Тема ШВБ (Шаг в будущее)

Параметры на ШВБ

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела швб (шаг в будущее)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#86348

Найдите все значения параметра $a$ , при которых неравенство

∘-2----- x2+-324- 2 x + 324− f(x)≥ f(x)− a − a

имеет единственное решение, если

∘--------- f(x)= g2(x)− 400, g(x)= 19+ 2cos2x+ 4cosx.

Источники: ШВБ - 2024, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

В обозначениях $u(x)= √x2+-324, v(x)=f(x)− a$ исходное неравенство примет вид

(u(x))2 2u(x) ≥-v(x)-+ v(x)

0≥ (u(x)−-v(x))2- v(x)

u(x)= v(x) или v(x)< 0

Функция $v(x)$ непрерывна как композиция непрерывных функций, поэтому у неравенства $v(x)< 0$ не может быть единственное решение, так что нам подходит только случай $v(x)=u(x).$ Заметим, что никакое решение этого случая не может удовлетворять $v(x)< 0,$ ведь тогда $u(x)= √x2+-324< 0,$ что невозможно.

Итак, мы переформулировали задачу и получили такую: обеспечить единственность решения уже для уравнения

∘-2----- a= f(x)− x + 324

Заметим, что функция $g(x)$ чётная, поэтому и функция $f(x)$ чётная, так что и правая часть полученного уравнения чётная. Следовательно, если уравнение имеет положительное решение, то оно имеет и отрицательное решение (и наоборот). Поэтому единственным решением может быть только $x =0.$ Сначала подставим $x =0$ и найдём, при каких $a$ это значение является решением:

√--- a= f(0)− 324= 15− 18= −3

Теперь проверим, что при $a= −3$ у уравнения

∘-2----- f(x)+ 3= x + 324

нет других решений, кроме $x =0.$ Тут уже поможет метод оценки. Правая часть не меньше $√324= 18,$ причём равенство достигается только при $x= 0.$ А вот левая часть не больше 18, потому что

∘ -2------- f(x)= g(x)− 400≤ 15,

так как

∘ ------2 |g(x)|≤ 400 +15 = 25,

ведь по неравенству треугольника

|19+ 2cos2x +4cosx|≤ |19|+ |2cos2x|+ |4cosx|≤ 19+ 2+ 4=25

Итак, при $a= −3$ действительно единственное решение, при других значениях единственность невозможна.

Ответ: -3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#69289

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| y = |a− 3|x+ 1|+ x+ 3|+ 3|x +1|, |||{ ( ) ( ) | 22−y log√3 (x +|a+ 2x|)2 − 6(x+ 1+ |a+ 2x|)+ 16 +2x+|a+2x|log1∕3 y2+1 = 0, |||( x+ |a+ 2x|≤3,

имеет единственное решение $(x;y),$ где $x,y$ — целые числа. Укажите это решение при каждом из найденных $a.$

Источники: ШВБ-2023, 11.4 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем второе уравнение системы следующим образом:

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3(x+ |a +2x|) − 6(x+ |a+2x|)+9+ 1 − 2 log3(y + 1)=0

3−y ( 2 ) x+|a+2x| 2 2 log3 (x+|a+ 2x|− 3)+ 1 = 2 log3(y +1)

3−x−|a+2x| ( 2 ) y 2 2 log3 (x+ |a+ 2x|− 3) +1 = 2 log3(y +1)

Из первого уравнения системы следует, что $y ≥ 0.$ Из третьего уравнения системы $3− x − |a+ 2x|≥ 0.$

Введём функцию

t 2 f(t)= 2 log3(t + 1)

Она является произведением строго возрастающих функций при $t ≥0.$ Значит, тоже является строго возрастающей функцией при $t≥ 0.$ Значит, она имеет свойство:

f(a)= f(b)⇔ a= b

Запишем преобразованное уравнение, используя обозначение $f(t),$

f(3− x− |a+ 2x|)= f(y)

Следовательно, по свойству оно равносильно

3 − x− |a+2x|= y

Подставляя получившиеся выражение в первое уравнение системы, получим

3− x− |a+ 2x|= |a − 3|x+1|+ x+ 3|+ 3|x+ 1|

|a− 3|x +1|+x +3|+ |a+ 2x|= 3− x− 3|x+ 1|

Обозначим $u =a − 3|x +1|+ x+3,v = a+ 2x.$ Тогда исходное уравнение будет иметь вид

|u|+ |v|=u − v

Решениями последнего уравнения являются все $u$ и $v$ такие, что

{ u≥ 0 v ≤ 0

{ a− 3|x+ 1|+ x+ 3≥ 0 a+2x ≤0

Отсюда имеем

3|x+ 1|− x − 3≤ a≤ −2x

В системе $Oxa$ построим графики функций

a =3|x+ 1|− x− 3 и a= −2x

$PIC$

Из графиков понимаем, чтобы выполнялось ранее получившиеся двойное неравенство, точка $(x,a)$ должна лежать в закрашенной области.

Заметим, что если $x$ — целое число, то

y = |a − 3|x +1|+ x+3|+ 3|x+ 1|

будет целым, если $a$ целое. Поэтому нам остаётся отобрать только такие целые $a,$ для которых будет только один такой целый $x,$ что точка $(x,a)$ лежит в закрашенной зоне на графике:

При $a= −2$ имеем решение $x= −1,y =0;$

При $a= −1$ имеем решение $x= −1,y =1;$

При $a= 1$ имеем решение $x =− 1,y = 3;$

При $a= 3$ имеем решение $x =− 2,y = 4;$

При $a= 4$ имеем решение $x =− 2,y = 5;$

При $a= 6$ имеем решение $x =− 3,y = 6.$

Ответ:

$a =− 2,x= −1,y = 0;$

$a= −1,x =− 1,y =1;$

$a= 1,x= −1,y = 3;$

$a= 3,x= −2,y = 4;$

$a= 4,x= −2,y = 5;$

$a= 6,x= −3,y = 6.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#85347

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 2+ |2x +2||= a

имеет нечетное количество решений?

Показать ответ и решение

Построим график функции $f(x)=x − 2+ |2x +2|$ , а затем отразим относительно оси абцисс часть графика, лежащую в $3$ и $4$ четвертях. Раскроем внутренний модуль:

При $x≤ −1$ получаем $f(x)= x− 2 − (2x+ 2)= −x − 4$

При $x> −1$ получаем $f(x)= x− 2+2x+ 2= 3x$

$PIC$

Найдём значения параметра $a$ , при которых прямая $y =a$ пересекает график $f(x)$ в нечетном числе точек.

При $a< 0$ пересечений нет, то есть нет решений у исходного уравнения.

При $a= 0$ получаем $2$ решения.

При $0< a< 3$ получаем $4$ решения.

При $a= 3$ получаем $3$ решения.

При $a> 3$ получаем $2$ решения.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74504

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ (ay− ax+2)(4y − 3|x − a|− x+ 5a)= 0 ( ) ( logax2+ logay2− 2log2 a2 =8

имеет шесть различных решений.

Источники: ШВБ-2022, (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Упростим второе уравнение системы:

( 2 2 ) 2 22 logax +logay − 2 log2a = 8⇔ a >0,a⁄= 1,logaxy =2+ 4loga2,|xy|=4a

⌊ { ay − ax+ 2= 0 ⌊ { y =x −-2 || |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 || |xy|= 4aa,a> 0,a⁄= 1 || { ⇔ || { |⌈ 4y − 3|x − a|− x+ 5a =0 |⌈ y = 34|x− a|+ x4 − 5a4 |xy|=4a,a> 0,a ⁄=1 |xy|= 4a,a> 0,a⁄= 1

{ y = x− 2∕a |xy|= 4a, a> 0,a⁄= 1.

1) Система имеет 2 различных решения, если

2 √- 1 a < 4 a,a> √34-,a ⁄=1

Найдем эти решения:

x −-2= 4a,x2− 2x− 4a =0, a x a

√------ √------ x = 1±--1+-4a3,y = −1±--1+-4a3 1∕2 a 1∕2 a

2) Система имеет 3 различных решения, если

2 √ - -1- a = 4 a, a= √34-

Найдем эти решения:

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

√ - √- x3 = 2 a,y3 = −2 a

3) Система имеет 4 различных решения, если

2> 4√a, 0 <a < 1√-- a 34

Найдем эти решения:

2 4a 2 2 x− a =-x ⇒ x − ax− 4a =0

√-----3 √-----3 x1∕2 = 1±-1+-4a-,y1∕2 = −1±--1+-4a- a a

x− 2 =− 4a⇒ x2− 2x +4a= 0 a x a

√------ √------ x3∕4 = 1±-1−-4a3,y3∕4 = −1±--1−-4a3 a a

$PIC$

II.

{ y = 3|x − a|∕4 +x∕4− 5a∕4 |xy|=4a, a >0,a⁄= 1

$y = 3|x− a|∕4+ x∕4− 5a∕4,$ при $x≥ a$ имеем $y =x − 2a,$ при $x≤$ $a$ имеем $x+a y = − 2 .$

1) Система имеет 2 различных решения, если

√- 2a <4 a,a< 4,a⁄= 1

Найдем эти решения:

4a 2 x − 2a= x ⇒ x − 2ax− 4a= 0

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

x+ a 4a −--2- =− x-⇒ x2+ ax− 8a =0

√ ------- √------- x2 = −-a−-a2+32a,y2 = −a+-a2+-32a 2 4

$PIC$

2) Система имеет 3 различных решения, если

√ - 2a= 4 a,a =4

Найдем эти решения:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ -2----- √-2----- x2 = −-a−-a-+32a,y2 = −a+-a-+-32a 2 4

x3 = 2√a,y3 = −2√a

3) Найдем значение параметра $a> 0,$ при котором прямая $y = − x+2a$ будет касаться графика гиперболы $y = 4xa.$

− x+-a= 4a ⇒ x2 +ax+ 8a= 0 2 x

$D= a(a− 32)= 0,a =32.$ Тогда при $4< a <32$ система будет иметь 4 решения:

∘-2---- ∘ -2---- x1 = a+ a + 4a,y1 = −a+ a +4a

------- ------- −-a±√-a2+32a −-a∓√-a2+32a x2∕3 = 2 ,y2∕3 = 4

Найдем четвертое решение:

4a 2 x− 2a =− x-,x − 2ax+ 4a= 0

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

4) При $a= 32$ система будет иметь 5 различных решений:

∘------ ∘ ------ x1 = a+ a2+ 4a,y1 = −a+ a2+4a

√ ------- √ ------- x2∕3 = −-a±-a2+32a,y2∕3 = −-a∓-a2+32a 2 4

x = a+ ∘a2−-4a,y = −a+ ∘a2-− 4a 4 4

x5 =− a∕2,y5 = −a∕4

5) Система имеет 6 различных решений при $a> 32$ :

------ ------ x1 = a+ ∘a2+ 4a,y1 = −a+ ∘ a2+4a

− a±√a2-+32a- − a∓√a2-+32a- x2∕3 =------2-----,y2∕3 =------4-----

∘------ ∘ ------ x4 = a+ a2− 4a,y4 = −a+ a2− 4a

− a±√a2-− 32a − a∓√a2-− 32a x5∕6 =------2-----,y5∕6 =------4-----

$PIC$

Возможны следующие случаи совпадения решений в I и II случаях:

1) $x− 2a = x− 2a,a= 1,$ в этом случае нет решений;

2) прямые $y = x− 2a,y = − x+2a$ и гипербола $y = 4xa$ пересекаются в одной точке, но этот случай возможен при $a > 32,$ и в этом случае будет 7 решений.

Ответ:

$(0;√1-)∪(4;32) 34$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#86448

При каких целых значениях параметра $a$ для корней $x,x 1 2$ уравнения

2 3x − x(a +3)+ a= 0

выражение $∘---1----- (x1− x2)2$ будет натуральным числом?

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Из формул для корней уравнения $3x2− x(a+ 3)+a = 0$ имеем, что

a +3− ∘ (a-+3)2− 12a− a− 3− ∘ (a+-3)2−-12a |x1− x2|= |----------------6------------------|=

√--------- ∘------ =|−2-a2−-6a+-9|= -(a−-3)2-= |a−-3| 6 3 3

Поэтому выражение из условия равно

∘---1-----= --1----=--3-- (x1− x2)2 |x1− x2| |a− 3|

Так как $a$ — целое, то результат будет натуральным, когда $.. 3.|a− 3|.$ Так что возможные значения параметра находятся из совокупности:

[ |a− 3|= 1 |a− 3|= 3

⌊ | a− 3= 1 || a− 3= −1 |⌈ a− 3= 3 a− 3= −3

Подходят значения параметра $a∈ {0;2;4;6}.$

Ответ: 0; 2; 4; 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#101394

При каких значениях параметра $a$ площадь фигуры, ограниченной на координатной плоскости $xOy$ линиями

x x 2 2 y = 2 +1, y = 2 − 1, x= a− 1− a, x= a − 3a+ 1,

равна $16?$

Источники: ШВБ - 2022, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим и нарисуем графики функций $f(x)= x +1 2$ и $g(x)= x− 1: 2$

$PIC$

Так как мы работаем в плоскости $xOy,$ то $x= a− 1 − a2$ и $x= a2− 3a +1$ являются вертикальными линиями, двигающимися вдоль $Ox$ при изменении $a.$ Получается, что мы должны рассматривать площадь параллелограмма.

Так как $f(x)$ и $g(x)$ не зависят от параметра $a$ , то мы можем воспользоваться формулой $S = a⋅h,$ где $a$ — длина прямой, ограниченной нашими функциями, а $h$ — расстояние между вертикальными линиями.

$PIC$

Заметим, что $a$ мы можем очень легко найти:

a= f(0)− g(0)= 2

По условию:

16= 2⋅h =⇒ h =8

Так же $h$ можно представить как:

h= |a − 1− a2− a2 +3a− 1|=|− 2a2 +4a− 2|

Осталось лишь найти корни уравнения, когда $h = 8:$

2 |− 2a + 4a− 2|= 8

2 2(a− 1) =8

[ a =− 1 a= 3

Ответ:

${−1; 3}$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#101475

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ 7a− 30cost+3 ≤0 5sint+ a+ 1+ |cost|+ |5cost−-4|= 0 2 2cost 5cost− 4

имеет решения. Укажите эти решения при найденных значениях параметра $a.$

Источники: ШВБ - 2021, 11 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем следующие замены: $x =5cost,y = 5sint,x2+y2 =25.$

Имеем

(| |{ 7a−1 6x|x+| 3≤|x−0,4| ||( y+ a+ 22 + 2x2 + x−4 = 0, x + y = 25.

Система распадается на совокупность трёх систем:

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a − 6x+ 3≤ 0, { x> 4,y =− a− 2, ⇔ { x> 4,y = −a− 2, |( x2 +y2 = 25, |( x2 +(a+ 2)2 = 25.

(| 7a− 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { 0< x< 4,y =− a,⇔ { 0< x< 4,y =− a, |( x2+y2 = 25, |( x2+a2 = 25.

(| 7a − 6x+ 3≤ 0, (| 7a− 6x+ 3≤ 0, { x< 0,y = −a+ 1 ⇔ { x< 0,y =− a+1, |( x2 +y2 = 25, |( x2+ (a− 1)2 = 25.

В системе координат $Oxa$ изобразим решение системы

(|| 7a − 6x+ 3≤ 0 ||{ ⌊ x> 4,x2+ (a+2)2 = 25 || |⌈ 0< x< 4,x2+a2 =25 ||( x< 0,x2+ (a− 1)2 = 25

$PIC$

$1)$ Имеем решение $∘ --------2- x= 25− (a+ 2) при a∈ (− 5;1).$

Тогда

∘------------ cost= 1− ((a+ 2)∕5)2

y = −a− 2

sint= −(a+ 2)∕5

Откуда получается, что

t=− arcsin((a +2)∕5)+ 2πn, n∈ Z

При записи же ответа через $arccos$ нужно учитывать знаки $sint= −(a+ 2)∕5$ , т.е. $\text{[math]}$ при $a∈ (− 5;−2]$

∘------------ t =arccos 1 − ((a +2)∕5)2+ 2πn,n ∈Z

а при $a∈ (−2;1)$ имеем

∘------------ t=− arccos 1− ((a+ 2)∕5)2+ 2πn,n∈ Z

$2)$ Имеем решение $√ ------ x = 25− a2$ при $a∈ (− 5;−3)$ . Тогда

∘-------2 cost= 1− (a∕5)

y = −a

sint= −a∕5

Откуда получается, что

t= − arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘-------- t=arccos 1 − (a∕5)2+ 2πn,n ∈Z

3) Имеем решение $---------- x= −∘ 25 − (a− 1)2$ при $a∈ (−4;−3]$ . Тогда

∘ ------------ cost= − 1− ((a− 1)∕5)2

y = −a+ 1

sint= −(a− 1)∕5

Откуда получается, что

t= π+ arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n∈ Z

или

∘ -----------2 t= π− arccos 1− ((a− 1)∕5) +2πn,n∈ Z

Ответ:

$a ∈(−5;1)$

$1)$ при $a∈ (− 5;−4]$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$2)$ при $a∈ (− 4;−3)$ имеем $t1 = − arcsin((a+ 2)∕5)+2πn,t2 =− arcsin(a∕5)+ 2πn,$ $t3 =π +arcsin((a− 1)∕5)+ 2πn, n ∈Z;$

$3)$ при $a= −3$ имеем $t1 = arcsin(1∕5)+ 2πn,t2 = π− arcsin(4∕5)+ 2πn, n∈ Z;$

$4)$ при $a∈ (− 3;1)$ имеем $t1 = − arcsin((a+2)∕5)+2πn, n ∈Z.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#105233

Найдите все значения параметра $b,$ при котором для любого значения параметра $a∈[−2;1]$ неравенство

2 2 2 a +b − sin 2x− 2(a+ b)cos2x− 2>0

не выполняется хотя бы для одного значения $x.$

Источники: ШВБ - 2020, 11 класс (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $y =cos2x, y ∈ [−1;1].$ Тогда:

2 2 2 a + b − sin 2x − 2(a+ b)y− 2> 0

2 2 2 a +b − 1+y − 2(a+b)y− 2> 0

y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2 − 3> 0

Найдем при каких $a$ и $b$ неравенство выполняется для любых $y ∈ [− 1;1].$ Рассмотрим функцию $f(x)= y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3.$ Ее графиком является парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $y0 = − −2(a-+b)= a+ b. 2⋅1$ Рассмотрим три случая местоположения вершины относительно отрезка $[−1;1]:$

{ a+ b≤ −1 { −1< a+ b< 1 { a+ b≥1 f(−1)>0 (1) f(a +b)> 0 (2) f(1)> 0 (3)

{ { { a+ b≤− 1 (1) −1 <a +b< 1 (2) a+ b≥ 1 (3) (a +1)2+ (b+ 1)2 > 4 ab< −1,5 (a− 1)2+ (b − 1)2 > 4

На координатной плоскости $aOb$ изобразим множество точек $(a,b),$ удовлетворяющих всем трём условиям. Точки, для которых неравенство не выполняется хотя бы для одного $y ∈ [−1;1]$ , лежат внутри области, ограниченной графиками. Проверим область на замкнутость:

$PIC$

Точки пересечения графиков $(a+1)2+ (b+ 1)2 =4$ и $a+ b= −1:$

2 2 (a+ 1)+ (−1− a+1) = 4

2a2+ 2a− 3= 0

⌊ − 1− √7 || a= ---2√-- ⌈ a= −-1+--7 2

Точки пересечения графиков $ab= −1,5$ и $a+ b= −1:$

a⋅(− 1− a)= −1,5

−a − a2+ 1,5= 0

⌊ √ - a= −-1−--7 ||⌈ 2√ - a= −-1+2--7

Аналогично проверяем точки пересечения графиков с $a +b= 1.$ Точки совпадают, значит, область замкнутая.

В итоге, точки, для которых неравенство $y2− 2(a+ b)y+ a2+ b2− 3> 0$ не выполняется хотя бы для одного $y ∈[−1;1],$ образуют замкнутую область, граница которой состоит из графиков двух окружностей и гиперболы, граница включается. Для решения задачи необходимо найти такие значения $b,$ при которых точки $(a,b)$ попадают в получившуюся область для любых $a∈ [−2,1].$ Такие значения $b$ образуют отрезок $[b1;b2].$

$b1$ найдем, подставив $a= 1$ в уравнение гиперболы. $b2$ найдем, подставив $a= −2$ в уравнение окружности $(a+ 1)2+ (b+1)2 = 4.$ Получаем $[ ] −1,5;√3-− 1 .$

Ответ:

$[−1,5;√3− 1]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#101396

При каких значениях параметра $a$ уравнение $f(x)= p(x)$ , где

||x2−-6x+-9 4x2− 5x|| f(x)=|| 3− x + x ||, p(x)= |x+ a|,

имеет одно решение?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)$ и преобразуем её:

ОДЗ:

{ x⁄= 3 x⁄= 0

f(x)= |3− x+ 4x− 5|= |3x − 2|

Тогда, если нарисовать наши графики с учётом ОДЗ, получится:

$PIC$

Чтобы уравнение $f(x)= p(x)$ имело одно решение, графики должны пересекаться только в одной точке. Такое возможно, когда $p(x)$ пересекает $f(x)$ в вершине или проходит через выколотые точки.

⌊ |2 | | |3 + a|= 0 ⌈ |0+a|= 2 |3+a|= 7

⌊ | a= − 23 || a =±2 |⌈ a= 4 a= −10

Ответ:

${−10,− 2,− 2,2,4} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#85349

Найдите все такие $k$ и $b$ , при которых система уравнений

{ y+2|x|= 2; y = kx +b

имеет бесконечно много решений.

Показать ответ и решение

Посмотрим на график первого уравнения. Это галочка с вершиной в точке $(0;2)$ , пересекающая ось $OX$ в точках $(−1;0)$ и $(1;0).$

$PIC$

Уравнение $y = kx+ b$ задает прямую. Предположим, что $k$ отлично от $2$ и $− 2.$ Тогда прямая непараллельна ни одному из лучей графика первого уравнения, и поэтому пересекает его не более, чем в двух точках.

Если $k= 2,$ то прямая либо содержит левый луч графика модуля, либо параллельна ему, а также имеет не более одной общей точки с правым лучом. Бесконечное число решений получится, если прямая содержит левый луч графика. Это происходит при $b= 2,$ так как тогда точка $(0;2)$ принадлежит прямой.

Аналогично при $k =−2$ получаем $b =2.$

Ответ:

$k =2;b= 2$ или $k =− 2;b= 2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#106820

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

{ log (ax)=2log (x+ y), 3−|x x−1=|∘x2-−-6x-+|xy−1+|8-

имеет единственное решение, и найдите это решение при каждом $a$ .

Показать ответ и решение

Второе уравнение равносильно системе

{ x≤ 3, x2− 6x+y +8 =x2− 6x+ 9.

Следовательно, можем подставить $y = 1$ в исходную систему, учесть ограничения и получить равносильную систему:

(|{ x2+ (2− a)x+ 1= 0, y = 1, |( −1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2.

Выясним, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x2+(2− a)x +1= 0(∗)$ имеет единственное решение, если $− 1< x ≤3,x⁄= 0,x ⁄=1,x⁄= 2$ .

1) $D= a(a− 4),D= a(a− 4),x= a−22$ . При $a =0$ корень $x =− 1$ не подходит; при $a =4$ корень $x =1$ не подходит.

2) Выясним, при каких $a$ точки $x= 0,x =1,x= 2$ являются решениями уравнения (*).

$x= 0$ не является решением ни при каком $a$ ;

$x= 1$ является единственным решением уравнения $(∗)$ при $a =4$ ;

∗ x= 2 является решением ( ) при a= 4,5,

поскольку при подстановке $x = 2$ в уравнение (*) имеем $22+(2− a)2 +1= 0,2a= 9$ . Однако, при $a= 4,5$ уравнение (*) имеет второе решение $x= 0,5$ , удовлетворяющее поставленным условиям.

Следовательно, при $a= 4,5$ система имеет единственное решение $x= 0,5,y = 1$ .

3) Если дискриминант уравнения (*) больше нуля, то уравнение имеет два различных решения, но при условии $f(− 1)f(3)< 0$ , где $f(x)= x2 +(2− a)x+ 1$ , один корень будет посторонним, а один будет удовлетворять неравенству $− 1< x< 3$ . Имеем $f(−1)= a,f(3)=16− 3a$ , приходим к неравенству $a(16− 3a)< 0$ , и $a∈ (− ∞;0)∪(16∕3;+∞ )$ .

Если $a∈ (−∞; 0)$ , то

√ ------ x= a−-2+--a2− 4a 2

Если $a∈ (16∕3;+∞ )$ , то $√----- x= a−2−-a2−4a- 2$ .

4) Проверим случаи, когда $f(−1)= 0$ и $f(3)= 0$ . Первое равенство выполняется при $a =0$ , уравнение (*) не имеет решений, удовлетворяющих поставленным условиям. Второе равенство справедливо при $a= 16∕3$ . В этом случае уравнение (*) имеет вид $x2+ 10x+ 1= 0 3$ , и имеет два решения $x= 1∕3$ и $x =3$ , которые оба подходят.

Ответ:

$(1;1) 2$ при $a= 9 2$

$a−2+√a2−4a ( 2 ;1)$ при $a∈ (−∞; 0)$

$a−2−√a2−4a ( 2 ;1)$ при $(16 ) a∈ 3 ;+∞$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#78773

Найдите все значения $a$ , при которых система уравнений

({ y− 1= a(x − 1); --2x- √ - ( |y|+ y = x

имеет хотя бы одно решение, и решите ее при каждом $a$ .

Источники: ШВБ-2017, 11.5 (см. olymp.bmstu.ru)

Показать ответ и решение

Если $y ≤0,$ то $|y|+ y = 0,$ что нарушает ОДЗ второго уравнения системы. Значит, $y >0,$ и система принимает вид:

{ y− 1= a(x − 1), x= y√x

Рассмотрим случаи.

(a) Если $x= 0,$ то $y = 1− a,$ отсюда $a< 1.$

(b) Если $x> 0,$ тогда система принимает вид:

{ y = √x, √x− 1= a(√x-− 1)(√x+ 1)

Разберём варианты последнего уравнения системы:

$(b.1)$ Если $√x-− 1 =0$ тогда $x = 1, y = 1, a∈ ℝ.$

$(b.2)$ Если $√x-− 1 ⁄=0$ тогда сократим на $(√x− 1)$ и получим:

a(√x+ 1)= 1⇒ √x = 1− 1= 1−-a> 0⇒ 0 <a <1. a a

Найденное решение $(1−a)2 1−-a x= a , y = a$ совпадает с предыдущим, если $1−a 1 a = 1⇒ a= 2.$ Итак, при $( 1) (1 ) a ∈ 0;2 ∪ 2;1$ решения имеют вид $(1−a)2 1−a x= a , y = a .$

$PIC$

Ответ:

При $a∈ (− ∞;0]∪{1} (x;y)∈{(0;1− a),(1;1)} 2$

При $( ) ( ) (( ) ) a∈ 0;1 ∪ 1;1 (x;y)∈ {(0;1− a),(1;1), 1−-a 2;1−-a } 2 2 a a$

При $a∈ [1;+∞ ) (x;y)= (1;1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#94923

При каких значениях параметра $a$ уравнение

∘-------∘----- x + 1 + x+ 1 +x =a 2 4

имеет единственное решение?

Показать ответ и решение

Функция $∘---1--∘----1- a(x)= x +2 + x+ 4 + x$ — непрерывная на ОДЗ строго возрастающая функция (как композиция непрерывных возрастающих функций). Она принимает каждое значение от $a(− 14)= 14$ и все большие значения ровно по одному разу.

Ответ:

$[1;+ ∞) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#106822

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

2 2 4x − 8|x|+(2a+ |x|+x) = 4

имеет ровно два различных корня. Укажите эти корни при каждом из найденных значений $a.$

Показать ответ и решение

1.

Пусть $x >0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

2x2+ x(2a− 2)+a2− 1= 0

1.1.

Обозначим здесь и далее $x0$ абсцису вершины пораболы. Пусть данное уравнение имеет два положительных корня. Это эквиваленто условиям:

( (|{ D > 0 ||{ −4a2− 8a+ 12> 0 (|{ a∈ (−3;1) x0 > 0 ⇔ −2a+-2> 0 ⇔ a< 1 ⇔ a ∈(−3;−1) |( f(0)>0 ||( a24− 1 >0 |( a∈ (−∞;−1)∪ (1;+∞ )

1.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один положительный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

{ D= 0 ({ −4a2− 8a +12= 0 ⇔ ( −2a+-2 >0 ⇔ a= −3 x0 >0 4

Если уравнение имеет два корня, но только один из них положительный, а второй отрицательный:

{ { { D > 0 −4a2− 8a +12> 0 a ∈(−3;1) f(0)< 0 ⇔ a2− 1< 0 ⇔ a ∈(−1;1) ⇔ a∈ (−1,1)

Если уравнение имеет два корня. Один из них положительный, а второй равен $0$ :

(| D > 0 (|| −4a2− 8a +12> 0 (| a ∈(−3;1) { f(0)=0 ⇔ { a= ±1 ⇔ { a = ±1 ⇔ a= −1 |( x > 0 ||( −2a+-2 >0 |( a ∈(−∞; 1) 0 4

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один положительный корень при $a∈ {− 3} ∪[− 1;1).$

1.3.

Пусть данное уравнение не имеет положительных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

2 −4a − 8a+ 12< 0

a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞)

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0:

{ { D= 0 a∈ {− 3;1} f(0)= 0 ⇔ a= ±1 ⇔ a= 1

Объединяя оба случая, получаем, что уравнения не имеет положительных корней при $a∈ (−∞;−3)∪ [1;+∞).$

2.

Пусть теперь $x< 0,$ тогда исходное уравнение после раскрытия скобок и сокращения на константу:

x2+ 2x+a2− 1= 0

2.1.

Пусть данное уравнение имеет два отрицательных корня. Это эквиваленто условиям:

( ( |{ D >0 ||{ 8 − 4a2 > 0 { √- √- √- √- | x0 < 0 ⇔ | −2< 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) ⇔ a ∈(− 2;−1)∪ (1; 2) ( f(0)> 0 |( a22 − 1> 0 a ∈(−∞;− 1)∪ (1;+∞ )

2.2.

Пусть данное уравнение имеет ровно один отрицательный корень.

Если уравнение имеет всего один корень:

( { D =0 { 8− 4a2 =0 √ - x0 < 0 ⇔ ( −-2< 0 ⇔ a= ± 2 2

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй положительный:

{ { 2 { √- √- D > 0 ⇔ 82− 4a > 0 ⇔ a ∈(− 2; 2) f(0) <0 a − 1< 0 a ∈(−1;1)

Если уравнение имеет два корня, но только один из них отрицательный, а второй равен $0$ :

( ( 2 |{ D > 0 ||{ 8− 4a > 0 { a ∈(−√2;√2) | f(0) =0 ⇔ | a−22− 1 =0 ⇔ a =±1 ( x0 < 0 |( -2-<0

Объединяя оба случая, получаем, что ровно один отрицательный корень при $a∈ {±√2}∪ [− 1;1].$

2.3.

Пусть данное уравнение не имеет отрицательных корней.

Уравнение не имеет корней вообще, т.е. $D <0$

8 − 4a2 > 0

a∈(−∞; −√2)∪(√2;+∞ )

Уравнение имеет единственный корень, который равен 0

{ D =0 { a= ±√2- f(0)= 0 ⇔ a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

В итоге уравнение не имеет отрицательных корней при $a∈ (−∞; −√2)∪ (√2;+∞ ).$

3.

Пусть $x =0.$ Тогда $a= ±1.$

Теперь выберем случаи, когда уравнение имеет ровно два корня.

Вариант 1. Если в случае 1 ровно два корня, в случае 2 и в случае 3 нет корней:

( |{ a∈(−3;−1)√- √- √- |( a∈(−∞; − 2)∪( 2;+∞ ) ⇔ a ∈(−3;− 2) a⁄= ±1

Причем корни будут

−(2a − 2)± √−4a2−-8a+12 1 ∘ ---------- x1,2 =----------4-----------= 2(1− a± −a2− 2a+ 3)

Вариант 2. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 2 ровно один, а в случае 3 нет корней:

( |{ a∈ {− 3}√-∪[−1;1) |( a∈ {± 2}∪[−1;1] ⇔ a∈ (− 1;1) a⁄= ±1

Причем корни будут:

−(2a− 2)+ √−-4a2-− 8a+-12 1 ∘ ---------- x1 =----------4-----------= 2(1− a + −a2− 2a+3)

√------ x2 = −2−-8-− 4a2= −1− ∘2-− a2 2

Вариант 3. Если в случае 1 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 2 нет корней:

(| a∈ {−3}∪[−1;1) { a∈ (− ∞;−√2)∪ (√2;+ ∞) |( a= ±1

Подходящих значений $a$ нет.

Вариант 4. Если в случае 2 ровно один корень, в случае 3 ровно один, а в случае 1 нет корней:

(|{ a ∈(−∞;− 3)∪[1;+∞ ) a ∈{±√2} ∪[−1;1] ⇔ a= 1 |( a =±1

Причем корни будут:

√----------- x = −(2a−-2)+--−-4a2-− 8a+-12= 1(1− a +∘ −a2−-2a+3) 1 4 2

−2− √8-− 4a2 ∘ ----- x2 =-----2-----= −1− 2− a2

Вариант 5. Если в случае 2 ровно два корня, в случае 1 и в случае 3 нет корней:

(| a∈ (− ∞;−3)∪(1;+∞) { a∈ a∈ (−√2;− 1)∪ (1;√2) ⇔ a∈ (1;√2) |( a⁄= ±1

Причем корни будут:

x1,2 = −1± ∘2-− a2

Ответ:

$a ∈(−3;−√2), x = (1− a±√3-−-2a-− a2)∕2 1,2$

$( √--------) √ ----- a∈(−1;1], x1 = 1− a+ 3− 2a− a2 ∕2, x2 =− 1− 2− a2$

$√- √----- a∈(1; 2), x1,2 = −1± 2− a2$