Клетчатые задачи → .05 Клетчатые разрезания, периметры и площади

Заметим, что если в какой-то ход Васи осталось больше одного кусочка, а оставшиеся поместить нельзя, то можно рассмотреть разрезание, где все эти кусочки объединяются в один, а другие выкладываются на ленту тем же образом. Понятно, что такой кусок-склейка также не будет помещаться.

Значит, можно без ограничения общности предположить, что у Васи должен остаться ровно один кусок, который нельзя поместить. Пусть его длина , а количество положенных кусочков равно . Тогда , при этом длина полосы , так как - количество клеточек занятых остальными кусочками, а - количество ’зазоров’, в которые теоретически мы могли поместить кусок длины , но он не поместился, так как размеры зазоров не превосходят .

Тогда Вася достигает своей цели при

То есть если , то Вася не сможет выполнить задуманное.

А при Васе достаточно разрезать полоску на кусков размера и кусок размера , при этом расположить кусков размера он должен на расстояний не более клеток друг от друга и от концов. (Чего он сможет достичь, так как )

Данную доску можно разрезать на два прямоугольника способами ( вертикальных разрезов и горизонтальных). Если при этом задеваются всякий раз костяшки домино, то при каждом разрезе мы должны разрезать хотя бы две костяшки. При этом различными разрезами разрезаем различные костяшки, то есть число разрезаемых костяшек будет а всего костяшек — Противоречие. Значит, хотя бы один разрез не задевает ни одной костяшки домино.

Предположим, что шахматную доску можно разрезать на уголки, состоящие из трёх клеток. Тогда общее количество клеток равно . Пусть — количество уголков, тогда . Но

Остаток при делении на не равен 0, поэтому мы не можем полностью покрыть доску клетками.

Следовательно, шахматную доску нельзя разрезать на уголки из трёх клеток.

Найдем площадь прямоугольника:

Обе стороны прямоугольника должны быть не меньше 9, так как присутствует квадрат со стороной 9. Тогда единственный вариант разложения числа 464 на 2 множителя: Периметр прямоугольника в это случае будет равен 90.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

По условию сказано, что прямоугольник разбит на квадраты. Это значит, что какое-то разбиение существует. Мы сейчас на самом деле доказали, что если разбиение и существует, то только когда этот прямоугольник со сторонами 16 и 29. Так как из условия следует, что разбиение существует, то нам приводить пример этого разбиения необязательно. Вот если бы мы нашли два возможных варианта ответа, нам пришлось дополнительно приводить к каждому из них пример. Тем не менее, пример действительно есть, и дотошный читатель может его без проблем нарисовать.

Заметим, что так как фигурки у Нюши равны, то равны и их площади. При этом в сумме площади трех фигурок дают площадь исходного квадрата, значит, площадь каждой фигурки Нюши составляет треть площади исходного квадрата. По тем же рассуждениям площадь каждой фигурки Кроша составляет четверть площади исходного квадрата. Но треть площади не может быть равна четверти той же самой площади, значит, площади фигурок Нюши и Кроша не могут оказаться равны.

Заметим, что суммарная площадь трех фигурок должна быть равна площади исходного квадрата. А так как разрезание должно быть проведено по клеточкам, то фигуры получатся с целой площадью. Поэтому, если площади фигурок будут равны, то их суммарная площадь будет делиться на . Но не делится на , значит, такого разрезания не существует.

Пусть у Нюши прямоугольник имеет размеры , а у Бараша — . Сравниваем периметры:

А если сравнить площади, то

то есть два таких прямоугольника подходят под условие.

Комментарий. Разумеется, для полного решения этой задачи достаточно привести любой пример, коих множество. Не смущайтесь, что у Бараша в данном примере квадрат — квадрат тоже является прямоугольником.

Разобьем доску на вертикальные полоски: левая и правая полоски будут иметь размеры , остальные — . Каждая из полосок легко бьется на прямоугольники , откуда и получается искомое разрезание.

Рассмотрим центральный квадратик неиспорченной доски. Из него Нюша вырезала одну клетку, а значит от этого квадратика остался уголок из трех клеток. Вырежем его.

Далее, разобьем оставшуюся доску на две полоски (одна слева, другая справа) и оставшиеся прямоугольники . Заметим, что полоски в свою очередь бьются на прямоугольники , а после этого все прямоугольники разбиваются на два уголка из трех клеток.

Отрежем сначала от квадратика прямоугольник , а сам прямоугольник разрежем на два прямоугольничка: и .

Оставшуюся часть квадратика разрежем на три полоски . Одну из полосок разрежем на квадратик и полоску , другую полоску — на две полоски и , а третью полоску разрезать не будем. В итоге у нас получилось 7 различных прямоугольников.

Возможный пример разрезания указан на рисунке.

Как до него догадаться? Предварительно можно посчитать, что от квадратика остается клеток, и раз надо разрезать на фигур, то каждая фигурка состоит из клеток. А так как фигурки не должны являться прямоугольниками, то остается только уголок из трех клеток, и как раз на эти уголки мы и режем.

Сначала подумаем, что же будет полным решением этой задачи? Надо, во-первых, разбить два квадрата на две части. Кроме этого, надо также показать, как из 4 частей сложить квадрат . Это мы в итоге и сделаем, но сначала пару слов о том, как придумать такой пример.

Расположим имеющиеся квадраты и , не разрезая их, так, чтобы они вписались в квадрат , естественно, накладываясь друг на друга:

Теперь уже видно, как можно получить искомое разрезание: надо накладывающуюся друг на друга часть переложить на два пустых участка. Для этого отрежем по прямоугольнику от каждого из квадратов так, чтобы в итоге оставшиеся части квадратов не пересекались, например, так:

В итоге квадрат мы сможем сложить так:

Заметим, что суммарная площадь трех фигурок должна быть равна площади исходного квадрата. А так как разрезание должно быть проведено по клеточкам, то фигуры получатся с целой площадью. Поэтому, если площади фигурок будут равны, то их суммарная площадь будет делиться на . Но не делится на , значит, такого разрезания не существует.

Пример такого разрезания указан на рисунке.

Комментарий. Можно заметить, что каждую фигурку без изменения периметра можно дополнить до прямоугольника . То есть периметр каждой фигурки равен периметру прямоугольника , поэтому совершенно не удивительно, что эти периметры равны. Из этих соображений можно достаточно часто строить примеры необычных фигурок фиксированного периметра.

Пусть у Нюши прямоугольник имеет размеры , а у Кроша — . Сравниваем периметры:

А если сравнить площади, то

то есть два таких прямоугольника подходят под условие.

Комментарий. Разумеется, для полного решения этой задачи достаточно привести любой пример, коих множество. Не смущайтесь, что у Кроша в данном примере квадрат — квадрат тоже является прямоугольником.

Сумма длин сторон маленького и большого квадрата равна . Длина стороны маленького квадрата — . Длина стороны большого квадрата составляет . Значит, площадь маленького квадрата — , а большого квадрата — . Площадь всей фигуры — .

Предположим, что Барон прав.

Рассмотрим произвольный прямоугольник со сторонами и . Тогда . Поскольку не больше 1 , то и , откуда Тогда площадь этого прямоугольника

Откуда мы сможем разместить внутри единичного квадрата не более 16 прямоугольников.

Противоречие.

Периметр изначального квадрата равен см. Отрезав 2 прямоугольника, Аня увеличила периметр фигуры на 4 бОльшие стороны прямоугольника, а именно на см. БОльшая сторона прямоугольника равна см.

Ваня, отрезав два прямоугольника, увеличил периметр фигуры на две бОльших стороны прямоугольника и две меньших, а именно на см, из которых 12 см — это две бОльшие стороны, а оставшиеся 6 см — две меньшие. Значит, меньшая сторона прямоугольника равна 3 см. Таня, отрезав два прямоугольника, увеличила периметр фигуры на 4 меньшие стороны прямоугольника, то есть на см. Периметр получившейся фигуры равен см.

Подсчитаем, сколько раз в сумме всех периметров повторяется сторона исходного квадрата. Стороны прямоугольника считаютея по одному разу (итого 12), перемычки — по два раза ( ). Итого см — сторона квадрата.

Заметим, что внутри фигуры есть горизонтальный ряд из 9 клеток. Поэтому площадь итогового квадрата не может быть меньше В фигуре 32 клетки, то есть требуется добавить минимум клеток.

С другой стороны, легко видеть, что внутрь квадрата фигура помещается целиком.