Логика → .09 Рыцари и лжецы

Пусть среди фанатов «Суперорлов» и среди фанатов «Суперльвов» по лжецов. Тогда всего лжецов ровно , т е. фраза «справа от меня фанат «Суперорлов»» четное число раз была ложью.

Таким образом, четное число раз правым соседом был фанат «Суперльвов». Но такое невозможно, поскольку всего их нечетное число.

Заметим, что никакие два рыцаря не могут сидеть рядом, то есть соседи каждого рыцаря - лжецы. Действительно, рассмотрим цепочку сидящих подряд рыцарей, окруженных лжецами. Предположим, что в этой цепочке хотя бы два рыцаря. Соседи крайнего рыцаря - рыцарь и лжец, но это невозможно, поскольку тогда рыцарь солгал. Следовательно, никакие два рыцаря не сидят рядом и соседи каждого рыцаря лжецы.

Назовем тех лжецов, которые не ошиблись, настоящими лжецами. По условию соседи каждого настоящего лжеца из разных племен. Поэтому соседи настоящих лжецов обязательно рыцарь и лжец. Значит, цепочка ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ повторяется до тех пор, пока не натыкается на ненастоящего лжеца. Если до него сидит рыцарь, то после него также рыцарь. Если до него сидит лжец, то и после него сидит лжец. Следовательно, рассадка с ненастоящими лжецами может быть получена из рассадки «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» с помощью либо посадки ненастоящего лжеца между двумя лжецами, либо выходу из-за стола настоящего лжеца (и тогда его соседлжец превратится в ненастоящего). Первое действие увеличивает остаток от деления общего количества сидящих за столом на 1 , второе - уменьшает на 1. Поскольку в рассадке «ЛРЛЛРЛ...ЛРЛ» количество островитян делится на 3, а 2017 дает остаток 1 при делении на 3, нам надо остаток 0 дважды уменьшить на 1. Таким образом, надо из рассадки 2019 островитян убрать двоих лжецов. Стало быть, количество лжецов равно

Заметим, что рыцари и лжецы чередовались. Действительно, человек может назвать лжецом другого тогда и только тогда, когда они разного типа. Из этого следует, что оба варианта, когда они чередуются, подходят.

Предположим, что рыцарей больше, чем лжецов. Тогда их не меньше Это значит, что первый вышедший солгал. Тем более солгали вышедшие позже. Но тогда лжецов не меньше Противоречие. Аналогично приводится к противоречию предположение о том, что лжецов среди делегатов больше, чем рыцарей.

Рассмотрим рассадку школьников во второй день. Рядом с каждым рыцарем сидят два лжеца. Более того, ни с одним из этих лжецов никакие другие рыцари рядом не сидят, иначе он скажет правду. Отсюда следует, что на каждого рыцаря приходится не менее двух лжецов, поэтому рыцарей не более человек.

В первый же день никакие три лжеца не могут сидеть подряд, значит, рыцарей не менее трети, то есть больше, чем человек. Значит, во второй день количество рыцарей уменьшилось, поэтому заболевший школьник из города Р.

Пример. Поставим лжецов вдоль главной диагонали. Ни один из них не видит ни одного лжеца, поэтому они все лгут. Для каждого рыцаря можно выбрать направление, вдоль которого он видит хотя бы четырех человек, среди которых есть лжец.

Оценка. Пусть лжецов Тогда есть такая клетка, в строке и в столбце с которой нет лжецов. Очевидно, что в этой клетке рыцарь стоять не может.

Построим граф, где каждая вершина обозначает рыцаря, а ребро — дружбу соответствующих рыцарей. Из условия следует, что в построенном графе все вершины имеют разные степени. Но такое бывает, когда в графе только одна вершина. Стоит отметить, что все люди лжецами быть не могут, так как человек, сказавший “ноль”, скажет правду.

Последний точно лжец, так как у него нет десяти соседей. Если девятый — рыцарь, то первый и второй — лжецы, но тогда первый сказал правду. Поэтому девятый — лжец. Аналогично доказывается, что восьмой, седьмой и шестой — лжецы. Тогда пятый сказал правду, и он — рыцарь. Значит, четвёртый и третий солгали, второй сказал правду, а первый солгал. Итак, второй и пятый — рыцари, а остальные — лжецы.

Сначала выясним, могут ли среди них быть рыцари. Если А — рыцарь, то В — рыцарь, и тогда А — лжец. Противоречие. Если Б — рыцарь, тогда A и B — лжецы, и B говорит про A правду. Если B — рыцарь, то А — лжец, но он говорит про В правду. Следовательно, рыцарей нет и у каждого есть хотя бы одно ложное утверждение.

Пусть первое утверждение А истинно, тогда второе автоматически ложно и тут нет противоречия. Тогда Б — середняк, и его первое утверждение про A — ложь. Значит верно его второе утверждение, и В лжец. В этом случае всё сходится.

Пусть второе утверждение А истинно, тогда B — рыцарь, но этого быть не может.

Остался случай, когда А — лжец. Тогда Б — тоже лжец (рыцарей нет). Но тогда В два раза говорит правду, следовательно он — рыцарь, чего быть не может.

Заметим, что соседи Артура точно являются лжецами. Также, те, кто стоит через одного человека от Артура также заведомо являются лжецами. Это значит, что человек, который находится от Артура на расстоянии два (в любую из сторон) — рыцарь, так между ним и Артуром точно стоят два лжеца. Заметим, что тогда и следующий после рыцаря человек тоже обязан быть рыцарем и так далее. Получается, что все люди, которые стоят на расстоянии не менее чем в два человека от Артура — рыцари. Получается, что всего лжецов может быть не более четырёх человек. Все эти варианты возможны: если Артур стоит последним в шеренге, то лжецов будет двое, если же препоследним, то трое, а иначе лжецов будет четыре.

На последний вопрос и честный, и нечестный гном ответит «да», а значит, всего гномов . На первые три вопроса честный гном один раз ответит «да», а нечестный гном ответит «да» два раза. Всего ответов «да» на первые три вопроса было дано . Если бы все гномы ответили «да» один раз, то было бы ответов, но так как нечестные гномы сказали «да» два раза, то мы получили на ответов больше. Это означает, что нечестных гномов было , а честных .

Заметим, что все 10 не могли сказать такую фразу. Так как за столом есть и рыцарь, и лжец, то найдутся лжец и рыцарь, сидящие рядом. Но тогда у этого рыцаря не оба соседа рыцари. Если же за столом сидит 9 лжецов и 1 рыцарь, то каждый из этих 9 лжецов мог сказать фразу «Оба моих соседа — рыцари», так как у каждого лжеца среди соседей есть лжец.

44 сказали, что пьют чай. Это могут быть только эльфы, потому что гномы, пьющие чай, сказали бы, что пьют кофе, а гномы, пьющие кофе, сказали бы правду. Значит, только эльфы пьют чай, а все гномы пьют кофе. гномов всего. 33 сказали, что они гномы. Это могли быть эльфы, пьющие кофе или гномы, пьющие кофе. И те, и другие, из признавших себя гномами, пьют кофе. Значит, остальные существа пьют чай. пьют чай.

a)

1) Возьмём старшего по возрасту лжеца. Он говорит, что не найдётся и 20-ти человек, которые его старше, но он лжёт. Следовательно, найдётся, по крайней мере, 20 человек старше его, и, поскольку он самый старший из лжецов, все эти 20 человек рыцари. Следовательно, рыцарей не менее 20 -ти человек.

2) А теперь рассмотрим самого молодого рыцаря. Он говорит, что не найдётся и 20 -ти человек, которые его старше, и он говорит правду. Следовательно, старше него может быть максимум 19 человек. Плюс он сам - рыцарь. Следовательно, рыцарей не может быть более 20 -ти человек.

Из пунктов 1) и 2) следует, что рыцарей ровно 20 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б)

3) Среди рыцарей возьмём того, который решил больше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он. Так как он - рыцарь, то это правда. Причём все 15 человек - лжецы. Следовательно, лжецов не менее 15 -ти человек.

4) Среди лжецов возьмём того, который решил меньше всего задач. Он сказал, что, по крайней мере, 15 человек решили задач больше, чем он, но он лжёт, следовательно, больше него задач решили не более 14 -ти человек. Плюс он сам - лжец. Следовательно, лжецов не может быть больше 15-ти человек.

Из пунктов 3) и 4) следует, что лжецов ровно 15 человек.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вывод: на кружок ходили 20 рыцарей и 15 лжецов, всего 35 человек.

Каждый лжец дружит хотя бы с одним рыцарем. Но так как каждый рыцарь дружит ровно с одним лжецом, у двух лжецов не может быть общего друга-рыцаря. Тогда каждому лжецу можно поставить в соответствие его друга рыцаря, откуда получается, что рыцарей, по крайней мере, столько же, сколько и лжецов. Так как всего жителей на острове нечётное число, то равенство невозможно. Значит, рыцарей больше.

Если бы первый островитянин был рыцарем, то своим ответом он бы солгал, чего не может быть. Следовательно, первый — лжец и всего рыцарей на острове не больше Значит, двадцатый островитянин своим ответом сказал правду, поэтому он рыцарь, в частности, на острове не меньше одного рыцаря. Тогда, если бы второй островитянин оказался рыцарем, их вместе с двадцатым было бы уже два, и он бы солгал, значит, второй — лжец и всего рыцарей не больше Поэтому девятнадцатый сказал правду и он — рыцарь. Продвигаясь так дальше, несложно убедиться, что все островитяне с первого по десятого — лжецы, а все с -ого по -ого — рыцари.

Пусть в деревне жителей, из которых один ответил: “Один. На ”, двое ответили: “Двое. На ”, а трое: “Трое. На ”. Тогда в деревне может быть один рыцарь (тогда это первый), два (двое вторых) или три (трое третьих).

Разберём два возможных случая:

• Если A сказал правду, что В — рыцарь, то слова В о том, что А — не рыцарь, должны быть верны. В этом случае А сказал правду и А — не рыцарь, так что условие задачи выполняется.
• Если А солгал, что В — рыцарь, то и А не может быть рыцарем (потому что рыцарь не мог солгать). Так что В сказал правду. При этом В не является рыцарем, потому что А солгал. Под условие задачи подходит человек В.

Итак, в обоих случаях получаем требуемое.

Рассмотрим два возможных случая:

• А сказал правду, то есть В выше С.

  Если В сказал правду, то оба они выше А. Тогда А — лжец. Противоречие с тем, что мы рассматриваем случай, когда А сказал правду.

  Если же В солгал, то он обычный человек среднего ранга (не ниже всех), отсюда С — лжец и А — рыцарь. Тогда С скажет, что В выше А, то есть соврёт.

• А солгал, то есть на самом деле С выше В.

  Если В сказал правду, то он обычный человек среднего ранга, а С — рыцарь. То есть А — лжец, что соответствует словам В. Отсюда С скажет, что В выше А.

  Если же В солгал, то А выше С, а также С выше В. Отсюда А — рыцарь. Противоречие с тем, что мы рассматриваем случай, когда А солгал.

Итак, С скажет, что В выше А.

Переформулируем условие: говорить правду, но не являться рыцарем, а также врать, но не являться лжецом, может только обычный человек. Получается, надо доказать, что среди жителей есть хотя бы один обычный человек. От противного: пусть на острове нет обычных людей. Переберем возможные случаи:

В первом А — лжец. Тогда А соврал о том, что В — рыцарь и В на самом деле лжец. Но тогда В сказал правду !?

Во втором А — рыцарь. Тогда А сказал правду и В действительно рыцарь. Но В сказал, что А — лжец !?

Итого, А может быть только обычным человеком. Следовательно, получили противоречие с предположением.