Тема АЛГЕБРА

Классические неравенства → .02 Правильная замена и преобразование выражений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела алгебра

Разделы подтемы Классические неравенства

Раскрытие и закрытие скобок

Правильная замена и преобразование выражений

Неравенство о средних

Оценки в классических неравенствах

Неравенство КБШ для наборов, КБШ для дробей (неравенство Седракяна)

Идеи метода Штурма

Транснеравенство

pqr-метод

Неравенства Мюрхеда и Шура

Метод отделяющей касательной

Неравенство Гёльдера

Неравенство Йенсена

Использование производной и экстремумов в классических неравенствах

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#85997Максимум баллов за задание: 7

Вещественные числа $a,b,c,d$ удовлетворяют равенствам $a+ b+c+ d= 6,a2+ b2+ c2+ d2 = 12$ . Докажите, что

3 3 3 3 4 4 4 4 36≤ 4(a + b +c + d)− (a +b + c+ d )≤48

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте переписать выражение, которое нам нужно оценить, как сумма четвертых степеней линейных многочленов от каждой из переменных + линейная комбинация выражений a + b + c + d и a² + b² + c² + d².

Подсказка 2

Если не получается выразить, то попробуйте сделать замену x = a - 1, y = b - 1, z = c - 1, t = d - 1 и записать это выражение через x, y, z, t + константа(которая появляется из условия).

Подсказка 3

Исходное выражение переписывается, как -(x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴) + 52. Поэтому достаточно научится оценивать x⁴ + y⁴ + z⁴ + t⁴. Для этого на самом деле нужно оценить это выражение с двух сторон, используя выражение x² + y² + z² + t², но еще стоит его вычислить. Чему же оно равно?

Показать доказательство

Заметим, что

3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4(a +b + c+ d )− (a + b+ c + d)= −(a− 1) − (b− 1) − (c− 1)− (d− 1) +

2 2 2 2 4 4 4 4 +6(a + b+ c + d)− 4(a+ b+ c+d)+ 4= −(a− 1) − (b− 1) − (c− 1) − (d − 1)+

+6⋅12− 4 ⋅6 +4= −(a− 1)4− (b− 1)4− (c− 1)4− (d− 1)4+ 52

Сделаем замену $x= a− 1,y =b− 1,z = c− 1,t= d− 1.$ Тогда

x2+y2+ z2+ t2 = a2+ b2+c2+ d2− 2(a+ b+c+ d)+4 =4

а нам требуется доказать неравенства

52− 48 ≤x4+ y4+ z4 +t4 ≤ 52− 36

Первое неравенство верно, поскольку

x4+ y4+ z4 +t4+4 ≥2(x2+ y2 +z2+ t2)= 8

Второе неравенство верно, поскольку

x4+ y4+ z4 +t4 ≤ (x2+ y2+ z2 +t2)2 = 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#90109Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

---a---- ----b--- ---c---- 2a+ b+c +2b+ c+ a + 2c+a +b <1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте вспомнить базовые свойства дробей, за счёт чего дробь можно сделать больше, за счëт чего - меньше. Как это применить к задаче?

Подсказка 2

С одной дробью работать гораздо легче, чем с суммой трёх. Однако дроби из условия складывать трудно. Подумайте, как с помощью подсказки 1 их упростить, чтобы стало проще.

Подсказка 3

У всех трёх дробей очень похожие знаменатели, близкие к числу a + b + c. Представьте, что все знаменатели равны a + b + c. Насколько легче стала задача и как связать еë с изначальной?

Показать доказательство

При уменьшении знаменателя значение дроби увеличивается, поэтому

---a---- ---b---- ----c--- ---a--- ---b--- ---c--- a+-b+-c 2a +b+ c + 2b+c +a +2c+ a+ b < a+ b+ c + b+c+ a +c+ a+ b = a+ b+ c = 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#90110Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для положительных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

---2a--- ---3b--- ---5c--- a+3b+ 4c + 2a+ b+5c + a+ b+ c > 1

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Подсказка 3

У всех трёх дробей очень похожие знаменатели, близкие к числу 2a + 3b + 5c. Представьте, что все знаменатели равны 2a + 3b + 5c. Насколько легче стала задача и как связать еë с изначальной?

Показать доказательство

При увеличении знаменателя дробь уменьшается, тогда справедливо следующее неравенство:

---2a--- ---3b--- ---5c-- ----2a--- ----3b--- ----5c--- a+ 3b+4c + 2a+ b+ 5c +a +b+ c > 2a+ 3b+5c +2a+ 3b+5c +2a+ 3b+ 5c =1

Что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#90111Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых неотрицательных чисел $a,b$ и $c$ выполняется неравенство

--a+-1-- --b+1-- --c+-1-- -1-- -1-- -1-- ab+ a+ 1 + bc+b+ 1 + ca+ c+1 ≥ a+ 1 + b+ 1 + c+1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подсказка 2

Итак, знаменатели надо увеличить, но как? Подумайте, как связаны, например, выражения a + 1 и ab + a + 1 или похожие на них

Подсказка 3

Действительно, можно записать следующее равенство ab + a + b + 1 = (a + 1)(b + 1). Тогда нужно прибавить по одной соответствующей переменной к каждому знаменателю, чтобы получить желаемое. Осталось понять, почему мы решили задачу.

Показать доказательство

Чем больше знаменатель, тем меньше дробь, поэтому

--a+-1-- --b+1-- --c+-1-- ---a+-1--- ---b+-1--- ---c+-1--- ab+ a+ 1 + bc+b+ 1 + ca+ c+1 ≥ ab+a +b+ 1 + bc+b +c+ 1 + ca+ c+a+ 1 =

a +1 b+1 c+1 1 1 1 =(a+-1)(b+-1) + (b+-1)(c+-1)-+(c+-1)(a+-1) = a+-1 + b+1-+ c+1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#93772Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,y$ и $z$ таковы, что $x2+ y2 +z2 = 1.$ Докажите, что

xy yz- zx- √- z + x + y ≥ 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выражения вида xy/z сложно назвать приятными — приведение к общему знаменателю не даст ничего хорошего, в том числе по той причине, что это не позволяет воспользоваться условием на сумму квадратов. Какую замену в этом случае можно сделать?

Показать доказательство

Выполним замену $a = xy,b= yz,c= zx. z x y$ Тогда $x= √ac,y = √ab,z =√bc,$ следовательно,

2 2 2 x + y + z =ab+ bc+ca= 1

Тогда, поскольку $a2+ b2 +c2 ≥ ab+bc+ ca,$ имеем

(xy yz- zx)2 2 2 2 2 z + x + y = (a +b+ c) =a + b +c + 2(ab+ bc +ca)≥3(ab+bc+ ca)= 3

что влечет требуемое неравенство.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#93774Максимум баллов за задание: 7

Сумма положительных чисел $a,b,c,$ меньших $1,$ равна $2.$ Докажите неравенство

-a-- --b- --c- 1− a ⋅1 − b ⋅1 − c ≥8

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Условие a+b+c=2 сложно назвать хорошим. Обычно приятно работать с 3 переменными, сумма которых равна 1 или 3. В первом случае - мы можем домножать любую из частей неравенства на a+b+c, при этом вторая часть останется неизменной (например, чтобы добиться однородности), во втором случае - среднее арифметическое набора из этих чисел равно 1, что часто оказывается довольно приятным наблюдением. Какую замену можно сделать, чтобы сумма новых переменных была равна 1, а вид неравенства поменялся не сильно.

Показать доказательство

Введем замену $x= 1− a,y = 1− b,z =1 − c$ и заметим, что $x+ y+ z = 1.$ Предположим, что доказываемое неравенство неверно, тогда оно имеет вид

(1− x)(1− y)(1− z) <8xyz

1− (x +y+ z)+ (xy+ yz+ zx)− xyz < 8xyz

xy+ yz+ zx <9xyz

Наконец, имеем неравенство

1 + 1+ 1< 9 x y z

которое неверно, ведь в силу неравенства КБШ для дробей

2 1+ 1 + 1 ≥ (1-+1+-1)-= 9 x y z x+ y+z

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#93775Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых чисел $x,y,z$ из отрезка $[1,4]$ выполнено неравенство

(4x− y)(4y− z)(4z− x)≤ 27xyz

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Поделите неравенство на xyz. Теперь, если пойти от обратного, то вы получите следующее (4-y/x)(4-z/y)(4-x/z) > 27. Сделайте замену y/x=a, z/y=b, x/z=c. Попробуйте решить задачу после этой замены. Подумайте, как применить, что изначальные числа были из [1:4].

Подсказка 2

Поймите, что 12-a-b-c>9, abc=1. Скомбинируйте эти факты и получите решение задачи.

Показать доказательство

Предположим, что данное неравенство неверно. Тогда для некоторых $x,y,z ∈[1,4]$ верно неравенство

(4x− y)(4y− z)(4z− x)> 27xyz

Разделим обе части неравенства на $xyz.$

y z x (4− x)(4− y)(4− z)> 27

Сделаем замену $y z x x =a,y =b,z = c.$ Заметим, что $abc= 1.$ Все скобки неотрицательны, так как исходные числа лежат в отрезке $[1,4].$ По неравенству о средних

∘ --------------- 12−-a3− b−-c≥ 3(4− a)(4 − b)(4− c)>3

a+-b+c-<1 3

С другой стороны, по неравенству о средних, $a+b3+c≥ 3√abc= 1.$ Противоречие. Значит, исходное неравенство верно для всех $x,y,z ∈[1,4],$ что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#96365Максимум баллов за задание: 7

Для положительных чисел $x,$ $y,$ $z$ докажите неравенство

2 2 2 10x + 10y +z ≥ 4(xy +yz+ zx)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте рассмотреть это неравенство как неравенство от одной переменной.

Подсказка 2

Итак, какую переменную ни взять как основную, это всегда будет квадратный трëхчлен. А в каких случаях он не меньше 0?

Показать доказательство

Посмотрим на это как на неравенство относительно $z :$

2 2 2 z − 4(x +y)z+ 10x + 10y − 4xy ≥ 0

Дискриминант равен $16(x+ y)2− 40x2− 40y2+ 16xy = −24(x− y)2.$ Видим, что он неотрицателен, а значит, квадратный трёхчлен принимает только неотрицательные значения, что и требовалось.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#74615Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при положительных числах $a,b$ и $c$ выполнено неравенство

1 1 1 -1- -1- -1- a + b +c ≥ √ab + √bc + √ca

Подсказки к задаче

Подсказка 1

У нас в условие дроби и корни, что может быть хуже... А может нас хотят запугать и на самом деле это неравенство легко доказывается? Похоже, что можно сделать замену, которая значительно упростит нам жизнь...

Подсказка 2

Давайте сделаем замену x = 1/√a, y = 1/√b, z = 1/√c. Тогда наше неравенство превращается в x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx. Может оценим каждое слагаемое из правой части по отдельности?

Подсказка 3

Можно оценить их по неравенству о средних: xy ≤ (x²+y²)/2. Попробуйте так же оценить yz и zx и доказать неравенство!

Показать доказательство

Сделаем замены $x= √1,y = √1,z = √1. a b c$ Неравенство примет вид:

2 2 2 x + y + z ≥xy +xz+ yz

Это неравенство довольно известное, чтобы его доказать, надо домножить его на $2,$ перенести всё влево и выделить полные квадраты:

2 2 2 (x− y) +(y− z) + (z− x) ≥ 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#75854Максимум баллов за задание: 7

Действительные числа $a,b,c,d$ , по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению

abc +abd+acd+ bcd+ a+ b+ c+d =0

Докажите, что

--1-+ --1-+ --1-+ --1-> 0 a− 1 b− 1 c− 1 d− 1

Показать доказательство

Пусть $x = a+1,y = b+-1,z = c+-1,t= d-+1. a− 1 b− 1 c− 1 d − 1$

Поскольку модули чисел $a,b,c,d$ больше единицы, числа $x,y,z,t$ положительны и не равны $1.$ Равенство из условия влечет

(a+ 1)(b+1)(c+ 1)(d+ 1)= (a− 1)(b− 1)(c− 1)(d− 1)

или $xyzt= 1.$ Из равенства $-1-- x−-1 a− 1 = 2$ и аналогичных получаем, что

1 1 1 1 x+ y+z +t− 4 a-− 1 + b− 1-+c-− 1 +d-− 1 =--2------

Таким образом, надо доказать, что $x +y+ z+ t> 4.$ Поскольку $xyzt=1,$ но числа $x,y,z,t$ отличны от единицы, среди них есть различные. Наконец, по неравенству между средним арифметическим и геометрическим

∘---- x +y +z+ t> 44xyzt= 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#75856Максимум баллов за задание: 7

Про положительные числа $a,a ,...,a 1 2 6$ известно, что $a + a +a − a − a − a = 3 1 2 3 4 5 6$ , и $a2+ a2+ ...+ a2 =9. 1 2 6$ Докажите, что $a1a2...a6 ≤ 1.$

Показать доказательство

Выполним замену $x =a − a ,y =a − a ,z =a − a . 1 4 2 5 3 6$ Тогда

a1+a2 +a3− a4− a5− a6 = (a1− a4)+(a2− a5)+ (a3 − a6)= x+y +z =3

2 2 2 a1+a2+ ...+ a6− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)= 9− 2(a1a4+ a2a5+a3a6)

(a − a )2+(a − a)2+ (a − a )2 = 9− 2(a a + aa + a a) 1 4 2 5 3 6 1 4 25 36

x2 +y2+ z2 = 9− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)

По неравенству между средним квадратичным и геометрическим верно, что

∘ ---------- x2+-y2+-z2 x+-y+z- 3 ≥ 3

после возведения каждой из частей неравенства в квадрат и домножения на $3$ имеем

(x+ y+z)2 32 x2+ y2 +z2 ≥----3----= -3 =3

следовательно,

9− 2(a1a4 +a2a5+a3a6)≥3

то есть

a1a4+a2a5+ a3a6 ≤ 3

Осталось заметить, что по неравенству между средним арифметическим

√3---------- a1a4+ a2a5+ a3a6 ≥3 a1a4a2a5a3a6

после сокращения на $3,$ получим требуемое.

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#75966Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $x,...,x 1 n$ таковы, что $x ...x = 1. 1 n$ Докажите, что

----1----- -----1---- -----1----- 1+x1 +x1x2 + 1+ x2+x2x3 + ...+ 1+ xn+ xnx1 ≥ 1

Показать доказательство

Увеличим знаменатели дробей следующим образом. В знаменатель первой дроби добавим слагаемые $x xx + x xx x + ...+ xx ...x , 1 23 1 23 4 12 n−1$ в знаменатель второй — $x2x3x4 +x2x3x4x5+ ...+ x2x3 ...xn− 1+x2x3...xn−1xn,$ в знаменатель третьей — $x3x4x5+x3x4x5x6 +...+ x3x4...xn−1+ x3x4...xn +x3x4...xnx1$ и так дальше. То есть в каждое следующее слагаемое добавляем следующую переменную по циклу, пока в знаменателе не будет $n$ слагаемых.

Обозначим первую дробь через $M.$ Заметим, что вторая дробь равна $x1M,$ третья — $x1x2M,...,n$ -я — $x1x2...xn−1M.$ Тогда их сумма равна $(1+ x1 +x1x2+ ...+x1x2...xn−1)M =1.$ Увеличивая знаменатели, мы уменьшаем левую часть, то есть неравенство доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#91242Максимум баллов за задание: 7

Найдите наименьшее возможное значение выражения

-c−-b--- ---2b--- ---4c--- a+2b+ c + a+ b+2c −a +b+ 3c

при положительных $a,b,c$ .

Источники: ДВИ - 2023, вариант 234, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Работать с суммой дробей, в знаменателях которых стоят суммы, не очень удобно. Что можно сделать, чтобы в знаменателях были одночлены?

Подсказка 2

Заменим знаменатели на x, y, z и выразим через них числители. Что можно сделать с полученным выражением, чтобы его упростить?

Подсказка 3

Разобьем дроби и рассмотрим пары вида x/y и y/x. С помощью какого неравенства можно оценить их сумму?

Подсказка 4

С помощью неравенства о средних! Осталось лишь понять, в каких случаях достигается равенство, и найти такие a, b, c ;)

Показать ответ и решение

Положим

x= a+ 2b+c, y = a+b+ 2c, z = a+ b+3c

Тогда $x,y,z$ также положительны,

c= z− y, b= x+ z− 2y, c− b= y− x

и исходное выражение переписывается как

--c− b--+---2b---− ---4c----= y-− x + 2x-+2z−-4y− 4z−-4y-= a+ 2b+c a +b+ 2c a+ b+3c x y z

y x z y −9+ x + 2y +2y +4z

В силу неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим

y + 2x≥ 2√2 и 2 z+ 4y≥ 4√2 x y y z

Причем равенства достигаются при $y = x√2$ и $z = y√2,$ то есть при

{ a+ b+ 2c=(a+ 2b+c)√2 a+ b+ 3c=(a+ b+ 2c)√2

Вычитая из второго уравнения первое, получаем $c=(c− b)√2,$ откуда $b√2= c(√2-− 1),$ то есть $c= b(2+ √2).$ Подставляя $c= b(2 +√2)$ в любое из двух уравнений, получаем $a(√2− 1)=b(3− 2√2 ),$ то есть $a= b(√2-− 1).$ Таким образом, например, при $a =√2-− 1, b=1, c=2 +√2-$ равенства $y = x√2$ и $z = y√2$ имеют место и, стало быть, исходное выражение достигает своего наименьшего значения $− 9+2√2 +4√2-= 6√2-− 9.$

Ответ:

$6√2 − 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#91247Максимум баллов за задание: 7

Положительные числа $a,b,c$ удовлетворяют соотношению

-1-- -1-- -1-- 1+ a + 1+ b + 1+ c = 1.

Найдите наибольшее возможное значение выражения

a b c 2+-a2 + 2+-b2 + 2+-c2.

Источники: ДВИ - 2023, вариант 233, задача 6 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала предлагаю предположить: при каких а, b и c будет достигаться максимум? Это предположение будет вам в дальнейшем ориентиром! А пока сделайте замену: х = 1/(1 + а), у = 1/(1 + b) и z = 1/(1 + c)

Подсказка 2

Выразите в новых переменных оцениваемое выражение, а что можно сказать про его первое слагаемое? Выделите из него целую часть и попробуйте оценить знаменатель и числитель остатка с учётом условия о положительности х.

Подсказка 3

Аналогично рассмотрите каждое из трёх слагаемых и сделайте вывод о сумме.

Показать ответ и решение

Пусть

-1-- -1-- --1- x = 1+ a, y = 1+ b, z = 1+ c.

Тогда $x +y +z = 1$ и

1− x 1− y 1− z a = -x--, b=-y--, c=--z-.

Теперь выразим каждую дробь из искомой суммы через новые переменные:

--a--= ---1−xx---= --x−-x2--= − 1+ --13x+-13--- 2+ a2 2+ (1−xx)2 3x2− 2x+ 1 3 3x2− 2x +1

Так как

( )2 3x2− 2x +1 =3 x− 1 + 2≥ 2, 3 3 3

то

1 1 − 1+ --3x+-3---≤− 1+ 1 (x+ 1) 1-= − 1+ 1 (x+ 1) 3 3x2− 2x +1 3 3 23 3 2

Складываем три неравенства и получаем оценку уже для всей суммы трёх дробей:

a b c 1 2-+a2 + 2+-b2 + 2+-c2-≤ −1+ 2(x+ y+ z+3)= −1+ 2= 1

Наибольшее значение достигается при $x= y = z = 13,$ то есть при $a= b= c= 2.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#107141Максимум баллов за задание: 7

Дано число $a ∈(0,1).$ Положительные числа $x , 0$ $x , 1$ $x, 2$ …, $x n$ удовлетворяют условиям

x0+ x1+...+xn = n +a

1-+ -1+ ...+ -1 =n + 1. x0 x1 xn a

Найдите наименьшее возможное значение выражения

2 2 2 x0+x1+ ...+ xn.

Источники: Всеросс., 2023, ЗЭ, 10.8(см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала попробуйте угадать ответ. Поможет его угадать условия на выражения. На самом деле достаточно найти самые тривиальные x_i для которых условие верно.

Подсказка 2

И правда ответ n + a². Теперь попробуйте переписать сумму квадратов x_i через сумму квадратов 1 - x_i для того, чтобы избавится от n в правой части.

Подсказка 3

Теперь нам достаточно доказать, что сумма квадратов (1 - x_i) больше, чем (1 - a)^2. Тут надо рассмотреть два случая. Попробуйте понять почему при x₀ ≤ a задача очевидна, где x₀ — минимальное из x_i.

Подсказка 4

Если же x₀ ≥ a, то попробуйте из каждого слагаемого вынести соответственное x_i и оценить его a.

Показать ответ и решение

Будем доказывать ответ $n+ a2.$ Заметим, что при $x =a 0$ и $x = x = ...= x = 1 1 2 n$ достигается равенство. Перепишем

∑ 2 ∑ 2 ∑ ∑ 2 xk = (1− xk) + 2 xk − (n+ 1)= (1 − xk) +n +2a− 1

Поэтому достаточно доказать, что

∑ 2 2 (1− xk) ≥(1− a)

Пусть $x0$ — наименьшее из чисел. При $x0 ≤ a$ имеем

∑ (1− xk)2 ≥ (1 − x0)2 ≥(1− a)2

Пусть $x0 ≥a,$ то

∑ ∑ ( 1 ) (1− x0)2 = xk x- − 2+ xk k

Так как $xk+ x1k ≥ 2,$ а значит, скобки из суммы неотрицательны. Следовательно,

∑ ( ) ∑ ( ) ( ) xk -1 − 2 +xk ≥a -1 − 2 +xk =a n+ 1− 2(n +1)+ n+ a = (1− a)2 xk xk a

Что и требовалось.

Ответ:

$n +a2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#131380Максимум баллов за задание: 7

Найдите наибольшее число $m$ такое, что для любых положительных чисел $a,b$ и $c,$ сумма которых равна 1, выполнено неравенство

∘ ----- ∘ ----- ∘----- -ab--+ --bc--+ --ca-≥ m. c+ ab a+ bc b +ca

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 9.9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1:

Попробуйте угадать максимальное m.

Подсказка 2:

Возьмите m = 1. Перед доказательством проделайте некоторые махинации со знаменателями, используя равенство a + b + c = 1.

Подсказка 3:

ab + c = ab + c(a + b + c) = (c + a)(c + b). Проделайте это со знаменателями. Далее сможете доказать вручную с помощью нескольких простых оценок.

Подсказка 4:

Осталось для m > 1 найти пример, при котором неравенство не выполнено. Пусть m = 1 + 2t, где t от 0 до 1 (если доказать это для 1 < m < 3, для других m это будет очевидно). Попробуйте как-нибудь грубо оценить каждое из слагаемых левой части сверху, чтобы из сумма получилась меньше 1 + 2t, то есть m.

Показать ответ и решение

Первое решение. Докажем сначала, что $m = 1$ удовлетворяет требованиям задачи. Заметим, что $ab+ c(a+ b+c)= (c+a)(c+ b).$ Следовательно,

∘----- ∘ ----- ∘ ----- ∘ ---------- ∘ ----------- ∘ ---------- -ab-+ -bc--+ --ca--= ----ab----+ ----bc----+ ----ca----= c+ab a+ bv b+ ca (c+ a)(c+ b) (a+ b)(a+c) (b+c)(b+ a)

√ab√a+-b+ √bc√b-+c+ √ca√c+-a = -----∘-(a+b)(b-+c)(c+-a)------

Значит, осталось доказать неравенство

√ab√a+-b+ √bc√b+-c+√ca√c-+a≥ ∘ (a-+b)(b+-c)(c+a)-

Возведем это неравенство в квадрат; оно примет вид

∘ ------------- ∘ ------------- ∘ ------------- ab(a+ b)+bc(b+ c)+ca(c+ a)+ 2 ab2c(a+ b)(b +c)+2 bc2a(b+c)(c+ a)+2 ca2b(c +a)(a+ b)≥

≥ a2b+ab2+ a2c+ ac2 +b2c+bc2+ 2abc

После сокращения слева останется сумма корней, а справа — $2abc.$ Но любой из корней не меньше, чем $abc;$ действительно, например,

∘------------- √------ ab2c(a+ b)(b+c)≥ ab2c ⋅ac= abc

Отсюда и следует требуемое.

Осталось доказать, что при любом $m > 1$ неравенство выполнено не всегда; достаточно это сделать при $1< m< 3.$ Пусть $m = 1+2t$ при $0 <t< 1.$ Положим $2 a= b= 1−2t-$ и $c= t2.$ Тогда $a +b+ c= 1,$ однако

∘----- ∘----- ∘ ----- ∘--- ∘ --- ∘--- --ab-+ -bc--+ -ca--< ab + ab+ ca-= 1+2t= m c+ ab a+ bc b+ ca ab ab b

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Приведём другое доказательство того, что $m= 1$ подходит. Для этого докажем, что если $a$ — наибольшее из чисел $a,b,c,$ то верно даже неравенство

∘----- ∘ ----- -ab-+ -ca--≥1 c+ab b+ ca

Обозначим $t= 1∕a,$ $μ= b∕c;$ заметим, что $1 1> a≥ 3,$ поэтому $1< t≤3.$ Левая часть неравенства выше переписывается как

∘ ----- ----- ∘ -------- ∘ -------- -ab--+∘ --ca--= ---1---+ ---1----= ∘--1---+ √-1--- c+ ab b+ ca 1+ c∕(ab) 1+ b∕(ac) 1+ t∕μ 1+ tμ

Значит, нам достаточно доказать, что

∘ ------ ∘----- ∘ ------∘----- 1+ t∕μ+ 1 +tμ≥ 1+t∕μ⋅ 1 +tμ

Возводя это неравенство в квадрат, получаем

∘------------- 1 +t∕μ+ 1+tμ+ 2 (1+ t∕μ)(1 +tμ)≥1 +t∕μ+ tμ +t2

после сокращения подобных слагаемых получаем, что нам достаточно доказать неравенство

∘ ------------- 2 2 (1 +t∕μ)(1+ tμ)≥ t − 1 =(t− 1)(t+ 1)

Наконец, это неравенство вытекает из неравенства $2≥ t− 1$ (поскольку $t≤3$ ) и

2 2 2 (1+t∕μ)(1+ tμ)= 1+ t +t(μ+ 1∕μ)≥ 1+ t+ 2t= (t+ 1)

где мы применили неравенство о средних.

Ответ:

$m = 1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#131388Максимум баллов за задание: 7

Даны ненулевые числа $a,b,c$ . Докажите, что выполняется неравенство

||b b|| ||c c|| ||a − c||+|a − b|+ |bc+ 1|> 1.

Источники: ВСОШ, РЭ, 2023, 11.9 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В левой части есть три модуля |b/a − b/c|, |c/a − c/b|, |bc + 1|. C последним работать удобнее. Можно ли провести замену так, чтобы первые два выражения имели вид, аналогичный |bc + 1|.

Подсказка 2

Пусть мы хотим из b/a − b/c = b(1/a − 1/c) получить bd + 1. Чему тогда должно равняться d?

Подсказка 3

Проведём замену: вместо a введём d = 1/a − 1/b − 1/c. Какой вид тогда имеет левая часть?

Подсказка 4

|bd + 1| + |cd + 1| + |bc + 1|. Что можно сказать о величинах этих модулей?

Подсказка 5

Правда ли, что среди произведений bd, cd, bc, хотя бы одно неотрицательно? Что это говорит о величине левой части неравенства?

Показать доказательство

Положим $d= 1− 1 − 1. a b c$ Теперь заметим, что

||b b|| ||c c|| ||a − c||+ |a − b|+ |bc+1|= |bd+ 1|+ |cd+ 1|+|bc+ 1|

Если $d= 0,$ то два из этих слагаемых равны 1, и тем самым сумма не меньше, чем 2. В противном случае числа $a,b,d$ отличны от нуля. Значит, какие-то два из них одного знака, а тогда их произведение положительно, и соответствующее слагаемое больше 1. Поскольку два других слагаемых неотрицательны, то общая сумма больше 1.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#74588Максимум баллов за задание: 7

Известно, что

3b> 9a +c> 0

Докажите, что

b2 > 4ac

Источники: Звезда - 2022 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте внимательно посмотрим на неравенство, которое нужно доказать. Где такое выражение чаще всего встречается? Попробуйте подумать в этом направлении.

Подсказка 2

Верно, это дискриминант квадратного трёхчлена с нужными коэффициентами. Тогда давайте рассмотрим трёхчлен ax^2 + bx +c. Как теперь можно переформулировать нашу задачу?

Подсказка 3

Ага, когда наше неравенство будет выполняться, многочлен будет иметь два корня. Тогда нужно просто проанализировать знаки трёхчлена в хороших точках. Какие это могут быть точки, учитывая неравенства, данные по условию?

Подсказка 4

Верно, попробуйте подставить точки 3 и -3 и посмотреть на знаки трёхчлена. Но не забудьте ещё проверить a=0, потому что в этом случае у вас не квадратный трёхчлен. В таком решении это важно.

Показать доказательство

Первое решение.

9a +c 2 (9a+ c)2 3b> 9a+ c> 0 ⇐⇒ b> -3--->0 =⇒ b > ---9---

Чтобы доказать $2 b > 4ac,$ хочется доказать $(9a+c)2 --9--≥ 4ac.$ Преобразуем это неравенство:

81a2 +18ac+c2 ≥ 36ac

2 2 81a − 18ac+c ≥ 0

(9a− c)2 ≥0

Верно, поэтому было верным и

2 b2 > (9a-+c)-≥ 4ac 9

Значит, $b2 >4ac.$

Второе решение.

Нам нужно доказать, что $b2− 4ac> 0,$ а это очень напоминает дискриминант, поэтому давайте придумаем квадратный трёхчлен с таким дискриминантом и докажем, что он имеет 2 корня. Очевидно, подходит $f(x)= ax2+bx+ c.$ Всегда ли мы можем рассматривать его дискриминант? Нет, в случае $a =0$ никакого дискриминанта нет, поэтому его надо рассмотреть отдельно — благо, тут всё просто и понятно, $3b> 0 =⇒ b2 > 0,$ а $4ac= 0,$ значит, $b2 >0 =4ac.$

Теперь рассмотрим случай, когда $a ⁄=0.$ В неравенстве из условия было $3b,$ поэтому давайте попробуем подставить 3 и -3.

f(3)= 9a+ 3b+c> 0, так как 3b> 0 и 9a+c >0

f(−3)= 9a − 3b+ c< 0, так как 3b>9a+ c

То есть квадратный трёхчлен принимает положительные и отрицательные значения, а значит, он имеет 2 корня! И его $D = b2 − 4ac> 0.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#74718Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что для любых положительных чисел $a$ , $b$ и $c$ имеет место неравенство $ab+ bc-+ ca-≥a +b+ c c a b$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем получить a, b, c с помощью слагаемых в левой части неравенства! Как это можно сделать?

Подсказка 2

Верно, заметим, что a² = ab/c * ac/b, остальные переменные выражаются также, только через другие слагаемые. В таком случае, какую замену хочется сделать?

Подсказка 3

Да, можно сказать, что x² = ab/c, y² = bc/a, z² = ac/b. Тогда, наше неравенство преобразуется в x² + y² + z² ≥ xy + xz + yz. Дальше остаётся выделить положительные слагаемые!

Подсказка 4

Из неравенства о средних мы знаем, что x²/2 + y²/2 ≥ xy

Показать доказательство

Сделаем замену $x= ∘-ab,y = ∘ bc,z = ∘ ca c a b$ . Тогда неравенство примет вид: