Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Школа - Школа 5-8 класс
Система нелинейных уравнений

Тема Системы уравнений

03 Система нелинейных уравнений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела системы уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#131070

Решите систему уравнений:

{ 2x − 3y = 0 5x2+ 2y = 3

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из первого уравнения $y$ и подставим во второе

(| 2x- { y = 3 (1) |( 5x2+ 4x =3 (2) 3

Решим отдельно второе уравнение (с помощью дискриминанта), предварительно домножив его на $3.$

15x2+4x− 9= 0

D= 42− 4⋅15 ⋅(−9)= 4⋅139

√--- x = −4±-2-139 30

√--- x= −2-±-139 15

Для каждого $x$ найдем соответствующий $y$ из уравнения $(1)$ и получим ответ.

Ответ:

$−2+-√139−-4+2√139 (x1,y1)= ( 15 , 45 )$

$√--- √ --- (x2,y2)= (−2−--139,−4−-2-139) 15 45$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#131228

Решите систему уравнений

{ 3x− 5xy +1 =0 4x− y = 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из второго уравнения $y$ и подставим в первое:

{ y = 4x− 2 (1) 3x− 5x(4x− 2)+ 1= 0 (2)

Раскроем скобки в $(2)$

2 3x− 20x + 10x +1 =0

Перенесем все вправо

20x2− 13x− 1 =0

Решим квадратно уравнение, используя дискриминант

D =(−13)2− 4 ⋅20⋅(−1)= 249

√--- x= 13±--249 40

Подставим назад в $(1)$ и получим соответствующие $y.$

Ответ:

13+ √249− 7+√249- (x1,y1) =(---40---,---10---)

( √--- √ --) (x2,y2)= 13−--249,−-7−--249 40 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#131229

Решите систему уравнений

{ x2+ y2 =5 xy = 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из второго уравнения $y$

2 y = x

Подставим в первое уравнение

( 2 ||{ y = x (1) || 2 ( 2)2 ( x + x = 5 (2)

Решим уравнение $(2).$ Перенесем все слагаемые влево.

( )2 x2 + 2 − 5= 0 x

Занесем все под общий знаменатель $x2,$ получим:

x4-− 5x2+-4 x2 = 0

Разложим на множители

(x2− 1)(x2− 4) -----x2-----= 0

Итог:

[ x =±1 x =±2

Подставим обратно в уравнение $(1)$ и получим соответствующие $y.$

Ответ:

(x1,y1)= (−1,−2)

(x2,y2)=(1,2)

(x ,y)= (−2,−1) 3 3

(x4,y4)=(2,1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#131230

Решите систему уравнений

{ (x− y)(3x2 +4|y|)= (3x2+ 4|y|) x+ y = 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

В первом уравнении перенесем все налево

2 2 (x− y)(3x +4|y|)− (3x + 4|y|)= 0

Вынесем за скобки $3x2+ 4|y|$

2 (x− y − 1)(3x + 4|y|)= 0

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные существуют. Получаем

[ x− y− 1= 0 (1) 3x2+4|y|= 0 (2)

Рассмотрим случай $(1),$ получим систему

{ x − y− 1= 0 x +y = 2

Сложим уравнения

x − y − 1+ x+ y = 0+ 2

2x− 1 =2

Получим решение $( ) 3,1 2 2$

Рассмотрим уравнение $2.$ Заметим, что каждое из этих слагаемых неотрицательное, а в сумме они равны $0$ $=⇒$ каждое из них равно нулю, причем одновременно. Получаем систему:

(|{ 3x2 =0 4|y|=0 |( x+ y = 2

Такая система не имеет решений в действительных числах.

Ответ:

(3 1) (x,y)= 2,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#131231

Решите систему уравнений

{ x+ y = 3 x2− xy+y2 =4

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из первого уравнения $x:$

x= 3− y

Подставим во второе уравнение.

{ x =3− y (1) (3− y)2+ y(3− y)+ y2 =4 (2)

Решим отдельно второе уравнение (с помощью дискриминанта).

9− 6y+ y2− 3y +y2+ y2 = 4

3y2− 9y+ 5= 0

D = (−9)2− 4⋅3⋅5= 21

√-- y = 9±-21 6

Для каждого $y$ найдем соответствующий $x$ из уравнения $(1)$ и получим ответ.

Ответ:

( 9− √21 9+√21-) (x1,y1)= --6---,--6---

( 9+-√21 9− √21-) (x2,y2)= 6 , 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#131232

Решите систему уравнений

(| x(y+ 1) =16 |{ ||( -x-- y+1 = 4

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем систему в ей равносильную:

( x(y+ 1)=16 (1) |{ |( x = 4y +4 (2) y ⁄=− 1 (3)

Подставим $(2)$ в $(1),$ получим

4(y+ 1)(y+1)= 16

Разделим все на $4$

y2+ 2y +1= 4

Перенесем влево

y2+ 2y − 3= 0

Разложим на множители

(y+ 3)(y− 1)= 0

Вернемся в исходную систему:

( [ |||| y = −3 { y = 1 |||| y ⁄= −1 ( x= 4y+4

Все значения $y$ нам подходят, подставим их в уравнение $(2)$ и получим ответ.

Ответ:

(x1,y1)= (−8,−3)

(x2,y2)=(8,1)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#131233

Решите систему уравнений

{ x− y = 3 x3− y3 =9

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Разложим второе уравнение по формуле разности кубов:

{ x− y = 3 2 2 (x − y)(x +xy+ y )=9

Во втором уравнении сократим $x− y$ слева и $3$ справа (можем это сделать, так как $x− y = 3$ из первого уравнения). Получим:

{ x= 3+ y x2+ xy+y2 =3

Подставим первое уравнение во второе и отдельно решим его

(y+ 3)2 +y(y+3)+ y2 = 3

y2 +6y+ 9+ y2 +3y+ y2 = 3

Разделим обе части на $3,$ приведем подобные члены

y2+ 3y +2= 0

Разложим на множители

(y+ 2)(y+1)= 0

Вернемся к системе

( [ |{ y = −2 |( y = −1 x= y+ 3

Для каждого $y$ найдем $x,$ получим ответ.

Ответ:

(x1,y1)= (1,−2)

(x2,y2)= (2,−1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#131234

Решите систему уравнений

{ x+y3 =2 2x +x2+ 5y3 = 8

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим из первого уравнения $x:$

x= 3+ y

Подставим во второе уравнение, получим:

3 32 3 2(2− y)+ (2 − y ) +5y = 8

4− 2y3+ 4− 4y3 +y6+ 5y3 =8

y6− y3 = 0

y3(1− y3)= 0

[ y = 0 y = 1

Для каждого $y$ найдем свой $x,$ получим ответ.

Ответ:

(x1,y1)=(2,0)

(x2,y2)=(1,1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#131235

Решите систему уравнений

{ x3+ y3 = 7 x2y+ xy2 = −2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем систему к такому виду:

{ (x +y)(x2 − xy+ y2)=7 xy(x +y)= −2

И поделим почленно (левую часть первого уравнения на левую часть второго, аналогично с правыми). Можем так делать потому что ни одно из уравнений не равно $0.$

Получим выражение (вытащим его из системы).

x2− xy+-y2 7 xy = − 2

Перемножим крест-накрест

2(x2− xy+ y2) =−7xy

2x2+ 5xy +2y2 = 0

2x2+ 4xy+xy +2y2 = 0

(x+ 2y)(2x +y)= 0

⌊ ⌈ x= −21y x= −2y

Получили систему:

( ⌊ ||{ ⌈ x =−2y | x =− 1y |( xy(x+ y)2= −2

Подставим каждое уравнение из совокупности в третье уравнение. Будем дальше преобразовывать ее

⌊ { | x= −2y || ( −2y⋅y(−2y+ y)= 2 ||| |{ x =− 1y ⌈ | 1 2( 1 ) ( − 2y⋅y − 2y+y = 2

⌊ { | x=3−2y ||| ( 2y = 21 || |{ x =− 2y ⌈ |( − 1y3 = 2 4

⌊ { y = 1 || x =−2 ||⌈ { y = −2 x =1

Ответ:

(x1,y1)= (− 2,1)

(x2,y2)= (1,−2)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#131236

Решите систему уравнений

{ 3x2+ xy− 18x − 4y+ 24= 0 5x2+ xy− 24x − 4y+ 16= 0

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Вычтем первое уравнение из второго уравнения:

2 2 (5x − 3x)+ (xy − xy)+ (−24x+ 18x)+ (−4y+ 4y)+ (16 − 24)= 0

2 2x − 6x− 8= 0

Разделим уравнение на $2 :$

x2− 3x − 4 =0

Найдем дискриминант:

D =(−3)2− 4 ⋅1 ⋅(−4)= 9+ 16=25

Корни уравнения:

√-- x= 3±--25= 3-±5 2 2

x = 4, x = −1 1 2

Найдём значения $y$ для каждого $x:$

1. Для $x= 4:$

3⋅16+ 4y − 72− 4y+24= 0

48 − 72+ 24= 0

0= 0

Уравнение верно для любого $y.$

2. Для $x= −1 :$

3⋅1− y+18− 4y+ 24 =0

45− 5y = 0

y = 9

Ответ:

(x1,y1) =(4,ℝ )

(x2,y2)= (− 1,9)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#131237

Решите систему уравнений

{ (x+ 2y)⋅(x− y) =4 (x+ 2y)⋅(x+ y) =12

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Разделим уравнение второе уравнение на первое уравнение:

(x+2y)(x-+y) 12 (x+2y)(x − y) = 4

Сократим на $(x +2y)$ (при условии $x ⁄=− 2y):$

x+-y =3 x− y

Решим полученное уравнение:

x+ y = 3(x− y)

x+ y = 3x− 3y

x= 2y

Подставим $x =2y$ в первое уравнение:

(2y+ 2y)(2y− y)=4

4y⋅y = 4

2 4y =4

2 y − 1 =0

(y− 1)(y+1)= 0

y = ±1

Найдём соответствующие значения $x :$

1. При $y = 1:$

x= 2⋅1= 2

2. При $y = −1 :$

x =2⋅(−1)= −2

Ни в одном из случаев $x⁄= −2y,$ значит, итоговый ответ не меняется.

Ответ:

(x1,y1)= (−2,−1)

(x2,y2)=(2,1)

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#131238

Решите систему уравнений

{ (x +y)2− 5⋅(x+ y)+4 =0 (x − y)2− (x− y)− 2=0

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Решим первое уравнение относительно $(x +y):$

2 (x +y) − 5(x+ y)+4 =0

Обозначим $a =x +y :$

2 a − 5a +4= 0

Корни уравнения:

(a− 4)(a− 1)= 0

Получаем два случая:

x+ y = 4 или x +y =1

Решим второе уравнение относительно $(x− y) :$

(x− y)2− (x− y)− 2= 0

Обозначим $b= x− y :$

b2− b− 2= 0

Корни уравнения:

(b− 2)(b+1)= 0

Получаем два случая:

x− y = 2 или x− y = −1

Теперь рассмотрим все возможные комбинации $a$ и $b:$

$1.$ Случай $x +y =4$ и $x − y = 2:$

{ x+ y = 4 x− y = 2

Складываем уравнения:

2x= 6⇒ x =3

Вычитаем второе из первого:

2y = 2⇒ y = 1

$2.$ Случай $x +y =4$ и $x − y = −1 :$

{ x+ y = 4 x− y = −1

Складываем уравнения:

2x= 3⇒ x= 1.5

Вычитаем второе из первого:

2y = 5⇒ y = 2.5

$3.$ Случай $x +y =1$ и $x − y = 2:$

{ x+ y = 1 x− y = 2

Складываем уравнения:

2x= 3⇒ x= 1.5

Вычитаем второе из первого:

2y = −1⇒ y = −0.5

$4.$ Случай $x +y =1$ и $x − y = −1 :$

{ x+ y = 1 x− y = −1

Складываем уравнения:

2x= 0⇒ x =0

Вычитаем второе из первого:

2y = 2⇒ y = 1

Ответ:

(x1,y1)=(3,1)

(3 5) (x2,y2)= 2,2

(3 1) (x3,y3)= 2,− 2

(x4,y4)=(0,1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#131239

Решите систему уравнений

( 2 y |||{ x + 3 = 3 | ||( x + 3= 3 2 y 2

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменных:

1 u =x , v = y

Где $x,y ⁄=0$

Перепишем систему через новые переменные:

( v ||{ 2u + 3 = 3 || 1 3 3 ( 2u + v =2

Решим первое уравнение относительно $v :$

v3 = 3− 2u

v = 9− 6u

Подставим выражение для $v$ во второе уравнение:

-1 + -3---= 3 2u 9− 6u 2

Упростим второе уравнение:

-1 + -1---= 3 2u 3− 2u 2

Приведем к общему знаменателю $2u(3 − 2u):$

3− 2u-+2u 3 2u(3 − 2u) = 2

---3----= 3 2u(3 − 2u) 2

Сократим на $3:$

---1---- 1 2u(3 − 2u) = 2

Перемножим крест-накрест:

2= 2u(3− 2u)

1= u(3− 2u)

2 2u − 3u+ 1= 0

Решим квадратное уравнение:

3±-√9−-8 3-±1 u= 4 = 4

Получаем два решения:

$1.$ $4 u = 4 = 1$

$2.$ $u = 24 = 12$

Найдем соответствующие значения $v$ : $1.$ Для $u= 1$ :

v = 9− 6 ⋅1 =3

$2.$ Для $u= 1 2$ :

1 v =9 − 6⋅2 = 6

Вернемся к исходным переменным:

$1.$ Для $u= 1$ , $v = 3$ :

1 x =u = 1, y = v = 3

$2.$ Для $1 u= 2,$ $v =6 :$

x =-1= 2, y = v = 6 u

Ответ:

(x1,y1)=(1,3)

(x2,y2)=(2,6)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#131240

Решите систему уравнений

({ x−-1 y+ 2 = 2 ( (x− 1)2 +(y+ 2)2 = 45

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Сделаем замену переменных:

{ u= x− 1 v = y+2

Система принимает вид:

({ u= 2 ( v2 2 u +v = 45

Из первого уравнения выразим $u :$

u= 2v

Подставим во второе уравнение:

(2v)2+ v2 =45

4v2+ v2 = 45

5v2 = 45

2 v − 9 =0

(v− 3)(v+3)= 0

v = ±3

Найдём соответствующие значения $u :$

П ри v = 3: u= 2⋅3= 6 П ри v = −3: u= 2⋅(−3)= −6

Вернёмся к исходным переменным:

Для первого случая:

{ { x− 1= 6 ⇒ x =7 y+ 2= 3 y =1

Для второго случая:

{ { x− 1 =− 6 ⇒ x =− 5 y+2 =− 3 y =− 2

Ответ:

(x1,y1)=(7,1)

(x2,y2)= (−5,−5)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#131241

Решите систему уравнений

{ x +y =2 x3 +y3 = 26

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выражаем $y$ из первого уравнения:

y = 2− x

Подставляем во второе уравнение:

3 3 x + (2− x) =26

Раскрываем скобки:

x3+ 8− 12x+ 6x2− x3 =26

Упрощаем:

6x2 − 12x+ 8= 26

Переносим все члены влево:

6x2 − 12x− 18 =0

Делим уравнение на $6:$

x2− 2x − 3 =0

Находим корни квадратного уравнения:

2 D =(−2) − 4 ⋅1 ⋅(−3)= 4+ 12=16

2±-√16 2-±4 x= 2 = 2

Получаем два решения:

x1 = 3, x2 = −1

Находим соответствующие значения $y :$

При x =3 : y = 2− 3= −1 При x =− 1: y =2− (−1)= 3

Ответ:

(x1,y1)= (3,−1)

(x2,y2)= (− 1,3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#131246

Решите систему уравнений

{ x2 = xy x2y = 4y

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим первое уравнение:

2 x = xy

2 x − xy = 0

x(x− y)= 0

Получаем два случая:

а) x= 0 б) x= y

Разберём каждый случай отдельно:

Случай а) $x =0$

Подставим во второе уравнение:

02⋅y = 4y

0= 4y

y = 0

Получаем решение: $(0,0)$

Случай б) $x =y$

Подставим $x =y$ во второе уравнение:

2 x ⋅x= 4x

3 x = 4x

x3− 4x= 0

x(x2− 4)=0

Получаем подслучаи:

б1) x=2 0⇒ y =0 б2) x = 4⇒ x= ±2 ⇒ y = ±2

Ответ:

(x1,y1)=(0,0)

(x2,y2)=(2,2)

(x ,y)= (−2,−2) 3 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#131247

Решите систему уравнений

{ x2+ 2y =6 y2+4x =9

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Выразим $y$ из первого уравнения:

2 2y = 6− x

x2- y = 3− 2

Подставим во второе уравнение:

( x2)2 3− -2 +4x= 9

9 − 3x2+ x4+ 4x= 9 4

4 x-− 3x2+4x =0 4

x4− 12x2 +16x= 0

x(x3 − 12x+ 16)= 0

Найдем корни уравнения:

а) Первый корень: $x= 0$

При $x= 0$ : $0 y = 3− 2 =3$

б) Второй корень находим из $x3− 12x +16= 0$

При $x= 2$ : $8− 24+16 =0$

Разложим на множители: $(x− 2)(x2+ 2x − 8)= 0$

Дополнительные корни: $√ -- x= −-2±--36-= −2±-6 2 2$

Получаем: $x= 2$ и $x= −4$

Для $x= 2:$ $y = 3− 4= 1 2$

Для $x= −4 :$ $y = 3− 16= −5 2$

Ответ:

(x1,y1)=(0,3)

(x2,y2)=(2,1)

(x ,y)= (−4,−5) 3 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#131250

Решите систему уравнений

{ x4− 3x2y2 = 4 y4 +x2y2 = 5

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Поделим первое уравнение на второе почленно:

x4−-3x2y2 4 y4+ x2y2 = 5

Разделим числитель и знаменатель на $y4$ ( $y ⁄= 0):$

( )4 ( )2 x − 3 x -y---(-)2y---= 4 1+ x 5 y

Введем замену $k= x : y$

k4− 3k2-= 4 1+k2 5

Умножим обе части на $2 5(1+k ):$

4 2 2 5(k − 3k )=4(1+ k)

5k4− 15k2 = 4+ 4k2

5k4 − 19k2− 4 =0

Решим биквадратное уравнение (замена $z = k2):$

2 5z − 19z− 4= 0

D = 361+80= 441

19±-21 z = 10

1 z1 = 4, z2 =− 5

Возвращаемся к $k :$

k2 = 4⇒ k= ±2

2 1 k = −5 (нет решений)

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $x = 2y$

Подставим в второе изначальное уравнение:

4 2 2 y +(2y) y = 5

y4+ 4y4 = 5

5y4 =5

y4 = 1

y = ±1

Найдем $x:$

y =1 ⇒ x= 2

y = −1 ⇒ x= −2

Случай 2: $x = −2y$

Подставим во второе изначальное уравнение:

y4+(−2y)2y2 =5

4 4 y + 4y = 5

4 5y =5

y4 = 1

y = ±1

Найдем $x:$

y = 1⇒ x= −2

y = −1⇒ x =2

Ответ:

(x1,y1)=(2,1)

(x2,y2)= (− 2,1)

(x ,y )= (2,−1) 3 3

(x4,y4)=(2,1)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#131252

Решите систему уравнений

{ xy− 29= x+ y x2+y2 = x+ y+ 72

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуем первое уравнение:

xy− x− y =29

xy − x− y+ 1= 30

(x− 1)(y− 1)= 30 (1′)

Преобразуем второе уравнение:

x2+ y2− x − y =72

(x +y)2− 2xy − (x+ y)=72 (2′)

Введем замену:

S =x +y, P = xy

Перепишем уравнения через новые переменные:

{ P −2 S = 29 (1’) S − 2P − S = 72 (2’)

Выразим $P$ из (1’):

P = S+ 29

Подставим в (2’):

2 S − 2(S+ 29)− S = 72

S2 − 2S− 58− S = 72

S2− 3S− 130 =0

Решим квадратное уравнение:

√------ S = 3±--9+-520-= 3±-23- 2 2

S1 = 13, S2 = −10

Найдем соответствующие значения $P :$

П ри S = 13: P = 13+ 29= 42 П ри S = −10: P =− 10 +29= 19

Найдем пары $(x,y):$

Случай 1: $S = 13,$ $P = 42$

t2− 13t+ 42= 0

13± √169−-168 13±1 t =------2----- = --2--

x = 7, y = 6 x = 6, y = 7

Случай 2: $S = −10,$ $P = 19$

t2+ 10t+ 19= 0

√ ------- √-- √ - t= −-10-±--100−-76= −10±--24 =− 5± 6 2 2

√ - √- x= −5 +√ 6, y = −5− √6 x= −5 − 6, y = −5+ 6

Ответ:

(x1,y1)=(7,6)

(x2,y2)=(6,7)

(x ,y )= (− 5+√6,− 5− √6) 3 3

(x4,y4)= (− 5− √6,− 5+ √6)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#131253

Решите систему уравнений

{ (x− 2)⋅(y− 2)= 4 x2+ y2+xy =3

Источники: M.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО АЛГЕБРЕ (см. 91.ru)

Показать ответ и решение

Раскроем первое уравнение:

xy− 2x− 2y +4= 4

xy − 2x− 2y = 0

xy = 2x +2y (1′)

Выразим $y$ из преобразованного уравнения $(1′):$

xy− 2x =2y

y(x− 2)= 2x

y = x2−x2 (при x⁄= 2)

Подставим $y =-2x- x − 2$ во второе уравнение:

( ) x2+ -2x- 2+x ⋅-2x--= 3 x − 2 x− 2

Упростим уравнение:

2 4x2 2x2 x + (x− 2)2 + x−-2 = 3

Приведем к общему знаменателю $(x− 2)2 :$

2 2 2 2 2 x (x− 2) + 4x +2x (x − 2)= 3(x − 2)

Раскроем скобки:

x2(x2− 4x+ 4)+ 4x2+ 2x3− 4x2 = 3(x2− 4x+ 4)

x4− 4x3 +4x2+ 4x2 +2x3− 4x2 =3x2− 12x +12

x4− 2x3+ 4x2− 3x2+ 12x− 12= 0

x4− 2x3 +x2+ 12x − 12= 0

Найдем рациональные корни. Проверим $x= 1:$

1− 2+ 1+ 12 − 12= 0 верно

Разложим на множители:

(x− 1)(x3− x2+12)= 0

Проверим $x = −2$ для кубического уравнения:

−8− 4+ 12= 0 верно

Получаем разложение:

2 (x− 1)(x+ 2)(x − 3x +6)= 0

Найдем действительные корни:

x1 = 1, x2 = −2

Найдем соответствующие $y :$

При $x= 1$ :
$2-⋅1- y = 1− 2 = −2$
При $x= −2:$
$y = 2⋅(−2)= −-4= 1 −2− 2 − 4$

Ответ:

(x1,y1)= (1,−2)

(x2,y2)= (− 2,1)