Тема Обыкновенные дроби

07 Сокращение дробей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела обыкновенные дроби

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#114787

Что означает «сократить дробь»?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Сокращение дроби — деление числителя и знаменателя на их наибольший общий делитель.

Ответ: Разделить числитель и знаменатель на их НОД

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#114792

Какая дробь называется несократимой?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Если НОД числителя и знаменателя равен $1,$ дробь невозможно сократить.

Ответ: Дробь, у которой числитель и знаменатель взаимно простые

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#114795

Можно ли сократить дробь $-7? 13$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

НОД $(7,13)= 1$ → дробь несократима.

Ответ: Нет, так как 7 и 13 — простые числа

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#114798

Сокращение дроби изменяет её значение?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Сокращение — деление числителя и знаменателя на одно число → дробь эквивалентна исходной.

Ответ: Нет, значение остаётся прежним

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#114805

Сократите дробь до нескоратимой дроби: $12. 18$ В ответе выберите только знаменатель.

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

НОД $(12,18)=6.$ Делим числитель и знаменатель на 6: $12:6= 2. 18:6 3$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#114811

Какая из данных дробей несократима?
A) $9- 16;$ Б) $12 18;$ В) $15 25;$ Г) $21 28;$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

НОД $(9,16)= 1$ → дробь несократима. Остальные сокращаются: $12= 2 18 3$ , $15= 3 25 5$ , $21 = 3. 28 4$

Ответ: A

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#114813

Максимально сократите дробь: $-7. 49$ В качестве ответа выберите верный числитель.

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

НОД $(7,49)= 7.$ $7÷7-= 1. 49÷7 7$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#114817

Максимально сократите дробь $60. 84$ В качестве ответа выберите верный знаменатель.

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

НОД $(60,84)=12$ → $60÷12 = 5. 84÷12 7$

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#114824

Из данных дробей выберите все те, которые равны дроби $2: 5$
A) $4--6 8- 10- 10;15;20;25$ Б) $-6 10 3 15;25;8$ В) $4--8 7- 10;20;12$ Г) $3 -6 10 8;15;25$

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Чтобы найти дроби, равные $2 5$ , упростим или приведём каждую из предложенных дробей: $1.4= -4:2 = 2 10 10:2 5$
$6- 6:3- 2 2.15 = 15:3 = 5$
$10- 10:5 2 3.25 = 25:5 = 5$
$8- 8:4- 2 4.20 = 20:4 = 5$
$3 5.8$ — не равна $2 5$ (несократима).
$7- 6.12$ — не равна $2 5$ (несократима).

Таким образом, верные дроби: $4 6 10 8 10;15;25;20.$

Ответ: А

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#114825

Если $a$ – значение выражения $162, 83$ то $2a− 3$ равно:

Источники: Конттрольно-измерительные материалы. В. В. Черноруцкий (см. vk.com)

Показать ответ и решение

$162 = 256-= 1⇒ 2a− 3= 2⋅0,5− 3= −2 83 512 2$
Эту задачу мы можем решить и с помощью свойства степеней:
Числитель дроби – $4 2 8 (2 ) = 2,$ а знаменатель – $33 9 (2 ) =2 .$ Для сокращения вычтем показатели степеней: $8− 9= −1.$ То есть, останется $1 2 .$ Значит, в ответе получится $− 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#130242

Сократите дроби:

а) $8 -; 12$

б) $45; 120$

в) $84 210;$

г) $435; 1215$

д) $840. 3990$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $8 2 ⋅2 ⋅2 \2⋅\2⋅2 2 12 =2-⋅2-⋅3 = 2⋅2⋅3= 3; \ \$

б) $45-= --3⋅3⋅5---= --3⋅\3⋅\5--= --3--= 3; 120 2⋅2⋅2⋅3 ⋅5 2⋅2⋅2⋅\3⋅\5 2⋅2⋅2 8$

в) $84 2⋅2⋅3⋅7 \2⋅2⋅\3⋅\7 2 210-= 2⋅3⋅5⋅7-= \2⋅\3⋅5⋅\7= 5;$

г) $435= 3⋅55⋅29= \3⋅\5⋅29= 294 = 29; 1215 3 ⋅5 3|54 ⋅\5 3 81$

д) $840 23⋅3⋅5⋅7 2|32 ⋅3⋅\5⋅7 22⋅3⋅7 84 3990-=-2⋅5⋅499 =-2-⋅5⋅499-= --499--= 499. \ \$

Ответ:

а) $2 3;$

б) $3; 8$

в) $2 5;$

г) $29 81;$

д) $84. 499$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#130243

Сократите дроби:

а) $15a --; 20b$

б) $ab; ac$

в) $6xy 8x;$

г) $10mn-; 15mp$

д) $2a2 3ab;$

е) $24m2 16m2n.$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $15a 3⋅5⋅a 3⋅\5⋅a 3⋅a 3a -20b = 2⋅2⋅5⋅b= 2-⋅2⋅5⋅b= 2-⋅2-⋅b= 4b; \$

б) $ab= \a⋅b= b; ac \a⋅c c$

в) $6xy- 2⋅3⋅x⋅y \2⋅3⋅\x⋅y 3y 8x = 23⋅x = 2|32 ⋅x = 4; \$

г) $10mn-= 2⋅5⋅m-⋅n= 2⋅\5⋅\m-⋅n= 2n; 15mp 3⋅5⋅m ⋅p 3⋅\5⋅\m ⋅p 3p$

д) $2a2 2a2| 2a 3ab = 3⋅a⋅b= 3b; \$

е) $2 2 2 2 2 24m--= 2-⋅5⋅m-= -\\2-⋅5\m\- = 5. 16m2n 24⋅m2⋅n 2|42 ⋅\\m2 ⋅n 4n$

Ответ:

а) $3a -4b;$

б) $b; c$

в) $3y 4;$

г) $2n 3p;$

д) $2a; 3b$

е) $5 4n.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#130244

Сократите дробь:

а) $m5 -7; m$

б) $6a2b2; 8a3b4$

в) $5x3y 10x3y;$

г) $4 3 16p-q; 32p4q$

д) $30ab4 45a3b5;$

е) $12x3yz --2-3; 18x y z$

ж) $4a5b4 8a7b3.$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $m5 \m\5 1 m7-= --72 = m2; m |$

б) $6a2b2= -2⋅3⋅a2-= -\2⋅3⋅\\a2--= -3--= -3-; 8a3b4 23⋅a3⋅b4 2|32 ⋅a|3⋅b4 22ab4 4ab4$

в) $5x3y 5⋅x3⋅y 5 ⋅\\x3⋅y 1 10x3y = 2⋅5⋅x3⋅y =-\--3\- =2; 2 ⋅\5 ⋅\\x ⋅\y$

г) $16p4q3 24⋅p4-⋅q3- \\24⋅\\p4⋅q|32 q2- 32p4q = 25⋅p4⋅q = 2|5⋅p4⋅q = 2; \\ \$

д) $30ab4-= 2⋅3⋅5⋅a⋅b4= 2⋅\3⋅\5⋅\a⋅\b4= -2-; 45a3b5 32⋅5⋅a3⋅b5 3|2⋅\5⋅a3|2 ⋅b|5 3a2b$

е) $12x3yz 22⋅3⋅x3⋅y⋅z 2|2⋅3⋅x|3⋅y⋅z 2x 18x2y3z = 2⋅32⋅x2-⋅y3⋅z-=--2\-2--\32\-= 3y2; \2 ⋅3|⋅\\x ⋅y| ⋅\z$

ж) $4a5b4 22 ⋅a5⋅b4 \\22⋅\\a5⋅b|4 b 8a7b3 = 23-⋅a7⋅b3 = 23⋅a72-⋅b3 = 2a2. | | \$

Ответ:

а) $1 m2;$

б) $-3-; 4ab4$

в) $1 2;$

г) $q2 2;$

д) $-2-; 3a2b$

е) $2x- 3y2;$

ж) $-b2 2a$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#130247

Сократите дробь:

а) $3a(x+ y)2 -2-----; 9a(x+ y)$

б) $10a2b(x-− y)2 15a4b(x − y)3;$

в) $7x3y5(a +b) --2-3-----3; 21x y (a +b)$

г) $3(a−-b)(a−-c)2- 6(a − b)(a− c);$

д) $a(b+-c); a(b+ c)$

е) $8a(a+-b)- 4a(a+ b).$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $3a(x+ y)2 3a(x+ y)2 3⋅a(x +y)|2 x+ y 9a2(x+y)= 32a2(x+-y)= \2\2\-----= -3a-; 3|a|(x\+\y)$

б) $10a2b(x-− y)2 2⋅5⋅a2b(x−-y)2- -2⋅\5⋅\\a2⋅|b⋅\(x\−-\\y)2- ---2---- 15a4b(x − y)3 = 3⋅5⋅a4b(x− y)3 = 3 ⋅5 ⋅a|42 ⋅b⋅(x − y)|3 = 3a2(x− y); \ |$

в) $2 -7x3y5(a-+b)- -7x3y5(a+-b)-- -\7⋅x|3⋅y|5-⋅\(a\+\b)- --xy2-- 21x2y3(a +b)3 = 3⋅7x2y3(a +b)3 = 3⋅\7⋅\\x2⋅\\y3 ⋅(a+ b)|32 = 3(a+b)2;$

г) $3(a−-b)(a−-c)2= -3(a−-b)(a−-c)2-= \3⋅\(a\−\ b)⋅(a− c)|2= a−-c; 6(a − b)(a− c) 2⋅3(a− b)(a − c) 2 ⋅\(a\−\b)⋅\(a\−\c) 2$

д) $a(b+ c) a⋅\(b\+\c) a(b+-c)= \a⋅\(b\+\c)= 1; \$

е) $8a(a+-b)-= 23a(a+b)= 2|3⋅\a⋅\(a\+\b)= 2. 4a(a+ b) 22a(a+b) \\22⋅\a⋅\(a\+\b)$

Ответ:

а) $x +y -3a-;$

б) $---2---; 3a2(x− y)$

в) $xy2 3(a+-b)2;$

г) $a− c; 2$

д) $1;$

е) $2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#130249

Поясните справедливость равенств:

$1)$ $a− 2 2− a a− 2 2 − a ----= ----= −----= −----; b− 4 4− b 4− b b− 4$

$2)$ $a a a a (x-− a)(x-− b)= (a−-x)(b− x)= − (a−-x)(x−-b)= −(x−-a)(b− x).$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать доказательство

$1)$ Рассмотрим сначала равенство:

$a− 2 2− a ----= ---- b− 4 4− b$

$−-1⋅(2-− a)= 2−-a −1 ⋅(4− b) 4− b$

$\−1⋅(2− a) 2− a \\-------= ---- \−1⋅(4− b) 4 − b$

$2−-a 2−-a 4− b = 4− b$

Теперь рассмотрим следующее равенство:

$2−-a a−-2 4− b = −4− b$

$− 1⋅(a − 2) a− 2 --4-− b--= −4-− b$

$− 1⋅ a−-2= − a−-2 4− b 4− b$

$a− 2 a− 2 − 4−-b = −4−-b$

Следующее равенство:

$a− 2 2− a − 4−-b = −b−-4$

$− −-1⋅(2−-a)= − 2−-a −1 ⋅(b− 4) b− 4$

$\\−1⋅(2− a) 2− a − \\−1⋅(b− 4) = − b− 4$

$− 2−-a= − 2−-a b− 4 b− 4$

что и требовалось доказать.

$2)$ $----a-----= -----a----= − ----a-----= −-----a---- (x − a)(x − b) (a− x)(b− x) (a− x)(x− b) (x− a)(b− x)$

Рассмотрим сначала равенство:

$----a----- ----a----- (x − a)(x − b)= (a− x)(b− x)$

$---------a\---------= ----a----- \\−1⋅(a− x)⋅(−\1)⋅(b− x) (a− x)(b− x)$

$----a----- ----a----- (a − x)(b− x)= (a− x)(b− x)$

Теперь рассмотрим следующее равенство:

$a a (a-− x)(b−-x)= −(a−-x)(x−-b)$

$-------a--------=− ----a----- (a − x)⋅(−1)⋅(x− b) (a− x)(x− b)$

$a a − 1⋅(a-− x)(x-− b)= −(a−-x)(x−-b)$

$− ----a-----= −-----a---- (a − x)(x − b) (a− x)(x− b)$

Следующее равенство:

$----a----- -----a---- − (a − x)(x − b)= −(x− a)(b− x)$

$− ---------a---------= −-----a---- \\−1⋅(x− a)⋅\(−\1)⋅(b− x) (x− a)(b− x)$

$− ----a-----= −-----a---- (x − a)(b− x) (x− a)(b− x)$

что и требовалось доказать.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#130253

Сократите дроби:

а) $a− b ---; b− a$

б) $3m(x−-1); 9m2(1 − x)$

в) $a(x − a) b(a−-x);$

г) $8a2b3(x-− 5); 12ab4(5− x)$

д) $5a(x− y) -------; 15a(y− x)$

е) $14xy5(2a−-3b)- 21x3y4(3b− 2a).$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $a − b a− b \a−\\b b-− a= −-1⋅(a−-b)= −1⋅\(a\−\ b)= −1;$

б) $3m(x−-1)= ---3m(x−-1)---= --\3⋅\m-⋅\(x-\−\ 1)---= -1--=− -1; 9m2(1 − x) 32m2⋅(−1)(x− 1) 3|2⋅m|2⋅(−1)\(x\−\1) −3m 3m$

в) $\ \ a(x-− a)=--a(x−-a)---= --a(x-−\\ a)--= -a =− a; b(a− x) b⋅(− 1)(x− a) b⋅(−1)(x\\− a) −b b$

г) $8a2b3(x − 5) 23a2b3(x− 5) 2|3 ⋅a|2⋅\b3⋅\(x \−\ 5) 2a 2a 12ab4(5−-x)= 22⋅3ab4⋅(−1)(x−-5)= \\22⋅3⋅a-⋅b|4⋅(−1)⋅\(x\− 5)= −3b= −-3b; \ \$

д) $5a(x− y)-=---5a(x-− y)--= ---\5⋅\a⋅\(x\−\ y)---= -1= − 1; 15a(y− x) 3⋅5a ⋅(−1)(x − y) 3⋅\5⋅\a⋅(−1)\(x\−\y) −3 3$

е) $5 5 5 \ \ 14x3y(42a−-3b)= ---2⋅37x4y(2a−-3b)---= --2⋅\7⋅\x-⋅y|⋅(2a−\ 3\b)--= 21x y (3b− 2a) 3 ⋅7x y ⋅(− 1)(2a− 3b) 3⋅\7⋅x|32 ⋅\\y4⋅(−1)\(2\a−\\3b)$

$2y 2y = −3x2 = −3x2.$

Ответ:

а) $− 1;$

б) $1 − --; 3m$

в) $− a; b$

г) $2a − 3b;$

д) $− 1; 3$

е) $− 2y. 3x2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#130256

Сократите дроби:

а) $5a− 5b -----; 10a$

б) $3x+3y; 6x$

в) $4m− 4n 8a+-8b;$

г) $-6p-+6q-. 12x +12y$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $5a− 5b 5(a − b) \5⋅(a− b) a− b --10a--= -2⋅5a-= -2⋅5⋅a-= -2a-; \$

б) $3x+3y-= 3(x+-y)= \3⋅(x-+y)= x+-y; 6x 2⋅3x 2⋅\3⋅x 2x$

в) $4m− 4n 4(m− n) 22(m − n) \\22 ⋅(m − n) m − n 8a+-8b =-8(a+-b) = 23(a+b)-= 2|3⋅(a-+b)-=2(a+-b);$

г) $-6p-+6q-= -6(p+-q)= -2⋅3(p+-q)= \2-⋅\3-⋅(p+-q)= -p+-q-. 12x +12y 12(x +y) 22⋅3(x +y) 2|2⋅\3⋅(x +y) 2(x+y)$

Ответ:

а) $a − b -2a-;$

б) $x+-y; 2x$

в) $m-−-n- 2(a+ b);$

г) $-p+-q. 2(x+ y)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#130257

Сократите дроби:

а) $ac− bc -----; ac+bc$

б) $ax+bx; ax− bx$

в) $a3 a3+ab;$

г) $-xy-; x− xy$

д) $pq3 p2q-− pq2;$

е) $ac− bc; c2 +cd$

ж) $k2+k kx−-ky;$

з) $2 a2+-3ab2. ab+ 3ab$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $ac− bc c(a− b) c⋅(a− b) a− b ac+-bc= c(a+-b)= |c⋅(a+-b)= a+-b; |$

б) $ax+bx-= x(a+-b)= \x⋅(a-+b)= a+-b; ax− bx x(a− b) \x⋅(a − b) a− b$

в) $a3 a3 a|32 a2 a3+ab= a(a2+b)= a⋅(a2+b)= a2+-b; \$

г) $-xy-- --xy-- --\x⋅y-- --y- x− xy = x(1− y)= \x⋅(1− y)= 1− y;$

д) $3 3 32 2 -2pq--2 =--pq---= --\p⋅q|---= -q--; pq − pq pq(p− q) \p⋅\q⋅(p − q) p− q$

е) $ac− bc c(a-− b) |c⋅(a-− b) a−-b c2 +cd= c(c+ d)= |c⋅(c+ d)= c+ d;$

ж) $2 -k-+k-= k(k+-1) = \k-⋅(k+-1)= k+-1; kx− ky k(x− y) \k ⋅(x− y) x− y$

з) $a2+ 3ab a(a +3b) \a⋅\(a\+3\\b) 1 a2b+-3ab2-= ab(a+-3b)= a⋅b⋅\(a\+3\\b)= b. \$

Ответ:

а) $a − b a-+b;$

б) $a+-b; a− b)$

в) $a2 a2+b;$

г) $-y-; 1− y$

д) $q2 p−-q;$

е) $a− b; c+d$

ж) $k-+1 x − y;$

з) $1. b$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#130258

Сократите дроби:

а) $x2− 2xy -----2; xy− 2y$

б) $-3x2+-4xy; 9x2y− 16y3$

в) $2ac− 4bc 5a3c−-20ab2c;$

г) $x2− 2xy; 2y2− xy$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $x2 − 2xy x(x− 2y) x\(x\− \\2y) x xy-− 2y2 = y(x−-2y)= y\(x\−-\2y)= y; \$

б) $\ -3x2+-4xy-= -x(3x-+4y)-= ---x(3x+-4y)----=----x(3\x+\\4y)---= 9x2y− 16y3 y(9x2− 16y2) y(3x +4y)(3x− 4y) y\(3\x+\\4y)(3x − 4y)$

$= ---x---; y(3x− 4y)$

в) $2ac− 4bc 2c(a − 2b) 2c(a− 2b) 2⋅c⋅\(a\− 2b) 5a3c−-20ab2c= 5ac(a2−-4b2)= 5ac(a+-2b)(a-− 2b)= 5a⋅c⋅|(a+-2b)\(\\a\−-2b)= | \\$

$2 = -------; 5a(a+ 2b)$

г) $x2− 2xy x(x−-2y) ---x(x−-2y)-- --x\(x\−-\\2y)--- x-- x 2y2− xy = y(2y− x)= y ⋅(−1)(x − 2y)= y⋅(−1)\(x\− \\2y)= −y = −y;$

Ответ:

а) $x y;$

б) $x y(3x−-4y);$

в) $2 5a(a+-2b);$

г) $x − y.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#130267

Сократите дроби:

а) $a2− b2 -----; a+b$

б) $x2− 4x-+4; x2− 4$

в) $a3− b3 2a− 2b;$

г) $3 --1−-x---- 3+3x +3x2$

Источники: Старая школа, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. (см. oldskola1.narod.ru)

Показать ответ и решение

а) $a2− b2 (a+b)(a − b) \(a\+\b)(a − b) -a+-b-= ---a+-b---= ---\a+\\b---= a− b;$

б) $x2− 4x-+4=--(x−-2)2-- = --(x-− 2)|2-= x−-2; x2− 4 (x+ 2)(x− 2) (x +2)\(x\−\2) x+ 2$

в) $a3− b3 (a− b)(a2+ab+ b2) \(a\−\b)(a2+ab+ b2) a2+ ab+ b2 2a− 2b=-----2(a−-b)----= -----2\(a\− b)--- =----2----; \$

г) $- --1−-x3--= (1− x)(1+x-+x2)= (1− x)(1-+x-+-x-2)= 1−-x. 3+3x +3x2 3(1+x +x2) 3-(1-+x--+x-2) 3$

Ответ:

а) $a− b;$

б) $x− 2 ---; x+ 2$

в) $a2+ab+ b2 --------; 2$

г) $1− x -3-.$