Тема АЛГЕБРА

Тождественные преобразования → .03 Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Тождественные преобразования

Действия с числами, составление уравнений и формулы сокращённого умножения

Раскрываем скобочки, приводим к общему знаменателю

Закрываем скобочки, раскладываем на множители, идём с конца, вангуем

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Преобразования с целой и дробной частями

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#71150Максимум баллов за задание: 7

Существуют ли вещественные числа $x,y,z,$ разность никакой пары из которых не равна нулю таких, что

4 3 4 3 43 4 3 4 3 43 x y +y z + zx = y x + zy + xz ?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такс, по условию разность никакой пары не равна нулю! Попробуйте разложить многочлен на множители, причем три из них — это попарные разности чисел.

Подсказка 2

Опять же, по условию разность никаких скобок не равна нулю, поэтому нулю равна оставшаяся скобка! А эта скобка раскладывается в сумму квадратов попарных сумм произведений двух чисел, деленную на два! Тогда, если эта скобка равна нулю и при этом она содержит только не отрицательные числа, то чему равно каждое слагаемое?

Подсказка 3

Да, каждое слагаемое равно нулю! То есть, все попарные произведения чисел равны нулю. Что тогда можно сказать про разности чисел x, y, z?

Показать ответ и решение

Условие намекает нам, что нужно вынести попарные разности, сделаем это, получим

2 2 22 2 2 2 2 2 (x− y)(y− z)(z − x)(x y + zx + y z +x yz+ yxz+ z xy)= 0

Итак, если какая-то из первых трёх скобок равна нулю, то числа нам не подходят, а когда же равна нулю последняя скобка? Выделим в ней полные квадраты

2 2 2 2 22 2 2 2 (xy+-yz)2 (xz+-xy)2 (xz+-yz)2 x y +z x + yz + x yz+y xz+ zxy = 2 + 2 + 2 ≥ 0

Равенство же достигается только в случае $xy = −yz,xz = −xy,xz = −yz$ . Чтобы все три равенства были выполнены, нужно $xy = yz =xz =0$ , откуда хотя бы какие-то две переменные принимают нулевые значения. Значит, таких $x,y,z$ не существует.

Ответ: нет

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#75220Максимум баллов за задание: 7

Для различных ненулевых вещественных чисел $a,b,c$ выполнено

1 1 1 a +b = b+ c = c+ a

Докажите, что $|abc|=1.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание, что равенства связывают каждую переменную с обратной величиной следующей. Если выразить разности между переменными через эти обратные величины, что общего можно заметить в получившихся выражениях?

Подсказка 2

Попробуйте перемножить все три разности a-b, b-c, c-a. Что теперь можно заметить интересного?

Показать доказательство

Имеет место равенство

b−-c c−-a a−-b a − b= bc ,b− c= ca ,c− a= ab

следовательно,

(b− c)(c− a)(a− b) (a− b)(b− c)(c− a)=-----(abc)2------

Наконец, сократив обе части равенства на $(a− b)(b− c)(c− a)⁄= 0,$ получим $(abc)2 =1,$ откуда явно следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75968Максимум баллов за задание: 7

Число $n$ представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, делящихся на $3.$ Докажите, что оно представимо в виде суммы квадратов трёх натуральных чисел, не делящихся на $3.$

Показать доказательство

Пусть $n$ представимо в виде суммы квадратов чисел $3a,3b$ и $3c,$ то есть $n =9a2+ 9b2+ 9c2.$ Попробуем в явном виде получить нужное нам представление.

Заметим, что $2 2 2 n= (a+ 2b− 2c)+ (c+2b− 2a) + (b+ 2a+ 2c) .$ Как придумать такое представление? После недолгих попыток станет ясно, что в виде суммы квадратов двух слагаемых представить не получится, значит надо представлять в виде суммы квадратов трёх слагаемых. Далее удобно разбить $2 9a$ на $2 2 2 a ,4a ,4a$ (с другими аналогично) и распихать их по квадратам, при этом подобрав знаки так, чтобы попарные произведения при раскрытии квадратов посокращались.

Далее необходимо перебрать все варианты остатков $a,b$ и $c$ при делении на $3.$ Если все они делятся на $3,$ то $n$ кратно $81,$ противоречие. Все остальные варианты легко перебираются вручную.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#91014Максимум баллов за задание: 7

Назовем целое число хорошим, если оно представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел ( $5$ — хорошее, так как $5= 12 +22,$ а $3$ — нет). Докажите, что

(a) удвоенное хорошее число будет хорошим

(b) произведение двух хороших будет хорошим.

Показать доказательство

(a) Если $2 2 n= x +y ,$ то

2 2 2 2 2 2 2 2 2n= 2x +2y = (x +2xy+ y )+(x − 2xy+ y )=(x+ y) +(x− y)

Что и требовалось.

(b) Если $2 2 n= x1+y1$ и $2 2 m = x2+y2,$ то

mn = (x22+ y22)(x21+y21)= x21x22+x21y22 + y21x22+ y21y22 =(x21x22+y21y22)+(x21y22+y21x22)=

2 2 22 2 2 2 2 2 2 =(x1x2+2x1x2y1y2+ y1y2)+ (x1y2 − 2x1x2y1y2+ y1x2)= (x1x2 +y1y2) + (x1y2− y1x2)

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#92983Максимум баллов за задание: 7

Натуральные числа $a,b,c,d,k$ таковы, что

ab a2-− b2 k= cd = c2− d2

Докажите, что число $k$ — точный квадрат.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте для начала попробуем поработать с условием, в частности со вторым равенством. Хочется его как-нибудь преобразовать. Попробуйте это сделать.

Подсказка 2

Естественно хочется перемножить крест-накрест выражения, после чего раскрыть скобки и перенести всё в одну сторону. А нет ли там хорошего разложения на скобки?

Подсказка 3

Конечно, в итоге получаем, что (ac+bd)(bc-ad)=0. Отсюда сразу понятно, что bc=ad. Кажется нам это очень сильно помогает с вопросом задачи. Попробуйте теперь преобразовать первое равенство, и победа.

Показать доказательство

Заметим, что $k$ точный квадрат тогда и только тогда, когда $abcd$ точный квадрат. Действительно, из условия получаем

2 cd⋅k= ab ⇐ ⇒ (cd) ⋅k= abcd

Преобразуем теперь второе равенство из условия:

2 2 2 2 ab(c − d )= cd(a − b )

abc2− cda2− abd2 +cdb2 =0

ac(bc− ad)+ bd(bc− ad)= 0 ⇐⇒ (ac+ bd)(bc− ad)= 0

Так как числа у нас натуральные, то $bc=ad.$ Откуда $abcd= (bc)2.$ Получается, что $abcd$ точный квадрат, тогда и $k$ точный квадрат.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#99218Максимум баллов за задание: 7

Найти

a12+-4096 64a6 ,

если

a 2 2 − a =5.

Источники: Газпром - 2023, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В числителе нашей дроби стоит сумма, тогда давайте попробуем записать всю дробь в виде суммы дробей, поделив каждое слагаемое на знаменатель. Получим очень знакомое выражение! Причём оба слагаемых — квадраты. А что можно сделать, когда видишь сумму квадратов?

Подсказка 2

Выделить квадрат разности! Для этого нужно всего лишь прибавить и вычесть двойку. И теперь под скобками в этом выражении оказалась уже разность кубов. Проделываем схожие махинации, чтобы выделить куб разности и получаем известное нам из условия выражение.

Показать ответ и решение

a12+ 4096 a6 64 a6 64 --64a6---= 64 + a6 = 64 − 2+ a6 + 2= (a3 8)2 ( a3 a 2 8 ( a 2))2 = -8 −a3 +2 = 8-− 3⋅2 + 3⋅a − a3 +3 2 − a +2= (( )3 ( ))2 ( ) = a2 − 2a +3 a2 − 2a +2 = 53+ 3⋅52+ 2= 19602.

Ответ:

$19602$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#30984Максимум баллов за задание: 7

Пусть $a,b,c$ — ненулевые действительные числа такие, что

3 3 (ab+ bc+ca) = abc(a +b+ c)

Докажите, что числа $a,b,c$ в некотором порядке образуют геометрическую прогрессию.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Справа куб суммы, слева один из множителей это тоже куб суммы, раскрывать такое даже врагу не пожелаешь. Вот если бы можно было извлечь корень третьей степени из обеих частей равенства...может стоит как-нибудь красиво заменить a, b и c?

Подсказка 2

Сделайте такую замену: a = x³, b = y³, c = z³. Получите некоторое выражение через x, y, z. Оно раскладывается на множители, но как их увидеть. Надо вспомнить ради чего мы вообще делаем какие-то преобразования. В задаче просят показать, что a, b и c образуют в некотором порядке геометрическую прогрессию, а какое свойство у неё есть для трёх последовательных членов?..

Подсказка 3

Квадрат члена равен произведению предыдущего и последующего членов геометрической прогрессии! То есть хотим, чтобы выполнилось одно из равенств, вида a² - bc, но выполнение этого свойства можно проверить и для x, y, z. Попробуйте полученное выражения для x, y, z разложить на множители упомянутого вида.

Подсказка 4

Добавьте и вычтите квадрат произведения чисел x,y,z. Разложите на множители и получите выполнение желаемого свойства для членов геометрической прогрессии.

Показать доказательство

Первое решение.

При замене $3√- 3√- 3√- x= a,y = b,z = c$ получаем уравнение

3 3 33 3 3 3 33 ((xy) +(yz)+ (zx) ) =(xyz)(x +y + z )

3 3 3 3 3 3 (xy) +(yz) + (zx) = xyz(x + y +z )

x3y3− x4yz+ y3z3− xy4z+x3z3− xyz4 = 0

Добавим и вычтем квадрат произведения чисел $x,y,z.$ Затем после вынесения за скобки общих множителей получаем

(y2− xz)(x2− yz)(z2− xy)= 0

Для тройки $(x,y,z)$ в каком-то порядке выполняется характеристическое свойство геометрической прогрессии (для положительных это было бы условие, что одно из чисел равно среднему геометрическому двух других, но так как про знак чисел в условии задачи не сказано, то сразу так говорить будет неаккуратно).

Итак, числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, в свою очередь то же можно сказать про их кубы — числа $a,b,c.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Нам дано однородное уравнение и сказано, что числа ненулевые, поэтому при домножении всех переменных $a,b,c$ на ненулевой коэффициент $1 t,$ то есть при замене $x= at,y = bt$ и $z = ct,$ уравнение будет иметь такой же вид:

(xy+ yz +zx)3 xyz(x+ y+ z)3 3 3 -----t6-----= -----t6------ ⇐ ⇒ (xy+ yz+ zx) = xyz(x+ y+ z)

Заметим, что теперь нам достаточно доказать, что числа $x,y,z$ образуют геометрическую прогрессию, потому что они все получены из исходных чисел умножением на ненулевой коэффициент.

При этом мы можем взять такое $t,$ чтобы $xyz = abc⋅t3$ было равно $1$ (надо взять $∘ --- t= 3 1abc-$ ).

Получаем уравнение $(xy+ yz+zx)3 = (x +y +z)3,$ откуда сразу $xy+yz+ xz = x+ y+ z,$ то есть

(x+y +z)− (xy+ yz+ zx) =0

Левая часть уравнения очень похожа на $(x− 1)(y− 1)(z− 1)$ и отличается от этого выражения на $xyz − 1,$ при этом мы сами обеспечили замену так, чтобы выражение $xyz− 1$ было равно нулю, так что можем добавить его в левую часть и получить уравнение: $(x− 1)(y− 1)(z− 1)= 0.$ Отсюда, не умаляя общности, $x= 1,$ и при подстановке в уравнение $xy+ yz+ xz =x +y +z$ получаем $zy = 1.$ Итак, число $x$ равно среднему геометрическому из чисел $y$ и $z,$ так что числа $x,y,z$ являются членами геометрической прогрессии.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#30990Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что если имеет место равенство

2 2 2 2 2 2 (y − z) +(z− x) +(x− y) = (y+ z− 2x) +(z+ x− 2y) + (x +y − 2z)

то $x= y = z.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Аккуратно раскройте скобки) Какого вида выражение у вас вышло?

Подсказка 2

Если вышло что-то вида 2*a = 6*a, то всё хорошо) Когда вообще может быть такое равенство?

Подсказка 3

Только когда это a равно нулю) Осталось вспомнить, что левая часть в изначальном выражении тоже ноль только в этом случае, отсюда уже выводится утверждение задачи

Показать доказательство

Раскроем скобки в равенстве из условия:

2 2 2 2 2 2 2(x +y + z − xy− zy− xz)= 6(x + y +z − xy− zy − xz)

2 2 2 x + y +z − xy− zy − xz = 0

Осталось выделить полные квадраты (для этого домножим выражение на $2$ ):

(x− y)2 +(z− y)2+ (z − x)2 = 0

Левая часть всегда неотрицательна может быть равна нулю только при $x− y = 0,z − y =0,z− x= 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#30993Максимум баллов за задание: 7

Каждое из $2020$ положительных чисел равно сумме квадратов остальных $2019$ чисел. Найдите все эти числа.

Показать ответ и решение

Условие намекает на то, что все числа одинаковые. Действительно, если какие-то два числа с индексами $n,k$ ( $1≤ n< k≤ 2020$ ) не равны, то вычтем одно из другого и получим

2 2 2 2 2 2 ak = a1+ ⋅⋅⋅+ a2020− ak an = a1+⋅⋅⋅+a2020− an =⇒

2 2 ak − an =an − ak ⇐ ⇒ (ak− an)(1+ ak+ an)=0 =⇒ ak = an

Значит, все числа одинаковые. Обозначим $a1 =a2 =⋅⋅⋅=a2020 =a$ . По условию

a = a2+ ⋅⋅⋅+ a2 =⇒ a= 2019a2 1 2 2020

Пользуемся тем, что числа положительные и получаем $a = 20119.$

Ответ:

все равны $-1- 2019$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#31005Максимум баллов за задание: 7

Числа $a,b,c$ и $d$ таковы, что

a +b= c+ d⁄= 0,ac= bd

Докажите, что

a+ c= b+d

Показать доказательство

Из первого уравнения $a= c+ d− b$ , подставим в равенство произведений:

2 c(c+ d− b)=bd⇐ ⇒ c +cd− bc +bd= 0⇐⇒ (c− b)(c+d)= 0

Поскольку $c+ d⁄= 0$ из условия, то $b= c$ , посмотрим ещё раз на первое равенство и то, что требуется доказать – достаточно поменять равные по доказанному $b$ и $c$ местами, откуда сразу следует требуемое.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#35460Максимум баллов за задание: 7

Числа $a$ и $b$ представимы в виде суммы двух квадратов целых чисел. Докажите, что их произведение тоже представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала введем переменные - x,y,z,t. Пусть при этом (x^2+y^2) и (z^2+t^2) - наши числа a и b. Попробуйте написать произведение и раскрыть скобки. Там будет сумма четырех квадратов. А если мы хотим сказать, что это сумма двух квадратов, то как можно преобразовать получившееся выражение?

Подсказка 2

Действительно, можно попытаться свернуть какие-то тройки слагаемых из нашего выражения в полный квадрат. Но вот незадача - у нас всего 4 слагаемых, а нужно 6. Может быть, тогда что-то добавить и вычесть? А что? Вот у нас как будто бы квадраты уже есть, не хватает только попарных произведений. А как тогда сгруппировать наши квадраты, чтобы попарные произведения были по модулю одинаковыми(по модулю, поскольку одно попарное произведение должно браться с минусом, а другое с плюсом, чтобы они взаимно уничтожились)?

Подсказка 3

Верно, нужно сгруппировать (xz)^2 и (yt)^2 , (xt)^2 и (zy)^2. А значит, нужно добавить и вычесть 2xyzt, свернуть в полные квадраты и получить требуемое.

Показать доказательство

Пусть $a =x2+ y2,b= z2+ t2$ . Тогда

2 2 2 2 ab= (x +y )(z + t)=

2 2 2 2 2 2 2 2 = x z + yt − 2xyzt+x t + yz + 2xyzt=

= (xz− yt)2+(xt+yz)2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#80966Максимум баллов за задание: 7

Целые числа $x,y$ и $z$ таковы, что

2 2 2 (x− y) +(y− z)+ (z− x) = xyz

Докажите, что $x3+ y3+z3$ делится на $x +y+ z+ 6.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Если раскрыть скобки в равенстве из условия, то становится видно, что там фигурируют только сумма квадратов переменных, сумма их попарных произведений и их произведение. Есть одно тождество, которое связывает сумму кубов и все вышеперечисленные величины.

Подсказка 2:

Попробуйте разложить x³ + y³ + z³ - 3xyz на скобки.

Подсказка 3:

Если не получается, давайте рассмотрим это выражение как многочлен относительно x и заметим, что он имеет корень x = - y - z. Это значит, что можно выделить скобку x + y + z.

Подсказка 4:

Итак, а теперь попробуйте в равенстве из условия выразить сумму попарных произведений через остальные слагаемые и подставить в тождество. Не возникнет ли там нужная делимость?

Показать доказательство

Равенство из условия равносильно

2 2 2 2(x +y + z)− 2(xy +xz+ yz)=xyz

Используем известное тождество

3 3 3 2 2 2 x +y + z − 3xyz = (x+ y+ z)(x +y + z − xy − yz− zx)

запишем его в виде

x3+ y3+ z3 =3xyz+ (x +y+ z)⋅ xyz 2

откуда

3 3 3 2(x +y + z )=xyz(x+ y+z +6)

Заметим, что если $x+ y+z$ делится на два, то хотя бы одна из переменных $x,y,z$ делится на $2,$ тогда равенство можно сократить на $2$ и получится

x3+ y3+ z3 =k(x+ y+ z+6)

то есть нужная делимость доказана. Если же $x+ y+ z$ нечётно, то требуемое очевидно.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91402Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что

√ - 2016 √-- √----- ( 5− 2) = m − m − 1

для какого-то целого $m$ .

Показать доказательство

По биному Ньютона

√- 2016 √- ( 5− 2) =a 5 +b

где $a$ и $b$ — некоторые целые числа разных знаков. Далее можно заметить, что:

√- 2016 √- ( 5+ 2) =a 5 − b

Перемножим эти два равенства:

(√5 − 2)2016(√5 +2)2016 = (a√5-+b)(a√5 − b)

Или:

1= 5a2− b2

С другой стороны в соответствии с нашим обозначением можно записать:

(√ --- √--) (√5-− 2)2016 = ± 5a2− b2 = √m-− √m-−-1

Замечание Утверждение задачи может быть также доказано методом математической индукции по показателю степени.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#92023Максимум баллов за задание: 7

Известно, что одним из корней уравнения

2 2 2 x − 4a bx =4

является

x =(a2+ b2)2. 1

Найдите $a4− b4$ .

Показать ответ и решение

Подставляя $x= x 1$ в данное уравнение, получаем

(2 2)4 22 2 22 a + b − 4a b(a +b ) =4

(2 2)2(( 2 2)2 2 2) a + b a + b − 4a b = 4

( 2 2)2(2 2)2 4 42 a + b a − b =4,(a − b) = 4

Следовательно, $4 4 a − b = ±2.$

Ответ:

$±2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#92035Максимум баллов за задание: 7

В какую степень надо возвести корень $x 0$ уравнения $x11+ x7 +x3 = 1$ , чтобы получить число $x4+ x3− 1? 0 0$

Показать ответ и решение

Поскольку $1= x11+ x7+ x3 0 0 0$ , получаем

x4+ x3 − 1= x4+ x3− x11− x7− x3= 0 0 04( 0 70 3) 0 4(011 7 3 7 3) 15 = x0 1− x0− x0 = x0 x0 + x0+ x0− x0− x0 = x0

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#125882Максимум баллов за задание: 7

Дан квадратный трёхчлен $P (x),$ не обязательно с целыми коэффициентами. Известно, что при некоторых целых $a$ и $b$ разность $P (a)− P(b)$ является квадратом натурального числа. Докажите, что существует более миллиона таких пар целых чисел $(c,d),$ что разность $P (c)− P (d)$ также является квадратом натурального числа.

Источники: Всеросс, РЭ, 2022, 9.3 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

P(x) — многочлен всего лишь второй степени. В таких случаях бывает очень полезно записать многочлен в общем виде, ведь тогда можно будет что-нибудь подставить и посмотреть наглядно, что происходит.

Подсказка 2:

Пусть P(x) = kx² + mx + n. При этом мы знаем, что P(a) − P(b) = s², где s ∈ ℕ. Подставим же в явном виде и попробуем преобразовать, вдруг что-то получиться? Не забывайте, что в преобразованиях часто бывают полезны формулы сокращённого умножения.

Подсказка 3:

Понятно, в каком направлении мы хотим преобразовывать, мы хотим разложить на скобки, ведь в терминах множителей работать с квадратами гораздо проще. Итого P(a) − P(b) = (a − b)(k(a + b) + m) = s². Теперь мы хотим научиться строить пары (c, d) с таким же свойством...

Подсказка 4:

Константа миллион взята с неба, поэтому пусть она не туманит наше сознание, будем доказывать, что таких пар бесконечно много. Предположим, что мы нашли такую пару (c, d). Пусть c + d = x(a + b) + y (деление с остатком). Подставим (c, d) в P(c) − P(d).

Подсказка 5:

Получаем (с − d)(kx(a + b) + m + ky) = t², где t ∈ ℕ. Можно ли адекватно понять, как изменились делители числа kx(a + b) + m + ky в сравнении с k(a + b) + m при нетривиальных значениях x и y?

Подсказка 6:

В общем виде уж точно нет! Поэтому нужно минимизировать влияние x и y на эту сумму. При каких x и y это "влияние" минимально или отсутствует вовсе?

Подсказка 7:

Разумеется, при (x, y) = (1, 0). То есть, для поиска адекватных пар (c, d) идея искать пары c + d = a + b очень даже полезна, ведь мы тогда знаем гораздо больше про то, как себя ведут множители (скобки). С суммой вроде бы определились, что же происходит с разностью?

Подсказка 8:

Осознайте, что если с + d = a + b, то с = a + z, d = b − z для z ∈ ℕ. Тогда c − d = a − b + 2z. Подставим эти значения в P(c) − P(d).

Подсказка 9:

P(c) − P(d) = (a − b + 2z)(k(a + b) + m). Снова поделим с остатком a − b + 2z = v(a − b) + u. То есть хотим, чтоб (v(a − b) + u + 2z)(k(a + b) + m) было квадратом. Что тогда мы хотим сделать с u?

Подсказка 10:

Конечно, мы хотим снова занулить константу, чтоб уменьшить "влияние". То есть теперь хотим брать такие z, что c − d = v(a − b) (очевидно, это возможно, осознайте самостоятельно). Теперь хотим, чтоб v(a − b)(k(a + b) + m) было квадратом, при этом знаем, что (a − b)(k(a + b) + m) = s². Чем тогда должно быть v?

Подсказка 11:

Разумеется, квадратом. То есть хотим сделать так, что для g ∈ ℕ: a − b + 2z = (a − b)g², то есть (a − b)(g² − 1) = 2z. Кажется, осталось совсем немного) Сделайте последний шаг и осознайте, что победа за Вами. Успехов!

Показать доказательство

Пусть $P(x)= kx2+mx + n.$ По условию, $P(a)− P (b)= s2,$ где $s∈ ℕ.$ Запишем разность:

2 P (a)− P(b)= (a− b)(k(a+ b)+m )=s .

Рассмотрим пары $(c,d)$ такие, что $c+ d= a+ b$ и

2 c− d= (2n +1) (a− b), n∈ ℤ

Тогда:

c = (a+-b)+(2n+-1)2(a− b), 2

(a+-b)− (2n+-1)2(a−-b) d = 2 .

Подставим $c$ и $d$ в $P(c)− P(d):$

P(c)− P(d)=(c− d)(k(c+ d)+m )=

(2n+ 1)2(a − b)(k(a+ b)+ m)= (2n+ 1)2s2.

Это выражение является квадратом натурального числа $(2n+ 1)s.$

Для целочисленности $c$ и $d$ требуется, чтобы числители в выражениях для $c$ и $d$ делились на 2. Поскольку $2 (2n+1) (a − b)$ имеет ту же чётность, что и $a− b,$ а $a+ b$ фиксировано, условие выполняется для всех целых $n.$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#30989Максимум баллов за задание: 7

Найдите все действительные числа $a,$ для которых существуют три различных действительных числа $x,y,z,$ таких что

1 1 1 a= x+ y = y+ z =z+ x

Источники: Всесиб-2021, 11.3 (см. sesc.nsu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h

Подсказка 2

У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.

Подсказка 3

А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.

Подсказка 4

Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!

Показать ответ и решение

Первое решение.

Из условия $1 1 x + y = y+ z$ получаем

y− z x − y =-zy--

Аналогично (в силу цикличности равенств) $y− z = z−zxx ,z− x= x−xyy .$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(x− y)(y− z)(z− x)= (x−-y)(y−-z)(2z−-x) (xyz)

С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на $(x− y)(y− z)(z− x)⁄= 0:$

(xyz)2 = 1 ⇐ ⇒ xyz = ±1

Из условия $a =x + 1y = y+ 1z$ получаем

a⋅a= (x + 1)⋅(y+ 1)= 1+ xy+ x+ 1-= 1+ x(y + 1+ -1-) y z z yz z xyz

a2− 1= x(a ±1)

Аналогично (в силу цикличности равенств) $a2 − 1= y(a±1),a2 − 1 =z(a± 1).$

После перемножения полученных трёх равенств имеем

(a2− 1)3 =±1 ⋅(a± 1)3

Этому равенству не могут удовлетворять значения $a,$ отличные от $± 1,$ поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли $a= 1,a= −1.$

При $a= 1$ существует удовлетворяющая условиям задачи тройка $1 (2,2,−1),$ а при $a =− 1$ можно взять $1 (−2,−2,1).$ Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.

Второе решение.

Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:

2 a =x + 1=⇒ x= a− 1 = ay− 1, z = a− 1= a−-y--= a-y−-y− a y y y x ay− 1 ay− 1

Наконец:

a= y+ 1= y+ --ay− 1--⇐⇒ a3y− ay− a2 =a2y2− y2 − ay+ ay− 1 z a2y− y − a

Получаем:

(a2− 1)(y2− ay+ 1)= 0

Тогда либо $a2 =1,$ либо $a= y+ 1y.$ Последнее невозможно, ведь по условию $a= x+ 1y$ и получаем $x= y$ — противоречие с условием.

Осталось проверить $a= ±1.$

Зафиксируем $y,$ тогда из ранее полученного

x = ay− 1 y

z = a2y−-y−-a=-−-a- ay− 1 ay− 1

1 1 a =y +z = y− y + a

Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку $(x,y,z),$ но нами получен общий вид $ay− 1 −a (-y-,y,ay−1)$ в зависимости от $y$ при учёте $a =±1.$

Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.

Допустим, что $x= y.$ Тогда

x = ax− 1 x

x2− ax +1 =0

D =a2− 4= −3 <0

То есть такого быть не может. Остальные два равенства $y =z$ и $x =z$ проверяются (что они невозможны) аналогично.

Ответ:

{ $− 1$ ; $1$ }

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#42117Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что неравенство $2a4+ 2b4 ≥ ab(a +b)2$ выполняется для любых чисел $a$ и $b$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте раскроем скобки в правом выражении и посмотрим на неравенство. В нем везде степени 4. Хочется воспользоваться известными неравенствами...

Подсказка 2

Умножьте обе части на 4, вдруг можно разбить как-то слагаемые в левой части так, чтобы легко было применить пару неравенств о среднем арифметическом и среднем геометрическом?)

Подсказка 3

Попробуйте представить левую часть в виде (a⁴+b⁴+b⁴+b⁴) + (b⁴+a⁴+a⁴+a⁴) + 4(a⁴+b⁴) :)

Показать доказательство

Первое решение.

2a4+ 2b4− a3b− ab3− 2a2b2 = a4+ b4 − 2a2b2 +a4− a3b +b4− b3 = (2 2)2 ( 3 3) ( 2 2)2 2( 2 2) = a − b + a − b (a− b)= a − b +(a− b) a + ab +b ≥0

так как все слагаемые неотрицательны. Из неравенства следует доказываемое утверждение.

Второе решение.

По неравенству о средних

(a4+ b4+ b4+b4)+ (b4+ a4+a4+ a4)+4(a4 +b4)≥4ab3+ 4b3a+ 8a2b2

4 4 3 22 3 8(a + b)≥ 4ab +8a b+ 4ab

4 4 2 2 2(a + b)≥ ab(a + 2ab +b )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#42261Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что $x2+ y2 <z2$ , если $x2+y2+ xy+ yz+ zx <0$ .

Источники: Муницип - 2021, 11 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похожа наша сумма из условия? На полный квадрат (x + y + z)^2. Правда z^2 не хватает, из-за чего нет симметрии. Но ведь мы можем написать что-то в духе z^2 - z^2 и раскидать эти зетки по разные стороны от знака. К тому же, если мы как-то хотим работать с полным квадратом суммы переменных, нам надо умножить все это на два, потому что перед всеми попарными произведениями должен стоять коэффициент 2.

Подсказка 2

После всех этих операций, у нас получится выражение (x + y +z)^2 + x^2 + y^2 - z^2 < 0. А вот и наше выражение вылезло. Что теперь можно сказать, чтобы получить требуемую оценку на x^2 + y^2?

Подсказка 3

Верно, нужно перенести квадрат в правую часть и поскольку это квадрат, сказать, что наше выражение x^2 + y^2 - z^2 < -(x + y + z)^2 <= 0. Откуда и получаемое требуемое в задаче.

Показать доказательство

Умножим обе части неравенства $x2+y2+ xy+ yz+zx <0$ на 2 и выполним преобразования: $2 2 2 2 2 2 2 2 2x +2y + 2(xy+ yz+ zx)= x + y +z + 2(xy +yz+ zx)+x + y − z$ $2 2 2 2 = (x+y +z) + x +y − z < 0.$ Тогда $2 2 2 2 x + y − z < −(x+ y+ z) ≤ 0.$ Следовательно, $2 x +$ $2 2 y − z < 0$ и $2 2 2 x +y < z .$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#47043Максимум баллов за задание: 7

Число

1 0 −1 −2 −2021 x =2 + 2 + 2 +2 + ...+ 2

Найдите значение выражения

∘2x-+-4√2x-− 4-+∘2x-−-4√2x-− 4.

Источники: Ломоносов-2021, 11.2 (см. olymp.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что не нравится в этой задаче, — это то, чему равен x. С такой суммой нельзя нормально работать, надо её как-то посчитать. Попробуйте выделить в ней знакомую нам сумму геометрической прогрессии, которую можно посчитать по формуле.

Подсказка 2

Конкретно, вынесите 2⁻²⁰²¹. Теперь обратим внимание на само выражение. Такое количество корней — это неприятно, выделить полные квадраты в них не получается. Как тогда уменьшить число корней?

Подсказка 3

Ну конечно, надо возвести это выражение в квадрат. Тогда останется всего один корень, который тоже можно убрать! При записи ответа надо только не забыть, что искомое выражение неотрицательно

Показать ответ и решение

Число