Тема 18. Задачи с параметром

18.20 Графика. Базовые задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#570

При каких значениях параметра $a$ графики функций

y = |x2 + ax| и y = 2a

имеют три общие точки.

Показать ответ и решение

Графиком функции $y1 = x2 + ax$ является парабола, ветви которой направлены вверх, и которая имеет либо одну точку пересечения с осью абсцисс (если $a = 0$ ), либо две точки пересечения с осью абсцисс: $(a;0)$ и $(0; 0)$ (если $a ⁄= 0$ ).

При $a = 0$ функции принимают вид: $2 2 y = |x | = x$ и $y = 0$ . Для того, чтобы найти точки пересечения графиков функций, можно решить уравнение $x2 = 0$ . Это уравнение имеет один корень, следовательно, $a = 0$ не подходит.

Пусть $a ⁄= 0$ . Значит, графиком $2 y = |x + ax|$ является:

$PIC$

Для того, чтобы графики функций имели три общие точки, необходимо, чтобы прямая $y = 2a$ выглядела, как показано на рисунке, то есть проходила через вершину $(x0;y2(x0))$ параболы $y2 = − (x2 + ax)$ . Значит:

a a2 a2 x0 = − -- ⇒ y2(x0) = --- ⇒ ---= 2a ⇒ a = 8 2 4 4

Ответ:

$a ∈ {8}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#10858

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 2 |− 2x + a|= 2

имеет ровно два решения?

Показать ответ и решение

Обозначим $2 2 f(x) =|− 2x + a |.$ График $f$ — это сдвинутая на $2 a$ вверх парабола $2 y = −2x$ с ветвями вниз. При этом часть параболы, лежащая ниже оси $Ox,$ отражена в верхнюю полуплоскость.

$PIC$

Заметим, что вершина нашей параболы всегда имеет неотрицательную координату $2 a$ по оси $Oy,$ а значит, не будет отражена.

При условии, что вершина лежит ниже прямой $y = 2,$ то есть $a2 < 2,$ график функции $f(x)$ будет иметь ровно две точки пересечения с прямой $y = 2$ — с ней пересечется каждая из отраженных ветвей. Если же $a2 ≥ 2,$ то точек пересечения будет три или четыре.

Тогда найдем подходящие значения параметра:

2 √- √- a < 2 ⇔ a ∈ (− 2; 2)

Ответ:

$( √- √-) a ∈ − 2; 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен обоснованный переход к неравенству, которое может отличаться от верного знаком неравенства	2
ИЛИ
Неравенство составлено верно, но допущена ошибка в его решении

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16108

Постройте при помощи элементарных преобразований (сдвиг, сжатие/растяжение, отражение), где это возможно, графики следующих функций/уравнений:

1.1. $y = (x− 3)2 + 1$

1.2. $y = − |2x− 4| = − 2|x − 2|$

1.3. $y = x2 + 2x + 4 = (x+ 1)2 + 3$

1.4. $y = − 2x2 − 6x = − 2(x2 + 3x) = − 2((x+ 1,5)2 − 2,25)$

1.5. $( ( )2 ) y = 4x2 + 4|x|− 1 = 4(x2 + |x|)− 1 = 4 |x |+ 1 − 1 − 1 = 4(|x|+ 0,5)2 − 2 2 4$

Показать ответ и решение

1.1. $y = (x− 3)2 + 1$

y = x²

$PIC$

y = (x − 3)² (→ на 3)

$PIC$

y = (x − 3)² + 1 (↑ на 1)

$PIC$

1.2. $y = − |2x− 4| = − 2|x − 2|$

y = |x|

$PIC$

y = |x − 2| (→ на 2)

$PIC$

y = 2|x − 2| (растяжение вдоль Oy)

$PIC$

y = −2|x − 2| (симметрия относительно Ox)

$PIC$

1.3. $2 2 y = x + 2x + 4 = (x+ 1) + 3$

y = x²

$PIC$

y = (x + 1)² (← на 1)

$PIC$

y = (x + 1)² + 3 (↑ на 3)

$PIC$

1.4. $y = − 2x2 − 6x = − 2(x2 + 3x) = − 2((x+ 1,5)2 − 2,25)$

y = x²

$PIC$

y = (x + 1,5)² (← на 1,5)

$PIC$

y = (x + 1,5)² − 2,25 (↓ на 2,25)

$PIC$

y = 2((x + 1,5)² − 2,25) (растяжение вдоль оси Oy)

$PIC$

y = −2((x+1,5)²−2,25) (симметрия относительно оси Ox)

$PIC$

1.5. $y = 4x2 + 4|x|− 1 = 4(x2 + |x|)− 1 = 4( (|x |+ 1)2 − 1) − 1 = 4(|x|+ 0,5)2 − 2 2 4$

y = x²

$PIC$

y = (x + 0,5)² (← на 0,5)

$PIC$

y = 4(x + 0,5)² (растяжение вдоль оси Oy)

$PIC$

y = 4(x + 0,5)² − 2 (↓ на 2)

$PIC$

y = 4(|x|+0,5)²−2 (стираем все, что левее оси Oy, и отражаем туда все, что правее нее)

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#16109

Представьте функции в кусочно-заданном виде. Найдите “вершину” графика каждой функции и определите траекторию движения этой точки:

2.1. $y = 2|x + 3|− a$

2.2. $y = |2a − x+ 3|− a2$

2.3. $y = |3x − 1|+ |x|$

2.4. $y = 4− 3|2a+ ax − 1|+ a$

Показать ответ и решение

2.1. $y = 2|x+ 3|− a$

( { y = 2|x+ 3|− a ⇔ y = 2(x+ 3)− a, x ≥ − 3 ( − 2(x + 3)− a, x < − 3

Это график уголка модуля, с вершиной в точке $(− 3;− a)$ , растянутый вдвое вдоль оси ординат. В зависимости от $a$ вершина может находиться в произвольной точке прямой $x = − 3$ , это и будет траекторией вершины.

$PIC$

2.2. $y = |2a − x+ 3|− a2$

({ 2 y = |2a− x +3|− a2 ⇔ y = 2a− x + 3− a , x ≤ 2a+ 3 ( x − 2a − 3− a2, x > 2a+ 3

Представим функцию в следующем виде $y = |− x+ (2a+ 3)|− a2 = |x− (2a+ 3)|− a2$ . Ее график — уголок модуля с вершиной в точке $2 (2a+ 3;− a )$ . Найдем траекторию вершины

({ ({ x−3 ({ x− 3 x = 2a +3 ⇔ a = -2- ⇔ a = -2- ( y = − a2 ( y = − (x−-3)2 ( y = − (x−3)2 2 4

Получили, что вершина уголка может лежать в произвольной точке параболы $(x-−-3)2 y = − 4$ .

$PIC$

2.3. $y = |3x − 1|+ |x|$

( |||{(1− 3x)− x = 1− 4x, x < 0 y = |3x− 1|+ |x| ⇔ y = (1− 3x)+ x = 1− 2x, 0 ≤ x ≤ 1 ||| 3 ((3x− 1)+ x = 4x− 1, 13 < x

Это корыто с наклонным дном, углы которого находятся в точках $x = 0$ и $x = 1 3$ .

$PIC$

2.4. $y = 4− 3|2a+ ax − 1|+ a$

$pict$

При $a = 0$ функция обращается в $y = 1$ . Для $a ⁄= 0$ представим функцию в виде $|| 1|| y = − 3|a|⋅||x + 2−-||+ a + 4 a$ . Ее график — уголок модуля с вершиной в точке $1 (a − 2;a+ 4)$ с ветвями вниз, растянутый вдоль оси ординат в $3|a|$ раз. Найдем траекторию вершины (помним, что $a ⁄= 0$ )

( ( { x = 1− 2 { a =-1- a ⇔ x+2 ( y = a + 4 ( y = x1+2 + 4

Получили, что вершина уголка может лежать в произвольной точке гиперболы $y = -1---+ 4 x+ 2$ .

$PIC$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31959

Найдите все значения $a$ , при которых уравнение

2 |(2x− a) − |x|− 28|+ 2|x|=16

имеет три различных решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение

(| 2 ||{ 16⌊ − 2|x|≥ 0 |(2x− a)− |x|− 28|= 16− 2|x| ⇔ || ⌈(2x − a)2− |x|− 28= 16− 2|x| ⇔ |( (2x − a)2− |x|− 28= −16+ 2|x| (| ||{ |x⌊|≤ 8 || ⌈(2x− a)2 = 44− |x| |( (2x− a)2 = 3|x|+12

Рассмотрим функции $f1 = 44− |x|$ , $f2 = 3|x|+ 12$ , $g =(2x− a)2$ на области $|x|≤ 8$ . На этой области объединение графиков $f1$ и $f2$ представляет собой четырехугольник, диагональ $AB$ которого равна $16$ и лежит на прямой $y =36$ .

Заметим, что $g = 4(x− a2)2$ . Значит, из $4(x)2 = 36$ следует, что $x±3$ , следовательно, расстояние между двумя точками на параболе, ординаты которых равны $36$ , равно $6 <16$ . Значит, когда левая ветка параболы проходит через точку $A$ , то правая еще не доходит то точки $B$ . И аналогично наоборот. Следовательно, три решения будет, когда либо левая ветка проходит через $A$ , либо правая проходит через $B$ :

$PIC$

A (− 8;36): (−16− a)36 ⇔ a= −22;−10; 2 B (8;36) : (16− a) = 36 ⇔ a= 10;22

Так как вершина параболы находится в точке $x0 = a 2$ , то при изменении $a$ от $− ∞$ до $+∞$ парабола движется слева направо, следовательно, $a= −22$ соответствует положению параболы, когда правая ветвь проходит через $A$ , а не левая, а $a= 22$ — когда левая ветвь, а не правая, проходит через $B$ . Поэтому нам подходят $a= ±10.$

Ответ:

$a ∈{±10}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31965

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 2|x − 2a|− a + 15+ x= 0

не имеет решений? При каких $a$ уравнение имеет решения и все решения принадлежат отрезку $[−9;10]?$

Показать ответ и решение

Рассмотрим две функции:

2 f(x)= 2|x − 2a|− a , g(x)= −x− 15

График $f$ представляет собой уголок, вершина которого имеет координаты $2 O(2a;−a ),$ следовательно, движется по параболе $y = − 14x2.$ Найдем точки пересечения прямой $g$ с траекторией $y = − 14x2 :$

( ⌊ {y = − 14x2 ⇔ ⌈ A(−6;−9) (y = −x− 15 B(10;− 25)

Точка на прямой $g,$ абсцисса которой равна $x = −9,$ имеет ординату $y = −6,$ то есть $C(−9;−6).$

$PIC$

Если вершина $O$ уголка перемещается по параболе от точки $A$ до точки $B,$ не включая эти положения, то уравнение не имеет решений, так как уголок находится выше прямой и не имеет с ней точек пересечения. Следовательно, нет решений при $− 6 < 2a< 10,$ то есть при $− 3< a< 5.$

Если $D$ — такая позиция вершины $O,$ что левая ветвь уголка проходит через точку $C,$ то это граничное положение, при котором есть решения и эти решения из отрезка $[−9;10].$ Все положения от $D$ до $A$ нам также подходят плюс подходит положение, когда вершина $O$ находится в точке $B.$

Левая ветвь уголка задается уравнением $fleft = −2x+ 4a− a2,$ следовательно, она проходит через $C,$ если

√ - −6= 12+ 4a− a2 ⇔ a= 2 ±2 7

В нашем случае речь идет о значениях параметра $√ - a =2 − 2 7,$ так как $√- a= 2+ 2 7$ соответствует положению, когда вершина $O$ находится ниже точки $B$ на параболе.

Следовательно, при $2− 2√7-≤ a ≤− 3$ и $a= 5$ уравнение имеет решения и все они из отрезка $[−9;10].$

Ответ:

$a ∈(−3;5)$ — нет решений

$√- a∈ [− 2 7+ 2;−3]∪ {5}$ — все решения из отрезка $[−9;10]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31966

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

(| xy2− 3xy− 3y+ 9 |{ ----√x-+-3----= 0 ||( y = ax

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Система равносильна

( (| ⌊ |||y(xy− 3)− 3(xy − 3)= 0 ||||| ⌈y = 3 {x +3 >0 ⇔ { xy = 3 |||( |||| x> −3 y =ax ||( y = ax

Будем искать точки пересечения прямой $y = ax$ (это равенство задает пучок прямых, проходящих через начало координат) со множеством

(||⌊ y = 3 |{⌈ 3 ||| y = x (x >− 3

$PIC$

$A(−3;−1)$ , $B (1;3)$ .

Когда прямая находится между положениями $j$ и $p$ (включая $p$ ), а также в положении $r$ , то графики имеют две точки пересечения.

$aj =0$ ;

$ap :$ $− 1= −3a ⇔ a =ap = 1 3$ ;

$ar :$ $3= a ⇔ a =ar = 3$ .

Следовательно, $0< a≤ 1 3$ и $a= 3.$

Ответ:

$a ∈(0;1]∪{3} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33312

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

({ x x 3 2 (y+1)(1 − y⋅2 )= a ((1+ 2x)(1− y ⋅2x)= a

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t=2x$ , $p= yt$ , $t>0$ , $p ∈ℝ$ , тогда система примет вид

({ 3 (p+ t)(1− p) =a ( (1+ t)(1− p) =a

1.

Пусть $a =0$ . Тогда система имеет вид

(⌊ |||||⌈ p= −t ⌊ p= 1 |{⌊ p= 1 || ({ ||| t=− 1 ⇔ |⌈ p= −t |||(⌈ (t= −1 p= 1

Такая система имеет решения, как минимум $(t0;1)$ , $t0 > 0$ , следовательно, $a = 0$ нам подходит.

2.

Пусть $a ⁄=0$ . Тогда можно разделить первое уравнение на второе и получить новую систему

( ( |{p1-++tt =a2 |{ p= p1(t)=t(a2 − 1)+ a2 |( ⇔ |( p= p2(t)=1 −--a- ⋆ (1+ t)(1− p)= a t+ 1

$⋆$ Так как $t+ 1= 0$ не является решением этого уравнения.

$p =p1$ представляет собой пучок прямых, проходящих через точку $O(−1;1)$ , а $p= p2$ представляет собой гиперболу. Найдем те $a$ , при которых прямая $p= p1$ имеет хотя бы одну точку пересечения с гиперболой $p= p2$ , причем абсцисса этой точки $t> 0.$

2.1.

$a< 0$ , тогда графически все выглядит следующим образом:

$PIC$

Нам подходят все прямые, у которых угловой коэффициент $2 a − 1> 0$ и меньше, чем у прямой, проходящей через точку $A$ . Координаты точки $A$ равны $(0;1− a)$ , следовательно, прямая проходит через $A$ при

( |||{ 1− a= a2 √ - | a2− 1 >0 ⇔ a= −1-−--5 ||( a< 0 2

Следовательно, условию $a2− 1 <(−-1−√5)2 − 1 2$ в этом случае соответствуют $a∈( −1−-√5;− 1) . 2$

2.2.

$a> 0$ , тогда графически все выглядит следующим образом:

$PIC$

Нам подходят все прямые, у которых угловой коэффициент $2 a − 1< 0$ и больше, чем у прямой, проходящей через точку $B(0;1− a)$ . Следовательно, прямая проходит через $B$ при

( |||{ 1− a= a2 √ - | a2− 1 <0 ⇔ a= −1-+--5 ||( a> 0 2

Следовательно, условию $a2− 1 <(−-1+√5)2 − 1 2$ в этом случае соответствуют $a∈( −1+√5-;1). 2$

Тогда ответ $(−1−√5 ) (−1+√5 ) a∈ 2 ;−1 ∪ {0}∪ 2 ;1 .$

Ответ:

$a ∈(−1−√5;−1)∪ {0} ∪(−1+√5;1) 2 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#14243

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ 2 log2(2a− x )= log2(2a− y) (x2 +y +4x = 0

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходную систему:

( (| 2 (| 2 { log (2a − x2)= log(2a− y) ||{ 2a − x = 2a − y ||{y = x ( 22 2 ⇔ | 2a − y > 0 ⇔ |y < 2a x + y+ 4x= 0 ||( 2 ||( 2 y = −x − 4x y = −x − 4x

Первое и третье уравнения системы задают параболы на плоскости. Второе неравенство системы задает часть плоскости, лежащую строго ниже горизонтальной прямой $y =2a.$ Построим графики (первый при $a =2,$ второй при $a = 0$ ).

$PIC$

Параболы имеют две точки пересечения $A(−2;4)$ и $B(0;0).$ Чтобы система имела единственное решение, $a$ должно быть таковым, чтобы ровно одна из точек $A$ и $B$ лежала ниже прямой $y = 2a.$

При $2a> 4⇔ a > 2$ точки $A$ и $B$ лежат ниже прямой $y = 2a,$ то есть система имеет два решения, такие $a$ нам не подходят.
При $0< 2a≤ 4⇔ 0< a≤ 2$ точка $A$ лежит выше «разрешенной» области (другими словами, не удовлетворяет условию $y < 2a$ ), а точка $B$ принадлежит «разрешенной» области, то есть система имеет ровно одно решение, такие $a$ нам подходят.
При $2a ≤ 0⇔ a ≤ 0$ ни одна из точек не лежит в «разрешенной» области (другими словами, ни одна из точек не удовлетворяют условию $y < 2a$ ) и система не имеет ни одного решения, такие $a$ нам не подходят.

Таким образом, нам подходят $a∈ (0;2].$

Ответ:

$a ∈(0;2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получено множество значений $a,$ отличающееся от искомого конечным числом точек	3

С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений $a$	2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#48587

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система уравнений

( ||{log2(− y2 +y(2a+ 3)− a2− 3a) =log2(x − y2+ 2ay− a2− 3a) ∘-- ||(y = x 3

имеет ровно два различных решения.

Показать ответ и решение

Преобразуем систему:

( ( |||− y2+ y(2a+ 3)− a2− 3a= x− y2+ 2ay− a2− 3a |||y = x |||{ ∘-- |||{ 3∘-- y = x ⇔ y = x ||||| 3 ||||| 3 |(− y2+ y(2a+ 3)− a2− 3a> 0 |(a < y < a+ 3

Решим систему графически. Найдем точки пересечения графиков функций $y = x3$ и $∘ -- y = x3 :$

x ∘ x- 3 = 3 ⇔ x= 0;3

Следовательно, имеем две точки пересечения: $A(0;0)$ и $B (3;1).$ Тогда нам подойдут те значения параметра $a,$ при которых точки $A$ и $B$ будут находиться в горизонтальной полосе шириной 3, задаваемой неравенством $a < y < a+ 3.$

$PIC$

Так как полоса без границы, то необходимо, чтобы прямая $y = a$ находилась ниже прямой, проходящей через точку $A,$ а прямая $y = a +3$ находилась выше прямой, проходящей через точку $B.$ Следовательно,

({ a< 0 ⇔ −2 < a< 0. ( a+ 3> 1

Ответ:

$a ∈(−2;0)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел