипедиста не более четырёх раз, что не равно пяти.

Получили противоречие, а значит, автобус проехал строго больше км.

С другой стороны, автобус не мог посетить остановки больше шести раз, так как между двумя остановками он точно встречает велосипедиста. Отсюда расстояние, которое проехал автобус, не больше км.

При этом км достигается, если автобус выехал из пункта одновременно с велосипедистом. В таком случае, велосипедист за время пути ровно 5 раз поравнялся с автобусом строго между остановками и 2 раза встретился с автобусом на остановках.

Если скорость автобуса не меньше 66 и не больше 77, то ровно 5 встреч с велосипедистом строго между остановками достигаются, если автобус и велосипедист одновременно отъехали от пункта

А если скорость автобуса больше 33, но меньше 66, то 5 встреч достигаются, если автобус подъезжал к пункту когда велосипедист начал движение между остановками.

Значит, скорость автобуса находится в пределах километров в час.

Пусть в первой группе рабочих, во второй , а всего работы . Тогда по условию нам дано.

Из второго уравнения следует, что

Тогда первое уравнение превращается в

должен быть целым, поэтому целое. Если , то , если , то . Значит единственный ответ и

Сейчас Ульяне лет, тогда и ее сыновьям в сумме лет. лет назад им было в сумме лет. Число можно единственным способом представить в виде суммы трех натуральных слагаемых: Следовательно, сейчас ее сыновьям и лет.

Из условия следует, что до украшения торт весил от до граммов, а после украшения — от до граммов. Значит, суммарный вес свечей принимает значения от до граммов. Так как вес каждой свечи по отдельности показывается равным г, то одна свеча весит от до граммов.

Если внучке меньше лет, то суммарный вес свечей не больше граммов, а если внучке больше то суммарный вес свечей не меньше граммов. Ни те, ни другие значения не возможны, значит, внучке ровно года.

Обозначим количество квадратиков через а сторону исходных квадратиков — через см. Тогда периметр фигурки равен см, что по условию равно см. Тогда откуда искомое количество a может быть равно Легко видеть, что все примеры подходят, ведь тогда однозначно находится число и с соответствующими параметрами строится картинка.

Так как компьютеров получилось то операций второго типа было Так как планшетов получилось то всего операций было и, в частности, операций первого типа Если первоначально телефонов было то в конце их стало Следовательно

Каждый разрез в сумме периметров учтён дважды, а границы исходного прямоугольника — по разу. Поэтому сумма периметров пяти прямоугольников равна

Пусть год рождения тогда Тогда Заметим, что нечетно. При будет и возраст При будет чего не может быть, так как При получим, что чего тоже не может быть.

Сначала покажем, что Разобьем числа Бориса и Альберта на пары: И еще у Бориса останется число Так как число Бориса в каждой паре больше числа Альберта, то и произведение всех чисел Бориса больше произведения чисел Альберта.

Далее покажем, что Рассмотрим шестерку чисел Из нее Владимир взял числа и а Геннадий — и Поэтому в каждой такой полной шестерке произведение чисел Владимира больше. Осталась неполная шестерка Из нее Владимир возьмет и а Геннадий — Значит, в итоге произведение чисел Владимира тем более больше.

Осталось лишь показать, что В каждой рассмотренной ранее шестерке Геннадий берет два числа и а Борис — всего одно Но поэтому в полных шестерках произведение Геннадия больше. Осталась неполная шестерка Из нее Борис берет что больше но Геннадий еще берет, например, число которому мы ничего в пару не поставили. Поэтому произведение чисел Геннадия больше.

Через каждые секунд кот возвращается в стартовую позицию, а через каждые секунд мышь возвращается в стартовую позицию. Следовательно, через секунды картинка совпадет со стартовой, так как делится и на и на Поскольку спустя секунд позиция повторит ту, которая была после первой секунды, т.е., позицию номер

Если стульев заняты, то свободны стульев. Если это число равно то всего стульев а занятых из них — Если в комнате людей, и сидят из них две трети, то откуда

Так как Маша точно поняла, что Антон не знает даты рождения, то это не -е и не -е (они встречаются по одному разу). Если бы месяц был сентябрь, то у Антона могло оказаться -е число, а если бы был октябрь, то могло оказаться -е. В этих случаях он бы знал дату. Поэтому у Маши ноябрь или декабрь.

Так как Антон теперь может провести эти рассуждения, то он понимает, что месяц — ноябрь или декабрь. Поскольку он может определить точную дату, то это не -е (оно есть в обоих месяцах).

Так как теперь Маша поняла дату рождения, то это может быть только ноябрь, потому что в нем осталась одна возможная дата, а в декабре — две. Следовательно, это ноября.

Пусть в третий день он съел бананов. Тогда всего он съел

бананов. Отсюда а

Пусть в классе мальчиков и девочек. Тогда тогда Поскольку числа и — целые, число должно делиться на Наименьшее такое число и есть Тогда в классе мальчиков, а всего учеников Это и есть наименьшее возможное количество детей.

Пусть пробирок вида и взяли соответственно и штук. По условию

Левая часть последнего равенства делится на 1000, следовательно, на 1000 должна делиться и правая часть. Значит, наименьшее возможное значение суммы равно 1000. Покажем, что эта оценка достижима. То есть докажем, что существуют неотрицательные целые числа и такие, что

Последние три неравенства служат необходимым и достаточным условиям того, что удастся избежать использования пробирок одного вида при двух последовательных переливаниях. Из первых двух уравнений системы находим

Подставив эти выражения в последние три неравенства системы, получим

Отсюда наибольшее значение равно 73. Ему соответствующие значения удовлетворяют неравенствам системы. Таким образом, разрешимость в неотрицательных целых числах системы доказана.

Пусть км/ч — скорость туриста, км/ч — первоначальная скорость велосипедиста, ч — время, затраченное велосипедистом на путь от до Тогда

Для того чтобы квадратное уравнение имело решение, необходимо

Поскольку по условию и т.е. то Используя оценку получаем оценку и Наибольшее возможное целое значение скорости Найдем первоначальную скорость велосипедиста при из уравнения

Поскольку и то

Пусть Незнайка сделал прыжков по шага, — по . Тогда , то есть , а значит, всего шагов .

Из условия следует, что число учеников должно быть кратно и В силу взаимной простоты этих чисел количество учеников должно быть кратно Но раз оно не больше то учеников ровно Отсюда медали завоевали Соответственно без медалей остались человек, столько и надо купить тортов.

Если учеников было , то они дали каждый по -му ответу и всего получилось ответ. Так как всего ответов было дано , то . Пусть среди учеников было честных и лжецов. Тогда каждый из честных ребят дал ответ «правдивец» и ответов «лжец». А каждый из лжецов дал ответов «лжец» и ответов «правдивец». Тогда ответов «правдивец» всего было дано , что по условию равно . Отсюда получаем уравнение . Приведя подобные слагаемые, получим: . Это равенство раскладывается на множители , то есть может быть равен или . Подставляя полученные значения в количество полученных ответов «лжец» равное , видим что получится при обоих значениях . Если честных было двое, то они дали правдивых ответов. Если же их было , то тогда они дали правдивых ответов.