Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Тригонометрия на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#104696

Решите уравнение

9 (sinx +1)(cosx+ 1) =8

Показать ответ и решение

Первое решение.

Если $x= π+ 2πn,n ∈ℤ,$ то $9 (sinx+ 1)(cosx+ 1)= 1⋅0⁄= 8,$ поэтому можно сделать универсальную тригонометрическую подстановку и получить при $x t= tg 2$ уравнение

( 2t ) (1− t2 ) 9 1+-t2 + 1 1+-t2 + 1 = 8

2 2(t+-1)22-= 9 (1+ t) 8

t+-1-= ±3 1+ t2 4

2 4t+ 4= ±(3+ 3t )

[ 3t2− 4t− 1= 0 3t2+4t+ 7= 0

∘----- 3t= 2± 22+ 3

2± √7 x= 2arctg--3-- +2πn,n∈ ℤ

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Раскроем скобки

sinx +cosx+ sinxcosx = 1 8

Так как

2 sinxcosx= (sinx+-cosx)-−-1, 2

то

sinx +cosx+ (sinx+-cosx)2− 1-− 1= 0 2 8

Сделаем замену $t= sinx+ cosx :$

t2−-1- 1 t+ 2 − 8 =0

Откуда

⌊ 1 || t= 2 ⌈ 5 t= −2

Так как $sin x+ cosx≥ −2,$ то при $5 t =− 2$ равенство не выполняется, следовательно,

sinx+ cosx= 1 2

Представим левую часть в виде синуса суммы:

sin(x+ π)= -1√- 4 2 2

Откуда

⌊ π √2 || x+ 4 = arcsin 4-+2πk |⌈ π √2 ,k ∈ℤ x+ 4 = π− arcsin 4-+ 2πk

⌊ √ - | x= arcsin--2− π +2πk || 4 4√- ,k ∈ℤ ⌈ x= 3π− arcsin -2+ 2πk 4 4

Ответ:

$2arctg 2±√7 +2πn,n∈ ℤ 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#79603

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#71526

Решите уравнение

x√11- x√11- 5x√11 arcsin 2√21-+ arcsin4√21 = arcsin-8√21-

Источники: ОММО-2022, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Из условия на область определения арксинуса вытекает, что

8√21- 1344 |x|≤ 5√11-⇔ x2 ≤ 275

(1)

Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что

cosarcsint> 0

и, следовательно,

∘ ----- sin(arcsint)=t, и cos(arcsint) = 1− t2,

получаем

√-- ∘ -------- √ -- ∘------- √ -- x√11⋅ 1− 11x2-+ x√-11⋅ 1 − 11x2 = 5x√-11 2 21 16 ⋅21 4 21 4 ⋅21 8 21

Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем

√-- x-11 (∘336-−-11x2+ ∘84−-11x2− 5√21) =0 8⋅21

Из данного уравнения следует, что или $x =0$ (который, очевидно, подходит), или $x$ является корнем уравнения

∘336−-11x2+ ∘84-− 11x2 = 5√21

Из условия $(1)$ следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат

∘ ------------------ 336− 11x2+ 2 (336− 11x2)(84− 11x2)+ 84− 11x2 = 525

Перенося всё кроме корня в правую часть уравнения, имеем

2∘ (336−-11x2)(84−-11x2)= 22x2+ 105

Возводя ещё раз обе части уравнения в квадрат, получаем

( 2)( 2) 4 2 4 336− 11x 84 − 11x = 484x + 4620x + 11025

или

23100x2 = 101871

Таким образом, уравнение имеет ещё два возможных корня

x =± 21 10

Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке $[−π∕2;π∕2].$ Для этого вычисляем косинус левой части

( x√11 x√11) ∘ (---11x2)(----11x2)- 11x2 cos arcsin2√21 +arcsin 4√21 = 1− 4⋅21 1− 16-⋅21- − 8⋅21 =

∘ ---------------------- ( 11⋅21)( -11-⋅21-) 11⋅21 13⋅37 11⋅21 = 1− 4⋅100 1− 16⋅100 − 8⋅100 = 800 − 800 > 0

Поскольку значения косинуса положительно, а левая часть лежит в промежутке $[−π;π],$ то она лежит в промежутке $[− π∕2;π∕2].$ Значит, все найденные числа являются решением задания.

Ответ:

$0;±21 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90865

Вычислите

π- 2π- 2π- 3π kπ- (k-+1)π 2019π- 2020π tg 43 ⋅tg 43 + tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 .

Источники: ОММО - 2021, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Вспомним формулу

tgα− tgβ tg(α− β)= tgα-tgβ-+1-

tgαtgβ = tgα−-tgβ− 1 tg(α− β)

Значит

kπ (k+ 1)π tg (k+413)π-− tg k4π3 tg 43 ⋅tg-43-- = ----tg π43----− 1

tg π-⋅tg 2π-+ tg 2π-⋅tg 3π+ ...+ tg 2019π⋅tg 2020π-= 43 43 43 43 43 43

( 2π π ) ( 3π 2π ) ( 2020π 2019π ) =-tg43 −-tg43-+-tg43 −-tg-43-+...+-tg--43-−-tg--43-- − 2019= tg π43

tg 2020π− tg π tg(47π− π)− tg π = ---43tg π--43− 2019= ------tg43 π-----43− 2019 =−2021 43 43

Ответ: -2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80580

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).

Источники: ОММО - 2020, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

2 2 4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

2 2 sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим $t=sin2x$ .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни $137$ , $12 − √15$ и $12 + 1√5$ . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть $sint= −√137$ . Тогда $t=arcsin−√137-$ . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как $t$ лежит в четвертой четверти, то $cost>0$ и $cost= √637$ .

( ) 4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1- −12+ 16+ 78 − 312 = 37 37 37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x). 37

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43270

Найдите все значения, которые может принимать выражение

3arcsin x− 2arccosy

при условии $x2+ y2 = 1$ .

Источники: ОММО-2019, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $x2+y2 = 1$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $φ ∈[0;2π]$ такое, что $x =sin φ,y =cosφ$ . Тогда выражение из условия приобретает вид

3arcsinsin φ− 2arccoscosφ.

Разберём несколько случаев:

- $φ∈ [0;π]: 2$ тогда $arcsin sinφ= φ,arccoscosφ= φ$ , a $3arcsinsinφ − 2arccoscosφ = 3φ − 2φ = φ$ следовательно, при $φ ∈[0;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[0;π] 2$ ;

- $φ∈ [π;π] 2$ : тогда $arcsinsinφ =π − φ,arccoscosφ =φ$ , a $3arcsinsinφ − 2 arccoscosφ= 3(π − φ)− 2φ= 3π− 5φ;$ следовательно, при $φ ∈[π;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[−2π;π] 2$ ;

- $[ 3π] φ∈ π; 2$ : тогда $arcsin sinφ= π− φ,arccoscosφ= 2π− φ$ , a $3arcsinsinφ− 2arccoscosφ =3(π− φ)− 2(2π− φ)= −π− φ;$ следовательно, при $[ 3π-] φ ∈ π;2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[ 5π ] −2 ;−2π$ ;

- $[3π- ] φ∈ 2 ;2π$ : тогда $arcsinsin φ= φ− 2π,arccoscosφ = 2π − φ$ , a $3arcsinsin φ− 2arccoscosφ= 3(φ − 2π)− 2(2π− φ)= −10π+ 5φ;$ следовательно, при $[3π ] φ ∈ 2 ;2π$ выражение $(∗)$ принимает все значения из промежутка $[ 5π ] − 2 ;0$ .

Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение $(∗)$ при $φ∈ [0;2π]$ принимает все значения из промежутка $[ 5π-π ] − 2 ; 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Переберём случаи

$x,y ≥ 0$ . $π arcsinx ∈[0,2]$ и $√----2 cos(arcsinx)= 1− x = y$ . Тогда $arcsinx= arccosy$ и $π 3arcsinx− 2arccosy =arcsinx∈ [0,2].$
$x ≥0 ≥y$ . $π arcsinx∈ [0,2]$ и $√ ----- cos(arcsinx)= 1− x2 =− y$ . Тогда $π − arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx− 2π ∈ [−2π,π2].$
$y ≥0≥ x$ . $arcsinx∈ [− π2,0]$ и $√ ----- cos(arcsin x)= 1− x2 =y$ . Тогда $arcsinx= − arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx∈ [− 5π2 ,0].$
$x,y ≤ 0$ . $arcsinx ∈(− π2,0]$ и $√----- cos(arcsinx)= 1− x2 = −y$ . Тогда $π +arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =arcsinx− 2π ∈[− 5π2 ,−2π].$

Ответ:

$[− 5π,π]. 2 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#43271

Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства

( 2 2 ) ( 2 2 ) y − arcsin (sinx) ⋅ y − arcsin(sin(x +π∕3))⋅

( 2 2 ) ⋅ y − arcsin(sin(x− π∕3)) <0.

Источники: ОММО-2018, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Выражение слева не меняется при изменении $x$ на период $2π$ . Поэтому достаточно разобраться с графиком на отрезке длины $2π$ , например, $π 3π [−2; 2 ].$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то $2 2 arcsin (sinx)= x .$

Если $π 3π x∈ [2; 2 ],$ то $2 2 arcsin (sinx)= (π − x) .$

Рассмотрим в выражении из условия первую скобку, для второй и третьей построение будет аналогично, но со сдвигом на $π 3.$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то получаем неравенство $(y− x)(y+ x)<0.$

Если $π 3π x∈ [2;-2 ],$ то получаем неравенство $(y +π − x)(y +x− π)< 0.$

Теперь рассмотрим график ниже, отметим области под одной прямой и над другой:

$PIC$

$y2 − arcsin2(sinx)< 0$ в квадратах.

Для второй и третьей скобки будут те же квадраты, только сдвинутые на $π3$ и на $− π3$ по оси $x.$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#61176

Сравните числа

sin2016∘- sin2018∘- sin2017∘ и sin2019∘

Источники: ОММО-2017, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

По формулам приведения $sin2016∘ = sin(360∘⋅5+ 180∘+ 36∘) =− sin36∘ < 0$ . Аналогично остальные синусы из условия тоже отрицательны.

Поэтому неравенство

sin2016∘ sin 2018∘ sin2017∘ < sin-2019∘

равносильно (умножили на произведение двух отрицательных чисел, которое положительно, поэтому знак неравенства сохраняется)

sin2016∘⋅sin2019∘ < sin2017∘⋅sin2018∘

По формулам произведения синусов получаем

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos3 − cos4035 < cos1 − cos4035 ⇐ ⇒ cos3 < cos1

Для острых углов чем больше угол, тем меньше косинус (более формально, функция $f(x)= cosx$ на промежутке $(0;π) 2$ убывает), поэтому последнее неравенство справедливо , а значит, и доказываемое неравенство верно.

Ответ:

sin2016∘ sin-2018∘ sin2017∘ < sin 2019∘

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#98294

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

$PIC$

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $∘ OCD :∠ODC = 90$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49147

Для $x= π- 2n$ найдите значение суммы

2 2 2 2 cos (x)+ cos (2x)+ cos (3x)+ ...+ cos (nx).

Источники: ОММО-2015, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся тождеством $2 1+cos2t cos t= 2 .$

Тогда по условию нам надо посчитать

n+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx n− 1 S -----------------2------------------= -2--+ 2,

где $S = cos0x+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx.$

По условию $2nx= π,$ так что для любого $t$ выполнено $cos(2nx− t)= cos(π− t)= − cost.$ Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам $t< − >2nx− t,$ потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме $S$ количество слагаемых $n+ 1$ . Если $n$ нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если $n$ чётно, то паре не найдётся слагаемому $cos(nx)$ , но оно равно нулю.

В итоге $S = 0$ для любого $n,$ так что ответ $n−21.$

Второе решение.

Заметим, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 kπ + cos2 (n-− k)π =cos2 kπ +cos2 π− kπ = cos2 kπ + sin2 kπ = 1. 2n 2n 2n 2 2n 2n 2n

Если $n$ нечетно, разобьем все слагаемые, кроме $cos2(nx)$ , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму $n−1 2$ , а $cos2(nx)= cos2(π)= 0 2$ . Если же $n$ четно, то без пары остаются и $cos2(nx)= cos2(π) =0 2$ , и $cos2(π)= 1 4 2$ . И в том, и в другом случае полная сумма равна $n−-1. 2$

Ответ:

$n−1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31195

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#64372

Решите уравнение

2|x +2|cosx =x+ 2

Источники: ОММО-2011, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Если $x =− 2$ , то равенство верно, иначе

$x +2> 0$
$1 π 2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐ ⇒ cosx =2 ⇐⇒ x =± 3 + 2πn(n∈ℤ) >− 2$
Подходят $x= ± π+ 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .
$x +2< 0$
$1 2π −2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐⇒ cosx= −2 ⇐⇒ x =± 3-+ 2πn(n ∈ℤ)< −2$
Здесь подойдут $x = 2π-− 2πn,n∈ ℕ 3$ , а также $x= − 2π− 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .