Тема 18. Задачи с параметром

18.14 Функции. Метод главного модуля/слагаемого

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31570

Найдите $a$ , при которых уравнение

2 ∘ -2-------- a + 11|x+ 2|+3 x +4x+ 13= 5a+2|x− 2a +2|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

∘-----2--- 2 3 (x+ 2) +9= −11|x +2|+ 2|x− 2a+2|+ 5a − a

Рассмотрим две функции $∘ -----2--- f(x)=3 (x +2) + 9$ и $2 g(x)= −11|x+ 2|+ 2|x − 2a+ 2|+ 5a− a$ и исследуем их.

$y =f(x)$ является композицией двух функций: $√---- f1(t)= 3 t+ 9$ и $2 f2(x)= (x +2)$ . Так как $f1$ возрастает $∀t∈ ℝ$ , $f2$ убывает при $x< −2$ и возрастает при $x> −2$ , то при $x< −2$ $y =f(x)$ убывает, а при $x > −2$ возрастает.
$y =g(x)$ при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию, причем характер ее монотонности зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, если он раскроется отрицательно, то $g1(x)= 11x± 2x+h1(a)$ , то есть коэффициент перед $x$ будет положительный, следовательно, функция возрастает. При положительном раскрытии модуля получим $g2(x)= −11x± 2x+ h2(a)$ , то есть отрицательный коэффициент перед $x$ , следовательно, функция убывает. Подытожим: при $x <−2$ функция возрастает, при $x> −2$ убывает.

Нам требуется, чтобы графики функций $f(x)$ и $g(x)$ имели хотя бы одну точку пересечения, что схематично выглядит следующим образом:

$PIC$

Это задается условием:

2 2 g(− 2)≥f(−2) ⇒ 4|a|+ 5a− a ≥9 ⇔ 4|a|≥a − 5a+ 9 ⇔ ⌊ 2 ⌊ 2 [ √- √-] ⌈ 4a ≥a − 5a+ 9 ⇔ ⌈a − 9a+9 ≤0 ⇔ a∈ 9−-3-5;9+-3-5 4a ≤− a2+5a− 9 a2− a+ 9≤0 2 2

Ответ:

$a ∈[9−3√5;9+3√5] 2 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31571

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

5 3√----- 3x + 11x+4|x− a+3|+ 2|3x+ a− 5|+ 4x+ 5≤ 25

выполняется для всех $x ∈[−4;−1]$ .

Показать ответ и решение

Перепишем неравенство в виде:

5 3√----- 3x + 4x+ 5− 25≤ −11x− 4|x− a+ 3|− 2|3x+ a− 5|

Рассмотрим две функции $f(x)=3x5+ 3√4x-+5− 25$ и $g(x)= −11x− 4|x− a+ 3|− 2|3x+ a− 5|$ и исследуем их.

$y =f(x)$ является суммой двух возрастающих функций, следовательно, сама является возрастающей функцией.
$y =g(x)$ при любом варианте раскрытия двух модулей убывает, так как принимает вид $g(x)=kx +h(a)$ , где $k$ может принимать одно из значений ${−11+ 4+ 6;−11+ 4− 6;− 11 − 4− 6;−11− 4 +6}$ .

Тогда на одной координатной плоскости графики схематично выглядят так:

$PIC$

То есть графики функций (где одна возрастает, а другая убывает) имеют не более одной точки пересечения, а в нашем случае — ровно одну. Если обозначить ее за $x 0$ , то решением неравенства $f(x)≤ g(x)$ будут $x≤ x 0$ .

Чтобы отрезок $[−4;− 1]$ содержался во множестве решений неравенства, необходимо, чтобы $x0 ≥ −1$ , или, что то же самое,

g(−1)≥f(−1) ⇔ 11− 4|a− 2|− 2|a− 8|≥ −27 ⇔ 2|a− 2|+ |a− 8|− 19≤ 0 ⇔ ⌊ ⌊ | −2(a − 2)− (a− 8)− 19 ≤0, при a≤2 |a ≥− 73, при a ≤2 || 2(a− 2)− (a− 8)− 19≤ 0, при 2 <a <8 ⇔ ||a ≤15, при 2 <a <8 ⇔ − 7≤ a≤ 31 ⌈ 2(a− 2)+(a− 8)− 19≤ 0, при a ≥8 ⌈a ≤ 31, при a≥ 8 3 3 3

Ответ:

$a ∈[− 7;31] 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31573

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

4x− |3x− |x+a||=9|x− 1|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение в виде

f(x)= 0, где f(x)= 9|x − 1|− 4x +|3x − |x+ a||

Характер монотонности функции $y = f(x)$ зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, при $x < 1$ он раскроется отрицательно, и функция будет иметь вид $f1(x)=k1x+ h1(a)$ , где $k1$ принимает одно из значений ${−9− 4±2;−9− 4± 4}$ , то есть $k < 0 1$ , значит, функция убывает. При $x >1$ имеем $f(x)= kx +h (a) 2 2 2$ , где $k ∈ {9− 4 ±2;9− 4 ±4} 2$ , то есть $k > 0 2$ , следовательно, функция возрастает. Таким образом, чтобы уравнение $f(x)= 0$ имело хотя бы одно решение, то есть график ункции имел хотя бы одну точку пересечения с осью абсцисс, нужно, чтобы график выглядел схематично так:

$PIC$

То есть необходимо, чтобы

f(1)≤ 0 ⇔ −4+ |3− |a +1||≤ 0 ⇔ ||a +1|− 3|≤ 4 ⇔ − 4≤ |a +1|− 3 ≤4 ⇔ −1≤ |a +1|≤ 7 ⇔ |a+1|≤ 7 ⇔ − 7≤ a+ 1≤ 7 ⇔ −8 ≤a ≤6

Ответ:

$a ∈[−8;6]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31575

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 ∘ -2------- a + 7|x+ 1|+5 x +2x+ 5= 2a+ 3|x− 4a+1|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

∘ -----2--- 2 5 (x +1) + 4= −7|x+ 1|+3|x − 4a+ 1|+2a− a

Рассмотрим две функции $∘ -----2--- f(x)=5 (x +1) + 4$ и $2 g(x)= −7|x+ 1|+3|x − 4a+ 1|+2a− a$ и исследуем их.

$y =f(x)$ является композицией двух функций: $√---- f1(t)= 5 t+ 4$ и $2 f2(x)= (x +1)$ . Так как $f1$ возрастает $∀t∈ ℝ$ , $f2$ убывает при $x< −1$ и возрастает при $x> −1$ , то при $x< −1$ $y =f(x)$ убывает, а при $x > −1$ возрастает.
$y =g(x)$ при любом варианте раскрытия двух модулей представляет из себя линейную функцию, причем характер ее монотонности зависит от того, как раскроется первый модуль. Действительно, если он раскроется отрицательно, то $g1(x)= 7x± 3x+ h1(a)$ , то есть коэффициент перед $x$ будет положительный, следовательно, функция возрастает. При положительном раскрытии модуля получим $g2(x)=− 7x±3x+ h2(a)$ , то есть отрицательный коэффициент перед $x$ , следовательно, функция убывает. Подытожим: при $x <−1$ функция возрастает, при $x> −1$ убывает.

$PIC$

Это задается условием:

2 2 g(− 1)≥f(−1) ⇒ 12|a|+ 2a − a ≥ 10 ⇔ 12|a|≥ a − 2a +10 ⇔ ⌊ 2 ⌊ 2 ⌊ √ -- √ -- ⌈ 12a ≥a − 2a+10 ⇔ ⌈ a − 14a+ 10≤0 ⇔ ⌈ 7− 3√9≤a ≤7 + 39√-- 12a ≤−a2+ 2a− 10 a2+10a+ 10≤0 −5− 15≤ a≤ −5+ 15

Ответ:

$a ∈[7− √39;7+ √39]∪[− 5− √15;−5 +√15]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#390

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x4 + 12|x − 2| + 9 = 7x3 + x2 + 7|x − 11a| 3

имеет более одного корня.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в другом виде:

4 7- 3 2 x − 3 x − x + 9 = 7|x − 11a | − 12 |x − 2|

Пусть $f(x ) = x4 − 7x3 − x2 + 9, g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2| 3$

Изобразим графики обеих функций:

1) $f(x) = x4 − 7-x3 − x2 + 9 = ⇒ f ′(x) = 4x3 − 7x2 − 2x 3$

⌊ x = − 1- ′ || 4 f (x) = 0 ⇒ ⌈x = 0 x = 2

$1 x = − -- 4$ и $x = 2$ – точки минимума, $x = 0$ – точка максимума.

Причем $( ) 1- 6895- 7- f − 4 = 768 > f(2) = 3$

2) $g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|$

Рассмотрим два случая:
2.1) $x ≥ 2$ . Тогда $|x − 2| = x − 2$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|x − 11a|$ , $g(x)$ – линейная функция, коэффициент перед $x$ у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен $− 19$ или $− 5$ ). Т.е. $g(x)$ всегда убывает при $x ≥ 2$ .

2.2) $x < 2$ . Тогда $|x − 2| = − (x − 2)$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|x − 11a|$ , $g(x)$ – линейная функция, коэффициент перед $x$ у которой будет положительным (в точности, он будет равен $19$ или $5$ ). Т.е. $g(x)$ всегда возрастает при $x < 2$ .

Таким образом, $x = 2$ – точка максимума (единственная) у функции $g (x)$ , причем $g(2) = 7|2 − 11a|$

$PIC$

Уравнение будет иметь более одного корня, если $g(2) > f(2)$ .

Решая данное неравенство, получим $( ) ( ) 5-- -7- a ∈ − ∞; 33 ∪ 33 ;+ ∞$ .

Ответ:

$( ) ( ) a ∈ − ∞; -5- ∪ 7-;+ ∞ 33 33$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#905

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

√ ------------- 3 x2 + 4x + 12 = 5a − a2 + 2|x − 2a + 2| − 11|x + 2 |

имеет решения.

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $x + 2 = t$ . Для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо и достаточно, чтобы полученное уравнение

------ 3√ t2 + 8 = 5a − a2 + 2|t − 2a | − 11|t|

имело хотя бы одно решение.

1 способ.

1) $a < 0$ . Модули раскрываются следующим образом:

( |{ 9a − a2 + 9t, если t < 2a √ -2---- 2 3 t + 8 = |( a − a + 13t, если 2a ≤ t ≤ 0 (∗) a − a2 − 9t, если t > 0

Изобразим схематично график системы $(∗)$ , причем заметим, что при $a < 0$ :

2 2 g(2a) = 27a − a < 0, g(0) = a − a < 0.

$PIC$

Из графика видно, что уравнение ни при каких $a < 0$ не имеет решений.

2) $a = 0$ . Тогда уравнение примет вид

√ ------ 3 t2 + 8 = − 9|t|

Левая часть этого уравнения всегда положительна, а правая – всегда неположительна. Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

3) $a > 0$ . Тогда модули раскрываются следующим образом:

(| 2 √ ------ { 9a − a + 9t, если t < 0 3 t2 + 8 = 9a − a2 − 13t, если 0 ≤ t ≤ 2a (∗∗) |( a − a2 − 9t, если t > 2a

Изобразим схематично график системы $(∗∗ )$ , причем заметим, что при $a > 0$ :

g(0) = 9a − a2, g(2a ) = − a2 − 17a < 0.

$PIC$

Уравнение будет иметь хотя бы один корень, когда вершины графика функции $g(t)$ будет не ниже вершины графика функции $f(t)$ :

9a − a2 ≥ 8 ⇔ a ∈ [1;8].

Данные значения для $a$ подходят под условие $a > 0$ .

2 способ.

3√t2-+-8-= 5a − a2 + 2|t − 2a | − 11|t|

Рассмотрим два случая:

1) $t ≥ 0$ . Тогда $|t| = t$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|t − 2a|$ , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед $t$ у которой будет отрицательным (в точности, он будет равен или $− 13$ , или $− 9$ ). То есть функция справа будет всегда убывать.

Таким образом, точка максимума у функции справа – это $t = 0$ , и в этой точке значение функции равно $5a − a2 + 2| − 2a | = 5a − a2 + 4|a|$ .

Рассмотрим функцию слева: она всегда положительна, имеет единственный минимум в точке $t = 0$ , и в этой точке значение функции равно $8$ (до точки $t = 0$ она убывает, после – возрастает).

Следовательно, уравнение будет иметь решения в том случае, если

5a − a2 + 4|a| ≥ 8

Решая данное неравенство, получаем тот же ответ $a ∈ [1;8 ].$

Ответ:

$[1;8]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1085

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

a2 + 13|x| + 2x2+2 = 20a + 2|5x + 12a|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

13|x| − 2|5x + 12a| = 20a − a2 − 2x2+2

и рассмотрим две функции: $2 g(x) = 20a − a2 − 2x +2$ и $f(x ) = 13|x | − 2|5x + 12a|$ .
Функция $g(x )$ имеет точку максимума $x = 0$ (причем $gверш = g(0) = − a2 + 20a − 4$ ):
$g′(x) = − 2x2+2 ⋅ ln 2 ⋅ 2x$ . Ноль производной: $x = 0$ . При $x < 0$ имеем: $g′ > 0$ , при $x > 0$ : $′ g < 0$ .
Функция $f (x )$ при $x > 0$ является возрастающей, а при $x < 0$ – убывающей, следовательно, $x = 0$ – точка минимума.
Действительно, при $x > 0$ первый модуль раскроется положительно ( $|x| = x$ ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, $f(x)$ будет равно $kx + A$ , где $A$ – выражение от $a$ , а $k$ равно либо $13 − 10 = 3$ , либо $13 + 10 = 23$ . При $x < 0$ наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и $f(x) = kx + A$ , где $k$ равно либо $− 3$ , либо $− 23$ .
Найдем значение $f$ в точке минимума:

fверш = f(0) = − 24|a|

$PIC$

Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций $f$ и $g$ имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно:

⌊ { a ≥ 0 || a2 − 44a + 4 ≤ 0 f(0) ≤ g(0) ⇒ a2 − 20a + 4 ≤ 24|a | ⇔ | { |⌈ a < 0 2 a + 4a + 4 ≤ 0

Решая данную совокупность систем, получим ответ:

a ∈ {− 2} ∪ [22 − 4√30;-22 + 4√30-]

Ответ:

$√ --- √ --- a ∈ {− 2} ∪ [22 − 4 30;22 + 4 30]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1228

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

|x − a2 − 3a | + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a| = 5a

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции: $f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a |$ и $g(x) = 5a$ .
Заметим, что $f(x) ≥ 0$ при всех $x$ и $a$ (как сумма модулей). Следовательно, для того, чтобы графики функции имели точки пересечения, нужно, чтобы $5a ≥ 0$ , то есть $a ≥ 0$ .

Заметим, что если третий модуль раскроется с плюсом, то, вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет стоять либо возрастающая функция ( $f(x) = kx + y(a)$ , $k > 0$ , причем $k$ будет равно либо 4, либо 2), либо константа (когда $k = 0$ ).
Если третий модуль раскроется с минусом, то, также вне зависимости от того, как раскроются первые два модуля, слева будет убывающая функция ( $f (x ) = kx + y(a)$ , $k < 0$ , причем $k$ будет равно либо $− 4$ , либо $− 2$ ) или константа (когда $k = 0$ ).
При $x ≤ (a2 + a) : 2$ третий модуль раскроется с минусом, при $x > (a2 + a) : 2$ – с плюсом.
Заметим, что так как $a ≥ 0$ , то $(a2 + a ) : 2 ≥ 0$ .
Значит, функция $f(x) = |x − a2 − 3a| + |x − a2 + 2a| + |2x − a2 − a|$ будет либо константой (ее график будет параллелен оси абсцисс), либо ее график будет иметь один из трех видов:
$PIC$

Графиком функции $g(x) = 5a$ при каждом фиксированном $a$ будет прямая, параллельная оси абсцисс. Следовательно, для того, чтобы графики $f$ и $g$ имели хотя бы одну точку пересечения, нужно, чтобы график $g$ находился не ниже вершины $( 2 ( 2 )) a-+2a;f a+2a-$ графика $f$ :
$PIC$

( 2 ) 5a ≥ f a--+-a- ⇒ 10a ≥ |a2 + 5a | + |a2 − 5a| 2

Так как $a ≥ 0$ , то $2 a + 5a ≥ 0$ , следовательно, неравенство равносильно:

⌊ { 0 ≤ a ≤ 5 || a2 + 5a − a2 + 5a ≤ 10a || { ⇔ 0 ≤ a ≤ 5 | a > 5 ⌈ a2 + 5a + a2 − 5a ≤ 10a

Ответ:

$[0;5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2373

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых уравнение

√ --------- a2 − 7a + 7 2x2 + 49 = 3|x − 7a | − 6|x|

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

√ --------- 7 2x2 + 49 = 3|x − 7a | − 6|x| − a2 + 7a

и рассмотрим две функции: $√ --------- g(x) = 7 2x2 + 49$ и $f (x) = 3|x − 7a| − 6|x| − a2 + 7a$ .
Функция $g(x )$ является четной, имеет точку минимума $x = 0$ (причем $g(0) = 49$ ).
Функция $f (x )$ при $x > 0$ является убывающей, а при $x < 0$ – возрастающей, следовательно, $x = 0$ – точка максимума.
Действительно, при $x > 0$ второй модуль раскроется положительно ( $|x| = x$ ), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, $f (x)$ будет равно $kx + A$ , где $A$ – выражение от $a$ , а $k$ равно либо $− 9$ , либо $− 3$ . При $x < 0$ наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и $f (x ) = kx + A$ , где $k$ равно либо $3$ , либо $9$ .
Найдем значение $f$ в точке максимума:

2 f (0 ) = − a + 7a + 21|a|

⌊{ a > 0 || a2 − 28a + 49 ≤ 0 ||{ 2 | a < 0 f(0) ≥ g(0) ⇒ − a + 7a + 21|a | ≥ 49 ⇔ || 2 || a + 14a + 49 ≤ 0 |{ ⌈ a = 0 0 ≥ 49

Решая данную совокупность систем, получим ответ:

√ -- √ -- a ∈ {− 7} ∪ [14 − 7 3;14 + 7 3 ]

Ответ:

$√ -- √ -- a ∈ {− 7} ∪ [14 − 7 3;14 + 7 3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2636

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

√ ------------- 2 x2 + 4x + 20 = 5a − a2 + 2|x − 2a + 2| − 11|x + 2 |

имеет решения.

Показать ответ и решение

------- 2√ t2 + 16 = 5a − a2 + 2|t − 2a| − 11|t|

имело хотя бы одно решение.

1 способ.

1) $a < 0$ . Модули раскрываются следующим образом:

( |{ 9a − a2 + 9t, если t < 2a √ 2------ 2 2 t + 16 = |( a − a + 13t, если 2a ≤ t ≤ 0 (∗ ) a − a2 − 9t, если t > 0

Изобразим схематично график системы $(∗)$ , причем заметим, что при $a < 0$ :

g(2a) = 27a − a2 < 0, g(0) = a − a2 < 0.

$PIC$

Из графика видно, что уравнение ни при каких $a < 0$ не имеет решений.

2) $a = 0$ . Тогда уравнение примет вид

√ ------- 2 t2 + 16 = − 9|t|

3) $a > 0$ . Тогда модули раскрываются следующим образом:

( 2 √------- |{ 9a − a + 9t, если t < 0 2 t2 + 16 = 9a − a2 − 13t, если 0 ≤ t ≤ 2a (∗ ∗) |( 2 a − a − 9t, если t > 2a

Изобразим схематично график системы $(∗∗)$ , причем заметим, что при $a > 0$ :

g(0) = 9a − a2, g(2a ) = − a2 − 17a < 0.

$PIC$

Уравнение будет иметь хотя бы один корень, когда вершина графика функции $g(t)$ будет не ниже вершины графика функции $f(t)$ :

9a − a2 ≥ 8 ⇔ a ∈ [1;8].

Данные значения для $a$ подходят под условие $a > 0$ .

2 способ.

√ ------- 2 t2 + 16 = 5a − a2 + 2|t − 2a| − 11|t|

Рассмотрим два случая:

2) $t < 0$ . Тогда $|t| = − t$ . В этом случае вне зависимости от того, как раскроется модуль $|t − 2a |$ , справа будет стоять линейная функция, коэффициент перед $t$ у которой будет положительным (в точности, он будет равен или $13$ , или $9$ ). То есть функция справа будет всегда возрастать.

Таким образом, точка максимума у функции справа – это $t = 0$ , и в этой точке значение функции равно $5a − a2 + 2| − 2a | = 5a − a2 + 4|a|$ .

Рассмотрим функцию слева: она всегда положительна, имеет единственный минимум в точке $t = 0$ , и в этой точке значение функции равно $8$ (до точки $t = 0$ она убывает, после – возрастает).

Следовательно, уравнение будет иметь решения в том случае, если

5a − a2 + 4|a| ≥ 8

Решая данное неравенство, получаем тот же ответ $a ∈ [1;8].$

Ответ:

$[1;8]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#10815

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x4+ 12|x− 2|+ 9= 7x3+ x2+ 7|x − 11a| 3

имеет более одного корня.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в другом виде:

4 7- 3 2 x − 3 x − x + 9 = 7|x − 11a | − 12 |x − 2|

Пусть $f(x ) = x4 − 7x3 − x2 + 9, g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2| 3$

Изобразим графики обеих функций:

1) $f(x) = x4 − 7-x3 − x2 + 9 = ⇒ f ′(x) = 4x3 − 7x2 − 2x 3$

⌊ x = − 1- ′ || 4 f (x) = 0 ⇒ ⌈x = 0 x = 2

$1 x = − -- 4$ и $x = 2$ – точки минимума, $x = 0$ – точка максимума.

Причем $( ) 1- 6895- 7- f − 4 = 768 > f(2) = 3$

2) $g(x) = 7|x − 11a| − 12 |x − 2|$

Таким образом, $x = 2$ – точка максимума (единственная) у функции $g (x)$ , причем $g(2) = 7|2 − 11a|$

$PIC$

Уравнение будет иметь более одного корня, если $g(2) > f(2)$ .

Решая данное неравенство, получим $( ) ( ) 5-- -7- a ∈ − ∞; 33 ∪ 33 ;+ ∞$ .

Ответ:

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#18304

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

2 2 − x + 2ax − a − 7= 6|x − a|− |3x +2a|

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

2 2 2 2 2 −x +2ax − a − 7 = −(x − 2ax +a )− 7= − (x − a) − 7

Пусть $2 f(x)= −(x − a) − 7.$ Тогда графиком функции $f(x)$ является парабола с вершиной в точке $(a;− 7)$ и ветвями, направленными вниз. Это означает, что в точке $x= a$ функция $f(x)$ принимает наибольшее из возможных значений, то есть $f(x)≤ f(a)= −7.$

$PIC$

Рассмотрим правую часть уравнения. Пусть $g(x)= 6|x − a|− |3x+ 2a|.$ Воспользуемся принципом главного модуля, так как только раскрытие первого модуля определяет, будет функция возрастать или убывать. Раскроем модули в функции $g(x),$ чтобы убедиться в этом:

Если $x ≤ a,$ то при раскрытии первого модуля коэффициент при $x$ будет равен $− 6.$ Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при $x$ будет отрицательным. Тогда на промежутке $(− ∞;a]$ функция $g(x)$ будет убывать.
Если $x ≥a,$ то при раскрытии первого модуля коэффициент при $x$ будет равен 6. Заметим, что, как бы ни был раскрыт второй модуль, итоговый коэффициент при $x$ будет положительным. Тогда на промежутке $[a;+∞ )$ функция $g(x)$ будет возрастать.

Следовательно, в точке $x= a$ функция $g(x)$ будет принимать наименьшее из возможных значений, то есть $g(x)≥ g(a) =− |5a|.$

Нас просят найти такие значения параметра $a,$ при которых исходное уравение будет иметь хотя бы одно решение. То есть графики функций $f(x)$ и $g(x)$ должны иметь хотя бы одну точку пересечения. Заметим, что в точке $x= a$ функция $f (x)$ принимает свое наибольшее значение, а функция $g(x)$ — наименьшее. Тогда если $f(a)< g(a),$ то графики функций $f(x)$ и $g(x)$ вовсе не будут пересекаться.

$PIC$

Следовательно, если у уравнения есть хотя бы один корень, то $f(a) ≥g(a),$ то есть

⌊ ({− 7≥ −5a || || ((a ≥0 f(a)≥ g(a) ⇔ − 7≥ −|5a| ⇔ || {− 7≥ 5a ⇔ ⌈ ( a ≤0

⌊( |{ 75 ≤ a ⌊ ||(0 ≤a 7≤ a ⇔ ||({ 7 ⇔ ⌈ 5 7 |⌈ − 5 ≥ a a ≤ −5 (a ≤ 0

Заметим, что условия $f(a)≥ g(a)$ достаточно для того, чтобы исходное уравнение имело хотя бы одно решение, так как $f(x)$ принимает любое значение от $− ∞$ до $− 7,$ поэтому $f(x)$ примет значение, меньшее $g(a)= −|5a|,$ а значит пересечет график $g(x).$

$PIC$

Следовательно, исходное уравнение имеет хотя бы одно решение при

( 7] [7 ) a∈ − ∞;− 5 ∪ 5;+∞

Ответ:

$( 7] [7 ) a ∈ −∞; −5 ∪ 5;+ ∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование либо в ходе рассмотрения функций, либо при решении неравенства	3

Обоснованный переход к неравенству, но его решение неверное	2

Введены и рассмотрены функции левой и правой части (аналитически или графически)	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Предыдущий раздел

Следующий раздел