Тема ММО (Московская математическая олимпиада)

Функции на ММО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85487

Существует ли на координатной плоскости точка, относительно которой симметричен график функции $f(x)= -1-- 2x+1$ ?

Источники: ММО - 2024, второй день, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка

Давайте подумаем, что нам даст факт того, что относительно какой-то точки график симметричен? Это значит, что если - это точка а, то f(x) - a - нечетная. Давайте тогда, попробуем найти такие а, что f(x) - a + f(-x) - a = 0(условие на нечетность). После того как мы это запишем, то получим то некоторое условие на а.

Показать ответ и решение

Покажем, что функция $g(x)= f(x)− 1 2$ является нечётной. Действительно,

---1-- 1 -2x-- 1 1 -1--- g(− x) =2−x +1 − 2 = 2x+ 1 − 2 = 2 − 2x +1 =− g(x).

Следовательно, график функции $g$ симметричен относительно начала координат, а график функции $f$ симметричен относительно точки $( ) 0,12$ .

Ответ: да

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67554

К графикам функций $y = cosx$ и $y =a tgx$ провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого $a⁄= 0$ .

Источники: ММО-2023, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Как доказать, что две прямые на координатной плоскости перпендикулярны?

Подсказка 2

Нужно доказать, что произведение их коэффициентов наклона равно -1!

Подсказка 3

Как найти коэффициент наклона касательной?

Подсказка 4

Он равен значению производной в точке касания!

Подсказка 5

Обозначьте за x₀ точку пересечения графиков и запишите, что это означает. Потом воспользуйтесь наблюдениями выше.

Показать доказательство

Абсцисса $x 0$ любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенства $cosx = atg x 0 0$ . В этой точке касательная к графику функции $y =cosx$ имеет угловой коэффициент $k1 = − sinx0$ , а касательная к графику функции $y = atg x$ имеет угловой коэффициент $--a-- k2 = cos2x0$ . Поскольку

asinx0 a tgx0 k1⋅k2 = − cos2x0 = −-cosx0 =− 1

эти касательные перпендикулярны друг другу.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67676

Дана строго возрастающая функция $f :ℕ −→ ℕ 0 0$ (где $ℕ 0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f (m ))= f(n)+ m+ 1$ для любых $m,n ∈ℕ0.$ Найдите все значения, которые может принимать $f(2023).$

Источники: ММО-2023, 11.1 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Смотрим на условие задачи внимательно и ищем, за что зацепиться: "функция строго возрастающая", "числа целые неотрицательные", ещё и равенство для функции без всяких степеней, ещё и единичка прибавляется с одной стороны... Мы видим, что правая часть равенства из условия при увеличении m на 1 увеличивается ровно на 1 (эта идея возникает из возрастания функции и целых значений), тогда имеет смысл посмотреть, а как в таком случае меняется левая часть?

Подсказка 2

Если мы оставим n таким же, а m увеличим на 1, то видим, что левая часть изменилась ровно на 1, а, значит, f(n + f(m+1)) = f(n + f(m)) + 1. То есть слева аргумент функции "почти" увеличился на 1 (на самом деле увеличился на 1 аргумент функции внутри аргумента нашей функции:)), а справа увеличилась на 1 сама часть, вне функции... А вспомним-ка про возрастание функции и применим f(m+1) >= 1 + f(m).

Подсказка 3

Теперь мы должны прийти к тому, что вместо неравенства должно выполняться равенство f(m + 1) = f(m) + 1 для любого целого неотрицательного m.

Подсказка 4

Мы уже связали f(m) и f(m+1), остаётся лишь найти f(0), чтобы стартовать от этого значения. Попробуйте подставить в условие самые базовые значения переменных - нули - и найдите f(0).

Подсказка 5

Теперь окончательно получается f(m) = m + 1. Остаётся найти f(2023) и написать ответ!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Так как функция $f :ℕ0 −→ ℕ0$ строго возрастает, то

f(n+ f(m + 1))≥ f(n +f(m)+ 1)≥f(n+ f(m ))+1

Но по условию правая часть равна $(f(n)+ m +1)+ 1$ и левая часть равна $f(n)+ (m + 1)+1,$ значит, в обоих неравенствах должно достигаться равенство, то есть при увеличении аргумента на 1, значение функции тоже увеличивается ровно на 1:

f(m+ 1)= f(m )+1

Остаётся найти $f(0).$ Для этого в исходное условие подставим $m =0$ и получим

f(n +f(0)) =f(n)+1 =f(n+ 1) =⇒ f(0) =1

В итоге для любого $n∈ ℕ0$ получаем $f(n)= n+ 1,$ откуда $f(2023)= 2024.$

Второе решение.

Подставим $m = 0.$ Получаем $f(n+ f(0))= f(n)+ 1.$

После подстановки $n =0$ получаем $f(f(0))= f(0)+ 1.$ Тогда $f(a)= a+ 1,$ где $a =f(0).$ Заметим, что при $a⁄= 0,$ ведь иначе $f(0)=f(0)+1.$ Итак, $a∈ ℕ.$

После подстановки $n =a$ получаем $f(a+ a)=f(a)+1 =a +2.$ Поэтому значения функции на концах отрезка $[a;2a]$ являются двумя последовательными натуральными числами.

По условию функция $f :ℕ0 −→ ℕ0$ строго возрастает, а значит, на отрезке $[a;2a]$ не должно быть других целых точек помимо $a$ и $2a,$ так как в противном случае значения в этих точках совпадали бы с $a +1$ или $a+ 2,$ что противоречило бы строгому возрастанию. Тогда $2a− a= 1,$ откуда получаем $a= 1.$

Итак, $f(0)=1,f(n+ 1)= f(n)+1,$ откуда для любого $n∈ ℕ 0$ получаем $f(n)= n+ 1.$

В итоге $f(2023)=2024.$

Ответ: 2024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#72042

В декартовой системе координат $($ с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y)$ нарисовали график показательной функции $y = 3x.$ Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y?$

Источники: ММО-2022, 11.2 (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Наверное, надо как-то воспользоваться тем, что основание степени это 3. Для начала подумайте, что мы можем сказать про абсциссы точек нашего графика, у которых ординаты отличаются в 3 раза...

Подсказка 2

Если у точек ординаты отличаются в 3 раза, то абсциссы отличаются на 1. Давайте отметим на графике точку A. Что хочется сделать, если мы держим в голове предыдущие рассуждения?

Подсказка 3

Хочется найти точку, у которой ордината больше в три раза. Давайте для этого опустим на ось ох перпендикуляр AB. Тогда длина AB это ордината точки A. На луче BA за точку A можно отложить точку C такую, что AC=2AB, тогда C будет искомой. Как найти точку на графике с той же ординатой?

Подсказка 4

Можно провести в точке C прямую, параллельную оси абсцисс. Тогда точка пересечения этой прямой и графика будет искомой (пускай это точка D). Опустим перпендикуляр DN на ось ox ⇒ длина BN это 1. Как с помощью этого можно найти точку пересечения графика с оcью ординат?

Подсказка 5

Все очень просто! Давайте на луче BA от точки B отложим отрезок BQ, равный BN. Тогда прямая, проходящая через Q, параллельно оси ox будет прямой y=1 ⇒ её точка пересечения с графиком функции будет точка с координатами (0, 1). Докрутите размышление и восстановите ось Оy!

Показать доказательство

Будем использовать стандартные построения циркулем и линейкой, изучаемые в школе: построение перпендикуляра к данной прямой из данной точки, а также построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

Отметим на графике произвольную точку $A$ и построим перпендикуляр $AB$ к оси $x$ . На продолжении отрезка $BA$ за точку $A$ отметим такую точку $C,$ что $AC = 2AB.$ Далее построим прямую, проходящую через точку $C$ параллельно оси $x,$ и обозначим через $D$ точку её пересечения с графиком. Тогда длина отрезка $CD$ равна 1.

$PIC$

Действительно, если $A$ имеет координаты $(x0,3x0),$ то ордината точки $D$ равна $3⋅3x0 = 3x0+1,$ поэтому её абсцисса равна $x0+ 1.$

Отметим теперь на луче $BA$ точку на расстоянии $CD = 1$ от точки $B$ и проведём через неё прямую, параллельную оси $x.$ Она пересечёт график в точке $(0,1),$ т. е. в той же точке, что и ось $y.$ Для завершения построения остаётся провести через эту точку прямую, перпендикулярную оси $x,$ — это и будет искомая ось $y.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92161

Существует ли функция $f$ , определённая на отрезке $[− 1;1]$ , которая при всех действительных $x$ удовлетворяет равенству

2f(cosx)= f(sinx)+sinx?

Источники: ММО - 2021, первый день, 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Предположим, что такая функция существует. Правая часть уравнения зависит только от синуса, а левая — только от косинуса. На что можно заменить аргумент х, чтобы sin(x) не изменился? Какой вывод можно отсюда сделать?

Подсказка 2

Заменой х на (pi-x) получаем, что функция чётная на всём рассматриваемом отрезке. А если мы теперь захотим изменить аргумент чтобы, наоборот, его косинус не изменился?

Подсказка 3

Заменяя х на (-х) и пользуясь чётностью функции, мы приходим к противоречию!

Показать ответ и решение

Пусть такая функция существует. Тогда, подставляя $π− x$ вместо $x$ в данное равенство, получаем

2f(− cosx)= f(sinx)+sin x.

Значит, $f(− cosx)= f(cosx)$ при всех $x$ , поэтому $f(−t)= f(t)$ при всех $t∈ [−1;1]$ , то есть функция $f$ четная.

С другой стороны, подставляя в исходное равенство $− x$ вместо $x$ , получим

2f(cosx)=f(− sinx)− sin x,

а поскольку $f$ четная, то $f(− sinx)= f(sin x)$ , поэтому

2f(cosx) =f(sinx)− sinx.

Вычитая это равенство из исходного, получаем $sinx= 0$ при всех $x$ . Противоречие.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#65463

Существует ли такая непериодическая функция $f,$ определённая на всей числовой прямой, что при любом $x$ выполнено равенство

f(x+ 1) =f(x+ 1)f(x)+1?

Источники: ММО-2020, 11.2, (см. mmo.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

для начала подумаем, какой ответ) Если ответ да, то нужно привести пример. А если нет - то можно попробовать явно показать, что всегда существует период...

Подсказка 2

получается, что если же хотим показать, что существует период, то стоит попробовать выражать f в какой-то точке с помощью f в какой-то другой точке, и искать период, но как использовать равенство, данное условии?...

Подсказка 3

из условия можно выразить f(x+1) через f(x)! Остается лишь выражать и подставлять f(x+1) через f(x), далее вместо f(x) выражение с f(x-1) и так далее, и искать период.

Показать ответ и решение

Покажем, что любая функция, удовлетворяющая условиям, имеет период $3.$ Действительно, из уравнения следует, что $f$ не принимает значения $1.$ В самом деле, если $f(x0)= 1,$ то $f(x0+1)= f(x0 +1)+ 1,$ что невозможно. Следовательно, $--1-- f(x+ 1)= 1− f(x),$ поэтому, применяя последовательно это равенство, получаем:

1 f(x+ 1)− 1 1 f(x +3)= 1−-f(x+2) = -f(x-+1)--= 1− f(x+-1) = f(x)

Ответ:

Нет

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#73722

Найдите все такие $a$ и $b,$ что $|a|+ |b|≥ 2√- 3$ и при всех $x$ выполнено неравенство

|a sinx+ bsin2x|≤1

Источники: ММО-2014, задача 11.2(см. mmo.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим случай, когда числа $a$ и $b$ имеют один знак. В этом случае $|a|+|b|= |a+b|.$ Пусть $x= π. 3$ Тогда $2x= 2π,sinx= sin2x= √3 3 2$ и $√3 √3 1 ≤|asinx+ bsin2x|=|a+ b| 2 =(|a|+ |b|) 2 ≥1.$ Отсюда получаем, что $√2 |a|+|b|= 3,$ а в точке $π x= 3$ функция $f(x)= asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $π x= 3$ является точкой экстремума для функции $f(x)$ и $′π f(3)= 0.$ Имеем

π π 2π a− 2b f′(3)= acos3 + 2bcos-3 =--2--= 0

Следовательно, $a= 2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= 2√3,$ получаем, что возможны лишь два варианта $a= 34√3,b= 3√23-$ или $a =− 3√43-,b= − 3√23.$

Рассмотрим теперь случай, когда числа $a$ и $b$ имеют разные знаки. В этом случае $|a|+|b|= |a − b|.$ Пусть $x = 2π3-.$ Тогда $√- 2x= 4π3 ,sinx= − sin2x=-32$ и $√- √- 1≤ |asinx+ bsin2x|=|a− b|-32 =(|a|+ |b|)-32 ≥1.$ Отсюда получаем, что $|a|+ |b|= √23,$ а в точке $x = 2π3-$ функция $f(x)=asinx+ bsin2x$ принимает либо своё наибольшее значение $1,$ либо своё наименьшее значение $− 1.$ Значит, точка $x= 2π3$ является точкой экстремума функции $f(x)$ и $f′(2π3 )= 0.$ Имеем:

f′(2π-)=acos2π+ 2bcos 4π-= −a−-2b= 0 3 3 3 2

Следовательно, $a= −2b.$ Учитывая равенство $|a|+ |b|= √2 3$ получаем, что возможны лишь два варианта: $a= −-4√-,b= -2√- 3 3 3 3$ или $a =-4√-,b= −-2√-. 3 3 3 3$

Проверим, что четыре найденные пары значений удовлетворяют условию задачи. Действительно, $|a|+ |b|= √2. 3$ Функция $f(x)$ принимает свои наибольшее и наименьшее значения в таких точках $x,$ для которых $f′(x)= 0.$ Найдём такие точки $x.$ Имеем:

f′(x)= acosx +2bcos2x =a(cosx ±cos2x)= 0

где знак в скобках выбирается положительным, если $a$ и $b$ одного знака, и отрицательным иначе. Следовательно, во всех точках экстремума функции $f(x)$ имеем $|cosx|= |cos2x|.$ Значит, при таких $x$ выполнено также равенство $|sinx|= |sin2x|.$ Отсюда $|sin2x|= |sin x||cosx|$ и либо $sinx= 0,$ либо $|cosx|= 12.$ В первом случае $f(x)= 0,$ во втором $|sin√32 |,|sin 2x = √23|$ и

√- √- |f(x)|≤ |a|-3+ |b|-3-=1 2 2

Таким образом, во всех точках экстремума функции $f(x),$ а следовательно, и во всех вообще точках $x,$ имеем $|f(x)|≤1.$

Ответ:

$a =± √4-,b= ± √2 3 3 33$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#82695

Решите уравнение

63 62 61 2 63 (x +1) +(x+ 1) (x − 1)+ (x +1) (x− 1) + ...+ (x − 1) =0

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

n n n−1 n−2 n−2 n−1 a − b =(a− b)(a + a b+ ...+ ab + b )

Пусть $a= x+1,$ $b= x− 1$ и $n= 64.$ Тогда в разложении вторая скобка равна левой части в уравнении из условия задачи. Тогда умножим и разделим исходное уравнение на $a− b= (x +1)− (x − 1).$