Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#113007

Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Обозначим вершины $A, B, C, D$ трапеции так, чтобы $AD$ было меньшим основание, $BC$ — большим основанием.

Пусть $AD =a, BC = b,$ а также $AC = 15,$ $BD = 8.$ Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ параллельно $BD$ проведем прямую до пересечения с $AD$ в точке $N.$

$PIC$

Заметим, что $BCND$ — параллелограмм по определению, а значит, $BC =ND.$ Таким образом, мы получили, что $AN = a+ b= 17.$

Рассмотрим треугольник $△ ACN.$ Заметим, что в нем $AC2 +CN2 = AN2.$

Действительно,

2 2 2 2 2 2 AC + CN = 15 + 8 = 225+ 64= 289= 17 = AN .

Таким образом, по обратной теореме Пифагора $△ ACN$ является прямоугольным, то есть $∠ACN = 90∘.$ Но так как данный угол получен в результате параллельного переноса одной из диагоналей, то диагонали тоже перпендикулярны.

б) Опустим высоту $CH$ трапеции на прямую, содержащую основание $AD.$ Заметим, что данная высота является ещё и высотой в прямоугольном треугольнике $△ ACN.$

$PIC$

Площадь $△ ACN,$ с одной стороны, равна $1 2 ⋅AC ⋅CN,$ а с другой стороны, равна $1⋅CH ⋅AN. 2$ Тогда получаем

1⋅AC ⋅CN = 1 ⋅CH ⋅AN 2 2 CH = AC-⋅CN- AN CH = 15⋅8 = 120 17 17

Ответ:

б) $120- 17$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#120327

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD,$ точка $K$ — середина боковой стороны $AB.$ Отрезки $CE$ и $DK$ пересекаются в точке $O.$

a) Докажите, что площади четырёхугольника $AKOE$ и треугольника $COD$ равны.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника $AKOE$ к площади трапеции $ABCD,$ если $BC =3,$ $AD = 4.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Продлим $DK$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $L.$ Заметим, что $∠BKL = ∠AKD$ как вертикальные, $∠LBK = ∠DAK$ как накрест лежащие при параллельных прямых $BL$ и $AD$ и секущей $BA,$ $BK = AK$ по условию. Тогда треугольники $BKL$ и $AKD$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, $KL =KD$ и $BL = AD = 4.$ Тогда $EK$ — средняя линия треугольника $ADL,$ следовательно, $EK ∥ AL.$ Значит, $AEKL$ — трапеция.

Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции и её боковыми сторонами, являются равновеликими, то есть имеют одинаковую площадь.

$PIC$

Пусть в трапеции $AEKL$ диагонали $AK$ и $EL$ пересекаются в точке $M.$ Тогда

SAME = SLMK.

В трапеции $ELCD$ диагонали $EC$ и $LD$ пересекаются в точке $O.$ Тогда

SLOE = SCOD.

Таким образом,

SCOD = SLOE =SMKOE + SLMK = SMKOE + SAME = SAKOE.

б) В предыдущем пункте мы доказали, что $SAKOE = SCOD.$ Тогда найдем отношение площади треугольника $COD$ к площади трапеции $ABCD.$

Также мы доказали равенство треугольников $BKL$ и $AKD,$ значит, равны и их площади. Тогда

S = S + S = S +S = S . ABCD AKD KBCD BKL KBCD CLD

$PIC$

Значит, нам нужно найти отношение площадей треугольников $COD$ и $CLD.$ Такое отношение равно отношению их сторон $DO$ и $DL.$

Рассмотрим треугольники $EOD$ и $COL.$ В них $∠EOD = ∠COL$ как вертикальные и $∠EDO = ∠CLO$ как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми $ED$ и $CL$ и секущей $DL.$ Значит, $△ EOD ∼△COL$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

1 DO- = ED- = --2AD---= --2- = 2. OL CL BC + BL 3+ 4 7

Тогда $DO :DL = 2:9.$ Значит,

SAKOE :SABCD = 2:9.

Ответ: б) 2 : 9

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90077

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. При этом $M$ — точка пересечения его диагоналей $BE$ и $AD.$ Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

б) Найдите $AB$ , если известно, что $BE = 12,$ $BC = 5,$ $AD = 9.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Так как $BCDM$ — параллелограмм, то $CD ∥ BM$ и $CD =BM.$ Тогда $EBCD$ — трапеция, так как $CD ∥BE$ и $BE =BM + ME = CD + ME > CD.$

Вокруг трапеции $BCDE$ описана окружность, следовательно, она равнобедренная, в которой $BC = DE.$

Значит, в пятиугольнике $ABCDE$ равны стороны $BC$ и $DE.$

$PIC$

б) Аналогично пункту а) получаем, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, в которой $BC ∥AD,$ $AD > BC$ и $AB =CD.$

Так как по условию $BCDM$ — параллелограмм, то $DM = BC = 5.$ Тогда

AM = AD − DM =9 − 5= 4.

Пусть $AB =CD = BM = x.$ По свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 4⋅5 = x⋅(12 − x) x2− 12x+ 20= 0 (x − 2)[(x− 10)= 0 x= 2 x= 10

Заметим, что если $x = 2,$ то $ME = 10.$ Тогда в $△ MDE$ стороны будут равны 5, 5 и 10, что невозможно по неравенству треугольника.

Значит, $AB = x= 10.$

Ответ: б) 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90089

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =3,$ $BC =DE = 4.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 6.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥ MD$ и $CD ∥BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 4$ и $BM = CD = 3.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 4,$ значит,

AM = AD − MD =6 − 4= 2.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 2⋅4= 3⋅ME 8 ME = 3

$PIC$

Значит,

BE = BM + ME = 3+ 8 = 9+-8 = 17. 3 3 3

Ответ:

б) $17 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90094

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =4,$ $BC =DE = 6.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 7.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$ Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥MD$ и $CD ∥ BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 6$ и $BM = CD = 4.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 6,$ значит,

AM = AD − MD =7 − 6= 1.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 1⋅6= 4⋅ME 3 ME = 2

$PIC$

Значит,

3 BE = BM + ME = 4+ 2 =4 + 1,5= 5,5.

Ответ: б) 5,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90098

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =5,$ $BC =DE = 8.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 10.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥ MD$ и $CD ∥BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 8$ и $BM = CD = 5.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 8,$ значит,

AM = AD − MD = 10− 8= 2.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 2⋅8= 5⋅ME 16 ME = 5

$PIC$

Значит,

BE = BM + ME = 5 + 16-= 5+ 3,2 = 8,2. 5

Ответ: б) 8,2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90099

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 24,$ $AC = 10.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 10√-+-24 BC = 676 BC = 26

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 13.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 13-⋅26 NO = 10 NO = 33,8

Ответ: б) 33,8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90100

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 48,$ $AC = 14.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 1√4-+-48 BC = 2500 BC = 50

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 25.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 25-⋅50 NO = 14 625 NO = 7--

Ответ:

б) $625- 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90101

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 42,$ $AC = 40.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 4√0-+-42 BC = 3364 BC = 58

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 29.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 29-⋅58 NO = 40 841 NO = 20-

Ответ:

б) $841- 20$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90102

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 10$ и $AB =22.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 10 5 tg∠ABC = AB-= 22 = 11.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 11.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -5 NH 11 11AH- 121 NH = 5 = 5 = 24,2.

Ответ: б) 24,2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90103

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 12$ и $AB =52.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 12 3 tg∠ABC = AB-= 52 = 13.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 26.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -3 NH 13 13AH- 13⋅26 338 NH = 3 = 3 = 3 .

Ответ:

б) $338- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90104

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 14$ и $AB =36.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 14 7 tg∠ABC = AB-= 36 = 18.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 18.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -7 NH 18 18AH- 18⋅18 324 NH = 7 = 7 = 7 .

Ответ:

б) $324- 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#90105

Периметр треугольника $ABC$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

а) Докажите, что $AC = 9.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $∘ ∠ACB = 90.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Пусть $AB = 2c,$ $AC = 2b$ и $BC = 2a.$ По условию $E$ — середина $AB,$ поэтому $AE =BE = c.$ Также $F$ — середина $BC,$ поэтому $BF = CF = a.$ Тогда $EF$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная $AC,$ следовательно, $EF = b.$

$PIC$

По условию периметр треугольника $ABC$ равен 36, значит,

2a +2b+ 2c= 36 a+ b+ c= 18

С другой стороны, $EF$ касается вписанной окружности треугольника $ABC,$ поэтому четырехугольник $AEF C$ — описанный, следовательно, суммы его противоположных сторон равны:

AE + F C = EF + AC c+ a= b+ 2b a +c =3b

Таким образом,

a+ b+ c= 18 (a+ c)+b = 18 3b+ b= 18 2b= 9

Значит, $AC = 2b= 9.$

б) По условию $∘ ∠ACB = 90 .$ Тогда запишем теорему Пифагора для $△ ABC :$

AC2+ BC2 = AB2 92 +4a2 = 4c2 2 2 81 = 4c− 4a 81= (2c− 2a)(2c+ 2a)

В предыдущем пункте мы доказали, что

a+ c= 3b ⇒ 2a+ 2c= 6b= 27.

Следовательно,

81= (2c− 2a)(2c+ 2a) 81= (2c− 2a)⋅27 2c− 2a = 3

Имеем систему уравнений:

{2a+ 2c= 27 {2a = 12 2c− 2a= 3 ⇔ 2c= 15

$PIC$

Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника $ABC :$

1 1 SABC = 2 ⋅AC ⋅BC = 2 ⋅9 ⋅12= 54.

Ответ: б) 54

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#90106

Периметр треугольника $ABC$ равен 24. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

а) Докажите, что $AC = 6.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $∘ ∠ACB = 90.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Пусть $AB = 2c,$ $AC = 2b$ и $BC = 2a.$ По условию $E$ — середина $AB,$ поэтому $AE =BE = c.$ Также $F$ — середина $BC,$ поэтому $BF = CF = a.$ Тогда $EF$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная $AC,$ следовательно, $EF = b.$

$PIC$

По условию периметр треугольника $ABC$ равен 24, значит,

2a +2b+ 2c= 24 a+ b+ c= 12

С другой стороны, $EF$ касается вписанной окружности треугольника $ABC,$ поэтому четырехугольник $AEF C$ — описанный, следовательно, суммы его противоположных сторон равны:

AE + F C = EF + AC c+ a= b+ 2b a +c =3b

Таким образом,

a+ b+ c= 12 (a+ c)+b = 12 3b+ b= 12 2b= 6

Значит, $AC = 2b= 6.$

б) По условию $∘ ∠ACB = 90 .$ Тогда запишем теорему Пифагора для $△ ABC :$

AC2+ BC2 = AB2 62 +4a2 = 4c2 2 2 36 = 4c− 4a 36= (2c− 2a)(2c+ 2a)

В предыдущем пункте мы доказали, что

a+ c= 3b ⇒ 2a+ 2c= 6b= 18.

Следовательно,

36= (2c− 2a)(2c+ 2a) 36= (2c− 2a)⋅18 2c− 2a = 2

Имеем систему уравнений:

{2a+ 2c= 18 {2a = 8 2c− 2a= 2 ⇔ 2c= 10

$PIC$

Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника $ABC :$

1 1 SABC = 2 ⋅AC ⋅BC = 2 ⋅6⋅8= 24.

Ответ: б) 24

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#88578

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60∘.$ Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M.$

а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $sin∠BMC,$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Пусть $O$ — центр окружности, $N$ — точка касания со стороной $BC.$ Тогда $BO$ — отрезок биссектрисы угла $ABC,$ $OM = ON = r$ — радиусы. Следовательно, $∠OBN = 30∘,$ откуда $BO =2ON = 2r.$ Если $O ∕∈ BM,$ то по неравенству треугольника

BM < BO +OM = 2r+ r = 3r

Если $O ∈ BM,$ то

BM = BO + OM =3r

Следовательно, по итогу $BM ≤ 3r.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$ $PIC$

б) Рассмотрим $△BOM :$ $BM = 2,8r,$ $BO = 2r,$ $OM = r.$ Тогда по теореме косинусов для этого треугольника имеем

BM2 + MO2 − BO2 121 cos∠BMO = ----2BM--⋅MO------= 140

Заметим, что на самом деле возможны два случая:

1) Если $∠MBC > ∠OBC,$ то

sin∠BMC = sin(90∘+ ∠BMO )= cos∠BMO = 121 140

2) Если $∠MBC < ∠OBC$ то

121 sin∠BMC = sin(90∘− ∠BMO )= cos∠BMO = 140

То есть в обоих случаях $121 sin∠BMC = 140.$

Ответ:

б) $121- 140$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#83774

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ В нём провели высоты $BB1$ и $CC1,$ которые пересеклись в точке $H.$

а) Докажите, что угол $BAH$ равен углу $BB1C1.$

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника $ABC$ до его стороны $BC,$ если известно, что $B1C1 = 18,$ а $∠BAC = 30∘.$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим четырёхугольник $AB1HC1.$ Заметим, что он вписанный, так как сумма его противоположных углов равна

∘ ∘ ∘ ∠AB1H +∠AC1H = 90 + 90 = 180 .

$PIC$

Проведем его диагонали $AH$ и $B1C1.$ Так как $AB1HC1$ — вписанный, то углы, опирающиеся на его сторону $HC , 1$ равны, то есть

∠C1AH = ∠HB1C1 ⇔ ∠BAH =∠BB1C1.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что $△ AB1C1 ∼ △ABC$ с коэффициентом $k = cos∠A.$ Докажем это.

Заметим, что четырехугольник $BC1B1C$ — вписанный, так как углы, опирающиеся на его сторону $BC,$ равны

∘ ∠BC1C = 90 = ∠BB1C.

Следовательно, $∠CBC =∠AB C 1 1 1$ по свойству вписанного четырехугольника. Угол $A$ общий, значит, $△ AB1C1 ∼ △ABC$ по двум углам с коэффициентом

AB1 ∘ √3 k = AB--= cos∠A = cos30 = -2-.

$PIC$

Тогда запишем отношение подобия:

B1C1-= cos∠A ⇒ BC = -B1C1∘. BC cos30

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Тогда центральный угол $BOC$ в два раза больше вписанного угла $BAC,$ то есть

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2 ⋅30 = 60 .

Значит, $△ BOC$ равносторонний, так как в нем есть угол в $60∘$ и $BO =CO$ как радиусы описанной окружности треугольника $ABC.$ Таким образом,

BO = CO = BC.

Тогда расстояние $ρ$ от точки $O$ до $BC$ равно высоте равностороннего треугольника, то есть

√3 B1C1 √3 ρ= hBOC = BC ⋅-2-= -√3--⋅-2-= B1C1 =18. 2

Ответ:

б) 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#91007

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB,$ которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH.$ На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ и $CD$ перпендикулярны.

a) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH$ к $ED,$ если $∘ ∠BCD = 135 .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Пусть $BC$ — меньшее основание и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $S.$

$PIC$

По условию $EC ⊥ SD$ и $AH ⊥ CD,$ значит, $EC ∥AH.$ Тогда прямоугольные треугольники $SCE,$ $SHA,$ $SBC$ и $SAD$ подобны по двум углам (есть общий угол и прямой), следовательно,

SC- = SH-= SB- = SA-. SE SA SC SD

Тогда имеем:

SB- SB- SC- SH- SA- SH- SE = SC ⋅SE = SA ⋅SD = SD

Значит, $△ SBH ∼△SED$ по отношению сторон и углу между ними. Тогда $BH ∥ED.$

б) Так как $△ SBH ∼ △SED,$ то

BH SH ED-= SD-.

$PIC$

Заметим, что если $∠BCD = 135∘,$ то смежный ему $∠BCS =45∘.$

Тогда в треугольнике $SBC :$

∠BSC = 180∘− ∠SBC − ∠SCB = 45∘.

Тогда в треугольнике $SAD :$

∘ ∘ ∠SDA = 180 − ∠SAD − ∠ASD = 45.

Следовательно, треугольник $SAD$ равнобедренный с основанием $SD.$ Тогда $AH$ — высота и медиана, следовательно, $SD = 2SH.$ Значит,

BH SH 1 ED--= SD-= 2.

Ответ:

б) $1 :2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#91008

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB,$ которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH.$ На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ и $CD$ перпендикулярны.

a) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH$ к $ED,$ если $∘ ∠BCD = 150 .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Пусть $BC$ — меньшее основание и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $S.$

$PIC$

По условию $EC ⊥ SD$ и $AH ⊥ CD,$ значит, $EC ∥AH.$ Тогда прямоугольные треугольники $SCE,$ $SHA,$ $SBC$ и $SAD$ подобны по двум углам (есть общий угол и прямой), следовательно,

SC- = SH-= SB- = SA-. SE SA SC SD

Тогда имеем:

SB- SB- SC- SH- SA- SH- SE = SC ⋅SE = SA ⋅SD = SD

Значит, $△ SBH ∼△SED$ по отношению сторон и углу между ними. Тогда $BH ∥ED.$

б) Так как $△ SBH ∼ △SED,$ то

BH SH ED-= SD-.

$PIC$

Заметим, что если $∠BCD = 150∘,$ то смежный ему $∠BCS =30∘.$

Тогда в треугольнике $SBC :$

∠BSC = 180∘− ∠SBC − ∠SCB = 60∘.

Тогда в треугольнике $SAD :$

∘ ∘ ∠SDA = 180 − ∠SAD − ∠ASD = 30.

Следовательно, треугольник $SAD$ прямоугольный с углом $∠SDA = 30∘.$ Тогда высота $AH$ делит треугольник $ASD$ на два прямоугольных подобных ему треугольника $AHS$ и $AHD.$ Из подобия треугольников $AHS$ и $DAS$ имеем:

SH- SA- cos∠HSA = SA = SD

Тогда окончательно получаем

BH--= SH-= SH- ⋅ SA-= cos2∠HSA = cos260∘ = 1. ED SD SA SD 4

Ответ:

б) $1 :4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#91009

Дана трапеция $ABCD$ с боковой стороной $AB,$ которая перпендикулярна основаниям. Из точки $A$ на сторону $CD$ опущен перпендикуляр $AH.$ На стороне $AB$ взята точка $E$ так, что прямые $CE$ и $CD$ перпендикулярны.

a) Докажите, что прямые $BH$ и $ED$ параллельны.

б) Найдите отношение $BH$ к $ED,$ если $∘ ∠BCD = 120 .$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Пусть $BC$ — меньшее основание и прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $S.$

$PIC$

По условию $EC ⊥ SD$ и $AH ⊥ CD,$ значит, $EC ∥AH.$ Тогда прямоугольные треугольники $SCE,$ $SHA,$ $SBC$ и $SAD$ подобны по двум углам (есть общий угол и прямой), следовательно,

SC- = SH-= SB- = SA-. SE SA SC SD

Тогда имеем:

SB- SB- SC- SH- SA- SH- SE = SC ⋅SE = SA ⋅SD = SD

Значит, $△ SBH ∼△SED$ по отношению сторон и углу между ними. Тогда $BH ∥ED.$

б) Так как $△ SBH ∼ △SED,$ то

BH SH ED-= SD-.

$PIC$

Заметим, что если $∠BCD = 120∘,$ то смежный ему $∠BCS =60∘.$

Тогда в треугольнике $SBC :$

∠BSC = 180∘− ∠SBC − ∠SCB = 30∘.

Тогда в треугольнике $SAD :$

∘ ∘ ∠SDA = 180 − ∠SAD − ∠ASD = 60.

Следовательно, треугольник $SAD$ прямоугольный с углом $∠SDA = 60∘.$ Тогда высота $AH$ делит треугольник $ASD$ на два прямоугольных подобных ему треугольника $AHS$ и $AHD.$ Из подобия треугольников $AHS$ и $DAS$ имеем:

SH- SA- cos∠HSA = SA = SD

Тогда окончательно получаем

BH--= SH-= SH- ⋅ SA-= cos2∠HSA = cos230∘ = 3. ED SD SA SD 4

Ответ:

б) $3 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#91010

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AK$ и $CM.$ На них из точек $M$ и $K$ опущены перпендикуляры $ME$ и $KH$ соответственно.

a) Докажите, что прямые $EH$ и $AC$ параллельны.

б) Найдите отношение $EH$ к $AC,$ если $∘ ∠ABC = 30.$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день, Центр

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим четырехугольник $AMKC.$ В нем имеем:

∘ ∠AMC = 90 = ∠AKC.

Значит, четырехугольник $AMKC$ вписанный. Тогда

∠CAK = ∠CMK.

Рассмотрим четырехугольник $KHEM.$ В нем имеем:

∠KHM = 90∘ = ∠KEM.

Значит, четырехугольник $KHEM$ вписанный. Тогда

∠HMK =∠HEK.

$PIC$

Следовательно,

∠CAK =∠CMK = ∠HMK = ∠HEK.

Таким образом, соответственные углы, образованные прямыми $AC$ и $EH$ и секущей $AK,$ равны, поэтому $AC ∥EH.$

б) Пусть $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O.$ Тогда в треугольниках $AOC$ и $EOH$ имеем $∠AOC$ — общий и $∠OAC = ∠OEH$ по предыдущему пункту. Тогда треугольники $AOC$ и $EOH$ подобны, значит,

EH- OE- AC = OA .

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AKB.$ В нем имеем:

∠KAB = 180∘− ∠AKB − ∠ABK = 180∘− 90∘− 30∘ = 60∘.

Тогда рассмотрим треугольник $AMO.$ В нем имеем:

∠MOA = 180∘− ∠AMO − ∠OAM = 180∘− 90∘ − 60∘ = 30∘.

Так как $ME$ — высота прямоугольного треугольника $AMO,$ то она разбивает его на два треугольника $AEM$ и $MEO,$ подобных ему. Тогда из подобия треугольников $MEO$ и $AMO :$

cos∠EOM = OE--= MO-- MO OA

Тогда окончательно получаем

EH OE OE MO 2 2 ∘ 3 AC- = OA-= MO-⋅ OA--=cos ∠EOM = cos 30 = 4.

Ответ:

б) $3 :4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет