Тема ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)

Тригонометрия на ОММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#79603

Решите уравнение

88π2- -1--- sin x = cos3x

Источники: ОММО - 2024, задача 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В условии дано тригонометрическое уравнение с какими-то страшными аргументами тригонометрических функций, формулы тут не поприменяешь, к сожалению. В таких случаях обычно принято использовать метод оценки. Попробуйте воспользоваться им.

Подсказка 2

Давайте умножим наше уравнение на cos(3x). Что можно сказать про решения нашего уравнения, если вспомнить про ограничения на синус и на косинус?

Подсказка 3

Синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Значит, произведение синуса на косинус будет равно 1 только в случаях, когда синус и косинус равны 1, а также когда синус и косинус равны -1 одновременно.

Подсказка 4

Рассмотрим решения cos(3x) = ±1, x = πk/3. Подставив данную серию решений в уравнение с синусом равном ±1, найдите все подходящие k.

Подсказка 5

После подстановки получается выражение 88π²*3/πk = π/2 + πn, преобразовав, получим: 3*8*11 / k = 1/2 + n. Обратите внимание, что в правой части уравнения стоит целое число с одной второй, значит, слева тоже должно быть целое число + одна вторая. Какие k подходят под данное условие?

Подсказка 6

Так как нам необходимо, чтобы получилась именно 1/2 + какое-то целое в левой части уравнение, то на место k подойдут все такие целые числа, которые при сокращении с числителем будут оставлять в знаменателе 2.

Подсказка 7

То есть, каждое k делится на какой-то набор нечетных делителей числителя и еще на 16. Получается, что все k будут четными, значит, cos(3x) может равняться только 1. Остается отобрать такие пары k и n, что sin(88π²*3/x) = 1, x = π/2 + πn.

Показать ответ и решение

Домножим на $cos3x⁄= 0$

88π2 sin -x--⋅cos3x= 1

Так как $|sint|≤1, |cost|≤1$ , равенство возможно только в случаях

⌊ { 88π2 | sin-x--=1 ||| { cos3x=2 1 ⌈ sin88πx--=− 1 cos3x= −1

Уравнение $cos3x = ±1$ имеет решения $πk x= -3 , k ∈ℤ, k⁄= 0$ . Подставив эту серию в $88π2 sin--x-= ±1$ , получаем

88π2⋅3 π -πk---= 2 + πn, n∈ ℤ

3-⋅8-⋅11 = 1+ n k 2

Тогда $k$ может принимать только следующие значения

k= ±16, ± 16⋅3, ±16⋅11, ± 16 ⋅33

Так как все получившиеся $k$ четны, $cos3x = 1$ . Выберем из получившихся пар $(n,k)$ такие, что $sin88π2-=1. x$ То есть те, где $n$ четно.

$n= 16$ или $n =− 17$ при $k= ±16$

$n= 5$ или $n =− 6$ при $k =±3 ⋅16$

$n= 1$ или $n =− 2$ при $k =±16 ⋅11$

$n= 0$ или $n =− 1$ при $k =±16 ⋅33$

Подставляя в

88π2 π sin-x--= 2 +πn

176π x = 1+-2n-

получаем ответ.

Ответ:

$16π, − 16π, − 176π, 176π 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#71526

Решите уравнение

x√11- x√11- 5x√11 arcsin 2√21-+ arcsin4√21 = arcsin-8√21-

Источники: ОММО-2022, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первую очередь, когда в задаче мы видим тригонометрические функции, нужно сразу вспоминать про ограничения на аргументы.

Подсказка 2

Когда мы найдём ограничения на x, можно использовать стандартную идею в арктриге, давайте возьмём прямую функцию от обратных. В нашем случае, функцию синуса от правой и левой части уравнения.

Подсказка 3

В правой части всё легко и понятно, но вот с левой явные проблемы. Давайте обратим внимание на то, что слева у нас ни что иное, как синус суммы. Распишем его по формуле.

Подсказка 4

Воспользуемся тем, что cos(arcsin(t)) = √(1-t²). После чего получаем уравнение, которое при вынесении общего множителя разобьётся на два случая, когда x = 0(не забудьте проверить, что он подходит), а так же на второй случай, когда x≠0.

Подсказка 5

Во втором случае получается уравнение √(336-11x²) + √(84-11x²) = 5√21. Ограничения на x, которые мы считали в начале, тут нам помогут в утверждении, что подкоренные выражения положительные. Если несколько раз использовать тот факт, что правая и левая часть положительны и мы можем их возводить в квадрат, то дорешать уравнение не составит труда, главное, не забудьте проверить, что корни уравнения подходят.

Показать ответ и решение

Из условия на область определения арксинуса вытекает, что

8√21- 1344 |x|≤ 5√11-⇔ x2 ≤ 275

(1)

Вычисляя синус от обеих частей уравнения и учитывая, что

cosarcsint> 0

и, следовательно,

∘ ----- sin(arcsint)=t, и cos(arcsint) = 1− t2,

получаем

√-- ∘ -------- √ -- ∘------- √ -- x√11⋅ 1− 11x2-+ x√-11⋅ 1 − 11x2 = 5x√-11 2 21 16 ⋅21 4 21 4 ⋅21 8 21

Перенося все в левую часть уравнения, упрощая и вынося общим множитель за скобки, имеем

√-- x-11 (∘336-−-11x2+ ∘84−-11x2− 5√21) =0 8⋅21

Из данного уравнения следует, что или $x =0$ (который, очевидно, подходит), или $x$ является корнем уравнения

∘336−-11x2+ ∘84-− 11x2 = 5√21

Из условия $(1)$ следует, что все подкоренные выражения положительны. Поскольку обе части уравнения положительны, то их можно возвести в квадрат

∘ ------------------ 336− 11x2+ 2 (336− 11x2)(84− 11x2)+ 84− 11x2 = 525

Перенося всё кроме корня в правую часть уравнения, имеем

2∘ (336−-11x2)(84−-11x2)= 22x2+ 105

Возводя ещё раз обе части уравнения в квадрат, получаем

( 2)( 2) 4 2 4 336− 11x 84 − 11x = 484x + 4620x + 11025

или

23100x2 = 101871

Таким образом, уравнение имеет ещё два возможных корня

x =± 21 10

Проверка. Проверяем, что левая часть уравнения при данных значениях аргумента лежит в промежутке $[−π∕2;π∕2].$ Для этого вычисляем косинус левой части

( x√11 x√11) ∘ (---11x2)(----11x2)- 11x2 cos arcsin2√21 +arcsin 4√21 = 1− 4⋅21 1− 16-⋅21- − 8⋅21 =

∘ ---------------------- ( 11⋅21)( -11-⋅21-) 11⋅21 13⋅37 11⋅21 = 1− 4⋅100 1− 16⋅100 − 8⋅100 = 800 − 800 > 0

Поскольку значения косинуса положительно, а левая часть лежит в промежутке $[−π;π],$ то она лежит в промежутке $[− π∕2;π∕2].$ Значит, все найденные числа являются решением задания.

Ответ:

$0;±21 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90865

Вычислите

π- 2π- 2π- 3π kπ- (k-+1)π 2019π- 2020π tg 43 ⋅tg 43 + tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 + ...+ tg 43 ⋅tg 43 .

Источники: ОММО - 2021, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражение с 2019-ю слагаемыми! Очевидно, что вручную такое не посчитать. У нас есть длинный ряд с похожими слагаемыми, что вспоминается в первую очередь, когда видим нечто подобное?

Подсказка 2

Телескопические суммы! Правда было бы славно, если бы большинство слагаемых взаимно уничтожилось? Но знаем ли мы какую-нибудь формулу для произведения тангенсов, чтобы они преобразовалось в разности? Может видели как фрагмент где-нибудь…

Подсказка 3

Тангенс разности! Осталось только выразить произведение оттуда и посчитать значение выражения!

Показать ответ и решение

Вспомним формулу

tgα− tgβ tg(α− β)= tgα-tgβ-+1-

tgαtgβ = tgα−-tgβ− 1 tg(α− β)

Значит

kπ (k+ 1)π tg (k+413)π-− tg k4π3 tg 43 ⋅tg-43-- = ----tg π43----− 1

tg π-⋅tg 2π-+ tg 2π-⋅tg 3π+ ...+ tg 2019π⋅tg 2020π-= 43 43 43 43 43 43

( 2π π ) ( 3π 2π ) ( 2020π 2019π ) =-tg43 −-tg43-+-tg43 −-tg-43-+...+-tg--43-−-tg--43-- − 2019= tg π43

tg 2020π− tg π tg(47π− π)− tg π = ---43tg π--43− 2019= ------tg43 π-----43− 2019 =−2021 43 43

Ответ: -2021

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80580

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).

Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

2 2 4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

2 2 sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим $t=sin2x$ .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни $137$ , $12 − √15$ и $12 + 1√5$ . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть $sint= −√137$ . Тогда $t=arcsin−√137-$ . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как $t$ лежит в четвертой четверти, то $cost>0$ и $cost= √637$ .

( ) 4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1- −12+ 16+ 78 − 312 = 37 37 37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x). 37

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43270

Найдите все значения, которые может принимать выражение

3arcsin x− 2arccosy

при условии $x2+ y2 = 1$ .

Источники: ОММО-2019, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

x² + y² = 1. Если бы мы рисовали график этой фигуры, мы получили бы окружность радиуса 1, единичную окружность (тригонометрия!) - чистый намек на то, что (x; y) (точка на окружности) - это синус и косинус какого-то угла, например, угла t. То есть x = sin(t), y = cos(t). Теперь нам важно рассмотреть, что произошло с выражением из условия.

Подсказка 2

Рассмотрим 4 вида углов, в зависимости от того, в какой координатной четверти находится t, начнем с первой. Тогда arcsin(sin(t)) = t, arccos(cos(t)) = t. Легко и просто определяем, в каких пределах это выражение лежит. Поработаем со второй координатной четвертью: с arccos(cos(t)) ничего не меняется, а вот arcsin(sin(t)) так просто не получится - ведь итоговое выражение должно лежать в пределах значений арксинуса, а это значит, что мы должны подогнать угол в синусе так, чтобы он был от -π/2 до π/2 (помним, что sin(α) = sin(π-α)).

Подсказка 3

Продолжаем в том же духе, менять что-то вскоре придется и в арккосинусе: так, для 3 и 4 координатных четвертей угол будет от π до 2π, а нам нужно получить арккосинус, то есть от 0 до π. Значит, нужно будет заменить аргумент в арккосинусе на 2π - х (вспоминаем здесь свойства косинуса, а также то, что его период равен 2π).

Подсказка 4

Таким образом, для каждого угла у нас получилось возможные значения выражения из условия - остается только сделать объединение этих отрезков, что и будет нашим ответом.

Показать ответ и решение

Первое решение. Заметим, что $x2+y2 = 1$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $φ ∈[0;2π]$ такое, что $x =sin φ,y =cosφ$ . Тогда выражение из условия приобретает вид

3arcsinsin φ− 2arccoscosφ.

Разберём несколько случаев:

- $φ∈ [0;π]: 2$ тогда $arcsin sinφ= φ,arccoscosφ= φ$ , a $3arcsinsinφ − 2arccoscosφ = 3φ − 2φ = φ$ следовательно, при $φ ∈[0;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[0;π] 2$ ;

- $φ∈ [π;π] 2$ : тогда $arcsinsinφ =π − φ,arccoscosφ =φ$ , a $3arcsinsinφ − 2 arccoscosφ= 3(π − φ)− 2φ= 3π− 5φ;$ следовательно, при $φ ∈[π;π] 2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[−2π;π] 2$ ;

- $[ 3π] φ∈ π; 2$ : тогда $arcsin sinφ= π− φ,arccoscosφ= 2π− φ$ , a $3arcsinsinφ− 2arccoscosφ =3(π− φ)− 2(2π− φ)= −π− φ;$ следовательно, при $[ 3π-] φ ∈ π;2$ выражение (*) принимает все значения из промежутка $[ 5π ] −2 ;−2π$ ;

- $[3π- ] φ∈ 2 ;2π$ : тогда $arcsinsin φ= φ− 2π,arccoscosφ = 2π − φ$ , a $3arcsinsin φ− 2arccoscosφ= 3(φ − 2π)− 2(2π− φ)= −10π+ 5φ;$ следовательно, при $[3π ] φ ∈ 2 ;2π$ выражение $(∗)$ принимает все значения из промежутка $[ 5π ] − 2 ;0$ .

Суммируя всё вышесказанное, получаем, что выражение $(∗)$ при $φ∈ [0;2π]$ принимает все значения из промежутка $[ 5π-π ] − 2 ; 2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Переберём случаи

$x,y ≥ 0$ . $π arcsinx ∈[0,2]$ и $√----2 cos(arcsinx)= 1− x = y$ . Тогда $arcsinx= arccosy$ и $π 3arcsinx− 2arccosy =arcsinx∈ [0,2].$
$x ≥0 ≥y$ . $π arcsinx∈ [0,2]$ и $√ ----- cos(arcsinx)= 1− x2 =− y$ . Тогда $π − arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx− 2π ∈ [−2π,π2].$
$y ≥0≥ x$ . $arcsinx∈ [− π2,0]$ и $√ ----- cos(arcsin x)= 1− x2 =y$ . Тогда $arcsinx= − arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =5arcsinx∈ [− 5π2 ,0].$
$x,y ≤ 0$ . $arcsinx ∈(− π2,0]$ и $√----- cos(arcsinx)= 1− x2 = −y$ . Тогда $π +arcsinx= arccosy$ и $3arcsinx− 2arccosy =arcsinx− 2π ∈[− 5π2 ,−2π].$

Ответ:

$[− 5π,π]. 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43271

Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости $Oxy$ множество решений неравенства

( 2 2 ) ( 2 2 ) y − arcsin (sinx) ⋅ y − arcsin(sin(x +π∕3))⋅

( 2 2 ) ⋅ y − arcsin(sin(x− π∕3)) <0.

Источники: ОММО-2018, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусами, в аргументах которых синусы -> прибавление к аргументу синуса 2π (или вычитание) ничего не изменит. Значит, нам достаточно работать только с отрезком длины 2π, возьмем, например, от -π/2 до 3π/2. Посмотрим на то, как именно раскрывается arcsin(sin(x)) на отрезках от -π/2 до π/2 и от π/2 до 3π/2.

Подсказка 2

На первом отрезке арксинус превратится в х², а на втором - в (π-х)². Тогда мы можем, грамотно применив разность квадратов, нарисовать области, которые нам подходят. Достаточно будет выбрать одну, и если она не будет подходить, то все соседние к ней подойдут, ведь при переходе через "ноль" будет меняться знак исходного выражения.

Подсказка 3

Важно отметить, что скобки отличаются собой только аргументами синуса, а это значит, что графики этих выражений будут идентичны и смещены друг от друга на расстояние π/3. Поэтому получится очень много квадратиков (так как изначально график любой изначальной скобки и составлял цепочку квадратов), и именно отсюда, после получения цепочек квадратиков нужно будет найти один подходящий, а затем дважды переходить через "ноль" и закрашивать нужную область.

Показать ответ и решение

Выражение слева не меняется при изменении $x$ на период $2π$ . Поэтому достаточно разобраться с графиком на отрезке длины $2π$ , например, $π 3π [−2; 2 ].$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то $2 2 arcsin (sinx)= x .$

Если $π 3π x∈ [2; 2 ],$ то $2 2 arcsin (sinx)= (π − x) .$

Рассмотрим в выражении из условия первую скобку, для второй и третьей построение будет аналогично, но со сдвигом на $π 3.$

Если $π π x∈ [− 2;2],$ то получаем неравенство $(y− x)(y+ x)<0.$

Если $π 3π x∈ [2;-2 ],$ то получаем неравенство $(y +π − x)(y +x− π)< 0.$

Теперь рассмотрим график ниже, отметим области под одной прямой и над другой:

$PIC$

$y2 − arcsin2(sinx)< 0$ в квадратах.

Для второй и третьей скобки будут те же квадраты, только сдвинутые на $π3$ и на $− π3$ по оси $x.$

Ответ:

$PIC$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#61176

Сравните числа

sin2016∘- sin2018∘- sin2017∘ и sin2019∘

Источники: ОММО-2017, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим, что углы нетабличные и каждое выражение явно посчитать мы не сможем. Но для сравнения можно поставить знак < или >, а потом равносильными преобразованиями свести к заведомо верному неравенству с тем же знаком. Но как же работать с таким неравенством, если у нас нет формулы деления синусов?

Подсказка 2

Домножить на знаменатели и получить в обеих частях неравенства произведения синусов! Теперь надо подумать: поменяется ли после такого домножения знак неравенства?

Подсказка 3

Для этого можно использовать формулы приведения и свести всё к острым углам. А после применения формулы произведения синусов осталось сравнить косинусы двух острых углов: можете сделать это по тригонометрической окружности :)

Показать ответ и решение

По формулам приведения $sin2016∘ = sin(360∘⋅5+ 180∘+ 36∘) =− sin36∘ < 0$ . Аналогично остальные синусы из условия тоже отрицательны.

Поэтому неравенство

sin2016∘ sin 2018∘ sin2017∘ < sin-2019∘

равносильно (умножили на произведение двух отрицательных чисел, которое положительно, поэтому знак неравенства сохраняется)

sin2016∘⋅sin2019∘ < sin2017∘⋅sin2018∘

По формулам произведения синусов получаем

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos3 − cos4035 < cos1 − cos4035 ⇐ ⇒ cos3 < cos1

Для острых углов чем больше угол, тем меньше косинус (более формально, функция $f(x)= cosx$ на промежутке $(0;π) 2$ убывает), поэтому последнее неравенство справедливо , а значит, и доказываемое неравенство верно.

Ответ:

sin2016∘ sin-2018∘ sin2017∘ < sin 2019∘

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#98294

Вычислите

4 2arctg 2+arcsin5.

Показать ответ и решение

Первое решение.

Обозначим $arctg2$ через $α,arcsin4∕5$ через $β$ . Заметим, что $β ∈(0,π∕2)$ , a $2 2 ( 2 ) 2 2 tg β = sin β∕ 1− sin β = 4∕3$ , откуда $tgβ =4∕3$ ; также $tgα = 2,α ∈(0,π∕2)$ .

Находим:

2tgα 2⋅2 4 tg(2α)= 1−-tg2α-= 1−-22-= −3 -tg(2α)+tgβ- --−-4∕3+-4∕3-- tg(2α+ β)= 1− tg(2α)tgβ = 1− (− 4∕3)⋅(4∕3) = 0

Наконец, поскольку $0< α< π∕2,0< β <π∕2$ , то $0< 2α+ β < 3π∕2$ . Значит, $2α+ β = π$ .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Отметим на координатной плоскости точки $O(0,0),A(3,0),B(3,4),C(− 5,10)$ , $D (− 5,0)$ . Поскольку угловой коэффициент прямой $OB$ равняется $4∕3$ , а угловой коэффициент прямой $BC$ равняется $− 3∕4$ , получаем, что $∠OBC = 90∘$ .

В треугольнике $OAB :∠OAB = 90∘,AB = 4,BO = 5$ ; значит, $∠AOB = arcsin4∕5$ . В треугольнике $OBC :∠OBC = 90∘,BO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠BOC =arctg2$ . В треугольнике $OCD :∠ODC = 90∘$ , $DO = 5,BC = 10$ ; значит, $∠COD = arctg2$ .

Таким образом,

arcsin4∕5+2arctg2 =∠AOB +∠BOC + ∠COD =∠AOD =π

Ответ:

$π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#49147

Для $x= π- 2n$ найдите значение суммы

2 2 2 2 cos (x)+ cos (2x)+ cos (3x)+ ...+ cos (nx).

Источники: ОММО-2015, номер 6, (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Тут нам не очень удобно работать, так как в формуле квадраты косинусов. Давайте воспользуемся формулой cos^2(x) = (1+cos(2x))/2 и приведем все слагаемые к бесквадратному виду.

Подсказка 2!

Теперь нам нужно посчитать сумму (1 + cos(2x) + 1 + cos(4x) + ....... + 1 + cos(2nx))/2. То есть это n/2 + сумма косинусов /2. Давайте добавим и вычтем cos(0) для удобства. Теперь нам нужно просто посчитать сумму косинусов от 0 до 2nx!

Подсказка 3!

Чтобы посчитать, нужно вспомнить, что 2nx = Pi по условию! Попробуйте как-то сгруппировать слагаемые :)

Показать ответ и решение

Первое решение.

Воспользуемся тождеством $2 1+cos2t cos t= 2 .$

Тогда по условию нам надо посчитать

n+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx n− 1 S -----------------2------------------= -2--+ 2,

где $S = cos0x+ cos2x+ cos4x+ ...+ cos2(n− 1)x+ cos2nx.$

По условию $2nx= π,$ так что для любого $t$ выполнено $cos(2nx− t)= cos(π− t)= − cost.$ Появляется идея: разбить слагаемые-косинусы на пары по аргументам $t< − >2nx− t,$ потому что сумма косинусов у каждой такой пары равна нулю.

В сумме $S$ количество слагаемых $n+ 1$ . Если $n$ нечётно, то все слагаемые разбиваются на пары с нулевой суммой за счёт сказанного выше. Если $n$ чётно, то паре не найдётся слагаемому $cos(nx)$ , но оно равно нулю.

В итоге $S = 0$ для любого $n,$ так что ответ $n−21.$

Второе решение.

Заметим, что

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos2 kπ + cos2 (n-− k)π =cos2 kπ +cos2 π− kπ = cos2 kπ + sin2 kπ = 1. 2n 2n 2n 2 2n 2n 2n

Если $n$ нечетно, разобьем все слагаемые, кроме $cos2(nx)$ , на пары, что сумма чисел в паре равна 1 . Отсюда разбитые на пары слагаемые дают сумму $n−1 2$ , а $cos2(nx)= cos2(π)= 0 2$ . Если же $n$ четно, то без пары остаются и $cos2(nx)= cos2(π) =0 2$ , и $cos2(π)= 1 4 2$ . И в том, и в другом случае полная сумма равна $n−-1. 2$

Ответ:

$n−1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31195

Решите систему

{ tg2x+ ctg2x= 2sin2y; sin2y +cos2 z = 1.

Источники: ОММО-2013, номер 5, (см.olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Давайте внимательнее посмотрим на первое уравнение. Слева квадраты обратных чисел, справа максимум 2. Вспомним, что a + 1/a >= 2! То есть у нас должно достигаться равенство двойке.

Подсказка 2!

Попробуйте использовать это и получить теперь условия на sin(y), tg(x), cos(z)!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Вычтем из обеих частей первого уравнения число $2 =2tgx⋅ctg x$ и оценим обе части

2 2 0≤ (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)≤ 0

равенство может быть только в случае

2 2 0= (tgx − ctgx)= 2(sin y− 1)= 0

Таким образом, система из условия сводится к

(| tgx= ctgx { sin2y = 1 |( 1+ cos2z = 1.

Решая каждое из уравнений, приходим к ответу:

(| x= π+ πk,k∈ ℤ { y = 4π+ π2n,n∈ ℤ |( z = 2π+ πt,t∈ ℤ. 2

Второе решение.

В первом уравнении системы правая часть не превосходит $2$ в силу области значений синуса, а левая часть по неравенству о средних для двух положительных (ни квадрат тангенса, ни квадрат котангенса не могут быть равны нулю, иначе один из них будет не определён) чисел не меньше $2tgx⋅ctgx = 2.$ При этом должно достигаться равенство. Это возможно тогда и только тогда, когда $sin2 y = 1$ и $tg2x= ctg2x =1.$

С учётом полученного второе уравнение системы равносильно $cos2z = 0.$

Итого $x = π+ πk,k∈ ℤ 4 2$ , $y = π+ πn,n∈ ℤ 2$ и $z = π+ πt,t∈ ℤ 2$ (здесь важно писать разные буквы для целых параметров, иначе у переменных появляется дополнительная линейная зависимость, которой быть не должно).

Ответ:

$(π + πk;π +πn;π +πt); n,k,t∈ ℤ 4 2 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#64372

Решите уравнение

2|x +2|cosx =x+ 2

Источники: ОММО-2011, номер 1, (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Если $x =− 2$ , то равенство верно, иначе

$x +2> 0$
$1 π 2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐ ⇒ cosx =2 ⇐⇒ x =± 3 + 2πn(n∈ℤ) >− 2$
Подходят $x= ± π+ 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .
$x +2< 0$
$1 2π −2(x+ 2)cosx= x+ 2⇐⇒ cosx= −2 ⇐⇒ x =± 3-+ 2πn(n ∈ℤ)< −2$
Здесь подойдут $x = 2π-− 2πn,n∈ ℕ 3$ , а также $x= − 2π− 2πn,n ∈ℕ ∪{0} 3$ .