1.10 Ромб и его свойства

Так как — ромб, то есть треугольник — равнобедренный. а значит

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами,

Так как один из углов ромба равен то смежный ему угол равен

Далее, треугольник — прямоугольный, угол Тогда катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Таким образом,

Пусть в ромбе — точка пересечения диагоналей, — расстояние до стороны тогда

Диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника. Значит,

1) По теореме Вариньона — параллелограмм. Но т.к. то значит, — прямоугольник, причем

Т.к. площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

Но как средние линии, следовательно,

2) Аналогично — параллелограмм. Но, как средние линии, а значит и Следовательно, — ромб.

Заметим, что значит,

Из всего этого следует, что Значит, отношение равно

Рассмотрим картинку:
 

 

Во-первых, т.к. окружность описана около треугольника , то ее центр – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Следовательно, лежит на серединном перпендикуляре к – а это и есть по свойству ромба (диагонали взаимно перпендикулярны). Таким образом, – диаметр этой окружности.

 

Рассмотрим треугольники и .
 

 

1) Т.к. опирается на диаметр , то он равен . Т.к. – касательная к окружности, то угол между ней и радиусом равен . Заметим, что углы и имеют общую часть – угол . Следовательно, т.к. они равны, то равны и другие их части: .

 

2) Т.к. треугольник равнобедренный ( – радиусы), то . Т.к. треугольник равнобедренный, то .

 

3) Таким образом, по стороне и двум прилежащим к ней углам () треугольники и равны. Следовательно, .

 

Значит,

Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна то сумма острого и тупого углов ромба равна

Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба равен

Треугольник — равнобедренный, один из углов которого равен тогда треугольник — равносторонний и

Пусть — точка пересечения диагоналей ромба, тогда следовательно, по теореме Пифагора находим:

В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит,

Пусть и — равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как то можно обозначить их за и соответственно.

Так как у ромба противоположные углы равны, то Следовательно, и по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен Следовательно, их площади относятся как

Так как и то

Пусть — ромб и Пусть Докажем, что — большая диагональ.

Так как ромб является параллелограммом, то в нем диагонали точкой пересечения делятся пополам:

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов и взаимно перпендикулярны, то и соответственно

В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, следовательно, Значит, — большая диагональ.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла равен половине гипотенузы, следовательно,

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике

Значит, большая диагональ ромба равна 3.

Проведем .

Так как а катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы, то

, так как в ромбе по определению все стороны равны. Площадь ромба равна произведению высоты на сторону, к которой проведена высота, следовательно,

Пусть — диагональ ромба, которую нужно найти. Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то

Пусть в ромбе — точка пересечения диагоналей, — расстояние до стороны Тогда Получаем, что — катет лежащий напротив угла в значит Т.к. и есть большая диагональ, то

Пусть В ромбе все стороны равны, тогда треугольник — равнобедренный, у которого один из углов равен следовательно, треугольник — равносторонний и

Треугольник — тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда значит, — меньшая из диагоналей.

В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда

тогда

Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то

Пусть диагонали и ромба пересекаются в точке Тогда половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении Зная периметр, найдем длину стороны ромба:

Сторона и половины диагоналей образуют прямоугольный треугольник

Пусть Тогда по теореме Пифагора:

Диагонали ромба равны

Тогда искомая площадь равна

Пусть — высота ромба из условия. Тогда в прямоугольном треугольнике имеем:

Поскольку катет напротив угла равен половине гипотенузы, то

Отсюда по теореме Пифагора в треугольнике :

Отрезок — высота ромба. Так как и то

Способ 1.

Так как диагонали ромба делят его на 4 равных прямоугольных треугольника, а у равных треугольников высоты, опущенные к равным сторонам, равны, то

Рассмотрим Так как то также Пусть Следовательно,

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна следовательно, и

Высота прямоугольного треугольника опущенная из вершины прямого угла равна следовательно,

Способ 2.

Так как у ромба все стороны равны, то его сторона равна Следовательно, площадь ромба равна как произведение стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Так как то можно принять Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то

Cледовательно,

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то по теореме Пифагора из

Следовательно, искомая высота равна

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то Так как у ромба все стороны равны, то следовательно, Тогда

Так как в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, то Так как у ромба все стороны равны, то следовательно, Тогда

Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то имеем:

Пусть меньшая диагональ равна тогда большая равна Так как площадь ромба равна половине произведения диагоналей, то