Классические неравенства → .04 Оценки в классических неравенствах

Подсказка 1

Заметим, что если сложить все числители, то получится a + b + c + d. Как можно огрубить знаменатели, чтобы дроби сложились и все сократилось?

Подсказка 1

Рассмотрим первую дробь. Если в числителе за скобки вынести b, то останется a + 1. А хотелось бы, чтобы осталось b + 1, и все сократилось. Можно ли как-то этого добиться?

Подсказка 2

Можно! С условием a ≤ b можно огрубить с учетом ab + a ≤ ab + b. Тогда дробь сократится! А можно ли в остальных дробях действовать аналогично?

Подсказка 1

Попробуем применить метод огрубления. Для этого придется в начале упорядочить числа. Однако, если перебирать все случаи, то их будет целых 6. Можно ли как-нибудь упростить перебор?

Подсказка 1

Попробуем для начала сделать одинаковыми знаменатели. Какое условие можно для этого использовать?

Подсказка 1

Попробуйте придумать несколько примеров.

Подсказка 2

Нам подойдут, например, (1;1;1), (1;1;2), (1;2;6;2;1). Какие полученные натуральные числа будут для них наибольшими?

Подсказка 3

1, 2 и 3 соответственно. Давайте попробуем доказать, что нельзя получить результат, больший 3.

Подсказка 4

Давайте предположим противное: пусть есть расстановка с отношением хотя бы 4. Попробуйте записать это в общем виде.

Подсказка 5

Пусть мы записали числа a₀, … , aₙ₋₁. Тогда без потери общности мы поделили a₀ на √(aₙ₋₁a₁) и получили хотя бы 4. Какой вывод можно сделать?

Подсказка 6

Одно из чисел корня должно быть хотя бы в 4 раза меньше a₀! Пусть это будет a₁. Попробуйте рассмотреть некоторую последовательность.

Подсказка 7

Пусть xᵢ = aᵢ / aᵢ₊₁. Чему равно произведение всех xᵢ?

Подсказка 8

Оно равно 1. Что это значит?

Подсказка 9

Найдется некоторый xᵢ, меньший 1. Значит, найдется такое j, что xⱼ ≤ 3.

Подсказка 10

Попробуйте доказать, что xⱼ = 3.

Подсказка 11

Для этого можно пойти от противного и предположить, что s — ближайшее целое число к √(aₙ₋₁a₁). Надо будет составить несколько неравенств и получить желаемое.

Подсказка 12

Теперь попробуйте оценить отношение x₀ / xⱼ.

Подсказка 13

Для этого стоит понять, чему равно xₜ / xₜ₊₁.

Подсказка 14

Цепочкой неравенств Вам надо оценить бесконечную геометрическую прогрессию конечной и получить противоречие.

Подсказка 1

Нужно как-то прийти к корням, причем необычной степени…нам известна сумма всех чисел, а также сумма всех чисел, но с какими-то множителями… Попробуем выцепить из всех чисел группу каких-то больших, у которых указанная в условии сумма с корнями будет точно больше 1000.

Подсказка 2

Попробуем отделить от всех чисел такие, что a_m > 1/2^m. Что можно сказать про сумму этих чисел и про сумму этих чисел, но в произведении с корнями?(какие даны в условии)

Подсказка 3

Их сумма хотя бы 2022, а корни можно связать с 1/2)

Подсказка 1

Если мы бегло посмотрим на условие, то сразу поймем, что приводить к общему знаменателю здесь это очень плохой вариант. В таких случаях бывает полезно оценить каждое слагаемое по отдельности. К тому же мы видим, что они достаточно похожи, возможно, придумав, как оценить одну дробь, мы сразу поймем, как оценить остальные.

Подсказка 2

Давайте внимательно посмотрим на первую дробь. Понятно, что с числителем тут ничего не сделаешь. А вот в знаменателе у нас есть тут целых два квадрата, стоит попытаться выделить полный квадрат. Подумайте, как нам может в этом помочь условие, что a+b+c=1.

Подсказка 3

Давайте в выражении 3a²+b²+2ac представим 3a² как a² + 2a², тогда можно будет вынести общий множитель из 2ac и 2a². Что можно подставить вместо a+c и как при этом будет выглядеть оценка на 3a²+b²+2ac?

Подсказка 4

Если вместо (a+c) подставить (1-b), то после выделения полного квадрата станет понятно, что 3a²+b²+2ac >= 2a. Используя это знание, оцените всю дробь целиком, остальные дроби суммы и саму сумму.

Подсказка 1

Положительность х и у, скорее всего, нужна для перемножения без смены знака, а вот ограниченность единицей — это удобно, поскольку мы заключаем, что 1-x и 1-y также лежат от 0 до 1. Попробуйте применить полученные наблюдения.

Подсказка 2

Первое, что разумно сделать — это равноправно (в смысле принадлежности отрезку) заменить (1-x) на а, а (1-y) на b. Тогда упростится неравенство, которое надо доказать и, более того, также останутся верными факты про то, что и ab ≥ 0 и 1 + ab ≥ a + b (как очевидное следствие (1 - a)(1 - b) ≥ 0). Судя по двум последним неравенствам, нам надо как-то оценить дробь. Ну а значит, оценить либо числитель, либо знаменатель.

Подсказка 3

Числитель можно оценить как a + b - ab. Теперь уже у нас уже при домножении на знаменатель обе части уравнения зависят от суммы и произведения a и b, без свободных коэффициентов. После преобразования получим неравенство (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab. Единственное, что здесь не нравится нам — это ab + 1, так как опять же свободный коэффициент. Давайте тогда оценим как-то ab + 1.

Подсказка 1

Слева у нас четвертые степени (иными словами, квадраты каких-то величин). На какое классическое неравенство нам намекает сумма трех квадратов?

Подсказка 2

Вспомните неравенство x² + y² + z² ≥ xy + yz + xz. Как мы можем его применить в нашем доказательстве?

Подсказка 1:

Попробуйте оценить каждое слагаемое некоторым выражением так, чтобы сумма выражений равнялась нулю.

Подсказка 2:

Понятно, что хочется оценить корни. Также ясно, что так просто оценить не получится, потому что оценка будет работать по-разному в зависимости от знака разности переменных.

Подсказка 3:

Попробуйте сравнить первое слагаемое в левой части с x² – y² при x ≥ y и при x < y.

Подсказка 1

Для начала, давайте попробуем понять какой ответ, хотя бы на пальцах. Если мы увеличиваем х, то увеличивается значение, которое зависит от х, и в числителе, и в знаменателе, но при этом в числителе у нас степень функции больше трех, то есть, при х > 1 у нас числитель растет быстрее чем знаменатель. Все, что меньше единицы не очень понятно, но если мы верим в светлое будущее(то есть верим, что ответ достигается при х > 1) то нам надо посмотреть, чему равно значение дроби на всех двойках. И мы получим предполагаемый ответ. Теперь, когда мы знаем(а вернее - верим) в каких точках достигается ответ, то можно попробовать оценить как-то слагаемое в числителе, чтобы степень получившегося многочлена была равна 2(чтобы вероятно сократить с знаменателем), и при этом наша оценка достигалась именно в точке 2.

Подсказка 2

Корень можно оценить как <=2, так как х<=2(как раз в этой точке и достигается равенство). Второй множитель тогда можно оценить через 2х^2 - 6(опять же, равенство достигается в точке 2). Тогда, всю дробь можно оценить через (4(x^2 + y^2 + z^2) - 36)/(x^2 + y^2 + z^2). Ну а это уже достаточно легко оценить, зная, что все переменные меньше или равны 2.

Подсказка 3

Верно, выходит дробь 4 - 36/(x^2 + y^2 + z^2) <= 4 - 36/12 = 1. То есть, у нас есть оценка на дробь и при этом, мы так проводили неравенства, что каждое равенство в них достигалось в точке, в которой достигается итоговая оценка. Значит, у нас точно есть пример в котором это неравенство достигается. Запомните эту очень важную мысль, если у вас уже есть ответ и вы знаете в каких точках достигается равенство, то можно попробовать оценивать некоторые выражения, которые у вас есть так, чтобы равенство достигалось именно в той точке, где достигается равенство в изначальном выражении. Этот метод часто встречается на олимпиадах ИТМО, СПбГУ и других.

Подсказка 1

Доказать классическое неравенство существует достаточно способов, но при переменных, заданных промежутком, можно отдельно пооценивать разные части выражения.

Подсказка 2

Рассмотрим первую дробь: в ее числителе сумма двух переменных, не превосходящих единицу, следовательно, их сумма не превосходит 2.

Подсказка 3

Перейдем к знаменателю! Здесь тоже сумма! Ваша очередь оценивать!

Подсказка 4

Теперь дробь целиком! Числитель не больше двух, знаменатель - трёх, значит, дробь не превышает 2/3.

Подсказка 5

Аналогичная оценка работает на других слагаемых нашего выражения: если каждое из них не превосходит 2/3, то их сумма не превосходит 2!

Подсказка 1

Приводить дроби к общему знаменателю как-то не очень хочется… Поэтому давайте вспомним, а что происходит с дробью, если уменьшить её знаменатель?

Подсказка 2

Верно, сама дробь увеличивается! Теперь осталось придумать, а как нам можно красиво преобразовать знаменатель, чтобы дробь не увеличилась?(подумайте, на что поменять единицу)

Подсказка 3

Да, в первой дроби можно заменить единичку на a, а во второй дроби на b! В таком случае знаменатель точно не увеличится, то есть само выражение точно не уменьшится. Таким образом мы получили оценку сверху, с помощью которой можно показать истинность исходного неравенства!

Подсказка 1

Разумно было бы оценить каждую дробь по отдельности. Посмотрим на ab/(a+b). Каким же неравенством можно связать числитель и знаменатель?

Подсказка 2

Конечно, a+b ≥ 2√ab! Но в таком виде им не очень удобно пользоваться. Давайте возведем обе части в квадрат: (a+b)² ≥ 4ab. Нам нужна оценка выражения ab/(a+b). Как нам получить ее из нашего неравенства?

Подсказка 3

Можно поделить обе части на 4(a+b): (a+b)/4 ≥ ab/(a+b). Аналогично можно оценить остальные дроби. Оцените сумму наших дробей и радуйтесь жизни!

Подсказка 1

Кажется, что неравенства о средних нам здесь не очень пригодятся. Давайте попробуем помечтать: что можно изменить в этом неравенстве, чтобы оно стало очевидным?

Подсказка 2

Вот если бы во всех знаменателях стояли x+y+z, то наше неравенство обратилось бы в равенство и ничего не надо было бы доказывать. Может тогда стоит доказать, что изначальные знаменатели были побольше чем x+y+z...

Подсказка 3

Действительно, т.к. 0 ≤ x, y, z ≤ 1, то 1+y+z ≥ x +y +z, а следовательно x/(1+y+z) ≤ x/(x+y+z). Сделайте тоже самое с остальными дробями и завершите решение!