Термодинамика процесса —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#29510

При нагревании трёх молей гелия давление p газа изменялось прямо пропорционально его объёму $V$ ( $p = αV$ , где $α$ – некоторая неизвестная константа). На сколько градусов поднялась температура гелия, если газу передали количество теплоты $Q = 300$ Дж?

Показать ответ и решение

Уравнение $p = αV$ – соответствует прямой, выходящей из начала координат под некоторым углом в координатах $p − V$ . Пусть начальные давления и объём равны $p1$ и $V1$ , а конечные $p2$ и $V 2$ .
Работа газа равна площади трапеции

A = p1 +-p2(V − V ) = p1V2-−-p1V1-+-p2V2-−-p2V1-. 2 2 1 2

Так как $p = αV$ , то

2 2 A = αV1-⋅ V2-−-αV-1-+-αV-2-−-αV2-⋅ V1-= α-(V 2 − V 2). 2 2 2 1

По уравнению Менделеева-Клапейрона:

pV = νRT ⇒ αV 2 = νRT

Тогда

2 2 νR-ΔT-- α(V2 − V 1 ) = νR ΔT ⇒ A = 2 .

Запишем также первый закон термодинамики:

Q = ΔU + A = 3-νR ΔT + 1νR ΔT = 2νR ΔT, 2 2

откуда искомая величина:

Q ΔT = -----≈ 6 К 2νR

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29511

Горизонтальный цилиндр длины $L = 0,5$ м вначале открыт в атмосферу и заполнен воздухом при температуре $T0 = 300$ К. Цилиндр плотно закрывают тонким поршнем и охлаждают. Поршень смещается и останавливается на расстоянии $h = 0,4$ м от дна. Далее цилиндр нагревают до температуры $T0$ , при которой поршень останавливается на расстоянии $H = 0,46$ м от дна. Атмосферное давление $P0 = 100$ кПа, площадь поперечного сечения цилиндра $S = 0,1$ м $2 .$ Внутренняя энергия воздуха $5 U = -P V 2$ , где $P$ – давление, $V$ – объем. Считать силу трения, действующую на поршень, постоянной в процессе движения поршня.
1. До какой температуры $T1$ был охлажден воздух в цилиндре?
2. Найдите силу трения $F тр$ , действующую на поршень в процессе движения поршня.
3. Какое количество $Q$ теплоты подвели к воздуху в цилиндре в процессе нагревания к тому моменту, когда поршень начал смещаться?

Показать ответ и решение

Сделаем рисунок с изображением состояний

1) Запишем второй закон Ньютона для двух случаев:

( { P1S + Fтр = P0S ( ⇒ P1 + P2 = 2P0 (1) P2S = P0S + Fтр

Из уравнения Менделеева-Клапейрона:

P V = νRT ⇒ P-V- = νR ⇒ P0V0-= P2V2-⇒ P2 = P0V0- T T0 T0 V2

Также

V0 P1 = 2P0 − P2 = 2P0 − P0 V-- 2

Из Уравнения Менделеева-Клапейрона:

P V P V P V --1-1 = --0-0 ⇒ T1 = T0--1-1. T1 T0 P0V0

Следовательно,

( ) h- -h- T1 = T0 2 L − H ≈ 219 К

2) Сила трения из второго закона Ньютона равна

L − H F тр = (P2 − P0 )S = P0S ------- ≈ 870 Н H

3) Пока поршень не смещается объём газа неизменен, значит, работа газа равна нулю. По первому закону термодинамики:

( L ) Q = ΔU = 5hSP0 ---− 1 ≈ 1,7 кД ж H

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29512

Гелий в количестве $ν$ моль расширяется от температуры $T1$ в изобарическом процессе 1–2, а затем в процессе 2–3 с прямо пропорциональной зависимостью давления $p$ от объёма $V$ (см. рисунок). Отношение объёмов $V ∕V = V ∕V = 3∕2 2 1 3 2$ .
1) Найти температуры в состояниях 2 и 3.
2) Найти работу, совершённую газом в процессе 1–2–3.
3) Найти суммарное количество теплоты, полученное газом в процессе 1–2–3.
(«Физтех», 2016, 10–11)

Источники: Физтех, 2016, 10–11

Показать ответ и решение

1) Процесс 1–2 изобара, следовательно, $p2 = p1$ .
Прямая, проходящая через начало координат описывается уравнением

p(V) = kV,

где $k$ – угол наклона прямой.
Так как объем при переходе из 2 в 3 возрастает в $3- 2$ раз, тогда давление в точке 3 станет равно

p (αV2 ) = 3-kV2 = 3-p1 2 2

Воспользуемся также уравнением Менделеева-Клапейрона

pV- pV = νRT ⇒ T = νR

Откуда следует, что

3 p2V2 p1--V1 3 T2 = ----- = --2--- = --T1 νR νR 2

3 9 -p1 -V1 T3 = p3V3-= 2---4---= 27T1 νR νR 8

2) Работа газа равна численно площади под графиком

νRT1-- A1−2 = p1 ⋅ (V2 − V1) = 2

( ) A = p2-+-p3(V − V ) = νRT 27-− 3- = 15-νRT 2−3 2 3 2 1 16 4 16 1

Общая работа газа

23νRT1 A = -------- 16

3) Количество теплоты по первому началу термодинамики равно

Q = ΔU + A = 3νR (T3 − T1) + A = 57νRT1 + 23-νRT1 = 5νRT1 2 16 16

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29513

$U$ –образная трубка состоит из трёх одинаковых колен, расположена вертикально и заполнена жидкостью. Один конец трубки соединён с баллоном, заполненным водородом, другой конец трубки открыт в атмосферу (см. рисунок). Водород в баллоне медленно нагревают, и он медленно вытесняет жидкость из трубки. К моменту, когда из трубки вылилось 2/3 всей массы жидкости, водород получил количество теплоты $Q = 30$ Дж. Найти объём баллона, заполненного вначале водородом. Известно, что объём всей трубки равен объёму баллона. Атмосферное давление $p0 = 105$ Па, а добавочное давление, создаваемое столбом жидкости в вертикальном колене трубки, равно $p0∕9$ .
(МФТИ, 2004)

Источники: МФТИ, 2004

Показать ответ и решение

Из равенства давления столба жидкости и газа

p = p0 + ρgx,

где $ρ$ – плотность жидкости, $x$ – длина ушедшей воды.
Объем ушедшей воды равен

V = Sx,

тогда

V p = p0 + ρg -- S

Тогда можем сделать рисунок процессов:

Работу газа найдем как площадь под графиком

A = 10-∕9p0 +-p0V0-+ V0-10-p0 = 39p0V0 2 3 3 9 54

Изменение внутренней энергии же составит

5- ΔU = 2νR ΔT

Или с учетом уравнения Клапейрона—Менделеева $pV = νRT$

5 5 10 5 115 ΔU = -(p2V2 − p0V0) = --(--p0 -V0 − p0V0) = ----p0V0 2 2 9 3 27

Откуда полученное количество теплоты

154 77 Q = ΔU + A = ----p0V0 = ---p0V0 54 27

Откуда начальный объем

V = 27-Q--≈ 0,1 л 0 77 p0

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29514

Постоянное количество идеального газа участвует в процессе, диаграмма которого показана на рисунке в координатах давление–объём. Известно, что при изобарном нагревании газ получает количество теплоты, равное $Q = 75$ кДж, а в ходе изохорного нагревания температура газа увеличивается в $n = 2$ раза. Найдите работу газа при адиабатическом расширении. Линии, показанные пунктиром – прямая, проходящая через начало координат, и изотерма.

Показать ответ и решение

Занумеруем точки на диаграмме так, как показано на рисунке.

При адиабатическом расширении

Q34 = A34 + ΔU34 = 0 ⇒ A32 = − ΔU34.

Из диаграммы видно, что $T4 − T3 = − (T3 − T2)$ , следовательно

A34 = ΔU34 = νcV(T3 − T2).

С другой стороны, теплота, полученная газом при изобарном нагревании

Q = Q12 = ν(CV + R )(T2 − T1).

С учетом того, что линия 1-3 проходит через начало координа

V p -1-= -3, V1 p1

и поэтому

T2- T3- T1 = T2 = n.

Значит,

C A34 = νCV n(T2 − T1) = n ----V--Q. CV + R

Если ввести обозначение $i$ – число степеней свободы молекулы газа ( $i = 3,5,6$ для одноатомного, двухатомного и многоатомного идеального газа соответственно), то $i- CV = 2R$ , и тогда

i A = n-----Q. i + 2

то есть $A34 = 90$ кДж для одноатомного идеального газа, $A34 ≈ 107, 1$ кДж для двухатомного идеального газа, $A34 = 112, 5$ кДж для многоатомного идеального газа.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38857

Гелий в количестве $ν$ молей находится в теплоизолированном вертикальном сосуде под поршнем, на котором стоит гиря, масса которой в $α$ раз больше массы поршня (рис.). Над поршнем вакуум. Если к гелию медленно подвести теплоту $Q$ , объём гелия увеличится на такую же величину, как если бы вместо подведения тепла гирю быстро сняли. Найдите изменение $ΔT2$ температуры гелия во втором процессе. Гелий можно считать идеальным газом.

(Всеросс., 2007, ОЭ, 10 )

Показать ответ и решение

Пусть $m$ - масса поршня, $S −$ площадь его поперечного сечения, тогда давления гелия при наличии гири и без неё:

P1 = m-(1-+-α-)g-, P2 = mg-, отк уда P2-= --1--. S S P1 α + 1

Гелий являет ся одноатомным газом, поэтому его молярные теплоёмкости при постоянном объёме или давлении: $CV = 3R∕2, CP = 5R∕2$ . Пусть $ΔV −$ изменение объёма при расширении, $ΔT1 −$ изменение температуры в первом процессе, тогда, используя уравнение Менделеева-Клапейрона для первого процесса в виде $P1ΔV = νR ΔT1$ и

Q = νC ΔT = CP- P ΔV, най дём ΔV = -R- ⋅-Q- P 1 R 1 CP P1

Пусть $Δh$ - смещение поршня к моменту установления равновесия во втором процессе, тогда Закон сохранения энергии после снятия гири имеет вид:

νCV ΔT2 + mg Δh = 0,

откуда

mg Δh P ΔV P RQ 4Q ΔT2 = − -------= − -2-----= − ----2----- = − ------------- νCV νCV P1 νCP CV 15(α + 1 )νR

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38858

Над одним молем метана ( $CH4$ ) совершается процесс, график которого изображён на рисунке. Перенесите график процесса в тетрадь и выделите на нём участки, на которых к газу подводится теплота. Какое количество теплоты было подведено к газу в этом процессе? Величины $p 0$ и $V 0$ считать известными
(Всеросс., 2010, РЭ, 11 )

Показать ответ и решение

Теплота подводится к газу на тех изохорах и изобарах, на которых температура возрастает. Обозначим эти участки жирными линиями (рисунок). Вычислим суммарную работу, совершённую на этих участках, как сумму площадей под выделенными горизонтальными прямыми :

-A---= 9-⋅ 9-+-8-⋅ 7 +-7 ⋅ 5-+-6-⋅ 3-+-5-⋅ 1, p0V0 100

откуда $A = 1,95p0V0$ . Так как метан - многоатомный газ, то его молярная теплоёмкость при постоянном объёме равна $CV = 3R$ . Вычислим изменение внутренней энергии на тех участках, где тепло подводится к газу:

ΔU 1 ------= ---((10 ⋅ 9 − 1 ⋅ 9) + (9 ⋅ 8 − 2 ⋅ 1) + (8 ⋅ 7 − 3 ⋅ 2)+ 3p0V0 100

+ (7 ⋅ 6 − 4 ⋅ 3 ) + (6 ⋅ 5 − 5 ⋅ 4 )) = 2,41

откуда $ΔU = 7,23p0V0$ . Тогда подведённое тепло:

Q = ΔU + A = 9,18p0V0

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#38859

В цилиндрическом сосуде объёма $2V0$ под тяжёлым поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T0$ и давлении $P0∕2$ , занимающий объём $V0$ (рис.). Над поршнем вакуум. Внизу в сосуде имеется небольшое отверстие, перекрытое краном. Снаружи пространство заполнено тем же газом при давлении $P0$ и температуре $T0$ . Сосуд теплоизолирован. Кран приоткрывают так, что поршень медленно поднимается вверх, и после того как давление внутри и снаружи выравнивается, кран закрывают. Определите температуру газа после закрытия крана.

(Всеросс., 2011, финал, 10 )

Показать ответ и решение

Пусть при заполнении сосуда газом снаружи в сосуд перешёл газ, ранее занимавший объём $V$ (рисунок). Внешнее давление при "продавливании"внутрь этого объёма совершает работу $A = P V внеш 0$ . Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде - "внешний"газ объёма $V$ - поршень выглядит так:

U1 + U2 + Aвнеш = U + ΔE п (13 )

где $U − 1$ внутренняя энергия исходного газа в сосуде, $U − 2$ энергия "внешнего"газа из объёма $V, U$ - энергия газа в сосуде после заполнения, $ΔE п −$ изменение потенциальной энергии поршня.

3 P0 3 3 U1 = ----V0; U2 = --P0V ; U = --P02V0; (14 ) 2 2 2 2 ΔE Π = mg Δh = P0-SΔh = P0-V0 (15 ) 2 2

Подставляя (14) и (15) в уравнение (13), после преобразований получим:

5P V = 11P V (16) 2 0 4 0 0

11- V = 10 V0 (17)

Исходное число молей газа в сосуде $P0V0- ν1 = 2RT0$ , число молей "внешнего"газа в сосуде $11P0V0 ν2 = 10RT0$ . Итого $ν = ν1 + ν2 = 8 P0V0- 5 RT0$ . Из уравнения состояния:

P0-⋅ 2V0 8P0V0- RT = 5 (18 )

откуда

T = 5T0 4

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула работы внешних сил	2

Закон сохранения энергии для системы газ в сосуде - "внешний"газ	2

Уравнение Менделеева-Клапейрона	2

Форула изменения потенциальной энергии	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#38983

Порция гелия объёмом $V0 = 1$ л находится под давлением $p0 = 1$ атм при температуре $0∘$ C. Гелий расширяют в равновесном процессе таким образом, что отданное им в окружающую среду количество теплоты $Q$ в четыре раза меньше совершённой гелием работы $A$ . Найдите максимально возможное значение работы $A$ газа в таком процессе.

(МОШ, 2008, 10 )

Показать ответ и решение

Исходя из условия: $Q = − A- 4$ , тогда:

Q = ΔU + A

A- 3- − 4 = 2 νR ΔT + A

( ) 6 6p0V0 6 T1 A = − -νR ΔT = − ------R (T1 − T0 ) = -p0V0 1 − --- 5 5 RT0 5 T

То есть получаем, что работа зависит от конечной температуры, и чем она меньше, тем значение работы будет больше. Но так как в реальности мы никогда не можем достичь абсолютного нуля, то постараемся тогда максимально приблизиться к нулю:

[6 ( T ) ] 6 lim A(T1) = lim --p0V0 1 − -1- = -p0V0 = 120 Д ж T1→0 T1→0 5 T 5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#38984

На рисунке изображён график циклического равновесного процесса, проводимого над одним молем идеального одноатомного газа. По горизонтали отложена работа, совершённая газом с момента начала процесса, по вертикали — количество теплоты, полученное газом. Изобразите график процесса в ( $pV$ )-координатах и определите отношение максимальной температуры газа к его минимальной температуре.

Источники: МОШ 2009, 10

Показать ответ и решение

1) Рассмотрим процесс 1-2:

A12 = 0; Q12 = 4 кД ж ⇒ V1 = V3

Следовательно процесс 1-2 – изохорный (объём увеличивается);
2) Рассмотрим процесс 2-3:

A23 = 4 кД ж; Q23 = 4 к Дж ⇒ T2 = T3

Следовательно процесс 2-3 – изотермический;
3) Рассмотрим процесс 3-4:

A = 0; Q = − 4 кД ж ⇒ V = V 34 34 3 4

Следовательно процесс 3-4 – изохорный (объём уменьшается);
4) Рассмотрим процесс 4-1:

A41 = − 2 кД ж; Q41 = − 2 кД ж ⇒ T4 = T1

Следовательно процесс 4-1 – изотермический;
Исходя из этого график процесса в ( $pV$ )-координатах будет состоять из двух изотерм и двух изохор:

5) Пусть в точке 1, газ имеет давление $p0$ и объём $V0$ . Запишем работу газа в изотермических процессах:

V3 A23 = νRT2 ln ---= 4 к Дж V0

A41 = νRT1 ln V0-= − νRT1 ln V3-= − 2 кД ж V3 V0

A23 T2 ⇒ A---= T--= 2 41 1

Это и есть отношение максимальной температуры к минимальной. Так как процесс 1-2 изохорный, то тогда давление в точке 2 будет также в 2 раза больше давления в точке 1, то есть $p2 = 2p0$ .
6) Найдём температуру $T 1$ используя процесс 1-2:

3 3 Q12 = ΔU12 = -νR (T2 − T1) = -νRT1 = 4 кД ж 2 2

Следовательно:

2Q T1 = ---12≈ 320,1 К 3νR

7) Найдём отношение объёмов, используя работу в изотермическом процессе 2-3:

A = νR (2T )ln V3-= 4 кД ж 23 1 V0

Тогда:

V A 3A νR 3A 3 ln -3-= ----23---= ----23-----= ---23 = -- V0 νR (2T1) 2νR ⋅ 2Q12 4Q12 4

V3- 3∕4 3∕4 V0 = e ⇒ V3 = V0 ⋅ e

8) Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона:

2p V 2p p3 = ---03∕04 = -3∕04 V0e e

p = p0V0---p0- 4 V0e3∕4 e3∕4

Итоговый график будет выглядеть так:

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула работы газа	2

Первый закон термодинамики	2

Формула изменения внутренней энергии	2

График построен в требуемых координатах	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38985

В вертикальном цилиндре находится под невесомым поршнем один моль идеального одноатомного газа. Цилиндр располагается в вакууме. На поршне находится груз массой 16 кг. Газу сообщили количество теплоты 100 Дж. Универсальная газовая постоянная 8,3 Дж/(моль $⋅$ К). Ускорение свободного падения составляет 10 м/c $2$ .
A) На какую высоту поднялся груз? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых.
B) На сколько изменилась внутренняя энергия газа? Ответ представьте в джоулях и округлите до целых.
C) На сколько изменилась температура газа? Ответ представьте в Кельвинах и округлите до десятых.
(МОШ, 2014, 11)

Показать ответ и решение

В состоянии равновесия: $mg = pS$ . Так как в условии сказано, что процесс равновесный (квазистатический), значит в процессе подъёма поршня давление постоянно, тогда:

Q = ΔU + A = 3pΔV + pΔV = 5pΔV = 5-⋅ mg-⋅ SΔh = 5-mg Δh 2 2 2 S 2

2Q--- 1- Δh = 5mg = 4 м

3 3 ΔU = --pΔV = -mg Δh = 60 м 2 2

pΔV mg Δh pΔV = νR ΔT ⇒ ΔT = -----= -------≈ 4,8 К νR νR

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#40898

Идеальный газ совершает процесс, состоящий из трех участков 1-2, 2-3 и 3-4 (см. рис.). На каком участке полученное газом тепло максимально?

(Всеросс., 2020, МЭ, 11)

Показать ответ и решение

Изобразим процесс на плоскости $p,V$ (см. рис.). Полученное газом тепло на участке $1 − 2$ (изобара) равно

Q12 = (5 ∕2)p1V0

На участке $2 − 3$ (изохора) полученное тепло равно

Q23 = 3(p3 − p1)V0

Из уравнения Клапейрона-Менделеева для состояний 3 и 4 находим, что $p3 = 2p1$ , поэтому $Q23 = 3p1V0$ . Полученное тепло на изотермическом участке 3-4 равно совершенной газом работе, которую оценим сверху как площадь трапеции (площадь под отрезком жирной штриховой прямой):

Q34 = A34 < (p1 + p3)V0

или $Q34 < 3p1V0$ . Таким образом, полученное тепло максимально на участке 2-3.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#40900

Поршень удерживается в середине неподвижного теплоизолированного закрытого цилиндрического сосуда длины $2l$ , площади сечения $S$ . Правую половину сосуда занимает 1 моль идеального газа, температура и давление которого равны $T 1$ и $p 1$ , в левой половине – вакуум. Поршень соединён с левым торцом сосуда пружиной жёсткостью $k$ . Найти установившуюся температуру газа $T2$ , после того, как поршень отпустили. Длина недеформированной пружины равна $2l$ , внутренняя энергия одного моля газа $U = cT$ . Трением, теплоёмкостью цилиндра и поршня пренебречь.

(Всеросс., 2021, МЭ-Тульск, 11)

Показать ответ и решение

Запишем первый закон термодинамики для газа, находящегося в правой половине сосуда. С учетом того, что сосуд теплоизолирован:

ΔU + A = 0 (1)

Здесь

ΔU = c (T2 − T1) (2)

– изменение внутренней энергии идеального газа, произошедшее после освобождения поршня и установления равновесия в системе, работа же, совершённая газом при этом равна изменению потенциальной энергии деформированной пружины. Если обозначить через $x$ - изменение длины пружины после того, как поршень отпустили (то есть $x$ - новое расстояние между поршнем и правым торцом сосуда), то

2 2 A = kx--− kl- (3) 2 2

Выразим потенциальную энергию пружины $kx2∕2$ в (3) через параметры газа. Для этого используем уравнение газового состояния

p1V1- = p2V2- → p1Sl-= p2Sx-, (4) T1 T2 T1 T2

а также условие равновесия поршня

kx = p2S (5)

поскольку после установления равновесия поршень находится в покое, и сила упругости пружины равна силе давления газа. И3 (4) и (5), исключая $p2$ , находим

2 kx--= p1SlT2- (6 ) 2 2T1

Подстановка (2) и (3), с учётом (6) в (1), даёт уравнение

kl2 p SlT cT2 − cT1 = ---− -1---2- 2 2T1

из которого получаем окончательный результат

2 -2cT1-+-kl- T2 = T12cT + p1Sl

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#40901

В горизонтальной достаточно длинной трубе между двумя поршнями находится моль идеального одноатомного газа. В остальных частях трубы создан вакуум. В некоторый момент времени абсолютная температура газа равна $T 0$ , а поршни движутся навстречу друг другу со скоростями модули которых равны $v1$ и $v2$ . Найдите температуру газа в тот момент, когда его давление станет максимальным. Масса каждого поршня равна $M$ и значительно больше массы газа.

Процесс сжатия считайте равновесным, теплообменом газа с окружающими телами пренебречь.

(Всеросс., 2016, МЭ, 11)

Показать ответ и решение

Запишем закон сохранения энергии

3- M--v21 M-v22 3- M-v2- M--v2 2RT0 + 2 + 2 = 2RT + 2 + 2

где, применив закон сохранения импульса в проекции на направление движения первого поршня

mv1 − mv2 = mv + mv

и

v = v1 −-v2 2

Давление будет максимальным, когда объем станет минимальным.

Поршни движутся навстречу друг другу, затем тот поршень у которого импульс меньше остановится и изменит направление движения на противоположное. До тех пор пока скорости поршней не сравняются, объем между поршнями будет уменьшаться. При замене скорости в уравнении энергии, получим ответ

M (v1 + v2)2 T = T0 + ------------ 6R

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#49343

Гелий из состояния с температурой $T1 = 200 К$ расширяется в процессе $pV 2 = const$ ( $p$ — давление, $V$ — объём газа) с постоянной теплоёмкостью $C$ . От газа отвели количество теплоты $Q = 415 Д ж$ , и конечный объём газа стал вдвое больше начального.
1) Определить конечную температуру гелия.
2) Определить теплоёмкость $C$ .

Источники: МФТИ, 1996

Показать ответ и решение

1) Найдем конечное давление газа

2 2 p1V1 = p2V2

Так как $V2 = 2V1$ , то

p1- p1V1 = 4p2V1 ⇒ p2 = 4

Воспользуемся уравнением Клапейрона–Менделеева

pV pV = νRT ⇒ T = --- νR

Для $T1$

p V T1 = --1-1 νR

Для $T2$

T = p2V2-= p1V1-= T1-= 100 К 2 νR 2νR 2

2) Теплоемкость можно найти по формуле:

Q--- ---Q---- 2Q- C = ΔT = T1 = T = 4,15 Д ж/ К T1 − --- 1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#49344

Моль гелия, расширяясь в процессе 1–2 (см. рисунок), где его давление $p$ меняется прямо пропорционально объёму $V$ , совершает работу $A$ . Из состояния 2 гелий расширяется в процессе 2–3, в котором его теплоёмкость $C$ остаётся постоянной и равной $C = R ∕2$ ( $R$ – газовая постоянная). Какую работу $A23$ совершит гелий в процессе 2–3, если его температура в состоянии 3 равна температуре в состоянии 1?

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Так как в процессе 1–2 давление зависит линейно от объема, то

p1V2 = p2V1 (1)

Тогда работа газа в этом процессе равна

1- 1- 1- A1 −2 = 2(p1 + p2)(V2 − V1) = 2(p2V2 − p1V1 + p1V2 − p2V1 ) = 2(p2V2 − p1V1)

Или с учетом уравнения Клапейрона–Менделеева

pV = νRT

R A1 −2 = --(T2 − T1) = A 2

Запишем первое начало термодинамики

Q = ΔU + A = CΔT ⇒ C (T − T ) = 3-νR (T − T ) + A 2−3 3 2 2 3 2 2−3

Откуда $A2− 3$ , с учетом, что $T3 = T1$ и $ν = 1$

R- 3- A2 −3 = 2 (T3 − T2) − 2R (T3 − T2) = R (T2 − T1) = 2A

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49345

В двух теплоизолированных сосудах с объёмами $V1$ и $V2$ находятся одинаковые газы при давлениях $p1$ и $p2$ и температурах $T1$ и $T2$ . Найдите температуру, которая установится в сосудах после смешивания газов.

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Пусть $ν1$ и $ν2$ – количество вещества в первом и во втором отсеках.
Запишем закон сохранения энергии

U1 + U2 = U

i i i -ν1RT1 + --ν2RT2 = -(ν1 + ν2)RT 2 2 2

По уравнению Клайперона–Менделеева:

pV = νRT ν = pV-- RT

Откуда

( p V p V ) p V + p V p1V1 + p2V2 = RT -1-1-+ -2--2 ⇒ T = T1T2----1-1----2-2-- RT1 RT2 p1V1T2 + p2V2T1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49346

Теплоизолированный цилиндр объемом $V$ разделен на две части перегородкой. В одной части находится водород в количестве $ν$ при температуре $T1$ , а в другой — азот в количестве $1,5ν$ при температуре $5T 4 1$ и другом давлении. Перегородка прорывается.
1. Какая температура $T2$ , установится в смеси?
2. Найти давление $P$ в смеси.

(«Физтех», 2019, 10)

Источники: Физтех, 2019, 10

Показать ответ и решение

1) После прорыва перегородки азот и водород занимают весь объем сосуда, образуя смесь двух газов. Внутренняя энергия смеси по закону сохранения энергии будет складываться из начальных внутренних энергий азота и водорода:

U1 + U2 = U

Количество вещества смеси также будет складываться из количества вещества азота и водорода:

νсмеси = ν + 1,5ν = 2,5ν

Распишем внутренние энергии и выразим температуру смеси газов:

5 5 5 5 1 + 1,875 --νRT1 + --⋅ 1,5νR ⋅-T1 = --⋅ 2,5νRT2 ⇒ T2 = ----------T1 = 1,15T1 2 2 4 2 2, 5

2) Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для смеси газов и выразим из него давление смеси:

2,5-νRT2- νRT1-- P V = 2, 5νRT2 ⇒ P = V = 2,875 V

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#49347

В вертикальном цилиндрическом сосуде под массивным поршнем находится одноатомный идеальный газ при температуре $T0$ , при этом поршень находится в равновесии. Температуру газа в сосуде мгновенно увеличивают в два раза. Какая температура установится в сосуде после того, как поршень перестанет двигаться? Теплоёмкостью поршня и сосуда пренебречь, теплопотери отсутствуют.

(«Росатом», 2012, 10)

Источники: Росатом, 2012, 10

Показать ответ и решение

Газ совершает работу по подъему поршня за счет своей внутренней энергии. Будем считать, что нагрев произошел настолько быстро, что поршень не успел за это время сместиться и набрать заметную скорость. Внутренняя энергия газа после нагрева составляет

U1 = 3 νR⋅2T0 2

Пусть поршень, в конце концов, поднялся на высоту $h$ над начальным положением $H$ . Обозначив конечную температуру $T1$ , запишем уравнение Менделеева-Клапейрона для газа до нагрева и после установления равновесия, с учётом условия равновесия поршня $(p = M-g) S$ :

M-gSH = νRT0, M-gS(H + h) = νRT1, S S

где $M$ – масса и $S$ – площадь поршня. Теперь запишем закон сохранения энергии:

M gh = 3νR ⋅2T0 − 3νRT1 2 2

Решая эту систему уравнений, получим

H-+-h- h = 0,6H, T1 = T0 H = 1,6T0

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано верное выражение для внутренней энергии $U$ газа после нагрева	2

Сформулировано условие равновесия поршня	2

Записано ур-ние Клапейрона-Менделеева для газа до и после нагрева	2

Записан закон сохранения энергии	2

Решена система уравнений, получен верный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#49348

В процессе расширения к одноатомному идеальному газу было подведено количество теплоты, в 4 раза превышающее величину его внутренней энергии в начальном состоянии. Во сколько раз увеличился объём газа, если в процессе расширения он изменялся прямо пропорционально давлению? Под внутренней энергией газа понимается сумма кинетических энергий всех молекул.

Источники: МФТИ, 1994

Показать ответ и решение

Пусть $U1$ и $U2$ – начальная и конечная внутренняя энергии газа. Запишем первое начало термодинамики