14.02 Поиск основания системы счисления

Решение аналитически

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления:

Теперь решим новое линейное уравнение и найдем ответ:

Значит, искомое основание равно 13.

Решение программой

for i in range(4, 36):
    if int("31", i) == int("37", 11):
        print(i)
        break

Для удобства переведем все числа в десятичную систему счисления:



Теперь, когда все числа находятся в одной системе счисления, можем составить квадратное уранение:


;

Переведем искомое основание в троичную систему счисления: .

Решение программой

# В числе 323 - наибольшая цифра 3, значит x >= 4

# Функция int умеет переводить числа максимум из 36-ричной СС,
# так что перебираем до 36 включительно для x
for x in range(4, 36 + 1):  # Перебираем основание системы счисления

    # Переводим числа в 10-ричную систему счисления
    a = int("125", 8)
    b = int("10", 3)
    c = int("323", x)
    if a + b == c:  # Если выполняется равенство
        st = ""  # Переменная для троичной записи основания x
        while x > 0:
            st = str(x % 3) + st
            x //= 3
        print(st)

Решение руками:

Если запись числа четырехзначна, максимальное значение числа равно , где переменная - основание системы счисления. Это можно увидеть на примере с десятичной системой счисления. Максимальное четырехзначное число: , максимальное трехзначное число: . Аналогично перебираем другие системы счисления, удовлетворяющие условию задачи:
Двоичная: , слишком мало, запись числа 79 будет состоять более, чем из четырех цифр.
Троичная: . Значит, искомое значение – 3. Для проверки переведем 79 в троичную систему счисления: .

Решение программой:

for i in range(2, 20):
    x = 79
    x_new = ""
    while x > 0:
        x_new = str(x % i) + x_new
        x //= i
    if len(x_new) == 4:
        print(i)
        break

Решение руками:

Пусть основание нашей системы счисления это . Тогда , откуда следует, что .

Решение программой:

for i in range(2, 20):
    x = 17
    x_new = ""
    while x > 0:
        x_new = str(x % i) + x_new
        x //= i
    if x_new == "101":
        print(i)
        break

Решение руками

Переведем обе части уравнения в десятичную систему счисления.

Слева получим:

Справа получим

Решим уравнение

Получается, либо , либо . Так как основание СС не может быть отрицательным, ответ .

Решение программой

# Функция int умеет переводить числа максимум из 36-ричной СС,
# так что перебираем до 36 включительно

# Так как в числе 145 наибольшая цифра 5 - основание системы счисления x должно быть больше 5
# Поэтому перебор начнём с 6
for x in range(6, 36 + 1): # Перебираем основание системы счисления

    # Переводим оба числа в 10-ричную систему счисления
    a = int("230", 5)
    b = int("145", x)
    if a == b: # Если оба числа равны в 10-ричной системе счисления
        print(x) # Выводим искомое основание

for n in range(2, 10):
    # Перебор начинаем с 2 т.к.
    # при делении на 1 получается бесконечный цикл
    s = n**25 - 2*n**13 + 10
    summ = 0
    while s > 0:
        summ += s % n
        s //= n
    if summ == 75:
        print(n)

Решение руками

Для начала нужно оба числа перевести в 10-ричную систему счисления.

Теперь решим уравнение:

Основание системы счисления должно быть положительным числом, так что в ответ берём число 8.

Решение программой

# В числе 214 - наибольшая цифра 4, значит N >= 5
# В числе 165 - наибольшая цифра 6, значит N+1 >= 7 (то есть N >= 6)
# Таким образом, будем перебирать N, начиная с 6

# Функция int умеет переводить числа максимум из 36-ричной СС,
# так что перебираем до 36 включительно для N+1, то есть до 35 включительно для N
for N in range(6, 36): # Перебираем основание системы счисления

    # Переводим оба числа в 10-ричную систему счисления
    a = int("214", N)
    b = int("165", N+1)
    if a == b: # Если оба числа равны в 10-ричной системе счисления
        print(N) # Выводим искомое основание N

Решение руками

Для начала нужно все числа перевести в 10-ричную систему счисления.

Теперь решим уравнение:

Таким образом, ответом является число 9.

Решение программой

for x in range(17):
    a = x ** 2 + 2 * x + 4
    b = x + 6
    c = x ** 2 + 4 * x + 1
    if a + b == c:
        print(x)

for n in range(2, 50):
    x = 223
    s = ""
    while x > 0:
        s = str(x % n) + s
        x = x // n
    if len(s) <= 2 and s[-1] == "6":
        print(n)
        break

Решение программой:

for x in range(10):
    f = 1 * x ** 2 + 1 * x + 6
    s = 2 * x + 1
    if f + s == 1 * x ** 2 + 4 * x:
        print(x)

for x in range(20):
    # Переводим в 10 с.с.
    n = 8*x + 4
    if n == 1*8**2 + 6*8 + 4:
        print(x)

a = ’0123456789ABCDEF’
for p in range(4, 16):
    for x in range(p):
        for y in range(p):
            x1 = a[x]
            y1 = a[y]
            m1 = x1 + ’3’ + x1
            m2 = ’21’ + y1
            n1 = x1 + 2 * y1 + x1
            m = int(m1, p) + int(m2, p)
            n = int(n1, p)
            if m == n:
                print(p)

for n in range(2, 11):
    a = n**25 - 2*n**13 + 10

    s = ""
    while a > 0:
        s = str(a % n) + s
        a = a // n

    sm = 0
    for i in s:
        sm += int(i)

    if sm == 75:
        print(n)

x = 67*14**63 + 28**123 + 47*42**210 - 349564
mx_c = 0
ans = 0
for i in range(8,17):
    c = 0
    n = x
    while n > 0:
        if n % i == 7:
            c += 1
            if c >= mx_c:
                mx_c = c
                ans = i
        n //= i
print(ans)