17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#125941

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Известно, что $∠BAC = 2∠ABC.$ Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P.$

a) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB,$ если $BC = 6$ и $AC = 4.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

a) Пусть $∠ABC = α,$ тогда $∠BAC = 2α.$

Так как $O$ — центр описанной окружности, а $∠ABC$ является вписанным и опирается на хорду $AC,$ тогда $∠AOC = 2α$ как центральный, опирающийся на хорду $AC.$

Заметим, что так как $AOP C$ — вписанный, то $∠AP C = ∠AOC = 2α.$

Тогда $△ ABC ∼ △P AC$ по двум углам ( $∠AP C = ∠BAC$ и $∠ACB$ — общий). Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Запишем отношение соответствующих сторон для $△ ABC ∼ △P AC :$

2 AC- = CP- ⇒ CP = AC-- ⇒ CP = 8 CB AC CB 3

Заметим, что из подобия треугольников вытекает, что $∠PAC = α,$ а значит, $AP$ является биссектрисой $∠BAC.$

По свойству биссектрисы получаем:

AB- AC- AC-⋅PB- PB = CP ⇒ AB = CP ( 8) 4⋅ 6− 3 AB = ----8----= 5 3

Ответ: б) 5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#125944

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ Известно, что $∠BAC = 2∠ABC.$ Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P.$

a) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB,$ если $√-- BC = 21$ и $AC =3.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Дальний Восток

Показать ответ и решение

a) Пусть $∠ABC = α,$ тогда $∠BAC = 2α.$

Так как $O$ — центр описанной окружности, а $∠ABC$ является вписанным и опирается на хорду $AC,$ тогда $∠AOC = 2α$ как центральный, опирающийся на хорду $AC.$

Заметим, что так как $AOP C$ — вписанный, то $∠AP C = ∠AOC = 2α.$

Тогда $△ ABC ∼ △P AC$ по двум углам ( $∠AP C = ∠BAC$ и $∠ACB$ — общий). Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Запишем отношение соответствующих сторон для $△ ABC ∼ △P AC :$

2 AC-= CP- ⇒ CP = AC-- ⇒ CP = √9-- CB AC CB 21

Заметим, что из подобия треугольников вытекает, что $∠PAC = α,$ а значит, $AP$ является биссектрисой $∠BAC.$

По свойству биссектрисы получаем:

AB AC AC ⋅PB PB-= CP- ⇒ AB = --CP--- ( √-- 9 ) 3⋅ 21− √--- AB = ------√9---21- = 4 21

Ответ:

б) $4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#125947

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM,$ угол $ACB$ равен $30∘.$ Точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ.$ Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F.$ Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM,$ если $AB = 10.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Пусть $MQ =x.$ Тогда из прямоугольного $△ MQC$ с углом $30∘$ получаем, что $MC = 2x.$

Рассмотрим прямоугольный $△ HAC.$ Так как $∠ACH = 30∘,$ то $∠HAC = 60∘.$ В силу того, что $AM$ — биссектриса, получаем $∘ ∠HAM = ∠MAQ = 30 .$

Заметим, что $△ HAM = △QAM$ по острому углу и гипотенузе. Тогда $HM = x,$ следовательно, в силу $BM = MC$ получаем $BH = x.$

Таким образом, получили, что высота $AH$ треугольника $BAM$ является и медианой, а значит, также является биссектрисой. Следовательно, $∠BAH = ∠HAM = 30∘.$

$PIC$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC =∠BAH + ∠HAM +∠MAQ = 30 +30 + 30 = 90

Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, тогда из $AB = 10$ следует, что $4x= BC = 20.$ Отсюда $HM = MQ = BH = x =5$ и $MC = 2x =10.$

Осталось найти отрезок $FH,$ так как он является высотой к стороне $MC$ в $△ FMC.$

Далее, $∠HMF = ∠QMC$ как вертикальные. Тогда $△ HMF = △QMC$ по острому углу и прилежащему катету. Отсюда $FM = MC = 10.$

По теореме Пифагора для $△ F HM :$

√- FH2 = FM2 − HM2 = 100− 25= 75 ⇒ FH = 5 3

Тогда искомая площадь равна:

SFMC = 1 ⋅F H ⋅MC = 1⋅5√3 ⋅10 = 25√3- 2 2

Ответ:

б) $√ - 25 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#125949

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $CH$ из вершины прямого угла, $AM$ и $CN$ – биссектрисы треугольников $ACH$ и $BCH$ соответственно,

a) Докажите, что прямые $AM$ и $CN$ перпендикулярны.

б) Найдите длину отрезка $MN,$ если $BC = 21$ и $sin∠ABC = 2 5$ .

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

а) Пусть $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $K.$

Заметим, что $∠CAH = ∠HCB,$ а значит, и половины данных углов равны, то есть $∠CAM = ∠MAH = ∠TCK = ∠KCM.$

$PIC$

Тогда $△ AHM ∼ △CKM$ по двум углам ( $∠MAH = ∠KCM$ , $∠AMH = ∠CMK$ как вертикальные). А значит, $∘ ∠CKM = ∠AHM = 90 .$

б) Заметим, что в $△ ACN$ $AK$ является биссектрисой и высотой, а значит, $△ ACN$ — равнобедренный. Тогда $CK = KN.$

Получаем, что $AK$ — серединный перпендикуляр к стороне $CN,$ а значит, $CM = MN.$

Аналогично, замечаем, что $CK$ — биссектриса и высота в $△ MCT,$ следовательно, данный треугольник равнобедренный и $CM = CT.$

$PIC$

По свойству биссектрисы для $△ ABC :$

CT- = AC-= sinα = 2 ⇒ CT = 6, TB = 15 TB AB 5

Таким образом, получаем, что $MN = CM = CT = 6$

Ответ: б) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#125952

В четырёхугольник $KLMN$ вписана в окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠LMN = ∠KLM = 60∘.$

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA = 9.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника. Значит, $LO$ — биссектриса и $∠OLM = ∠OLK = 30∘.$

Пусть $OA$ — радиус в точку касания, тогда $OA ⊥ MN.$

$PIC$

Предположим, что точка $A$ не лежит на $LO.$ Тогда $LMAO$ — четырехугольник и сумма его углов равна $360∘ :$

∘ ∠OLM + ∠LMA + ∠MAO + ∠AOL = 360 30∘ +60∘+ 90∘+ ∠AOL = 360∘ ∠AOL = 180∘

Таким образом, получили, что $∠AOL$ — развернутый, а значит, точка $A$ попадает на прямую $LO.$

б) Из прямоугольного $△ MAL$ имеем:

√ - √ - AL--= sin60∘ =--3 ⇒ ML = 9:--3= 6√3 ML 2 2 MA-- ∘ 1 √- 1 √- ML = cos60 = 2 ⇒ MA = 6 3⋅ 2 = 3 3

Пусть $AO =x,$ тогда $OL = 9− x.$ Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $R.$

Заметим, что $ANRO$ — квадрат, поэтому $AN = AO = x.$

$PIC$

Поскольку $MO$ — биссектриса, то по свойству биссектрисы получаем:

ML 9− x MA--= --x-- √- 6√3-= 9−-x- ⇒ 9− x = 2x ⇒ x= 3 3 3 x

Таким образом, имеем $MA = 3√3, AN = 3.$ Тогда искомая длина равна

√ - MN = MA + AN = 3 3+ 3

Ответ:

б) $√ - 3 +3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#125955

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O$ . Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠NKL = ∠KLM = 120∘$ .

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $√- LA = 3.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Так как окружность вписана в четырёхугольник, то её центр лежит на пересечении его биссектрис, а значит $LO$ — биссектриса угла $∠MLK$ и $∘ ∠MLO = ∠KLO = 120- =60∘ 2$ .

$PIC$

Так как сумма углов четырёхугольника $LMNK$ равна $360∘,$ то:

∠LMN = 360∘− ∠MNK − ∠NKL − ∠KLM = 360∘− 90∘− 120∘− 120∘ = 30∘

Так как $OA$ — радиус в точку касания, $∠OAM = 90∘.$ Пусть Точка $O$ не лежит на прямой $AL.$ Тогда $OAML$ — четырёхугольник, и сумма его углов равна $∘ 360 :$

∠LMA+ ∠MAO+ ∠AOL+ ∠OLM = 360∘ ⇒ 30∘+90∘+∠AOL+60 ∘ = 360∘ ⇒ ∠AOL = 180∘

А так как угол $∘ ∠AOL = 180 ,$ то точки $A,O,L$ лежат на одной прямой.

б)

$PIC$

Так как катет против угла в $30∘$ равен половине гипотенузы, то в прямоугольном треугольнике $LAM$ имеем $√- LM = 2⋅LA = 2 3.$

По теореме Пифагора $MA2 +LA2 = LM2,$ откуда $MA = 3.$ Обозначим $OA$ как $x.$ Тогда $√ - LO = LA − x= 3− x.$

Так как окружность вписана в четырёхугольник, то центр окружности лежит на пересечении биссектрис, и $MO$ — биссектриса угла $∠AML.$ Пользуемся основным свойством биссектрисы для треугольника $AML$ и биссектрисы $MO :$

ML MA 2√3 3 √ - -LO-= -OA- ⇒ √3-−-x = x ⇒ x =6 − 3 3.

Пусть окружность касается стороны $KN$ в точке $B.$ Тогда $OANB$ — квадрат и $√ - AN = OA = 6− 3 3.$

Тогда $√- √ - MN = MA +AN = 3+ 6− 3 3 =9 − 3 3$

Ответ:

б) $√ - 9 − 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#125957

Дан параллелограмм $ABCD$ c острым углом $DAB.$ В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP.$ Известно, что $AB = BQ.$

а) Докажите, что $BM = P Q.$

б) Найдите площадь треугольника $AP Q,$ если $AM = BP = 12,$ $AB = BQ =15.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Пусть $∠BAD = α.$ Тогда $∠ABP = 90∘− α,$ по свойству параллелограмма $∠A = ∠C,$ откуда также $∠QBC = 90∘− α.$ Так как $∠A$ и $∠ABC$ — односторонние, то $∠ABC = 180∘− α.$

Тогда имеем:

∠PBQ = ∠ABC − ∠ABP − ∠QBC = 180∘− α− 2⋅(90∘− α)= α.

$PIC$

Тогда треугольники $BAM$ и $QBP$ равны по двум сторонам $AB =BQ$ и $AM = BP$ и углу между ними: $∠BAM = ∠PBQ = α.$ Отсюда получаем $BM = PQ.$ Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $ABP :$

∘---------- ∘ -------- AP = AB2 − BP 2 = 152− 122 =9.

Отсюда имеем:

PM = AM − AP = 12− 9= 3.

Проведём в треугольнике $PBQ$ высоту $QH.$ Так как треугольники $BAM$ и $QBP$ равны, то их соответственные высоты $BP$ и $QH$ равны, а также соответственные отрезки $MP$ и $PH$ равны.

Далее, так как $QH ⊥ HP$ и $HP ⊥ AM,$ то $QH ∥ AM.$ Тогда длина высоты из точки $Q$ к стороне $AP$ треугольника $AP Q$ равна длине перпендикуляра $HP = PM = 3.$

$PIC$

Тогда площадь треугольника $AP Q$ равна:

1 1 S = 2 ⋅AP ⋅HP = 2 ⋅9⋅3= 13,5.

Ответ: б) 13,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#125958

Биссектриса угла $B$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону $AD$ в точке $M.$ Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма пересекаются в точке $O.$ Окружность, описанная вокруг треугольника $ABM,$ касается прямых $BC$ и $OM.$

а) Докажите, что $AB ⊥ BD.$

б) Отрезки $AC$ и $BM$ пересекаются в точке $K.$ Найдите площадь четырехугольника $KODM,$ если $OM = 2.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Заметим, что $∠BAM = ∠MBC,$ так как оба равны половине дуги $BM.$ Тогда в силу того, что $BM$ — биссектриса $∠ABC,$ получаем $∠BAM = ∠ABM.$

Более того, заметим, что $∠BMA = ∠CBM$ как накрест лежащие при $AD ∥BC,$ а значит, $△ ABM$ — равносторонний. Кроме того, $∠BAM = ∠BMO,$ так как оба равны половине дуги $BM.$

Таким образом, получаем $AB ∥MO,$ так как $∠ABM =∠BMO$ и являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $MO$ и секущей $BM.$

$PIC$

Тогда так как $O$ — середина $BD,$ то $MO$ является средней линией в $△ ABD,$ а значит, $MD = AM = BM.$ Следовательно, $△ BMD$ — равнобедренный и медиана $MO$ к основанию является биссектрисой и высотой. В частности получаем $MO ⊥ BD.$

По итогу получаем, что $AB ⊥ BD$ в силу параллельности $AB$ и $MO.$ Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что

SKODM = S△MOD +S △MOK

Так как $△ MOD$ — прямоугольный и $∠OMD = 60∘,$ то $∠ODM = 30∘.$ Следовательно, $MD = 4,$ так как катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы.

По теореме Пифагора для $△ MOD :$

OD2 = MD2 − OM2 OD2 =16 − 4 = 12 ⇒ OD = 2√3

Тогда имеем:

S△MOD = 1⋅OM ⋅OD = 1 ⋅2 ⋅2√3-= 2√3- 2 2

$PIC$

Заметим, что $S△MBO = S△MOD = 2√3.$ Найдем, в каком отношении точка $K$ делит отрезок $BM,$ и тогда сможем найти недостающую площадь $△ MOK.$

По теореме Менелая для $△ BDM$ и прямой $AC :$

BO- DA-- MK-- OD ⋅AM ⋅ KB = 1 1 2 MK MK 1 1 ⋅1 ⋅-KB = 1 ⇒ KB--= 2

Таким образом, получаем

√ - S△MBO-- 2--3 S△MOK = 3 = 3

Тогда искомая площадь равна

√- √- √ - 2-3- 8-3- SKODM =S △MOD + S△MOK = 2 3+ 3 = 3

Ответ:

б) $√- 8-3- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#126137

В четырёхугольник $KLMN$ вписана в окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠LMN = ∠KLM = 60∘.$

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $√- LA = 3 3.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника. Значит, $LO$ — биссектриса и $∠OLM = ∠OLK = 30∘.$

Пусть $OA$ — радиус в точку касания, тогда $OA ⊥ MN.$

$PIC$

Предположим, что точка $A$ не лежит на $LO.$ Тогда $LMAO$ — четырехугольник и сумма его углов равна $360∘ :$

∘ ∠OLM + ∠LMA + ∠MAO + ∠AOL = 360 30∘ +60∘+ 90∘+ ∠AOL = 360∘ ∠AOL = 180∘

Таким образом, получили, что $∠AOL$ — развернутый, а значит, точка $A$ попадает на прямую $LO.$

б) Из прямоугольного $△ MAL$ имеем:

√ - √- AL--= sin60∘ =--3 ⇒ ML = 3√3: -3-= 6 ML 2 2 MA-- ∘ 1 1 ML =cos60 = 2 ⇒ MA = 6⋅ 2 = 3

Пусть $AO =x,$ тогда $OL = 3√3-− x.$ Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $R.$

Заметим, что $ANRO$ — квадрат, поэтому $AN = AO = x.$

$PIC$

Поскольку $MO$ — биссектриса, то по свойству биссектрисы получаем:

ML 3√3 − x MA--= ---x--- √ - 6= 3--3−-x ⇒ 3√3-− x= 2x ⇒ x = √3 3 x

Таким образом, имеем $MA =3, AN = √3.$ Тогда искомая длина равна

√- MN = MA +AN = 3+ 3

Ответ:

б) $√ - 3 + 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#126138

В четырёхугольник $KLMN$ вписана в окружность с центром $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠LMN = ∠KLM = 60∘.$

а) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA = 3.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Поскольку $O$ — центр вписанной окружности, то он лежит на пересечении биссектрис углов четырехугольника. Значит, $LO$ — биссектриса и $∠OLM = ∠OLK = 30∘.$

Пусть $OA$ — радиус в точку касания, тогда $OA ⊥ MN.$

$PIC$

Предположим, что точка $A$ не лежит на $LO.$ Тогда $LMAO$ — четырехугольник и сумма его углов равна $360∘ :$

∘ ∠OLM + ∠LMA + ∠MAO + ∠AOL = 360 30∘ +60∘+ 90∘+ ∠AOL = 360∘ ∠AOL = 180∘

Таким образом, получили, что $∠AOL$ — развернутый, а значит, точка $A$ попадает на прямую $LO.$

б) Из прямоугольного $△ MAL$ имеем:

√ - √ - AL--= sin60∘ =--3 ⇒ ML = 3:--3= 2√3 ML 2 2 MA-- ∘ 1 √ - 1 √ - ML = cos60 = 2 ⇒ MA = 2 3⋅2 = 3

Пусть $AO =x,$ тогда $OL = 3− x.$ Пусть окружность касается стороны $NK$ в точке $R.$

Заметим, что $ANRO$ — квадрат, поэтому $AN = AO = x.$

$PIC$

Поскольку $MO$ — биссектриса, то по свойству биссектрисы получаем:

ML 3− x MA--= --x-- √- 2√-3-= 3−-x- ⇒ 3− x = 2x ⇒ x= 1 3 x

Таким образом, имеем $MA =√3, AN = 1.$ Тогда искомая длина равна

√- MN = MA +AN = 3+ 1

Ответ:

б) $√ - 3+ 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#126139

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM,$ угол $ACB$ равен $30∘.$ Точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ.$ Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F.$ Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM,$ если $AB = 8.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Пусть $MQ =x.$ Тогда из прямоугольного $△ MQC$ с углом $30∘$ получаем, что $MC = 2x.$

Рассмотрим прямоугольный $△ HAC.$ Так как $∠ACH = 30∘,$ то $∠HAC = 60∘.$ В силу того, что $AM$ — биссектриса, получаем $∘ ∠HAM = ∠MAQ = 30 .$

Заметим, что $△ HAM = △QAM$ по острому углу и гипотенузе. Тогда $HM = x,$ следовательно, в силу $BM = MC$ получаем $BH = x.$

Таким образом, получили, что высота $AH$ треугольника $BAM$ является и медианой, а значит, также является биссектрисой. Следовательно, $∠BAH = ∠HAM = 30∘.$

$PIC$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC =∠BAH + ∠HAM +∠MAQ = 30 +30 + 30 = 90

Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, тогда из $AB = 8$ следует, что $4x= BC = 16.$ Отсюда $HM = MQ = BH = x =4$ и $MC = 2x =8.$

Осталось найти отрезок $FH,$ так как он является высотой к стороне $MC$ в $△ FMC.$

Далее, $∠HMF = ∠QMC$ как вертикальные. Тогда $△ HMF = △QMC$ по острому углу и прилежащему катету. Отсюда $FM = MC = 8.$

По теореме Пифагора для $△ F HM :$

√- F H2 = FM2 − HM2 = 64− 16 =48 ⇒ F H = 4 3

Тогда искомая площадь равна:

SFMC = 1⋅FH ⋅MC = 1⋅4√3-⋅8= 16√3 2 2

Ответ:

б) $√ - 16 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#126140

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM,$ угол $ACB$ равен $30∘.$ Точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ.$ Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F.$ Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM,$ если $AB = 12.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Пусть $MQ =x.$ Тогда из прямоугольного $△ MQC$ с углом $30∘$ получаем, что $MC = 2x.$

Рассмотрим прямоугольный $△ HAC.$ Так как $∠ACH = 30∘,$ то $∠HAC = 60∘.$ В силу того, что $AM$ — биссектриса, получаем $∘ ∠HAM = ∠MAQ = 30 .$

Заметим, что $△ HAM = △QAM$ по острому углу и гипотенузе. Тогда $HM = x,$ следовательно, в силу $BM = MC$ получаем $BH = x.$

Таким образом, получили, что высота $AH$ треугольника $BAM$ является и медианой, а значит, также является биссектрисой. Следовательно, $∠BAH = ∠HAM = 30∘.$

$PIC$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC =∠BAH + ∠HAM +∠MAQ = 30 +30 + 30 = 90

Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, тогда из $AB = 12$ следует, что $4x= BC = 24.$ Отсюда $HM = MQ = BH = x =6$ и $MC = 2x =12.$

Осталось найти отрезок $FH,$ так как он является высотой к стороне $MC$ в $△ FMC.$

Далее, $∠HMF = ∠QMC$ как вертикальные. Тогда $△ HMF = △QMC$ по острому углу и прилежащему катету. Отсюда $FM = MC = 12.$

По теореме Пифагора для $△ F HM :$

√ - FH2 = FM2 − HM2 =144− 36 =108 ⇒ F H = 6 3

Тогда искомая площадь равна:

SFMC = 1 ⋅F H ⋅MC = 1⋅6√3 ⋅12 = 36√3- 2 2

Ответ:

б) $√ - 36 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#126141

В треугольнике $ABC$ проведены высота $AH$ и медиана $AM,$ угол $ACB$ равен $30∘.$ Точка $H$ лежит на отрезке $BM.$ В треугольнике $ACM$ проведена высота $MQ.$ Прямые $MQ$ и $AH$ пересекаются в точке $F.$ Известно, что $AM$ — биссектриса угла $HAC.$

а) Докажите, что треугольник $ABC$ — прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника $CFM,$ если $AB = 6.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Пусть $MQ =x.$ Тогда из прямоугольного $△ MQC$ с углом $30∘$ получаем, что $MC = 2x.$

Рассмотрим $△ HAC.$ Так как $∠ACH = 30∘,$ то $∠HAC = 60∘.$ В силу того, что $AM$ — биссектриса, получаем $∘ ∠HAM =∠MAQ = 30 .$

Заметим, что $△ HAM = △QAM$ по острому углу и гипотенузе. Тогда $HM = x,$ следовательно, в силу $BM = MC$ получаем $BH = x.$

Таким образом, получили, что высота $AH$ треугольника $BAM$ является и медианой, а значит, также является биссектрисой. Следовательно, $∠BAH = ∠HAM = 30∘.$

$PIC$

Тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC =∠BAH + ∠HAM +∠MAQ = 30 +30 + 30 = 90

Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, тогда из $AB = 6$ следует, что $4x= BC = 12.$ Отсюда $HM = MQ = BH = x =3$ и $MC = 2x =6.$

Осталось найти отрезок $FH,$ так как он является высотой к стороне $MC$ в $△ FMC.$

Далее, $∠HMF = ∠QMC$ как вертикальные. Тогда $△ HMF = △QMC$ по острому углу и прилежащему катету. Отсюда $FM = MC = 6.$

По теореме Пифагора для $△ F HM :$

√ - FH2 = FM2 − HM2 = 36− 9= 27 ⇒ FH = 3 3

Тогда искомая площадь равна:

SFMC = 1⋅F H ⋅MC = 1 ⋅3√3⋅6 = 9√3- 2 2

Ответ:

б) $√ - 9 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#126142

Дан параллелограмм $ABCD$ c острым углом $DAB.$ В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP.$ Известно, что $AB = BQ.$

а) Докажите, что $BM = P Q.$

б) Найдите площадь треугольника $AP Q,$ если $AM = BP = 8,$ $AB = BQ =10.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Пусть $∠BAD = α.$ Тогда $∠ABP = 90∘− α,$ по свойству параллелограмма $∠A = ∠C,$ откуда также $∠QBC = 90∘− α.$ Так как $∠A$ и $∠ABC$ — односторонние, то $∠ABC = 180∘− α.$

Тогда имеем:

∠PBQ = ∠ABC − ∠ABP − ∠QBC = 180∘− α− 2⋅(90∘− α)= α.

$PIC$

Тогда треугольники $BAM$ и $QBP$ равны по двум сторонам $AB =BQ$ и $AM = BP$ и углу между ними: $∠BAM = ∠PBQ = α.$ Отсюда получаем $BM = PQ.$ Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $ABP :$

∘ ---------- ∘ ------- AP = AB2 − BP2 = 102− 82 = 6.

Отсюда имеем:

P M = AM − AP = 8 − 6 = 2.

Проведём в треугольнике $PBQ$ высоту $QH.$ Так как треугольники $BAM$ и $QBP$ равны, то их соответственные высоты $BP$ и $QH$ равны, а также соответственные отрезки $MP$ и $PH$ равны.

Далее, так как $QH ⊥ HP$ и $HP ⊥ AM,$ то $QH ∥ AM.$ Тогда длина высоты из точки $Q$ к стороне $AP$ треугольника $AP Q$ равна длине перпендикуляра $HP = PM = 2.$

$PIC$

Тогда площадь треугольника $AP Q$ равна:

1 1 S = 2 ⋅AP ⋅HP = 2 ⋅6⋅2= 6.

Ответ: б) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#126143

Дан параллелограмм $ABCD$ c острым углом $DAB.$ В нем опущены высоты $BP$ и $BQ$ на стороны $AD$ и $CD$ соответственно. На стороне $AD$ отмечена точка $M$ так, что $AM = BP.$ Известно, что $AB = BQ.$

а) Докажите, что $BM = P Q.$

б) Найдите площадь треугольника $AP Q,$ если $AM = BP = 21,$ $AB = BQ =29.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Запад

Показать ответ и решение

а) Пусть $∠BAD = α.$ Тогда $∠ABP = 90∘− α,$ по свойству параллелограмма $∠A = ∠C,$ откуда также $∠QBC = 90∘− α.$ Так как $∠A$ и $∠ABC$ — односторонние, то $∠ABC = 180∘− α.$

Тогда имеем:

∠PBQ = ∠ABC − ∠ABP − ∠QBC = 180∘− α− 2⋅(90∘− α)= α.

$PIC$

Тогда треугольники $BAM$ и $QBP$ равны по двум сторонам $AB =BQ$ и $AM = BP$ и углу между ними: $∠BAM = ∠PBQ = α.$ Отсюда получаем $BM = PQ.$ Что и требовалось доказать.

б) По теореме Пифагора в треугольнике $ABP :$

∘ ---------- ∘-------- AP = AB2 − BP2 = 292− 212 = 20.

Отсюда имеем:

P M = AM − AP =21 − 20 = 1.

Проведём в треугольнике $PBQ$ высоту $QH.$ Так как треугольники $BAM$ и $QBP$ равны, то их соответственные высоты $BP$ и $QH$ равны, а также соответственные отрезки $MP$ и $PH$ равны.

Далее, так как $QH ⊥ HP$ и $HP ⊥ AM,$ то $QH ∥ AM.$ Тогда длина высоты из точки $Q$ к стороне $AP$ треугольника $AP Q$ равна длине перпендикуляра $HP = PM = 1.$

$PIC$

Тогда площадь треугольника $AP Q$ равна:

1 1 S = 2 ⋅AP ⋅HP = 2 ⋅20⋅1= 10.

Ответ: б) 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#126144

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠NKL = ∠KLM = 120∘.$

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA = 3.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Так как окружность вписана в четырёхугольник, то её центр лежит на пересечении его биссектрис. Значит, $LO$ — биссектриса угла $∠MLK$ и $∘ ∠MLO = ∠KLO = 120- =60∘. 2$

$PIC$

Так как сумма углов четырёхугольника $LMNK$ равна $360∘,$ то

∠LMN =360∘− ∠MNK − ∠NKL − ∠KLM = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = 360 − 90 − 120 − 120 = 30

Пусть $OA$ — радиус в точку касания, тогда $∠OAM = 90∘.$ Пусть точка $O$ не лежит на прямой $AL.$ Тогда $OAML$ — четырёхугольник и сумма его углов равна $360∘ :$

∠LMA + ∠MAO + ∠AOL + ∠OLM = 360∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 30 + 90 +∠AOL + 60 = 360 ⇒ ∠AOL = 180

Тогда так как угол $∠AOL = 180∘,$ то точки $A,O, L$ лежат на одной прямой.

б)

$PIC$

Так как в прямоугольном треугольнике катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, то в треугольнике $LAM$ имеем $LM = 2⋅LA = 6.$

По теореме Пифагора для треугольника $LAM :$

MA2 +LA2 = LM2 2 2 2 √ - MA + 3 = 6 ⇒ MA =3 3

Обозначим $OA$ как $x.$ Тогда

LO = LA − x = 3− x

Так как окружность вписана в четырёхугольник, то центр окружности лежит на пересечении биссектрис и $MO$ — биссектриса угла $∠AML.$ Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника $AML$ и биссектрисы $MO :$

ML MA 6 3√3- 3√3- -LO-= -OA- ⇒ 3-− x-=-x-- ⇒ x= ---√-- 2 + 3

Пусть окружность касается стороны $KN$ в точке $B.$ Тогда $OANB$ — квадрат и

√- AN = OA = -3-3√-- 2+ 3

Тогда искомая длина равна

- √ - MN = MA + AN = 3√3+ --3-3√- = 2 + 3 √- 3√3-⋅(2− √3) √ - √- √ - = 3 3+ ----4-− 3--- = 3 3+ 6 3 − 9 = 9 3− 9.

Ответ:

б) $√ - 9 3− 9$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#127068

В четырёхугольник $KLMN$ вписана окружность с центром в точке $O.$ Эта окружность касается стороны $MN$ в точке $A.$ Известно, что $∠MNK = 90∘,$ $∠NKL = ∠KLM = 120∘.$

a) Докажите, что точка $A$ лежит на прямой $LO.$

б) Найдите длину стороны $MN,$ если $LA = 1.$

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 27.05, Центр

Показать ответ и решение

a) Так как окружность вписана в четырёхугольник, то её центр лежит на пересечении его биссектрис. Значит, $LO$ — биссектриса угла $∠MLK$ и $∘ ∠MLO = ∠KLO = 120- =60∘. 2$

$PIC$

Так как сумма углов четырёхугольника $LMNK$ равна $360∘,$ то

∠LMN =360∘− ∠MNK − ∠NKL − ∠KLM = ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ = 360 − 90 − 120 − 120 = 30

Пусть $OA$ — радиус в точку касания, тогда $∠OAM = 90∘.$ Пусть точка $O$ не лежит на прямой $AL.$ Тогда $OAML$ — четырёхугольник и сумма его углов равна $360∘ :$

∠LMA + ∠MAO + ∠AOL + ∠OLM = 360∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 30 + 90 +∠AOL + 60 = 360 ⇒ ∠AOL = 180

Тогда так как угол $∠AOL = 180∘,$ то точки $A,O, L$ лежат на одной прямой.

б) Так как в прямоугольном треугольнике катет напротив угла $30∘$ равен половине гипотенузы, то в треугольнике $LAM$ имеем $LM = 2⋅LA = 2.$

По теореме Пифагора для треугольника $LAM :$

2 2 2 MA +LA = LM MA2 +12 = 22 ⇒ MA = √3

$PIC$

Обозначим $OA$ как $x.$ Тогда

LO = LA − x = 1− x

Так как окружность вписана в четырёхугольник, то центр окружности лежит на пересечении биссектрис и $MO$ — биссектриса угла $∠AML.$ Воспользуемся свойством биссектрисы для треугольника $AML$ и биссектрисы $MO :$

√- √- ML-- MA-- -2--- -3- ---3-- LO = OA ⇒ 1− x = x ⇒ x = 2+ √3-

Пусть окружность касается стороны $KN$ в точке $B.$ Тогда $OANB$ — квадрат и

√ - AN = OA = ---3√-- 2+ 3

Тогда искомая длина равна

- √- MN = MA + AN = √ 3+ ---3√--= 2+ 3 √ - √3 ⋅(2 − √3 ) √ - √- √ - = 3+ ---4-− 3---= 3+ 2 3− 3= 3 3− 3.

Ответ:

б) $√ - 3 3− 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#113007

Сумма оснований трапеции равна 17, а её диагонали равны 8 и 15.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

а) Обозначим вершины $A, B, C, D$ трапеции так, чтобы $AD$ было меньшим основание, $BC$ — большим основанием.

Пусть $AD =a, BC = b,$ а также $AC = 15,$ $BD = 8.$ Выполним дополнительное построение: через вершину $C$ параллельно $BD$ проведем прямую до пересечения с $AD$ в точке $N.$

$PIC$

Заметим, что $BCND$ — параллелограмм по определению, а значит, $BC =ND.$ Таким образом, мы получили, что $AN = a+ b= 17.$

Рассмотрим треугольник $△ ACN.$ Заметим, что в нем $AC2 +CN2 = AN2.$

Действительно,

2 2 2 2 2 2 AC + CN = 15 + 8 = 225+ 64= 289= 17 = AN .

Таким образом, по обратной теореме Пифагора $△ ACN$ является прямоугольным, то есть $∠ACN = 90∘.$ Но так как данный угол получен в результате параллельного переноса одной из диагоналей, то диагонали тоже перпендикулярны.

б) Опустим высоту $CH$ трапеции на прямую, содержащую основание $AD.$ Заметим, что данная высота является ещё и высотой в прямоугольном треугольнике $△ ACN.$

$PIC$

Площадь $△ ACN,$ с одной стороны, равна $1 2 ⋅AC ⋅CN,$ а с другой стороны, равна $1⋅CH ⋅AN. 2$ Тогда получаем

1⋅AC ⋅CN = 1 ⋅CH ⋅AN 2 2 CH = AC-⋅CN- AN CH = 15⋅8 = 120 17 17

Ответ:

б) $120- 17$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#127753

Дан ромб $ABCD.$ Точки $K$ и $P$ — середины сторон $DC$ и $BC$ соответственно. Проведены $AK$ и $AP$ таким образом, что они пересекают диагональ $BD$ в точках $T$ и $Q$ соответственно.

а) Докажите, что сумма площадей треугольников $DKT$ и $QBP$ равна площади треугольника $AQT.$

б) Известно, что в $TKCP Q$ можно вписать окружность. Найдите радиус этой окружности, если сторона ромба равна $√ - 6 5.$

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

а) Так как $ABCD$ — ромб, то диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей, тогда $AO = OC,$ $BO = OD.$

В треугольнике $ADC$ точка $T$ — точка пересечения медиан, следовательно, $DT :T O = 2:1.$

В треугольнике $ABC$ точка $Q$ — точка пересечения медиан, следовательно, $BQ :QO = 2:1.$

Пусть $OT = x.$ Из того, что $BO = OD,$ $BQ :QO = 2:1,$ $DT :T O =2 :1$ получаем:

BQ = QT = TD = 2x QO = OT = x

Проведем диагональ $AC.$ Обозначим площадь ромба $ABCD$ за $S.$

Так как диагональ ромба разбивает его на два равных треугольника, то

SABD = SCBD = S- 2

$PIC$

Далее, треугольники $ABQ,$ $AQT,$ $ATD$ и $ABD$ имеют общую высоту из вершины $A,$ тогда их площади относятся как длины оснований, к которым проведена эта высота. Отсюда получаем:

SABQ = BQ-⋅SABD = 1 ⋅ S-= S BD 3 2 6 SAQT = QT-⋅SABD = 1 ⋅ S-= S BD 3 2 6 SATD = TD-⋅SABD = 1 ⋅ S-= S BD 3 2 6

Так как точка $Q$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC,$ то $P Q:QA = 1:2.$

Аналогично, так как точка $T$ — точка пересечения медиан треугольника $ADC,$ то $KT :T A= 1 :2.$

Кроме того, треугольники $QBP$ и $ABQ$ имеют общую высоту из вершины $B,$ а также треугольники $DKT$ и $AT D$ имеют общую высоту из вершины $D.$ Отсюда получаем:

S = PQ-⋅S = 1 ⋅ S-= S QBP QA ABQ 2 6 12 KT 1 S S SDKT = TA-⋅SATD = 2 ⋅6-= 12

Из этого следует искомое равенство:

SQBP +SDKT = S-+ S-= S-= SAQT 12 12 6

б) По условию в пятиугольник $T KCP Q$ можно вписать окружность. Значит, в четырехугольник $QDCP$ вписана та же окружность, так как точка $D$ — точка пересечения продолжений сторон пятиугольника $QT$ и $KC.$ Кроме того, та же окружность вписана в треугольник $BDC.$

По свойству вписанной в четырехугольник окружности имеем:

QP + DC = DQ + P C.

Выразим отрезок $QP$ и подставим известные значения:

QP =DQ +P C − DC = = 4x+ 3√5− 6√5 = 4x− 3√5.

Треугольник $DOC$ прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

OC = ∘DC2--−-DO2-= ∘180−-9x2.

Точка $O$ делит диагонали пополам, как точка пересечения диагоналей ромба. Значит,

OA = OC =∘180-−-9x2.

$PIC$

Треугольник $AQO$ прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

∘---2-----2 ∘ ------2---2- ∘ -------2 ∘ ------2 AQ = AO + OQ = 180 − 9x +x = 180− 8x = 2 45− 2x.

В треугольнике $ABC$ медианы $AP$ и $BO$ пересекаются в точке $Q,$ следовательно, $AQ :QP = 2 :1.$ Из этого получаем равенство:

√- √ -----2- 4x− 3 5 = QP = 1AQ = 2--45-−-2x- √ - 2∘ -------2 4x− 3 5= 45 − 2x2 16x2 − 24√5-⋅x+ 45= 45− 2x2 2 √- 18x = 24 5⋅x 4√5 x= -3--

Найдем площадь треугольника $BDC :$

∘ -------- S = 1⋅OC ⋅BD = 1⋅ 180− 9x2⋅6x = 2∘-----------2--- 1 ( 4√5)2 4√5 √- = 2 ⋅ 180 − 9 ⋅-3-- ⋅6⋅-3--= 40 5

Найдем полупериметр треугольника $BDC :$

1 pBDC = 2 (BD + DC + CB )= 1( 4√5 √ - √-) √ - = 2 6 ⋅-3--+6 5+ 6 5 = 10 5

Из формулы $S =pr$ площади треугольника найдем радиус вписанной окружности:

SBDC- 40√5-- r = pBDC = 10√5-= 4.

Ответ:

б) 4

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#127778

На стороне $AB$ и диагонали $AC$ квадрата $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, при этом $AM :MB = 1:10,$ $AN :NC = 6:5.$

а) Докажите, что точки $A, M, N, D$ лежат на одной окружности.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырехугольника $AMND$ до прямой $MN,$ если сторона квадрата равна 132.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

а) Пусть $AB = 11x, AC = 11y.$ Тогда $AM = x, MB = 10x, AN =6y, NC = 5y.$ Пусть $∠ADN = α, ∠BMK =β.$

Продлим прямую $MN$ до пересечения со стороной $CD.$ Пусть она пересекает сторону $CD$ в точке $K.$ Тогда заметим, что

{ ∠NCK = ∠MAN как накрест леж ащ ие при AB ∥CD и секущ ей AC ⇒ ∠KNC = ∠MNA как вертикальные ⇒ △CKN ∼ △AMN по двум углам

Причем коэффициент подобия равен $5, 6$ а значит, $CK = 5x, KD = 61x. 6 6$ Через точку $K$ проведем отрезок $KP,$ параллельный стороне $BC,$ причем точка $P$ принадлежит стороне $AB.$ Тогда $5 P B = 6x$ и $55 MP = 6-x.$

Продлим прямую $DN$ до пересечения со стороной $BC.$ Пусть она пересекает сторону $BC$ в точке $L.$ Тогда заметим, что

{ ∠CLD = ∠ADN = α как накрест лежащие при BC ∥AD и секущей LD ⇒ ∠LCN = ∠NAD как накрест леж ащие при BC ∥ AD и секущ ей AC ⇒ △LCN ∼ △DAN по двум углам

Причем коэффициент подобия равен $5, 6$ а значит, $LC = 55x. 6$

$PIC$

Заметим, что прямоугольные треугольники $LCD$ и $MP K$ равны по двум катетам, а значит, имеет место равенство: $α =β.$

Таким образом, $∠BMC = ∠ADN.$ Тогда $∠AMN + ∠ADM =180∘.$ Следовательно, четырехугольник $AMND$ — вписанный.

б) Заметим, что $∠BAD = 90∘,$ а значит, в силу вписанности четырехугольника $AMND$ получаем, что $∠DNM = 90∘.$

Пусть $AN$ и $MD$ пересекаются в точке $O.$ Опустим перпендикуляр $OR$ на сторону $MN.$ Заметим, что $AC$ — биссектриса угла $BAD,$ следовательно, имеет место равенство:

MO--= MA--= -1 OD AD 11

Заметим, что $△ MRO ∼ △MND$ по двум углам, так как $∠NMD$ — общий и $∠MRO =∠MND = 90∘.$ Тогда

RO MO 1 ND--= MD--= 12

$PIC$

Так как $△ LCN ∼ △DAN$ и коэффициент подобия равен $5 6,$ то получаем, что $-6 ND = 11LD.$

Таким образом, используя теорему Пифагора для $△ LCD,$ окончательно имеем:

RO = -1ND = 1-⋅-6 ⋅LD = 12 ∘----12-11------ 1- -6 2 ( 5 )2 = 12 ⋅11 ⋅ 132 + 132⋅6 = ∘ ------ √ -- = -6-⋅132⋅ 1 62+ 52 = 61 132 6

Ответ:

б) $√ -- 61$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3