Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .03 Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#85924Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y,z$ таковы, что $x2+y2+ z2 = 3.$ Докажите, что

-1--- -1--- -1--- 3 xy +z + yz +x + zx +y ≥ 2

Показать доказательство

Заметим, что по неравенству о средних

--1-- -----1----- -----2------ 1 xy+ z ≥ x2+y2+ z2+1-= x2+ y2 +z2+ 1 = 2 2 2

Оценив по такому принципу каждую из трех дробей, получаем требуемое неравенство.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#85991Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что $abcd= 1$ и $a+ b+c +d> a + b+ c+ d. b c d a$ Докажите, что

b c d a a +b+ c+ d< a + b + c + d

Показать доказательство

Докажем, что

( a b c d) (b c d a) 4(a +b+ c+ d)≤ 3 b + c + d + a + a + b + c + d

откуда будет следовать неравенство из условия. Заметим, что

∘ ---- ∘ --- ∘---- a + a + b+ a≥ 44 a3b-=4 4a3-= 44 a4-= 44√a4-=4a b b c d b2cd bcd abcd

Сложив 4 аналогичных неравенства со сдвинутыми по циклу переменными, получим требумое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#85992Максимум баллов за задание: 7

Для положительных $a,b,c$ докажите неравенство

√a2+-2− 1 √b2+2-− 1 √c2-+2− 1 3√2- ----b----+ ---c-----+----a---- ≥-2-

Показать доказательство

По неравенству между средним арифметическим и средним квадратическим имеем $√-2--- a+-√2 a-- a + 2≥ √2 = √2 +1.$ Аналогчино оценив все дроби, получим

√-2--- √-2--- √-2--- -a-+-2−-1+ -b-+-2−-1+ -c-+-2− 1-≥ √a-+ √b-+ √c-≥ √3- b c a 2b 2c 2a 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90781Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

------n------- √n-------- 1a-+ 1a-+ ⋅⋅⋅+ 1a-≤ a1a2...an 1 2 n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Чтобы понять, какой набор нужно взять, попробуйте преобразовать неравенство, записать в каком-нибудь другом виде. Возможно, тогда вы увидите неравенство между средним арифметическим и геометрическим.

Подсказка 2

Что можно сказать про набор 1/a_1, 1/a_2, ...., 1/a_n?

Показать доказательство

Давайте напишем неравенство между средним геометрическим и арифметическим для чисел $1,-1,..., 1-: a1 a2 an$

1 1-+ 1-+...+-1 n√a-a-...a--≤-a1---a2-n----an 1 2 n

Нетрудно видеть, что это неравенство сводится требуемому.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90782Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ выполняется

∘-2---2-------2 a1+-a2+-⋅⋅⋅+-an ≤ a1-+a2+-⋅⋅⋅+-an n n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит применить стандартные тождественные преобразования. Подумайте, какие.

Подсказка 2

Квадратный корень мешает преобразовывать неравенство. Возведите в квадрат и попробуйте привести подобные.

Подсказка 3

Не забывайте, задача на неравенства о средних. Подумайте, как можно применить неравенство AM-GM к неравенству, которое вы получили.

Показать доказательство

Если возвести неравенство в квадрат, поделить на $n$ и привести подобные, то мы получим неравенство

2 2 2(a1a2+ ...+ an−1an)≤ (n− 1)(a1+...+an)

где в левой части в скобке находятся все попарные произведения чисел $ai.$

Теперь заметим, что если сложить все неравенства вида $2a a ≤a2+ a2 i j i j$ при $1≤ i<j ≤ n,$ то мы получим последнее неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#90783Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a ,a ,...,a 1 2 n$ докажите неравенство

( 1- 1- 1-) 2 (a1 +a2+ ...+ an) a1 + a2 + ...+ an ≥n

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, переписать в другом виде. Возможно вы наткнëтесь на что-то знакомое.

Подсказка 2

Посмотрите на неравенство между средним арифметическим и гармоническим для a_1, a_2, ...., a_n. Оно похоже на исходное, не так ли?

Показать доказательство

Если поделить неравенство на $n ( 1-+ 1-+...+ 1-), a1 a2 an$ то оно сведётся к неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#90784Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c,d$ равна $1.$ Докажите, что

√----- √ ----- √----- √----- √ - 1+ 4a + 1+4b+ 1+ 4c+ 1+ 4d≤4 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам дана сумма чисел, а, значит, нужно оценить левую часть выражением, которое включает в себя только сумму переменных. Тогда мы сможем подставить вместо суммы еë значение.

Подсказка 2

Понятно, что в оценке от корней надо избавляться, только тогда вы получите сумму. То есть надо как-то их возвести в квадраты. Какое неравенство может помочь?

Показать доказательство

Применим неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим:

√ ----- √----- √----- √ ----- 1+4a+ 1 +4b+ 1+ 4c+ 1+4d ≤

∘ (√1+-4a)2+-(√1+-4b)2+-(√1-+4c)2+(√1+-4d)2- ≤4 ------------------4-------------------=

∘ --------------- =4 4+-4(a+-b+-c+d) =4√2 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#90785Максимум баллов за задание: 7

Для неотрицательных чисел $a$ и $b$ докажите неравенство $a6-+b9≥ 3a2b3− 16. 4$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать неравенство, тогда, возможно, заметите какое-то из неравенств о средних.

Подсказка 2

Обратите внимание, степени переменных в произведении в 3 раза меньше соответствующих степеней в отдельных переменных. Значит, неравенство AM-GM для трëх переменных будет очень кстати.

Показать доказательство

Домножим неравенство на $4$ и перепишем в виде

6 9 23 a +b + 64≥12a b

Осталось заметить, что это неравенство между средним арифметическим и геометрическим чисел $a6,b9,64.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#90786Максимум баллов за задание: 7

Найдите минимум выражения $a6-+b3+-c2- abc$ при положительных $a,b$ и $c.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Было бы очень здорово, если бы вы смогли как-то искусственно придумать оценку снизу для числителя выражением вида kabc, где k - некоторое число. Тогда минимум будет равен k.

Подсказка 2

Мы хотим из суммы получить произведение, значит это точно неравенство AM-GM. Но показатели степеней разные, поэтому надо подумать, как подогнать числитель под это неравенство.

Подсказка 3

Смотрите, НОК степеней равен 6. Поэтому если мы представим числитель в виде 6 слагаемых так, что суммарная степень всех ашек будет 6, бэшек 6 и цэшек 6, то мы сможем реализовать идею. Как это сделать? Например, так: b³= 2 • (b³/2).

Показать ответ и решение

Попробуем с помощью неравенства о средних превратить числитель в $kabc,$ где $k$ — некоторое число. Проведём следующие преобразования:

6 b3 c2 6∘ 6-b32-c23- a6+-b3+-c2= a-+-2⋅2-+-3⋅3-≥ 6--a(2-)(3-)-= 6√432- abc abc abc

Эта оценка реализуется при $a6 = b3= c2. 2 3$ Отсюда нетрудно придумать пример, надо лишь взять любое положительное $a$ и из равенств вычислить $b$ и $c.$

Ответ:

$√6432-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#91161Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c$ равна $3.$ Докажите неравенство

-1-- -1-- -1-- 3 a+ 1 + b+ 1 + c+ 1 ≥ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам известно, что сумма чисел a, b, c равна 3. К сожалению, на данный момент каждое из данных чисел фигурирует в знаменателе соответствующего слагаемого, что мешает воспользоваться условием на сумму. Как это можно исправить?

Подсказка 2

Мы хотим воспользоваться известным неравенством, где сумма дробей оценивается снизу некоторым выражением, в котором фигурирует сумма знаменателей каждого из слагаемых. Какое неравенство подходит под это описание?

Подсказка 3

Неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим! По нему известно, что число полученное в результате деления 3 на сумму данных в неравенстве дробей не превосходит (a + 1 + b + 1 + c + 1) / 3 = 6. Завершите доказательство, используя данное неравенство.

Показать доказательство

Запишем неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим чисел $a+ 1,b+ 1,c+ 1.$ Получим

------3------ a+-1+b+-1+-c+-1 a1+1 + b+11-+ 1c+1-≤ 3

Используя условие $a+ b+ c= 3$ получаем, что в правой части неравенства дробь с числителем $6.$ Из этого следует необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#91162Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство:

2 2 2 2 2 2 22 2 (a b+ bc+ ca)(ab + bc + ca)≥ 9ab c

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас есть суммы в скобках, а в результате мы хотим получить произведение. Какое неравенство помогает решить такую задачу?

Подсказка 2

Конечно, неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим! Давайте попробуем его применить отдельно к скобкам. Что получится?

Показать доказательство

По неравенству между среднем арифметическим и геометрическим для троек чисел $a2b,b2c,c2a$ и $ab2,bc2,ca2$ каждая из скобок больше либо равна $3abc,$ из чего следует необходимое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#91163Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $x,y$ и $z$ выполнено неравенство

x3+y3- y3-+z3- z3+-x3 x2+y2 + y2 +z2 + z2+ x2 ≥ x+ y+ z

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хочется сделать так, чтобы числитель и знаменатель сократились, но кубы и квадраты плохо сочетаются. А что можно сделать с кубами, чтобы в числителе появились квадраты?

Показать доказательство

Известно, что

3 3 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy+ y)

По неравенству о средних $x2+ y2 ≥ 2xy,$ значит

3 3 ( x2+y2) x +y ≥ (x+ y)⋅ 2

Таким образом первая дробь из условия больше либо равна $x+ y -2--.$ Сложив эту и две аналогичные оценки двух других дробей, получим необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91164Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ докажите неравенство

a b c 1(∘ b- ∘ c- ∘ a) a+-b + b+-c + c+a-≥ 3− 2 a + b + c

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала получим эту "тройку", поскольку она кажется немного лишней. Для этого просто выделим целые части в дробях слева! Остается доказать, что разность дробей, получившихся в результате выделения целых частей, больше, чем отрицательное слагаемое справа. Как это можно сделать?

Показать доказательство

Левую часть перепишем в виде

--b- --c- -a-- 1 −a +b +1− b+ c + 1− c+a

Тогда осталось доказать, что

(∘ -- ∘ -- ∘--) 1 b+ c+ a ≥ --b-+ --c-+ -a-- 2 a b c a+ b b+ c c+ a

Оценив знаменатели дробей в правой части по неравенству о средних, получаем искомое (ведь знаменатели при оценке не увеличиваются, соответственно сами дроби не уменьшаются). Так для первой дроби:

b b 1∘-b a-+b ≤2√ab-= 2 a

Аналогично с остальными.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#91165Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $a,b,c$ и $d$ докажите неравенство

( a b) ( b c) (c d) (d a) (a+c)(b+-d) b + a + c + b + d + c + a + d ≥ 2 √abcd-

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда у нас появятся дроби с одинаковыми числителями! Можно ли оценить выражение, если сложить и такие дроби?

Показать доказательство

Перегруппируем слагаемые в левой части и сложим те, что с одинаковыми знаменателями, теперь доказать требуется:

a-+c a-+c b+-d b+-d (a+-c)(b-+d) b + d + a + c ≥ 2 √abcd-

Итак, левая часть переписывается как

(a +c)(1 + 1)+(b+ d)(1+ 1)= (a+-c)(b+d) + (a+-c)(b+d) b d a c bd ac

Применив неравенство о средних для двух получившихся дробей получаем необходимое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#91166Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ таковы, что $a+ b+ c= 3.$ Докажите неравенство

--a3--- --b3--- --c3--- b(2c+ a) + c(2a+ b) + a(2b+ c) ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Прибавим к обеим частям неравенства 2. Тогда достаточно доказать, что левая часть не меньше a + b + c = 3. Чтобы доказать это, надо как-то переписать новое слагаемое 2. Для этого зададимся целью сократить знаменатели наших дробей неравенством о средних. Как можно тогда переписать нашу двоечку?

Подсказка 2

Теперь мы хотим, чтобы в числителях появились выражения из знаменателей. И еще у нас есть условие a + b + c = 3. Тогда 2 = (a/3 + (2b + c)/9) + (b/3 + (2c + a)/9) + (c/3 + (2a + b)/9). Как теперь можно доказать, что левая часть не меньше, чем a + b + c?

Подсказка 3

Конечно! Мы преобразовывали 2 для того, чтобы сократить знаменатели. Тогда перегруппируем наши дроби и применим неравенство о средних для троек!

Показать доказательство

Первое решение.

Добавим к первой дроби $b 2c+a- 3 + 9 ,$ ко второй — $c 2a+b- 3 + 9 ,$ к третей — $a 2b+c- 3 + 9 .$ Таким образом мы к левой части добавили $2,$ то есть доказать теперь требуется

a3 b 2c+ a b3 c 2a+ b c3 a 2b+c b(2c+-a) + 3 +-9--+ c(2a+-b) + 3 +-9--+ a(2b+-c)-+3 + -9---≥3

Тогда для сумм троек слагаемых по неравенству между средним арифметическим и геометрическим каждая больше соответсвенной переменной:

3 --a----+ b+ 2c+a-≥a b(2c+ a) 3 9

Тогда вся сумма больше либо равна

a+ b+c =3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В силу неравенства Гельдера имеем

( ) a3-+ b3-+ c3- (x +y+ z)(1 +1+ 1)≥ (a+ b+ c)3 x y z

Тогда имеем

a3 b3 c3 (a+-b+-c)3 x + y + z ≥ 3(x+ y+z)

В силу полученного неравентсва

3 3 3 3 --a----+ --b----+ --c----≥--(a+-b+-c)-- b(2c+ a) c(2a+ b) a(2b+c) 9(ab+ac+ bc)

Тогда достаточно показать, что

(a+ b+c)3 ≥ 9(ab+ ac+ bc) ⇔ (a+ b+ c)3 ≥ 3(a +b+ c)(ab+ac+ bc)⇔ a3 +b3+ c3 ≥3abc,

что верно по неравенству о средних.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#91443Максимум баллов за задание: 7

Произведение положительных чисел $x,y$ и $z$ равно $1.$ Докажите неравенство

-x2y- -y2z-- -z2x-- y3+ 2 + z3+2 + x3+2 ≥1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как и во всех подобных неравенствах, можно попробовать сократить хоть немного числители и знаменатели. Но в знаменателях нам сокращению мешает число 2. А можно ли применить условие, чтобы вместо одного только число 2 появились еще и переменные?

Показать доказательство

Перепишем левую часть как

--x2y---- --y2z-- ---z2x--- --x2--- --y2--- ---z2--- y3 +2xyz + z3+ 2xyz +x3+ 2xyz = y2+ 2xz + z2 +2xy + x2+ 2yz

По неравенству о средних удвоенные произведения переменных в знаменателях меньше суммы их квадратов, а значит, при замене знаменателей на $x2+ y2+z2$ сумма дробей не увеличится (знаменатели не уменьшатся, числа положительны). Получили необходимое.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#91957Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c$ положительны и удовлетворяют соотношению

a+ b+c= 1.

Найдите наименьшее возможное значение выражения

1+a-⋅ 1+-b⋅ 1+-c 1− a 1− b 1− c

Источники: ДВИ - 2024, вариант 241, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Не совсем понятно, как искать минимум выражения именно такого вида. Быть может, попробуем как-то использовать условие?

Подсказка 2

Сразу бросается в глаза знаменатель, каждый из которых можно заменить на сумму двух других переменных. Но как именно работать с числителем? Да и числа положительные… На какое неравенство это может намекать?

Подсказка 3

На неравенство о средних! То есть нам надо каждую из дробей вида (1+a)/(b+c) (аналогично выглядят остальные) как-то попробовать оценить с помощью него. Оценивать знаменатель с помощью неравенства о средних нельзя, т.к. мы только увеличим значение дроби. Значит, надо как-то поработать с числителем. Что можно попробовать сделать?

Подсказка 4

Заменить единичку на a+b+c. Но тогда в каждом из числителей появится удвоенное произведение одной из букв, а еще для удобства хотелось бы, чтобы в выражении было как можно больше одинаковых частей. Как тогда быть с удвоенным произведением?

Подсказка 5

Можно попробовать разбить его на 2 слагаемых! Тогда в числителе у нас будет сумма двух сумм. Смотрите-ка, теперь у нас и в числителях, и знаменателях есть одинаковые выражения ;) как с ними можно работать?

Подсказка 6

Сделаем замену каждой из сумм a+b, b+c, c+a и воспользуемся уже известным неравенством ;)

Показать ответ и решение

Заменим все единицы на $a+ b+ c.$ Тогда

(a-+b)+(a+-c) (b-+a)+-(b+-c) (c+a)+-(c+-b) b+c ⋅ a+ c ⋅ a+ b

Обозначим знаменатели новыми неизвестными: $b+c= x,$ $a+ c= y,$ $a+ b=z.$ Получается

(a+-b)b++-(ca+c)⋅ (b+-aa)++(cb+c)⋅ (c+-aa)++(bc+b)= y-+xz ⋅ x+y-z⋅ x+z-y

По неравенству о средних

y+ z ≥2√yz, x+z ≥2√xz, x +y ≥2√xy

Подставив эту оценку в полученное выражение, получаем

y+-z⋅ x+-z⋅ x-+y ≥ 8xyz-= 8 x y z xyz

При $x= y = z$ достигается равенство, так как в этом случае достигается равенство в неравенстве о средних. Сделав обратную замену, получаем $b+c =a +c= a+ b,$ что эквивалентно $a= b= c.$ Так как $a +b+ c= 1,$ то $a= b= c= 1. 3$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#92347Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c,d$ положительны и удовлетворяют соотношению $a+b+ c+ d= 1.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

a2 b2 c2 d2 1− a-+ 1−-b + 1− c-+ 1− d

Источники: ДВИ - 2024, вариант 245, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассматривать сумму дробей, у которых в знаменателе стоит разность, не очень удобно. Давайте тогда сделаем замену!

Подсказка 2

Делаем замену 1-a=x, 1-b=y, 1-c=z, 1-d=w. Что тогда можно сказать про их сумму? А как преобразятся дроби, если мы выделим в них целую часть?

Подсказка 3

x+y+z+w=3, а сумма дробей преобразится в выражение с 1/x+1/y+1/z+1/w. Нужно вспомнить, а в каком известном неравенстве есть похожее выражение?

Подсказка 4

Воспользуйтесь неравенством между средним гармоническим и средним арифметическим!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Пусть $1− a =x,$ $1− b= y,$ $1− c=z,$ $1− d= w.$ Тогда $x +y+ z+ w= 3,$ и каждое из чисел $x,y,z,w$ положительно. Подставим замену в исходное выражение

a2 b2 c2 d2 (1− x)2 (1− y)2 (1− z)2 (1 − w)2 1−-a + 1−-b + 1−-c + 1−-d =-x- + --y---+ --z---+ --w----

Раскроем скобки в каждом числителе и разделим почленно, тогда получится следующее:

1+ 1 + 1 + 1+ (x+ y+z +w)− 4⋅2= 1 + 1+ 1+ 1-− 5 x y z w x y z w

По неравенству между средним гармоническим и средним арифметическим:

4 1x + 1y + 1z + 1w x+-y+-z+w-≤ -----4------

Таким образом, $1x + 1y + 1z + 1w − 5≥ 136− 5= 13.$ Равенство достигается при $x = y = z = w= 14.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Заметим, что функция $f(x)= x1−x-$ выпукла на промежутке $(0;1)$ , так как

′ ---1-- f (x) =(x− 1)2

2 f′′(x)= (1-− x)3

Ясно, что при $0 <x <1$ $f′′(x)> 0.$ Так как $a,b,c,d> 0$ и $a+b +c+ d= 1,$ то все эти числа принадлежат промежутку $(0;1).$ Тогда по неравенству Йенсена для функции $f(x)= 1x−x$ получаем

-a2- +-b2-+ -c2-+ -d2- ≥--a2+-b2+-c2+-d2-- 1− a 1 − b 1− c 1− d 1 − (a2+b2+ c2+d2)

Оценим снизу $2 2 2 2 a + b + c+ d :$ по неравенству Коши-Буняковского-Шварца $√ √ -2--2---2--2- a+ b+ c+d ≤ 4 a +b + c +d ,$ откуда $2 2 2 2 1 a + b +c + d ≥ 4.$ Подставим оценку в последнее полученное выражение:

2 2 2 2 1 1-a− (+a2b+b+2+c+c2d+d2) ≥ 1−41 = 13 4

Равенство достигается при $a= b= c= d= 1. 4$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание.

Если знать неравенство Седракяна (так же известное, как неравенство Коши-Буняковского-Шварца для дробей)

2 2 a1-+ a2-+...+ a2n-≥ (a1-+a2+-...+-an)2, b1 b2 bn b1+ b2 +...+ bn

то сразу же получаем

-a2-- -b2-- -c2-- -d2-- -----a-+b+-c+d------- 1 1− a + 1− b + 1− c + 1− d ≥ 1− a+1 − b+ 1− c+1− d = 3

Ответ:

$1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#93771Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c$ равна $3.$ Докажите неравенство

√---- √---- √ ---- √ - a+ 1+ b+ 1+ c+1 ≤3 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что доказываемое неравенство неверно, и найдутся числа a,b,c, для которых оно противоположное и строгое. Как можно оценить сверху данное выражение?

Подсказка 2

Конечно! Воспользуемся неравенством между средним арифметическим и средним квадратическим.

Показать доказательство

Предположим, что доказываемое неравенство неверно, тогда в силу неравенства между средним квадратичным и арифметическим имеем

∘(a+-1)+(b+-1)+-(c+1) √a-+1-+√b-+1+ √c+-1 √ - ---------3---------≥ ---------3--------- > 2

Но левая часть неравенства равна $√- 2,$ поскольку $a+ b+c =3,$ что влечет противоречие.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#93777Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b$ и $c,$ больших $1,$ равна $6.$ Докажите неравенство

------ab2------ ------bc2------ ------ca2------ 12 a(b2− 1)+b2(a − 1) + b(c2− 1)+c2(b− 1) + c(a2− 1)+a2(c− 1) ≥ 5

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поймите, что достаточно доказать, что сумма обратных дробей из условия <= 15/4.

Подсказка 2

Поделите почленно, сгруппируйте слагаемые на симметрические слагаемые. Отдельно оцените каждую часть.

Подсказка 3

У вас должно было получиться следующее: циклическая сумма (а^2+а) не меньше 9/4. Оцените сумму квадратов через сумму обратных по неравенству о средних, после этого задача решится.

Показать доказательство

Сформулируем и докажем лемму:

Лемма. Пусть $a1,a2,...,an,A$ — действительные числа. Тогда

∑n 1 n2 ∑n ai ≤ A-⇒ ai ≥ A i=1 i=1

Доказательство. Утверждение леммы эквивалентно неравенству между средним арифметическим и средним гармоническим для набора чисел $a1,a2,...,an.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Вернемся к доказательству основной задачи. Здесь и далее,