Упорядочивание

Пусть такие числа существуют. Так как все числа различные, то давайте упорядочим их по убыванию Теперь давайте посмотрим на суммы с самым наибольшим числом и аналогично упорядочим по убыванию Частные, которые будут получаться при делении суммы всех чисел на эти, как минимум, могут быть от до Но слишком большое число, и равенства не будет. Противоречие.

Отсортируем числа из множества по возрастанию:

Для любых трех последовательных чисел число по условию лежит в . Но

Тогда это число должно равняться , откуда . В силу произвольности выбора номера получаем, что каждое число является средним арифметическим двух его соседей, но тогда это арифметическая прогрессия.

По условию числа , то есть , где - разность прогрессии.

и в силу того, что , а натуральное. Имеем единственное решение .

Расположим наши числа по убыванию, Имеем

Умножим первое равенство на получим, что

Следовательно,

Сперва докажем следующую лемму.

Лемма. В ряд лежат апельсинов, массы любых двух соседних отличаются не более, чем на г. Тогда если упорядочить апельсины по убыванию массы, то массы любых двух соседних снова будут отличаться не более, чем на г.

Доказательство. Действительно, предположим обратное, пусть нашлись два соседних апельсина весами разница весов которых больше г. Это значит, что для любого апельсина весом хотя бы в изначальном ряду возле него апельсины весами хотя бы и для любого апельсина весом не более в изначальном ряду возле него апельсины весами не более Но ряд непрерывен, потому где-то должны лежать рядом апельсины двух видов, противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда разложим апельсины по возрастанию весов. Выложим пакетов в ряд и положим в них сначала по апельсина: в первый пакет — первый и последний апельсин, во второй — второй и предпоследний апельсин и т. д. На каждом шаге добавляются два изменения весов разных знаков, что в сумме делает разность весов соседних пакетов по модулю не больше максимума разностей весов соседних апельсинов, т. е. не более г. Разложим пакеты по возрастанию веса — по-прежнему веса соседних отличаются не более чем на г. Осталось ещё апельсинов в ряду по возрастанию (с -го по -й). Положим самый лёгкий апельсин в самый тяжёлый пакет, следующий — во второй по тяжести и т. д. Как и ранее, веса соседних пакетов будут отличаться не более чем на г.

Данное утверждение верно для чисел при любом и доказывается «от противного».

Предположим, что сумма или разность любых двух из разлчных чисел cодержится среди остальных чисел. Тогда

где

При четном получаем

значит, разность и не содержится среди остальных чисел.

При нечетном надо рассмотреть пары Для них

при и потому должны выполняться равенства

в частности

что также приводит к противоречию.

Поскольку среди любых 100 карандашей есть хотя бы 7 разных цветов, то в любой шестёрке цветов карандашей суммарно не больше 99 (иначе можно взять 100 карандашей только среди этих шести разных цветов, а по условию обязательно должен найтись седьмой).

Обозначим количества карандашей разных цветов за

Если то получаем противоречие с выводом выше. Значит,

Тогда суммарно в коробке карандашей

Может ли быть ровно 1603 карандаша? Да, например, если было 19 карандашей одного цвета ( и по 16 карандашей всех остальных цветов (

Пусть юноша может танцевать с девушкой, если он выше неё, но не более, чем на см, и не может в обратном случае. Упорядочим всех девушек и юношей по возрастанию. Пусть рост всех юношей равен рост всех девушек равен Докажем, что юноша с ростом может танцевать с девушкой с ростом Для этого предположим, что это не так, и рассмотрим случая:

1)
Тогда ни один юноша с ростом не сможет танцевать ни с одной девушкой с ростом Но тогда последние юношей могут танцевать не более с чем девушками, противоречие.

2)
Тогда ни один юноша с ростом не сможет танцевать ни с одной девушкой с ростом Но тогда первые юношей могут танцевать не более с чем девушками, противоречие.

Получили противоречие в обоих случаях, а значит предположение было неверным и юноша с ростом может танцевать с девушкой с ростом

Разложим коробки от меньшей к большей. Предположим, что в третьей с начала коробке меньше 10 фигурок. Тогда всего в первых трех коробках не больше фигурок — противоречие. Значит, в третьей коробке хотя бы 10 фигурок. Аналогично показывается, что третья коробка с конца содержит не больше 15 фигурок(). Предположим, что эта коробка содержит 14 фигурок или меньше. Тогда суммарное количество фигурок в коробках, отличных от первых трёх и последних трёх, не превосходит , а должно быть . Противоречие. Значит, в третьей с конца коробке ровно 15 фигурок. Тогда в самой большой коробке может быть либо 18 (), либо 19 () фигурок. Больше 19 фигурок быть не может, потому что тогда во второй по величине коробке фигурок не больше, чем а в ней хотя бы 16 коробок. Меньше 18 быть не может, так как тогда фигурок в трех самых больших коробках не больше, чем Оба ответа подходят: (7,8,10,11,12,14,15,17,18) и (7,8,10,11,12,14,15,16,19).

Предположим, что утверждение неверно, значит, для какого-то мужчины нет женщины рядом ниже него. Без этого мужчины остается мужчин и женщин.

По условию, рядом с каждой женщиной есть мужчина, выше нее. Это условие верно для каждой из женщин. Поэтому есть по крайней мере мужчин (возможно, с повторами), сидящие рядом с более низкими женщинами. Но каждый мужчина учитывается не больше двух раз, потому что у каждого человека может быть только два соседа в ряду. Так как оставшихся мужчин , то рядом с ними могут находиться как максимум женщин. Значит, рядом с какой-то из женщин нет ни одного из оставшихся мужчин. Тогда для нее условие задачи не выполняется. Мы пришли к противоречию, значит, рядом с любым мужчиной обязательно есть женщина, которая выше него.

Решение

Обозначим через рост солдат первой шеренги в порядке убывания, а через рост солдат второй шеренги в порядке убывания (те же обозначения используем и для самих солдат).

Пусть утверждение задачи неверно: для некоторого . Это означает, что до перестраивания по росту солдат мог стоять только перед одним из солдат . То же справедливо и для солдат , поскольку они не ниже солдата . Итак, до перестраивания шеренг солдат могли стоять только перед солдатами . Противоречие.

Упорядочим камни по возрастанию веса. Взвесим два самых легких камня на одной чаше и самый тяжелый на другой чаше. Если самый тяжелый камень перевешивает или весы в равновесии, то мы уже нашли камни, которые опровергают утверждение.

Если же два самых легких камня тяжелее самого тяжелого, то так как любые другие два камня (которые положим на одну чашу весов) тяжелее первых двух, а любой третий камень (который положим на вторую чашу весов) легче самого тяжелого, то положение весов сохранится для любых камней — любые два камня будут перевешивать любой другой. Тем самым утверждение в этом случае будет верно.

Упорядочим числа по возрастанию. Если два самых больших числа и () оба положительные, то их сумма которая больше максимального числа ( должна быть тоже на доске. Значит, на доске не больше одного положительного числа.

Аналогично поймем про отрицательные числа. Если два самых маленьких и ( числа оба отрицательные, то их сумма которая меньше минимального числа ( должна быть тоже на доске. Значит, на доске не больше одного отрицательного числа.

Получили оценку: на доске не более двух ненулевых чисел.

Пример на ровно два ненулевых числа простой: и нулей. Все условия задачи в нем выполняются.

Выложим яблоки по возрастанию масс и докажем, что по-прежнему массы любых двух соседних яблок отличаются не больше чем на 1 г. Пусть это не так: есть яблоко веса , а следующий вес больше . Покрасим яблоки с весом не больше в зелёный цвет, а яблоки с весом, большим , — в жёлтый. В исходной расстановке где-то яблоки разного цвета лежат рядом, значит, разность их весов не больше 1. Противоречие.

Расположим кусочки в порядке возрастания массы: . В одну группу положим 1-й, 3-й, 5-й и 7-й кусочки, в другую — 2-й, 4-й, 6-й и 8-й. Тогда . А если в первую группу добавить 9-й кусочек, то . Следовательно, достаточно разрезать 9-й кусочек.

Обозначим за НОК всех данных чисел . Тогда числа натуральные и различные. Значит, наибольшее их них, то есть , хотя бы . Следовательно, .

Пусть — выбранные числа. Рассмотрим 10 разностей: . Их сумма равна , следовательно, хотя бы одна их 10 разностей не превосходит 100. Пусть это разность . Тогда 10 чисел .

Упорядочим гири по возрастанию веса: . Из условия известно, что . Заметим, что так как все веса различные и целые, то (разность соседних весов хотя бы 1).

Тогда .

Соединим два полученных неравенства:

.

Получаем . Значит, — что и требовалось доказать.

Выложим груши по возрастанию масс. В третьей задаче мы доказали, что в новой расстановке массы соседних груш отличаются друг от друга не более чем на 1 г.

В первый пакет положим первую грушу с последней, во второй — вторую с предпоследней и т. д. На каждом шаге добавляются два изменения весов разных знаков (вес второй груши вес первой груши , вес предпоследней груши вес последней груши , то есть вес очередного пакета увеличивается не более чем на 1 и уменьшается не более чем на 1 относительно веса предыдущего пакета), что в сумме делает разность весов соседних пакетов не более 1 г.

Пусть . Отметим на числовой оси всевозможные суммы чисел на пяти карточках. Для каждой из них отмечена и противоположная, поэтому отмеченные точки расположены симметрично относительно нуля. В частности, противоположны наибольшая () и наименьшая () суммы, значит, , то есть . Противоположны и суммы, ближайшие к “крайним”: . Отсюда следует, что .