Школьный 8 - 9 класс

Проведём третий отрезок и получим равнобедеренный треугольник (см. рисунок ниже). Заметим, что треугольники и равны по двум сторонам и прямому углу , равному , а значит, . Тогда

. Откуда получаем, что , а значит, из равнобедренности,

Обозначим центр описанной окружности треугольника за . Тогда , а также . Так как треугольник равнобедренный, то — является высотой, а значит, . А также . Таким образом, и , а значит, — параллелограмм, откуда .

Аналогично получаем, что , а значит, и треугольник — равносторонний, а значит, .

Предположим, что первая встреча произошла через час после выезда. Так как она случилась в пункте , то пока первый за час проезжает два промежутка — между и и между и , второй проезжает три — между и , и , и и . Теперь расстояние между ними равно десяти промежуткам, так как им надо проехать до противоположных пунктов, а затем развернуться и проехать навстречу друг другу. Значит, что следующая встреча произойдёт через два часа и первый проедет четыре промежутка, остановившись в пункте .

Первая цифра года всегда будет равна , поэтому дата-палиндром должна иметь вид . Далее посмотрим на третью и пятую цифры. Они могут быть равны только или так как иначе номер месяца будет слишком большим. То есть даты бывают только двух видов и . Дата второго вида может быть только одна иначе год будет не из XXI-го века. Но как видим, в такой дате будет «нулевое» число — противоречие. Значит, даты бывает только первого вида: . Второй месяц это февраль и в нём дней. Любой из них даст одну возможную дату палиндром, так как год будет лежать в нужных переделах. Осталось только проверить возможную дату с февраля. Это будет в , что выпадает на високосный год, а поэтому такая дата корректна. Итого, получили возможных дат.

Пусть старшина отправил каждого -го из строя выполнять поручение. Тогда посмотрим на последнего ушедшего из него. Если он стоял последнем в строю, то число людей делилось на и после поручения их стало ровно на меньше от всего строя. Но тоже самое количество людей могло остаться, если бы последнего человека в строю не было. То есть мы получаем не более двух возможных исходов того, сколько людей могло быть в строю до назначения работы.

После последнего поручения в строю осталось от всего отряда, кроме может быть одного человека. То есть людей могло быть или же (во втором случае из строя выйдут трое человек, кроме условного -го, которого и так не было). После предпоследнего, в строю осталось от всего отряда, кроме может быть одного человека. В таком случае, если было человек, то до ухода их было или человек, а если , то , но так как число людей должно быть целым, то их могло быть только . После первого поручения в строю могло остаться от всего отряда, кроме может одного. То есть людей могло быть или , либо , то есть или же , то есть .

Шесть лет назад сёстрам было суммарно лет. Валя была старше Гали в два раза, откуда следует, что Гале было 4 года, а Вале 8. Значит, сейчас Гале 10 лет.

Рыцарь на этот вопрос ответит «нет». Лжец ответит «да», поэтому лжецов перед нами нет. Конформист может дать ответ «нет» только если стоит рядом с лжецом. Но лжецов перед нами нет, поэтому конформист может отвечать только «да». Раз никто не сказал «да», то и конформистов перед нами нет. Значит, перед нами стоят три рыцаря.

Раз одно из чисел делится на , то оно оканчивается на . Оба числа не могут оканчиваться на , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид и . Тогда их сумма равна , откуда . Значит, их разность равна .

Пусть скорость Саши в начале месяца была равна . По условию  — целое число. Также, числа , и тоже целые. Перебирая всевозможные делители числа получаем, что это может выполняться только для числа .

Распишем равенство :

Перебирая значения от 1 до 4 получаем, что подходит только 3. При равенство не достигается, ведь

После первого стирания на доске останутся только нечётные числа. Посмотрим на второе. Мы вычеркнем числа , , , …. Это числа, которые при делении на дают остаток . Это действительно так, потому что если мы вычернкнули число , то останутся числа , , а следующее — будет вычеркнуто. Числа и дают одинаковые остатки при делении на , а значит, мы действительно вычеркнем все числа, дающие остаток при делении на , так как первое вычеркнутое число равно . То есть оставшиеся числа разбиваются на пары, в которых первое число даёт остаток при делении на , а второе — . А при делении на эти числа дают остаток . Это означает, что остались числа дающие остаток и при делении на . Если пронумеровать пары оставшихся чисел, то в паре с номером будут стоять числа вида и . Числа стоящие на -ом и -ом месте попадают в пару под номером . Это значит, что там будут числа и . Их сумма равна .

Например, подойдёт число . Оно делится на , а его сумма цифр равна .

Предположим, что вор — Смит. Тогда Браун и Джонс оба сказали правду дважды. Противоречие. Предположим, что вор — Джонс. Тогда Браун и Смит один раз солгали и один раз сказали правду. Также получили противоречие. Если же вор — Браун, то тогда условие задачи выполняется. Других вариантов, очевидно, быть не может.

Конечно, можно для каждой корзины попробовать её убрать и посмотреть, можно ли оставшиеся разбить на две группы, подходящих под условие. Но можно сократить перебор:

Если яблок первого сорта стало в два раза больше яблок второго сорта, то общее количество оставшихся яблок должно делиться на . Первоначальное количество яблок равно штук. Так как делится на , то количество убранных яблок тоже должно делиться на . Поэтому варианты на и яблок не подходят. Если убрали яблок, то яблок второго сорта должно быть штук. Но штук нельзя набрать используя корзины на и яблок.

Осталось проверить, что ответы и достигаются. Для этого надо предъявить примеры, как могли быть распределены яблоки по группам (сортам), чтобы количество яблок в одной группе было в два раза больше, чем в другой. Действительно:

Раскроем скобки

Так как

Добавим к обеим частям равенства

И так как и положительные, получаем ответ.

Выделим в данном выражении два полных квадрата:

Итак, у нас получилось, что сумма двух неотрицательных выражений равна нулю. Такое возможно, только если оба выражения равны нулю, так как каждый их квадратов не отрицателен. То есть

Итак,

Заметим. что не найдётся 3 стоящих подряд девочек в красных кофтах (иначе для средней из них не выполняется условие). Разбив 36 детей на 12 троек, получаем, что в каждой из них не более 2 девочек в красных кофтах, а всего девочек в красных кофтах не больше .

Пример построить легко — в каждой из 12 троек по часовой стрелке располагаются две девочки в красных кофтах, а следом за ними мальчик в синей кофте:

Оценка: Рассмотрим людей, сказавших первую фразу. Среди них не более одного рыцаря (в ином случае рыцарь с наименьшим номером среди них соврал бы). Таким образом, всего рыцарей не больше 6. Также среди всех присутствующих есть хотя бы 1 рыцарь (в ином случая все лжецы, говорившие первую фразу, говорили бы правду).

Пример: Пусть люди говорят фразы в порядке их номеров футболок. Запишем в ряд номера произнесенных ими фраз:

• 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1: всего 6 рыцарей с номерами 1—5 и 10.
• 2, 2, 2, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1: всего 5 рыцарей с номерами 1—4 и 10.
• 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 4 рыцаря с номерами 1—3 и 10.
• 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 3 рыцаря с номерами 1—2 и 10.
• 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 2 рыцаря с номерами 1 и 10.
• 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1: всего 1 рыцарь с номером 10.

Обозначим рыцаря Р, лжеца - Л. Заметим, что каждый рыцарь стоит между рыцарем и лжецом, иначе он сказал бы неправду. Значит, рыцари стоят группами по двое.

Лжецы не могут стоять группами более чем из одного человека, так как в таком случае лжец, стоящий с краю групшы сказал бы правду. Значит, чередуются групшы из двух рыцарей и одного лжеца: РРЛРРЛРРЛ

Так как рыцарей 48, то лжецов 24. Таким образом, всего 72 человека.

Заметим, что количество гласных не должно быть больше половины от общего количества букв в слове, то есть больше 4, поскольку в каждом слоге с гласным есть хотя бы один согласный. Также количество гласных не может быть меньше от количества букв в слове, поскольку согласных максимум в два раза больше, чем гласных. Таким образом, 2 или меньше гласных в восьмибуквенном слове быть не может. Это означает, что возможные количества гласных - 4 или 3. В первом случае возможно только одно разбиение на слоги: сг-сг-сг-сг, а во втором случае возможны три разбиения: сгс-сгс-сг, сгс-сг-сгс, сг-сгс-сгс (с - согласный, г - гласный).

Посчитаем количества слов при каждом из четырех разбиений на слоги: сг-сг-сг-сг: сгс-сгс-сг: сгс-сг-сгс: сг-сгс-сгс: Общее количество восьмибуквенных слов в языке N равно сумме этих четырёх чисел, то есть .