Перенесем все слагаемые в левую часть:

x+5 2 − log2(− x− 3)+ 2 − x − 1 − 6(x+ 1)− a= 0

Рассмотрим функцию $f(x)= − log2(− x− 3),$ она определена при $x ∈(−∞; −3).$
Возьмем ее производную:
$′ 1 1 f (x)= −(x+-3)ln2-= −(x-+3)ln2$
Очевидно, что при $x∈ (− ∞;− 3)$ производная положительна, следовательно, функция $f$ строго монотонно возрастает на всей области определения.
Функция $g(x)= 2x+5$ строго монотонно возрастает на всей числовой прямой.
Функция $2 h(x) =− x − 1− 6(x + 1)$ — парабола с ветвями вниз, с вершиной в точке $−(−6) xв = 2⋅(−1) = −3.$ Таким образом, на промежуток $(−∞; −3)$ приходится ее левая монотонно возрастающая ветвь.

Получили, что все три функции строго монотонно возрастают на промежутке $(−∞;− 3),$ следовательно, и их сумма строго монотонно возрастает на этом промежутке. Из этого сразу следует, что уравнение имеет не более одного корня. Нам нужно найти такие $a,$ при которых он существует и принадлежит отрезку $[−4;−3].$

Будем рассматривать строго монотонно возрастающую функцию

s(x)= f(x)+ g(x)+ h(x)− a =

= − log2(−x − 3)+ 2x+5− x2− 1− 6(x + 1)− a

Если в точке $− 4$ она принимает положительное значение, то во всех точках отрезка $[− 4;− 3]$ она также будет принимать положительные значения, то есть корней на этом отрезке не будет. Таким образом, значения $a,$ соответствующие этой ситуации, нам точно не подойдут. Найдем их.

s(− 4) >0 − log2(− (− 4) − 3)+ 2(− 4)+5− (−4)2 − 1 − 6(−4 +1)− a >0 1 − log2(1)+ 2 − 16− 1+ 18> a a < 3

При всех остальных $a,$ то есть $a ≥3,$ значение функции $s$ в точке $− 4$ неположительно. Если в начале отрезка, то есть в точке $− 4,$ функция неположительна, а в некоторой точке $x0$ отрезка функция положительна, то где-то на $[−4;x0]$ она будет равна нулю, то есть будет иметь корень.

xyy−−34= s(x)

Заметим, что при $x→ −3$ функции $g$ и $h$ принимают положительные значения, а функция $f$ неограниченно возрастает, так как логарифм от близкого к нулю числа стремится к $− ∞$ и перед логарифмом стоит знак « $−$ ».

Таким образом, какой бы ни была константа $a,$ функция $s$ будет принимать положительное значение в некоторой точке отрезка $[− 4;−3].$

Тогда исходное уравнение имеет ровно одно решение на указанном отрезке при

a∈ [3;+ ∞)

18.12 Функции. Монотонность: f(x) ∨ const и f(f(x)) = x