Ребусы

Обозначим Тогда При этом (иначе ) и (сумма цифр не превышает ). Из соотношения следует, что , т. е. делится на 3. Осталось подставить значения и 24 в и подсчитать сумму цифр получившегося числа.

Подставив, получаем что сумма цифр совпадает с только при

a) Рассмотрим формулу . Если - вычитание, то выражение тождественно равно . Если - умножение, то при . Поэтому выражение равно при любом смысле знаков и . Действительно, если - вычитание, то . Если же - умножение, то - вычитание, тогда .

б) Предположим, что переменным приданы четные значения. Тогда и , и , также являются чётными. Поэтому при таких значениях переменных любая формула имеет чётное значение.

Обратим в первую очередь внимание на то, что в правой части стоит четырехзначное число, значит, слева при сложении происходит переход через разряд. В таком случае первая цифра четырехзначного числа может быть только . Значит, .

Далее, чтобы произошел переход, трехзначное число слева должно начинаться на . Поэтому , и мы имеем , откуда .

Сначала заметим, что : в противном случае в разряде тысяч появится цифра, большая . Теперь посмотрим на последнюю цифру произведения. Она равна и получена как последняя цифра произведения двух одинаковых цифр. Перебором последних цифр находим, что такое возможно лишь в двух случаях: когда перемножаются две единицы или две девятки. Но , так как уже . Поэтому . Итак, пока что мы получили .

Теперь посмотрим на цифру . Она не равна , так как уже . Если , то мы умножаем число, не меньшее , на , в результате получится пятизначное число. Поэтому остается только вариант . Итого получили .

Осталось найти значение . Во-первых, это уже можно сделать простым перебором, но мы покажем другой способ. В разряде десятков должен получить . При этом после умножения из разряда единиц в разряд десятков переносится . Поэтому результат умножения на должен оканчиваться на , тогда как раз в сумме с получится . А это сильно упрощает перебор: достаточно рассматривать лишь четные значения и проверять, что оканчивается на . Это выполнено только для , и это значение подходит: получаем .

Во-первых сразу отметим, что так как произошел переход через разряд, . Поэтому в разряде сотен суммы может стоять либо , либо , в зависимости от того, произошел ли переход через разряд. С другой стороны, эта же буква стоит в разряде единиц, а число должно быть четным, так как оно равно сумме двух одинаковых чисел. Поэтому . Пока имеем .

Теперь посмотрим на букву . Чтобы на конце получилась цифра , или . Но так как уже , то остается только второй вариант . Получили . В разряде тысяч переход точно не произойдет, поэтому , откуда . Наконец все цифры слева восстановлены, поэтому считаем сумму и находим, что , а зашифрованная сумма — .

Так как , при сложении произошел переход через разряд. Это возможно только тогда, когда цифра в разряде сотен равна , то есть . Тогда после сложения в разряде десятков и сотен точно окажется , значит, . Чтобы на конце получился , цифра должна равнять . Поэтому мы имеем единственное решение .

Так как в сумме больше разрядов, чем в двух слагаемых, . Чтобы переход через разряд мог произойти, первая цифра должна быть равна или .

Если , то последняя цифра суммы равна , то есть , и мы имеем равенство , что неверно.

Значит, . Тогда последняя цифра суммы равна , то есть , и мы имеем верное равенство , что и является единственным решением этого ребуса.

Если , то слева получится после умножения на трехзначный результат, но справа число только лишь двузначное. Значит, , так как эта буква первая в слове и не может равняться . Далее, посмотрим на букву . Если , то слева в разряде единиц получится , а справа — , но , значит, . Кроме того, , так как уже . Если же , то хотя бы , чего опять же быть не может. Поэтому единственный оставшийся вариант — .

Имеем . При этом не может равняться или , так как уже другие буквы равны этим цифрам. Если , то слева мы получаем , и тогда , чего быть не может. Если , то слева получается трехзначный результат. Поэтому единственный оставшийся вариант — это , и тогда мы имеем единственное решение .

Во-первых, посмотрим на последнюю цифру. Мы сложили две буквы и одну букву , и получили на конце букву . Это значит, что сумма двух букв дает на конце . Значит, или . Но так как в слове буква является первой в слове, то , значит, .

Далее, при сложении трех трехзначных чисел мы получили четырехзначное. Значит, это четырехзначное число меньше , поэтому или . В первом случае имеем , что дает нам первое решение. Во втором случае имеем , что не является решением данного ребуса. Значит, у ребуса есть лишь одно решение: .

Во-первых, вычтем из обеих частей равенства . Тогда мы получим равенство . Чтобы на конце получился после перемножения двух одинаковых цифр, буква должна быть равна . Имеем . Обе части равенства можно поделить на и получить . Подставляя возможные значения , находим все решения: не подходят, так как произведение не двузначное, , и не подходят, так как тогда , , , .

Обратим внимание, что в произведении присутствует ровно различных букв. Так как разные буквы соответствуют разным цифрам, то среди букв есть та, что соответствует цифре . Но произведение любого числа сомножителей, среди которых есть , равно .

Из условия следует, что . Поэтому , иначе произведение справа было бы больше , то есть не могло равняться трехзначному числу. Далее,  — четная цифра, так как делится на . Значит, если мы докажем, что , то хотя бы , а сумма двух трехзначных чисел, начинающихся на , начинается или на , или на , поэтому будет больше.

Итак, предположим, что . Тогда чтобы последняя цифра произведения была равна , буква . Но тогда оканчивается на , значит, , чего не может быть. Мы получили противоречие, значит, , а тогда по сделанному ранее выводу больше, чем .

Сразу отметим, что , так как произошел переход через разряд. Далее, число четно, так как равно сумме двух одинаковых чисел, поэтому цифра также четна, при этом , иначе сумма слева меньше . Значит, или . Разберем эти два случая по-отдельности.

Случай 1. . Имеем . Теперь посмотрим на букву в разряде тысяч. Так как в сумме в разряде тысяч стоит , то это означает, что, во-первых, в разряде сотен произошел переход (иначе цифра в разряде тысяч суммы была бы четной), а во-вторых, или . Опять же отдельно разберем эти два случая.

Если , то в разряде тысяч переход не произошел, значит, в разряде десятков тысяч в слове стоит . Подставляя в ребус значения букв и , имеем . Но при сложении двух двоек в разряде десятков может получиться либо , либо , в зависимости от того, произошел ли переход через разряд в разряде единиц, но никак не . Значит, этот случай невозможен.

Если , то в разряде тысяч переход произошел, значит, в разряде десятков тысяч в слове стоит . Подставляем найденные буквы в ребус: . Но опять же посмотрим на разряд десятков: сумма двух троек даст или , или , в зависимости от наличия или отсутствия перехода в разряде единиц, но никак не , значит, такой случай также невозможен. Итак, мы получили, что .

Случай 2. . Имеем . Снова посмотрим на цифру в разряде тысяч. как и в предыдущем случае, или , опять же разберем эти два случая по-отдельности.

Если , то в разряде тысяч переход не произошел, значит, в разряде десятков тысяч в слове стоит . Подставляем известные буквы в ребус: . И вновь на месте десятков после сложения двух шестерок может получиться либо , либо , но никак не . Значит, и этот случай невозможен.

Остался последний вариант, когда в этом случае . Тогда в разряде тысяч произошел переход, значит, в разряде десятков тысяч . Подставляем: . Теперь сумма двух семерок в разряде десятков все-таки может дать цифру , если в разряде единиц произошел переход через разряд. Это означает, что . Получили , причем в разряде сотен должен произойти переход через разряд. Это означает, что , но цифры , , и уже заняты другими буквами, значит, , и мы получаем единственное решение .

В результате сложения однозначного и двузначного чисел получилось трехзначиное число. Это возможно только в случае переполнения в десятках. Значит, в разряде сотен стоит .

При прибавлении к двухначному числу однозначного могло получиться трехзначное только если в разряде двузначного числа стояла цифра , и в разряде единиц также произошло переполнение.

Так как в разряде единиц произошло переполнение, то сумма цифр, стоящих в разряде единиц, равна . Это возможно только в том случае, когда в разряде единиц стояли две девятки.

Получаем ответ

Подставим во вторую строку вместо квадратов круг и треугольник (из первой строки следует, что они равны), а вместо шестиугольников два круг и треугольник (из третьей строки следует, что они равны)

Заметим, что с левой стороны и справой стороны по два круга. Вычеркнем их из равенства. Останется два треугольника слева и один справа.

Вычеркнем по треугольнику с обеих сторон и получим, что треугольник равен .

Суммы цифр в первой, второй и третьей строках равны. Так как все цифры в квадрате различны суммы этих сумм равны . Значит, суммы цифр в строках (а также в столбцах и диагоналях) равны .

A =

Г =

В =

Б = - В =

Д = - Б =

Е = - Д =

Пусть – искомое трёхзначное число. Тогда по условию Отсюда получаем , поэтому делится на 5. Но не может равняться нулю, поскольку иначе произведение цифр также равно нулю. Следовательно, Таким образом, имеем

Число при делении на 5 даёт остаток 4, поэтому число при делении на 5 даёт остаток 2. Это возможно лишь в случае, если или Случай не подходит, так как иначе число должно быть чётным, что неверно. Итак, , и для получаем уравнение

Число делится на , если оно делится и на , и на . Так как сумма цифр равна , то сумма двух недостающих цифр должна равняться или Учитывая, что число должно делиться на а предпоследняя цифра равна то последняя цифра может быть лишь или или Тогда ответами будут числа:

Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки с номером 1. Значит, в ней может находиться только число 2. Карточка с числом 2 должна указывать на карточку с числом 3, так как указывает только на карточку и на карточку с числом 9, то в должно быть записано 3. Карточка с числом 3 должна указывать на карточку с числом 4, так как указывает на карточки и то в одной из них должно быть записано число 4. Заметим, что на карточку указывают стрелки только карточки Значит, чтобы были заполнены все карточки, то в может быть записано только число с карточки + 1, так как на написано 3, то на будет Сама карточка указывает на и но свободна только Значит, на нужно записать число 5. Так как указывает только на то на карточке должно быть написано число 6. Стрелки показывают на но она уже занята числом 5, и на Значит, в записываем 7. Карточка указывает только на поэтому в ставим 8, и оно как раз указывает на карточку с числом 9, как просили в условии. Значит, мы верно расставили все числа.

Так как числа состоят из одинаковых цифр, они дают одинаковые остатки при делении на . Значит, их разность должна делиться на . Однако на не делится, противоречие.