Счётная планиметрия → .09 Двойные отношения и гармонические четвёрки

Первое решение

Пусть — точка касания вписанной окружности и стороны . Заметим, что — поляра точки относительно вписанной окружности. Точка лежит на и а значит прямая — поляра точки относительно вписанной окружности. Пусть пересекает в точке . Тогда Проецируя из точки на прямую мы получаем, что Следовательно, точка лежит на поляре точки относительно описанной окружности. Поэтому поляра точки относительно вписанной и описанной окружности, а значит, по определению поляры и . Следовательно, точки лежат на одной прямой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение

— поляра точки относительно вписанной окружности следовательно будет лежать на поляре относительно — точка касания и — касательная к следовательно тоже лежит на поляре относительно Тогда — поляра относительно

Из теоремы Чевы для точки Жергона и из теоремы Менелая для и прямой получаем: Откуда следует, что Но т.к. еще и точка пересечения касательной из и то причем Но и Тогда точка лежит на симедиане угла Значит, проходит через точку пересечения касательных к описанной окружности в точках и Но через эту же точку и точку пройдет поляра относительно описанной окружности.

Получается, — одновременно поляра точки к описанной и вписанной окружностям треугольника А значит, и лежат на одной прямой.

Первое решение. Пусть — основание перпендикуляра из точки на прямую По свойству прямоугольного треугольника то есть прямые и антипараллельны в угле Осталось заметить, что является симедианой треугольника а значит, медианой для любого треугольника, третья сторона которого антипараллельна в указанном угле.

Второе решение. Обозначим через вторую точку пересечения прямой и а через — середину Касательные к в точках и пересекаются на прямой откуда следует, что четырёхугольник гармонический.

Делая проекцию четвёрки точек из точки на прямую получаем, что

Предпоследнее равенство следует из того, что касательная в точке к параллельна прямой так как она перпендикулярна диаметру как и прямая Значит, является серединой

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. Из доказанного факта следует, что точка Лемуана прямоугольного треугольника совпадает с серединой его высоты, проведенной из прямого угла.

Предположим, что прямые пересекаются в одной точке (возможно, бесконечно удалённой). Тогда

Докажем в обратную сторону. Предположим, что Пусть прямые и пересекаются в точке Тогда

Мы знаем, что по трём прямым и двойному отношению четвёртая прямая задаётся однозначно. Следовательно, так как прямые и совпадают, и прямые и совпадают, то и прямые и также совпадают.

(a)  Следовательно, Тогда или или функция принимает конкретное значение ровно в одной точке на прямой откуда следует, что

(b) 

(c) Мы знаем, что если то (аналогично, если поменять местами и точку местами). Поэтому можем возвести в квадрат выражение и с помощью замены получить, что Также Поэтому мы знаем, как изменяется двойное отношение при перестановке и точек(или и а также и точек. Такими операциями мы можем получить любую перестановку точек Нетрудными подсчётами получаем, что из операциями и мы можем получить числа

(a) Из свойств биссектрис получаем, что Следовательно, Но так как точки и различны, то

(b) Из симметрии картинки относительно получаем, что точки и лежат на одной прямой. Пусть лежит на общей касательной Тогда из подобия треугольников следует, что что является отношением радиусов данных окружностей. Аналогично можно показать, что отношение равно отношению радиусов данных окружностей. Следовательно, откуда следует, что так как точки и различны.

Обозначим наши точки через Сначала проведём через две произвольные прямые и Затем через проведём произвольную прямую Обозначим точки пересечения прямых как на рисунке ниже. Проведём прямые и до пересечений с другими прямыми и обозначаем точки как на рисунке. Осталось лишь провести прямую до пересечения с прямой в точке Теперь легко видеть, что четвёрка  — гармоническая по теореме о полном четырёхстороннике.

Обозначим через точку пересечения прямых и через  — точку пересечения прямых и Тогда по теореме о полном четырёхстороннике четвёрка точек гармоническая. Спроецируем эту четверку на прямую через точку Получим, что четвёрка точек гармоническая. Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через параллельно и четырёхугольника через и После проецирования четвёрки на через точку получаем, что четверка прямых  — гармоническая. Но тогда  — середина что и требовалось доказать

Известно, что четвёрка точек  — гармоническая. Тогда и четвёрка прямых  — гармоническая. Предположим, что не параллельно Обозначим соответствующую точку пересечения через Спроецируем четвёрку прямых на прямую Получим, что четверка точек  — гармоническая. Но  — середина тогда точка  — бесконечно удалённая. То есть Но тогда Но То есть а тогда треугольник

(a) Отметим на прямой точку такую, что и — биссектрисы причем одна из них — внешняя, а вторая — внутренняя. Это возможно, так как угол между ними Тогда двойное отношение Как известно, по значению двойного отношения и трём точкам однозначно восстанавливает четвёртая, следовательно, и совпадают, значит, — биссектриса угла

(b) Пусть биссектриса угла треугольника пересекает сторону в точке Заметим, что Покажем, что четверка точек является гармонической. Посмотрим на четверку прямых Известно, что такая четверка прямых является гармонической, но тогда и  — гармоническая четвёрка.

Докажем, что четверка прямых  — гармоническая. Пусть пересекает в точке Спроецируем четверку прямых на прямую По теореме о полном четырехстороннике для четверка точек  — гармоническая, откуда получаем, что и четверка прямых  — гармоническая. Но тогда после проецирования на прямую получаем, что  — середина так как

Лемма. Пусть вписанная окружность треугольника касатеся его сторон и в точках и соответственно. Тогда прямые и пересекаются в одной точке.

Доказательство. Следует из теоремы Чевы, так как отрезки, на которые точки разбивают стороны, легко находятся.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перейдём к решению задачи. Пусть пересекается с и в точках и Так как прямые и пересекаются в одной точке, то из теоремы о полном четырёхстороннике получаем, что Так как прямые и пересекаются в одной точке, то из теоремы о полном четырёхстороннике получаем, что Следовательно, Но тогда по теореме о секущей и касательной получаем, что откуда и следует что точки и лежат на одной окружности.

Пусть — окружность, построенная на как на диаметре. Обозначим через и вторые точки пересечения прямых и с соответственно. Так как то четырёхугольник гармонический. А так как диаметр и то дуги и равны. Следовательно, а значит является внешней биссектрисой угла А значит и является внутренней биссектрисой угла

Обозначим середину за Спроецируем гармоническую четвёрку точек из точки на окружность Точки останутся при этом на месте, точка перейдет в точку а бесконечноудаленная — в Таким образом, четырехугольник гармонический, откуда следует утверждение задачи.

Заметим, что четырехугольник  — гармонический. Спроецируем эту четверку точек с окружности на прямую через точку По условию откуда получаем, что точка перейдет в бесконечно удаленную. Следовательно, должна пересечь отрезок в его середине.

Решение 1.

Пусть луч пересекает описанную окружность в точке — середине дуги Заметим, что

Следовательно, описанная окружность треугольника проходит через точку Кроме того, прямой, поэтому прямая содержит диаметр этой окружности. Пусть прямая пересекает этот диаметр в точке а прямая пересекает его в точке

Для решения задачи требуется установить, что Пусть и — центр и радиус этой окружности. Точка обладает известным свойством: Поэтому нам осталось проверить, что

Обозначим

Тогда Это означает, что треугольник и подобны и

Решение 2.

Как и предыдущем решении, докажем, что Для этого достаточно проверить, что

Мы докажем, что обе эти четвёрки гармонические. Заметим, что четырёхугольник гармонический, так как касательные в точках и пересекаеются на Проецируя эту четвёрку точек из точки на прямую получим С другой стороны, проецируя четвёрку из точки на прямую получим

где — бесконечно удалённая точка направления Осталось заметить, что, так как — середина дуги а — середина отрезка прямая — серединный перпендикуляр к основанию вписанной трапеции Следовательно, — середина отрезка и

Решение 1.

Сделаем поворот с центром в точке переводящий в и обозначим образ точки при этом повороте через Пусть — точка пересечения прямых и Из равенства дуг и легко следует равенство углов Тогда описанная окружность треугольника при этом повороте переходит в описанную окружность треугольника При этом точка очевидно, будет иметь одинаковые степени относительно этих двух окружностей.

Аналогично, рассмотрев поворот с центром в переводящий в и обозначив образ точки через и точку пересечения с через мы получим, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и

Таким образом, вместо утверждения “точка лежит на прямой ”, эквивалентного тому, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и достаточно доказать, что точка имеет одинаковые степени относительно описанных окружностей треугольников и т.е. что точки и совпадают.

Заметим, что медиана треугольника лежит на прямой и Значит, — симедиана треугольника и тогда четырехугольник гармонический. Аналогично, четырехугольник также гармонический. Но тогда обозначив через точку пересечения прямых и мы получим равенство двойных отношений

откуда

Решение 2.

Пусть прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и а прямая пересекает описанную окружность треугольника в точках и Тогда

Кроме того,

следовательно, Значит треугольники и подобны и одинаково ориентированы.

Из этого, учитывая, что треугольники и также подобны, получаем

Аналогично

Из этих равенств и параллельности и следует, что

Докажем, что точка лежит на луче (и, аналогично, на луче ). Для этого сначала заметим, что хорда окружности пересекает во внутренних точках стороны и следовательно, один конец хорды лежит на дуге а другой — на дуге (здесь и далее рассматриваются дуги с концами в двух вершинах треугольника не содержащие третью вершину). Аналогично один из концов хорды лежит на дуге а другой — на дуге Это возможно, только если точки и лежат на дугах и соответственно. Из этого следует, что углы и треугольника острые, а также что точки лежат на прямой именно в таком порядке. Далее заметим, что треугольник ориентирован так же, как треугольник по доказанному выше; треугольник ориентирован так же, как треугольник поскольку точки и лежат на продолжениях сторон и за точки и соответственно; наконец, треугольник ориентирован так же, как треугольник поскольку Итак, треугольники и ориентированы одинаково, а это и означает, что точка лежит на луче По доказанному выше имеем

Следовательно, степени точки относительно описанных окружностей треугольников и равны.