19.04 Делимость чисел и признаки делимости

Нет, не верно. Например, число 24 делится на 8 и на 6, но не делится на 48.

а) Рассмотрим остатки при делении на 3 последовательных целых чисел:

Тогда для трех последовательных остатков возможен один из трех вариантов:

Отсюда видно, что из трех последовательных целых чисел ровно одно имеет остаток 0 при делении на 3. Следовательно, всё произведение делится на 3.

б) Среди трёх последовательных целых чисел обязательно есть одно или два четных числа. Кроме того, учитывая пункт а), ровно одно число делится на 3. Тогда все произведение делится на 2 и делится на 3, а значит, делится на 6.

Среди любых четырёх последовательных целых чисел всегда есть два последовательных чётных числа, а среди двух последовательных чётных чисел всегда есть одно, которое делится на 4.

Так как среди четырёх последовательных целых чисел мы нашли число, которое делится на 2 и другое число, которое делится на 4, то всё произведение делится на 8.

Преобразуем выражение:

Мы получили произведение пяти последовательных целых чисел. Среди любых последовательных 5 целых чисел всегда есть число, которое делится на 3, есть число, которое делится на 5, а также всегда есть два последовательных чётных числа.

Таким образом, при любом число делится на 3, делится на 5, делится на 8, следовательно, оно делится и на 120.

Разложим исходное выражение на множители:

Это произведение трёх последовательных чисел, следовательно, среди них есть число, которое делится на 2, и есть число, которое делится на 3. Тогда и все произведение делится на 6.

Так как то Тогда

значит,

Заметим, что

Так как делится на 7, то и делится на 7. Следовательно, делится на 7.

Имеем . Так как — простое число, большее , то оно нечетное, следовательно, числа — четные. Также заметим, что и — два подряд идущих четных числа, следовательно, одно из них делится не только на , но и на Таким образом, .

Среди трех подряд идущих целых чисел имеется одно число, которое делится на . Следовательно, среди чисел , , есть такое число. Так как этим числом не может быть число (оно простое, то есть не имеет других делителей, кроме и ), то делится на одно из чисел или . Следовательно, их произведение делится на . Таким образом,

Пусть искомая цифра — тогда по признаку делимости на 11 получаем

Следовательно, имеем:

Так как — цифра, то может быть равен только 1. Значит, нам подходит только число 1121934.

1) Пусть число делится на 3, тогда по признаку делимости сумма его цифр тоже делится на 3, но тогда произведение этого числа и суммы его цифр делится на 9, а число 90309 не делится на 9 (сумма его цифр не делится на 9).

2) Пусть число не делится на 3, тогда сумма его цифр тоже не делится на 3, тогда произведение этого числа и суммы его цифр не делится на 3, но число 90309 делится на 3.

Ни один из рассмотренных случаев невозможен. Так как других случаев не бывает, то такого и быть не может.

а) Для того, чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и на 4. По признаку делимости на 4, две последние цифры числа могут быть 16, 36, 56, 76, 96. Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 3 (по признаку делимости на 3):

16: 204516, 234516, 264516, 294516

36: 214536, 244536, 274536

56: 224556, 254556, 284556

76: 204576, 234576, 264576, 294576

96: 214596, 244596, 274596

б) Для того, чтобы число делилось на 36, оно должно делиться на 9 и на 4. По признаку делимости на 4, две последние цифры числа могут быть 16, 36, 56, 76, 96. Для каждого из этих случаев подберём оставшуюся цифру так, чтобы сумма цифр числа делилась на 9 (по признаку делимости на 9):

16: 204516, 294516

36: 274536

56: 254556

76: 234576

96: 214596

Обозначим само число через , а последнюю его цифру через Тогда число, получаемое из исходного зачеркиванием последней цифры, равно , и условие можно переписать как Домножим обе части на 10, получим Заметим, что 20130 делится на 11, как и . Значит, делится на 11, но так как — цифра, то она равна Поэтому , откуда .

Обозначим оставшееся число через . Тогда исходное число было равно . Разница между числами составляет . С другой стороны, вычеркивая из трехзначного числа цифру сотен, мы уменьшаем его на несколько сотен. Поэтому разница должна делиться на . Таким образом, делится на . При этом число . Поэтому все возможные варианты для  — это , , , и . Для первых четырех значений есть примеры , , и . Если же , то исходное число также равно , то есть не трехзначное. Поэтому подходят ответа.

Любая степень числа, оканчивающегося цифрой 1, тоже оканчивается цифрой 1. Поэтому разность оканчивается на 0 и, следовательно, не является простым числом, так как делится на 10.

Если перемножить все двузначные числа, получится число, которое делится на 100. Значит, оно оканчивается на два нуля. Поэтому, вычтя из него 5, мы получим число, оканчивающееся на 95. Итак, Дмитрий Алексеевич родился в году, оканчивающемся на 95. Это либо 1995, либо 1895, либо раньше. Так как Дмитрию Алексеевичу меньше ста лет, то подходит только 1995 год.

Применим признаки делимости на 5 и на 25. С одной стороны, это число оканчивается на цифру 5, то есть делится на 5.

С другой, число дает при делении на 25 такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. В нашем случае число, образованное последними двумя цифрами, — это 45. Оно не делится на 25, значит, и исходное число не делится на 25.

Итак, число делится на 5, но не делится на 25. Отсюда следует, что квадратом оно быть не может.

По признаку делимости на 4 натуральное число дает при делении на 4 такой же остаток, что и число, образованное последними двумя цифрами. Натуральное число, записываемое одними двойками, кроме числа 2, оканчивается на 22. Это число дает остаток 2 при делении на 4, то есть на 4 не делится. Число 2 также не делится на 4, значит, никакое число, записываемое только двойками, не делится на 4.

Меж тем любое число, записываемое одними четверками, кроме самого числа 4, оканчивается на 44, и по признаку делимости на 4 делится на 4. Само число 4 также, естественно, делится на 4. Итак, любое число, записываемое одними четверками, делится на 4. Но число, не делящееся на 4 (то есть число, записываемое одними двойками), не может делиться на число, которое делится на 4 (то есть число, записываемое одними четверками).

В записи любого числа, получаемого перестановкой цифр, будут цифры 2 и 5. Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна делиться на 5, то есть быть равной либо 0, либо 5.

При этом чтобы число делилось также и на 2, последняя цифра должна быть четной. Поэтому подходит только цифра 0. Но в данном в условии числе нет цифры 0, поэтому добиться одновременной делимости на 2 и на 5 нельзя.

Обозначим часть числа без двух последних цифр через , а предпоследнюю цифру через Тогда исходное число можно представить в виде Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно 2, то это число делится на 4. Итак, делится на 4.

Слагаемое всегда делится на 4, поэтому число дает такой же остаток, что и сумма Если делится на 2, то делится на , и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число , то есть дает остаток 2. Но в таком случае оно не делится на 4, чего не может быть. Значит, не делится на 2, и таким образом предпоследняя цифра числа нечетная.

Попробуем найти удовлетворяющее условию двузначное число.

Посмотрим на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на 5, но не делился на 2, число должно оканчиваться на 5. Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка.

Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на 2, но при этом не на 0, чтобы не делиться на 5. Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка.

И действительно, число 52 подходит: оно делится на 2, но не делится на 5, а после переноса результат, то есть число 25, делится на 5, но не делится на 2.

Это самое маленькое подходящее число, так как мы выяснили, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа 50 и 51 не подходят, а следующее по величине число — 52 — как раз является нашим ответом.