Тема Росатом

Тригонометрия на Росатоме

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела росатом

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#119612

Найти среднее арифметическое решений уравнения

√---------------- √ ---- √---- √---- sinx− sin2x+ sin3x= sinx− sin2x+ sin 3x

на отрезке $[0;2π].$

Источники: Росатом - 2025, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Так как подкоренные выражения неотрицательные, то можно ввести такие обозначения: $a2 = sinx$ , $b2 = sin2x$ , $c2 = sin3x$ . Преобразуем уравнение:

∘--------- a2− b2+ c2 = |a|− |b|+ |c|

({ a2− b2 +c2 = (|a|− |b|+ |c|)2 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

( { (|a|− |b|)(|b|− |c|)= 0 ( |a|− |b|+|c|≥ 0

[ |a|= |b| |b|= |c|

Случай 1. $|a|=|b|$ .

(| sin x= sin2x ||||| |{ sin x≥ 0 ||| sin 3x ≥0 ||||( x ∈[0;2π]

sin(2x)− sin(x)= 0

2sin(x)cos(x)− sin(x)= 0

sin(x)(2cos(x)− 1)= 0

⌊ ⌈ sin(x)= 0 2cos(x)= 1

⌊ x = 2πn,n∈ ℤ || π ||| x = 3 + 2πk,k ∈ℤ ⌈ 5π x = 3 + 2πk,k ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,3,π,2π.$

Случай 2. $|c|=|b|$ .

( ||||| sin3x= sin2x ||{ sin3x≥ 0 || ||||| sinx ≥0 ( x∈ [0;2π]

sin(3x)− sin(2x)= 0

(5x) (x) 2cos 2 sin 2 = 0

⌊ ( ) | cos 5x- = 0 |⌈ (x2) sin 2 = 0

⌊ | x= π + 2kπ,k∈ ℤ ⌈ 5 5 x= 2πn,n ∈ℤ

С учётом ограничений решением данной системы являются: $π 0,5,π,2π.$

Объединяя решения, получаем: $π π 0,5,3,π,2π.$

Таким образом, среднее арифметическое решений:

0+ π+ π+ 2π+ π 53π ---3--5------5-= 75-

Ответ:

$53π 75$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#83297

Пары чисел $(x;y)$ связаны соотношениями

----sin2x----- -----cosy----- ------1------ 1+cosy− sin2x = 1+ sin2x− cosy = sin2x+ cosy− 1.

Найти наибольшее возможное значение величины $cos22x+ sin2y$ .

Источники: Росатом-2024, московский вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем равенство первого и второго выражений (домножим на знаменатели, приведём подобные и разложим на множители):

(sin2x− cosy)(sin2x +cosy+1)= 0

Аналогично сделаем с равенством первого и третьего выражений:

(sin2x− 1)(sin2x+ cosy +1)= 0

Рассмотрим $4$ случая:

$1)sin 2x =cosy$ и $sin2x= 1$ . В этом случае $cos22x +sin2y =0$ .

$2)sin 2x =cosy$ и $sin2x+ cosy +1= 0$ , тогда $sin2x= cosy = − 1 2$ и $cos22x +sin2y = 3 2$ .

$3)sin 2x +cosy+1 =0$ и $sin2x= 1$ . Тогда $cosy =− 2$ , что невозможно.

$4)sin 2x +cosy+1 =0$ . Запишем $cos22x+ sin2y$ как $2− sin22x− cos2y$ . Теперь вместо $sin2x$ подставим $− 1− cosy$ и преобразуем: $1− 2cosy− 2cos2y = 3− 1(1+2 cosy)2 2 2$ . Видно, что максимум равен $3 2$ и он достигается при $cosy =− 1 2$ . Осталось заметить, что $cosy = sin2x= − 1 2$ не зануляют знаменатели в изначальных равенствах.

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83306

Решить уравнение

x x 4cosπx =[lg(100 ⋅3 )]− [lg[3]]

Здесь $[a]$ – целая часть числа $a$ – наибольшее целое число, не превосходящее $a$ .

Источники: Росатом - 2024, вариант регионов, 11.2 (по мотивам ММО - 2020, 11.2 второго дня)

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ

x x [3 ]≥1 =⇒ 3 ≥ 1 =⇒ x ≥0

Сделаем преобразования:

x x 4cosπx = [lg(100 ⋅3 )]− [lg[3 ]]

4cosπx= 2+ [lg(3x)]− [lg[3x]]

Докажем, что $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$ Пусть $[lg(3x)]= k,$ тогда $10k+1 > 3x ≥ 10k.$ Если взять целую часть, то получим $10k+1 > [3x]≥10k.$ То есть "перескочить"через целое невозможно, то есть в действительности $[lg(3x)]− [lg[3x]]= 0.$

Тогда получаем

4cosπx= 2 =⇒ cosπx= 1 2

⌊ ⌊ πx = π+ 2πk | x= 1 +2k ||⌈ 3 ⇐⇒ || 3 πx =− π+ 2πn ⌈ x= − 1+ 2n 3 3

С учетом ОДЗ получаем

⌊ x= 1 +2k, k ∈ℤ, k ≥0, || 3 |⌈ 1 x= − 3 + 2n, n∈ ℤ, n≥ 1

Ответ:

$1 +2k, k ∈ℤ, k≥ 0, 3$ $− 1+ 2n, n∈ ℤ, n≥ 1 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#68075

Решить уравнение

( 4 )( 4 ) 2 2 sin 5x+ 1 sin 3x+ 1 = 4sin 5x⋅sin 3x.

Источники: Росатом-2023, 11.2, Москва (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Выполним равносильные преобразования в исходном уравнении:

4 4 4 4 2 2 sin 5x ⋅sin 3x +sin 5x+ sin 3x+ 1− 4sin 5x⋅sin 3x = 0

(sin45x⋅sin43x− 2sin25x⋅sin23x+ 1)+ (sin45x − 2sin25x ⋅sin23x +sin43x)= 0

(sin25x⋅sin23x− 1)2+ (sin25x − sin23x)2 = 0

Сумма неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Тогда

( {sin25x⋅sin23x− 1= 0 (sin25x− sin23x= 0

Учитывая ограниченность синуса, имеем

( ( π ( π πn { |sin5x|=1 |{ 5x= 2 +πn |{ x= 10 +-5 ,n ∈ℤ ( |sin3x|=1 ⇔ |( 3x= π +πm ⇔ |( x= π + πm-,m ∈ℤ 2 6 3

Далее находим пересечение серий

({ π-+ πn = π+ πm-⇔ 3n− 5m =1 ⇔ n =2 +5k ,k ∈ℤ 10 5 6 3 (m = 1+3k

Окончательно получаем $π x= 2 + πk,k ∈ℤ$

Ответ:

$π + πk,k ∈ℤ 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75111

Решите уравнение

logsinxsin2x+ logsin2x sin3x+ logsin3x sinx=

=logsin2xsinx +logsin3xsin 2x +logsinxsin3x

Источники: Росатом-2023, 11.2, региональный (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Областью определения функций, входящих в исходное уравнение, являются значения $x$ , при которых $sinx ∈(0;1),sin2x∈ (0;1),sin3x∈$ $(0;1).$

Положим $u =logsinx sin2x$ и $v = logsin2x sin3x$ . Тогда, по формулам перехода от одного основания логарифма к другому имеем

logsinxsinx 1 1 logsin2xsinx = logsinxsin2x = logsinx-sin2x = u,

logsin3xsinx = logsin2xsinx-= -1. logsin2x sin3x uv

Далее, аналогично, $log sin2x= 1 sin3x v$ и $log sin3x= uv sinx$ . После этого исходное уравнение запишется так:

1- 1 1 u+ v+ uv = u + v + uv.

Перенося все члены из левой части уравнения в правую и выполняя стандартные преобразования, получаем

v+-u+-u2v2-− u2v−-uv2− 1 (u-+v)−-uv(u+-v)+(u2v2−-1)- uv = uv = = (u+-v)(1−-uv)+-(uv− 1)(uv-+1)= (uv−-1)(uv−-u− v-+1)= uv uv = (uv−-1)(u(v− 1)−-(v-− 1))= (uv− 1)(1-− u)(v-− 1)= 0. uv uv

Поэтому решениями преобразованного уравнения являются все значения $u$ и $v$ , удовлетворяющие хотя бы одному из равенств $u= 1$ , или $v =1$ , или $uv = 1$ при условии (это относится только к первым двум равенствам) $uv ⁄= 0$ .

Возвращаясь к исходному уравнению отсюда следует, что с учётом области определения, его решениями являются решения совокупности

u= logsinxsin2x =1,v = logsin2xsin3x= 1,uv =logsinx sin3x= 1.

Эта совокупность на области определения эквивалентна совокупности уравнений

sinx =sin2x,sin2x =sin 3x,sinx =sin 3x.

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx= sin2x⇔ sin x− sin2x= 0⇔ sinx− 2sinxcosx= 0⇔ sinx(1− 2cosx)= 0.

Это уравнение на области определения решений не имеет.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

sin2x= sin3x⇔ sin 3x − sin 2x =0 ⇔ 3x − 2x 3x+ 2x x 5x sin --2--cos--2---= sin2 cos 2-= 0.

Решения уравнения $sin x2 = 0$ в область определения не входят. Решениями уравнения $cos5x2-= 0$ являются $52x= π2 + πk,k$ — целое, т.е. $x = π5 + 2π5-k$ . При $k$ кратном $5$ такие $x$ принадлежат области определения, при остальных значениях $k$ - нет.

Рассмотрим третье уравнение совокупности:

sinx= sin3x⇔ sin 3x − sin x= 0⇔ sin 3x−-xcos 3x-+x-= sinxcos2x =0. 2 2

Решения уравнения $sinx =0$ в область определения не входят. Если $cos2x= 0$ , то $sin 2x =±1$ , поэтому решения уравнения $cos2x= 0$ в область определения также не входят.

Ответ:

$π + 2πn,n∈ Z 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#67504

Решите уравнение $f(x)= √3⋅g(x)$ для

f(x) =sinx +sin 3x +sin 5x +...+sin2021x; g(x)= cosx +cos3x+cos5x+ ...+cos2021x

Источники: Росатом-22, 10.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Такие тригонометрические телескопические суммы сворачиваются домножением и делением на $sinx$ (при этом нужно сказать, что синус ненулевой, потому что числа вида $x= πn,n ∈ℤ$ решениями уравнения не являются). После домножения получим вот что:

sinx⋅sinx+ sinx⋅sin 3x +...+ sinx ⋅sin2021x=

√- = 3(sinx⋅cosx+ sinx⋅cos3x+ ...sinx ⋅cos2021x)

Применим формулы произведения синусов

cos0x−-cos2x+-cos2x-− cos4x-+...+cos2020x−-cos2022x-= 2

√-sin2x+-sin4x−-sin2x+-...+-sin2022x-− sin-2020x = 3 2

Слагаемые удачно взаимноуничтожаются и остаётся

1− cos2022x= √3sin 2022x

√ - --3sin2022x + 1cos2022x= 1 2 2 2

( ) sin 2022x + π = 1 6 2

Откуда $x= πn-,n∈ ℤ 1011$ или $x = -π-+ -πk-,k∈ ℤ 3033 1011$ . Осталось учесть условие $sinx ⁄=0,$ так что $n ⁄=1011m,m ∈ℤ.$

Ответ:

$-πn , π + πk-, n⁄= 1011m, k,n,m ∈ ℤ 10113033 1011$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76629

Координаты $(x;y)$ точек в квадрате ${(x;y):0≤x ≤2π,0≤ y ≤ 2π}$ удовлетворяют системе уравнений

{ sin x+siny = sin1 cosx +cosy = cos1

Сколько таких точек находится в квадрате? Найти координаты $(x;y)$ наиболее удаленной точки от центра квадрата.

Источники: Росатом-2022, региональный вариант, 11.2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Умножаем первое уравнение на $cos1,$ второе — на $sin 1$ и вычитаем результаты:

(sinx+ siny)cos1− (cosx+ cosy)sin1 =0

(sinx cos1− cosxsin 1)+ (sinycos1 − cosysin1)= 0

sin(x− 1)+ sin(y− 1)= 0

sin(x− 1)= sin(1− y)

[ x− 1= 1− y+2πk x− 1= π− 1+ y+2πm

Умножаем первое уравнение на $sin1,$ второе — на $cos1$ и складываем результаты:

(sinx+ siny)sin1+ (cosx+ cosy)cos1 =1

(cosxcos1+ sinxsin 1)+ (cosycos1+sinysin1)= 1

cos(x− 1)+ cos(y− 1) =1

Из последнего равенства и первого уравнения совокупности имеем

⌊ y = π+ 1+ 2πs 2cos(y− 1)= 1⇒ cos(y− 1) =cosπ ⇒ |⌈ 3 3 y = 1− π+ 2πl 3

Из первой серии условию задачи удовлетворяет только $y1 = π + 1, 3$ из второй серии — только $y2 =1 + 5π . 3$ Им соответствуют серия $x1 = 2− y1+2πk,$ содержащая единственное значение $5π x1 = 1+ 3 ,$ и серия $5π- x2 = 2− y2+ 2πk ⇒ x2 = 1− 3 + 2πl$ также содержащая единственное значение $π x2 = 1+ 3.$

Случай соответствующий второму уравнению первой совокупности не реализуется, поскольку получаем противоречие

{ cos(x− 2)= − cos(y− 2) ⇒ 0= 1 cos(x− 2)+cos(y− 2)= 1

Ответ:

$2;(1+ 5π,1+ π),(1 + π ,1+ 5π) 3 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76647

На плоскости отмечено множество точек $M,$ координаты $x$ и $y$ которых связаны соотношением

sin(2x +3y)= sin2x+ sin3y.

Круг радиуса $R,$ расположенный на той же плоскости, не пересекается с множеством $M.$ Какие значения может принимать радиус такого круга?

Источники: Росатом-2022, московский вариант, 11.5 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

В левой части равенства применим формулу синуса двойного угла, а в правой части применим формулу суммы синусов:

2x+ 3y 2x+ 3y 2x+ 3y 2x − 3y 2sin---2--cos--2---= 2sin--2---cos--2---

2x+ 3y( 2x+ 3y 2x− 3y) 2sin---2-- cos--2---− cos---2-- =0

−4sin 2x-+3ysin3ysinx =0 2 2

Случай 1: $sin2x+3y-= 0⇒ 2x+ 3y =2πk,k∈ ℤ (1) 2$

Случай 2: $sin3y= 0⇒ y = 2πk,k∈ ℤ (2) 2 3$

Семейство горизонтальных прямых на плоскости с уравнениями $(2)$ принадлежат множеству $M.$

Случай 3:

$sinx= 0,y− любое ⇒ x= πk,k ∈ℤ.(3)$

Семейство вертикальных прямых на плоскости с уравнениями $(3)$ принадлежат множеству $M.$ Семейство прямых разбивает плоскость на равные прямоугольные треугольники с катетами $π$ и $2π: 3$

$PIC$

Радиус круга, вписанного $△ABC,$ равен $5−√613π.$ Если радиус круга, не имеющего с $M$ общих точек, имеет радиус $R ≥ 5−√613π,$ то его центр принадлежит одному из треугольников разбиения, а окружность его границы имеет общие точки со сторонами треугольника. Таким образом, радиус такой окружности меньше радиуса вписанной окружности.

Ответ:

$( 5− √13 ) 0;--6---π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#79624

При каких целых $n$ функция $f(x)= cosnx ⋅sin 15x- n2$ имеет период $T = 5π$ ?

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 2 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Условие задачи равносильно тому, что при всех вещественных $x$

15(x+-5π) 15x- cosn(x+ 5π)⋅sin n2 = cosnx⋅sin n2

(a) если $n$ чётно, то имеем равенство

15(x +5π) 15x cosnx⋅sin---n2---= cosnx ⋅sinn2-

( ) cosnx sin15x+275π-− sin152x = 0 n n

2cosnx⋅cos( 30x-+75π) ⋅sin 75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух косинусов

cosnx =0 ⇔ nx= π +πk (k ∈ℤ) ⇔ x = 1-+ k 2 π 2n n

( ) cos 30x-+75π- =0 ⇔ 30x+-75π-= π+ πm (m ∈ℤ) ⇔ x= n2 + mn2-− 5 2n2 2n2 2 π 60 30 2

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $2 x= π$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π 75π 2 sin2n2 =0 ⇔ 2n2 = πt (t∈ℤ) ⇔ 75= 2n t,

которое не может быть выполнено, так как число $75$ нечетно.

(b) если $n$ нечётно, то имеем равенство

15(x+ 5π) 15x − cosnx ⋅sin ---n2---= cosnx ⋅sin n2-

( ) cosnx sin15x+275π-+ sin152x = 0 n n

2cosnx⋅sin( 30x+-75π)⋅cos75π= 0 2n2 2n2

Найдём нули первых двух множителей

π x 1 k cosnx =0 ⇔ nx= 2 +πk (k ∈ℤ) ⇔ π = 2n-+ n

( ) 2 sin 30x+2n275π- = 0 ⇔ 30x2+n725π-=πm (m ∈ℤ) ⇔ xπ = n3m0-− 52

В обоих случаях отношение $x$ к $π$ рационально. Поэтому найдется такое значение $x,$ при котором два косинуса не обращаются в ноль (например, $x= π2$ ). Отсюда следует, что условие задачи равносильно равенству

75π- 75π π 2 2 cos 2n2 = 0 ⇔ 2n2 = 2 + πt (t∈ℤ) ⇔ 75 =2n t+2n

75 n2 = 2t+ 1

Так как $75 n2$ — целое, то $n2 = 25$ или $n2 =1,$ отсюда

n ∈{−5;−1;1;5}

Ответ:

$±1, ±5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90862

Решите неравенство

-sin2x- |cos2x| ≤ 2|sinx|− |cos2x|.

Источники: Росатом - 2021, 11.2, комплект 1 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cos2x ⁄=0$

Домножим на положительное число $|cos2x|$ .

2 2 2 sinx − 2|sinx||cos2x|+ cos 2x= (|sin x|− |cos2x|) ≤ 0

Значит, $|sin x|= |cos2x|$ . Значит, либо $sinx =1− 2sin2x$ , либо $sin x= 1− 2 sin2x$ . Из квадратных уравнений мы получаем, что $sinx= ±1 ± √5 2 2$ .